Facteurs Epsilon p-adiques

Adriano Marmora

Abstract

We develop and study the epsilon factor of a “local system” of p-adic coefficients over the spectrum of a complete discrete valuation field K with finite residue field of characteristic p > 0. In the equal characteristic case, we define the epsilon factor of an overconvergent F -isocrystal over Spec(K), using the p-adic monodromy theorem. We conjecture a global formula, the p-adic product formula, analogous to Deligne’s formula for étale ℓ-adic sheaves proved by Laumon, that explains the importance of this local invariant. Namely, for an overconvergent F -isocrystal over an open subset of a projective smooth curve X, the constant of the functional equation of the L-series is expressed as a product of the local epsilon factors at the points of X. We prove the conjecture for rank 1 overconvergent F - isocrystals and for finite unit-root overconvergent F -isocrystals. In the mixed characteristic case, we study the behavior of the epsilon factor by deformation to the field of norms.

1. Introduction

Dans cet article, nous développons la théorie des facteurs epsilon des «systèmes locaux» padiques sur Spec(K), où K est un corps de valuation discrète complet, de corps résiduel k fini de caractéristique p > 0.

Soient C un corps de caractéristique zéro, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial, μ une mesure de Harr sur K à valeurs dans C. À toute C-représentation (D, ρ) du groupe de Weil absolu W_{K} de K, Deligne et Langlands [De73, 3.3.1] associent un invariant ε(D, ψ, μ) dans C^{∗}, appelé facteur epsilon. C’est une généralisation de la constante locale de la thèse de Tate en dimension 1 [Ta67, 2.4.1]. Cette définition s’étend aux représentations de Weil-Deligne (D, ρ, N), où N est un endomorphisme nilpotent de D satisfaisant à une donnée de compatibilité avec ρ, cf. (2.2).

Considérons d’abord le cas où K est de caractéristique nulle. Les systèmes locaux p-adiques sur Spec(K) sont les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu G_{K} de K, qui sont de de Rham dans la classification de Fontaine. Grâce au théorème de monodromie p-adique (cf. [And02], [Berg02], [Ked04] et [Meb02]), on sait qu’elles sont potentiellement semi-stables. La définition des conducteurs et du facteur epsilon d’une telle représentation V est due à Fontaine [Fon94b, 1.3.5] et Fontaine-Perrin-Riou [PR95, C.1.4] : soient C le corps des fractions de l’anneau des vecteurs de Witt W(k) de k, et C^{nr} l’extension maximale non-ramifiée de C. On considère le module de Fontaine D_{pst}(V) associé à V : il est muni d’une structure de C^{nr}-module de Deligne de K (i.e. un C^{nr}-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action semi-linéaire discrète de G_{K}, d’un isomorphisme de Frobenius et d’un opérateur de monodromie, vérifiant les compatibilités usuelles), et il est de dimension égale à celle de V, car V est potentiellement semi-stable. En linéarisant l’action discrète de G_{K} par le Frobenius, on obtient une C^{nr}-représentation de Weil-Deligne D = (D_{pst}(V), ρ, N). On définit le facteur epsilon ε(V, ψ, μ) comme étant égal à ε(D, ψ, μ).

2000 Mathematics Subject Classification 12H25 (primary), 11S15, 14F30 (secondary). Keywords: overconvergent F -isocrystals, epsilon factors, product formula, de Rham representations, norms field theory.

Part of this work has been supported by JSPS postdoctoral fellowship number PE06005.

Adriano Marmora

Supposons maintenant que K soit de caractéristique p > 0. Les représentations du groupe de Galois ne fournissent alors qu’une sous-catégorie de celle qu’on est amené à étudier. Soient C une extension finie du corps des fractions de l’anneau des vecteurs de Witt W(k) de k, munie d’un endomorphisme de Frobenius fixant une uniformisante, C^{nr} l’extension maximale non-ramifiée de C, et R l’anneau de Robba sur K à coefficients dans C. La catégorie naturelle des systèmes locaux p-adiques sur Spec(K) est celle des F -isocristaux surconvergents sur Spec(K). Précisément, il s’agit des (φ, ∇)-modules sur R, i.e. des modules libres de rang fini sur R, munis d’une connexion et d’un endomorphisme de Frobenius compatibles. Parmi ceux-ci, les F -isocristaux surconvergents unités correspondent aux représentations galoisiennes à monodromie géométrique locale finie, cf. [Tsu98a].

Pour associer des facteurs epsilon aux F -isocristaux surconvergents sur Spec(K), on procède d’une façon analogue au cas d’inégales caractéristiques. Par le théorème de monodromie p-adique (cf. [And02], [Ked04] et [Meb02]), tout (φ, ∇)-module sur R admet une base de sections horizontales sur le «revêtement universel» B = \underrightarrow{lim} R(L)[log T] de R, où la limite est prise sur les extensions galoisiennes finies L de K, et R(L) est l’anneau de Robba sur L, cf. (3.2.2). L’espace S(M) des sections horizontales de M ⊗_{R} B hérite d’une structure de C^{nr}-module de Deligne de K. On obtient ainsi un foncteur M ↦ S(M) de la catégorie des (φ, ∇)-modules sur R vers celle des C^{nr}-modules de Deligne de K, qu’on montre être une équivalence. Le module de Deligne S(M) fournit, comme en inégales caractéristiques, une C^{nr}-représentation de Weil-Deligne, notée WD(M). On définit le facteur epsilon ε(M, ψ, μ) comme étant égal à ε(WD(M), ψ, μ).

Pour un (φ, ∇)-module sur R, Robba et Christol-Mebkhout ont défini l’irrégularité p-adique sur le modèle des équations différentielles classiques [ChMe02, 14.11]. Par un théorème de Matsuda et Tsuzuki (cf. [Mat02, 8.6] et [Tsu98b, 7.2.2]), l’irrégularité coïncide avec le conducteur de Swan. On s’intéresse dans cet article à l’analogue de ce théorème pour le facteur epsilon ; autrement dit on cherche une interprétation différentielle du facteur epsilon. Notre approche est de nature globale. On note ℙ^{1} la droite projective sur k, 𝔾_{m} le groupe multiplicatif sur k, et pour tout point fermé x de ℙ^{1}, K_{x} le corps des fractions du complété de l’anneau local de ℙ^{1} en x, η_{x} = Spec(K_{x}). Tout F -isocristal M sur 𝔾_{m} surconvergent le long {0, ∞}, fournit par image inverse un (φ, ∇)-module M_{η_{x}} sur R(η_{x}), où R(η_{x}) est l’anneau de Robba sur K_{x}. Inversement, Matsuda [Mat02] a construit un foncteur d’extension canonique M ↦ M^{can}, analogue p-adique de l’extension canonique de Katz-Gabber : c’est un foncteur de la catégorie des (φ, ∇)-modules sur R vers celle des F -isocristaux sur 𝔾_{m} surconvergents le long {0, ∞}, tel que l’image inverse de M^{can} en 0 (resp. ∞) soit isomorphe à M (resp. moderée). Dans le cas des F -isocristaux surconvergents unités, une construction de l’extension canonique avait été donnée par Crew [Cr00]. Les objets dans l’image essentielle du foncteur d’extension canonique sont appelés F -isocristaux spéciaux sur 𝔾_{m}. Le choix d’une forme différentielle méromorphe ω sur ℙ^{1} non-nulle détermine, pour tout point fermé x de ℙ^{1}, un caractère additif ψ_{x} de K_{x}. On en déduit une famille de facteurs epsilon ε(M_{η_{x}}^{can}, ψ_{x}), dont celui en x = 0 est le facteur epsilon de M. Comme dans le cas étale ℓ-adique, il est raisonnable de s’attendre à ce que ces facteurs soit reliés par une formule. En effet, pour un faisceau constructible ℓ-adique sur une courbe propre et lisse X sur k, Deligne a conjecturé que la constante globale de l’équation fonctionnelle de sa série L s’exprime comme le produit des facteurs epsilon locaux aux points fermés de X. Cette conjecture a été démontrée par Laumon [Lau87, 3.2.1.1]. On formule un analogue p-adique de cette formule pour les F -isocristaux sur un ouvert non-vide U de X surconvergeant le long de X\U, cf. (4.3.5). On démontre cette conjecture dans deux cas : pour les F -isocristaux surconvergents de rang 1 ; et pour les F -isocristaux surconvergents unités finis, i.e. ayant monodromie globale finie. La démonstration du premier cas consiste à comparer l’équation fonctionnelle en cohomologie rigide avec l’équation fonctionnelle de Tate. Le deuxième cas se ramène au premier par induction de Brauer.

Nous revenons à la fin de cet article au cas d’inégales caractéristiques. Dans un travail précédent, nous avons établi un théorème de comparaison entre conducteur de Swan et irrégularité dans l’esprit du théorème de Matsuda-Tsuzuki, cf. [Mar04, Th.1]. Soient, pour tout r ∈ ℕ, K_{r} = K(μ_{p^{r}}) l’extension de K obtenue en ajoutant les racines p^{r}-ièmes de l’unité, V une représentation de de Rham de G_{K}, N_{dR}(V) le (φ, ∇)-module associé à V par Berger, V_{r} la restriction de V au groupe de Galois absolu G_{K_{r}} de K_{r}. Alors la suite (sw(V_{r}))_{r∈ℕ} des conducteurs de Swan est stationnaire de limite égale à l’irrégularité de N_{dR}(V). Dans la dernière section de cet article, on étend ce résultat aux facteurs epsilon. On se donne une extension arithmétiquement profinie K_{∞} de K, qu’on peut supposer totalement ramifiée pour simplifier. On note, pour tout r ∈ ℕ, K_{r} la r-ième sous-extension élémentaire de K_{∞}, O_{K_{r}} l’anneau des entiers de K_{r}, et E_{K} (resp. O_{E_{K}}) le corps des normes associé à K_{∞} (resp. l’anneau des entiers de E_{K}). Le corps E_{K} est de valuation discrète, complet, d’égale caractéristique, de corps résiduel égal à k et de groupe de Galois absolu G_{E_{K}} canoniquement isomorphe à celui de K_{∞}, noté H_{K}. Soient C le corps des fractions de W(k) et C^{nr} l’extension maximale non-ramifiée de C. On pose D = D_{pst}(V) et on note D_{∞} la restriction de D à H_{K}, considérée comme C^{nr}-module de Deligne de E_{K}, qu’on appelle déformation de D au corps des normes. Ce module correspond, par l’équivalence décrite plus haut, à un F -isocristal surconvergent M sur Spec(E_{K}). Notre but est d’étudier les facteurs epsilon des restrictions V_{r} de V à G_{K_{r}} et de les comparer au facteur epsilon de M. La difficulté tient dans le choix des caractères additifs θ: E_{K} → C^{∗} et, pour tout r, ψ_{r}: K_{r} → C^{∗}. Pour ce faire, on introduit la notion de tour admissible de caractères additifs : c’est une suite de caractères additifs (ψ_{r}: K_{r} → C^{∗})_{r∈ℕ}, satisfaisant une condition qui permet d’en déduire un caractère additif limite ψ_{∞}: E_{K} → C^{∗}. On montre que tout caractère additif θ de E_{K} est limite d’une telle tour. Soient V une représentation de de Rham de G_{K}, θ: E_{K} → C^{∗} un caractère additif non-trivial, (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible convergente vers θ, et pour tout r ∈ ℕ, μ_{r} (resp. μ_{∞}) une mesure de Haar sur K_{r} (resp. E_{K}) à valeurs dans C, normalisée par μ_{r}(O_{K_{r}}) = μ_{∞}(O_{E_{K}}). On montre que la suite des facteurs epsilon (ε(V_{r}, ψ_{r}, μ_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite ε(M, θ, μ_{∞}). En particulier, si K_{∞} est la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, alors M = N_{dR}(V) et on obtient une généralisation de [Mar04, Th.1] aux facteurs epsilon.

Ce texte est divisé en cinq sections, la première étant cette introduction. La deuxième section contient des rappels sur les représentations de Weil-Deligne et leurs constantes locales. La troisième est consacrée aux F -isocristaux sur un corps local d’égale caractéristique, appelés aussi (φ, ∇)- modules. On démontre l’équivalence tannakienne entre la catégorie des (φ, ∇)-modules sur l’anneau de Robba et la catégorie des modules de Deligne. Dans la sous-section (3.3), on fait le lien avec le théorème de classification de Tsuzuki pour les (φ, ∇)-modules unités. Dans la sous-section (3.4), on définit les constantes locales associées à un F -isocristal. La quatrième section concerne la formule du produit pour les F -isocristaux surconvergents sur une courbe. Après des rappels sur les F -isocristaux et leurs fonctions L, on énonce la conjecture de la formule du produit (4.3.5), et on la démontre pour les F -isocristaux surconvergents de rang 1 (4.3.14), et pour les F -isocristaux surconvergents unités finis (4.3.15). La cinquième section traite de la déformation au corps des normes du facteur epsilon. Dans la dernière sous-section (5.4), on donne les applications au facteur epsilon d’une représentation de de Rham.

1.1 Conventions. Soient G un groupe, A un anneau commutatif, M un A-module. Supposons que G agit à gauche sur A par des automorphismes d’anneaux. On dira que M est muni d’une action semi-linéaire de G s’il est muni d’un homomorphisme ρ: G → Aut_{ℤ}(M) tel que pour tout γ ∈ G, a ∈ A et m ∈ M, on a ρ(γ)(am) = γ(a)ρ(γ)(m).

Si A est muni d’un endomorphisme σ, on dit qu’un homomorphisme de groupes f: M → N est un morphisme σ-linéaire si pour tout m ∈ M et a ∈ A, on a f(am) = σ(a)f(m).

2. Constantes locales des représentations de Weil-Deligne

2.1 On désigne par K un corps de valuation discrète complet. On note O_{K} l’anneau de valuation de K, 𝔪_{K} son idéal maximal et k son corps résiduel qu’on suppose fini de cardinal q = p^{f}. On note v_{K} la valuation de K normalisée par v_{K}(K^{∗}) = ℤ, et ∥x∥_{K} = q^{−v_{K}(x)} la valeur absolue d’un élément x de K.

Soient K^{sep} une clôture séparable de K, k^{sep} le corps résiduel de K^{sep} (qui est une clôture séparable de k), G_{K} (resp. G_{k}) le groupe de Galois de K^{sep} sur K (resp. k^{sep} sur k) et I_{K} le groupe d’inertie de K. On note σ le Frobenius absolu de k^{sep}, défini par σ(x) = x^{p}. L’automorphisme F^{∗} = σ^{−f} est un générateur topologique de G_{k}, qui l’identifie à ℤ̂, et induit ainsi un homomorphisme ν: G_{K} → ℤ̂. On appelle groupe de Weil de K^{sep} sur K et on note W_{K} le sous-groupe de G_{K} image inverse de ℤ par ν. Cette définition ne dépend pas du générateur topologique de G_{k} choisi. On appellera Frobenius géométrique tout élément de W_{K} qui relève F^{∗}.

Pour toute extension finie L de K, W_{L} est un sous-groupe d’indice fini de W_{K} ; si de plus L/K est galoisienne, alors W_{L} est distingué dans W_{K} et le quotient s’identifie au groupe de Galois de L sur K.

2.2 Soit C un corps de caractéristique 0. On dit qu’une représentation de W_{K} dans un C-espace vectoriel de dimension finie est une représentation de Weil si elle est triviale sur un sous-groupe ouvert de I_{K}. On notera Rep_{C}(W_{K}) la catégorie abélienne des C-représentations de Weil de K.

Une C-représentation de Weil-Deligne de K est la donnée d’une représentation de Weil (V, ρ) de K, munie d’une application C-linéaire N: V → V nilpotente, telle que, pour tout w dans W_{K}, on ait ρ(w)Nρ(w)^{−1} = q^{ν(w)}N. On note Rep_{C}(WD_{K}) la catégorie des C-représentations de Weil-Deligne de K, les morphismes étant les applications linéaires qui commutent aux actions de W_{K} et N.

Une C-représentation de Weil de K est une représentation de Weil-Deligne en prenant N = 0. On identifie ainsi Rep_{C}(W_{K}) à une sous-catégorie strictement pleine de Rep_{C}(WD_{K}). Le foncteur (V, ρ, N) ↦ (Ker N, ρ_{| Ker N}), de Rep_{C}(WD_{K}) dans Rep_{C}(W_{K}), est un adjoint à droite de l’inclusion et aussi un quasi-inverse à gauche.

La proposition suivante est bien connue, cf. [Lau87, preuve de 3.2.1.7], [Mar06, partie 2 (1.1.3)] :

Proposition 2.3. Supposons C algébriquement clos et soit (V, ρ) une C-représentation irréductible de Weil de K. Alors il existe un caractère non ramifié χ: W_{K} → C^{∗} et une C-représentation (V, ρ′) de W_{K} qui se factorise par un quotient fini, tels que ρ = ρ′ ⊗ χ.

2.4 La théorie du corps de classe local fournit un isomorphisme, dit de réciprocité, entre le plus grand quotient abélien W_{K}^{ab} de W_{K} et K^{∗}, normalisé de sorte que la classe d’un Frobenius géométrique corresponde à une uniformisante de K. On note r_{K}: W_{K} → K^{∗} l’homomorphisme obtenu en composant la projection canonique de W_{K} sur W_{K}^{ab} avec l’isomorphisme de réciprocité. Se donner une C-représentation de Weil de K de rang 1 revient à se donner un homomorphisme localement constant K^{∗} → C^{∗}. Un tel homomorphisme est classiquement appelé quasi-caractère. Il est dit non ramifié s’il est trivial sur O_{K}^{∗} ; il correspond alors à une C-représentation de Weil non-ramifiée de rang 1.

2.5 Soit Γ un groupe commutatif. On note Γ_{p} (resp. Γ_{p^{∞}}) le sous-groupe de Γ des éléments d’ordre p (resp. une puissance de p). On appelle caractère additif de K à valeurs dans Γ un homomorphisme localement constant du groupe additif de K dans Γ, K étant muni de la topologie induite par la valuation v_{K}. Un tel homomorphisme se factorise par Γ_{p^{∞}} (en fait par Γ_{p} si K est de caractéristique p). On s’intéresse surtout aux cas Γ = ℚ_{p}/ℤ_{p} et Γ = C^{∗}. Dans le second cas, on notera μ_{p^{∞}}(C) = Γ_{p^{∞}} et μ_{p}(C) = Γ_{p}. On note Hom_{c}(K, Γ) le groupe des caractères additifs de K à valeurs dans Γ.

Soit ψ un caractère additif non-trivial de K à valeurs dans Γ. On appelle codifférente de ψ et on note D(ψ)^{−1}, l’idéal fractionnaire de K défini par D(ψ)^{−1} = {x ∈ K | ∀y ∈ O_{K}, ψ(xy) = 1}. L’inverse de la codifférente, noté D(ψ), est appelé différente ; on étend cette définition en posant D(1_{K}) = (0), où 1_{K} est le caractère trivial. On appelle ordre de ψ et on note d(ψ), la valuation de la différente d(ψ) = v_{K}(D(ψ)) = sup{n ∈ ℤ| ψ(𝔪_{K}^{−n}) = 1}.

L’action de K sur lui même par multiplication induit une action de K sur Hom_{c}(K, Γ) qui en fait un K-espace vectoriel.

Proposition 2.6 [Ta67, 2.2.1]. La dimension de Hom_{c}(K, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sur K est égale à 1. La dimension de Hom_{c}(K, C^{∗}) sur K est inférieure ou égale à 1 ; si C est algébriquement clos, elle vaut 1.

2.7 Supposons K de caractéristique p. Il existe alors un homomorphisme canonique k → O_{K} inverse à gauche de l’homomorphisme de reduction O_{K} → k. On désigne par Ω_{K/k}^{1} l’espace vectoriel des différentielles de K/k, et par d: K → Ω_{K/k}^{1} la dérivation canonique. Observons que Ω_{K/k}^{1} est un K-espace vectoriel de dimension 1 car k est parfait.

Il existe un homomorphisme canonique, O_{K}-linéaire, Res_{k}: Ω_{K/k}^{1} → k, appelé résidu, défini par la propriété suivante : pour toute uniformisante π de K et tout entier m, Res_{k}(π^{m}dπ) = δ_{m,−1}, où δ_{m,−1} est le symbole de Kronecker.

Il existe une application canonique, notée abusivement v_{K}: Ω_{K/k}^{1} → ℤ ∪ {+∞}, définie par la propriété suivante : pour tout a ∈ K et toute uniformisante π de K, v_{K}(adπ) = v_{K}(a).

On observe que tout caractère additif K → ℚ_{p}/ℤ_{p} se factorise par le sous-groupe \frac{1}{p}ℤ_{p}/ℤ_{p} de ℚ_{p}/ℤ_{p}, qui est canoniquement isomorphe à 𝔽_{p}.

Lemme 2.8 [Lau87, Rem. 3.1.3.6]. Supposons K de caractéristique p. L’application de Ω_{K/k}^{1} dans Hom_{c}(K, 𝔽_{p}), qui à ω associe le caractère additif ψ_{ω}: x ↦ tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(xω)), est un isomorphisme. L’ordre de ψ_{ω} est égal à v_{K}(ω).

2.9 Soit ϕ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial d’ordre d. Par (2.6), l’homomorphisme

Φ(ϕ): K ⟶ Hom_{c}(K, C^{∗}),

qui à η associe le caractère x ↦ ϕ(ηx) est un isomorphisme. Si η ∈ K, alors d(Φ(ϕ)(η)) = d+v_{K}(η). Donc Φ(ϕ) envoie O_{K} dans le sous-groupe Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) de Hom_{c}(K, C^{∗}). On note abusivement cette restriction

Φ(ϕ): O_{K} ⟶ Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}).

On vérifie facilement que c’est un isomorphisme. Pour tout n ⩽ −d, l’homomorphisme composé de Φ(ϕ) avec la restriction res_{n}: Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) → Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) a pour noyau

Ker(res_{n} ∘ Φ(ϕ)) = {η ∈ O_{K} | ϕ(η𝔪_{K}^{n}) = 1} = 𝔪_{K}^{−n}D(ϕ)^{−1} = 𝔪_{K}^{−n−d}.

On obtient ainsi un monomorphisme

Φ_{n}(ϕ): O_{K}/𝔪_{K}^{−n−d} ↪ Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗})

entre groupes de même ordre, donc un isomorphisme. Pour résumer, on a le diagramme

\xymatrix{K \ar[d]^{≀}_{Φ(ϕ)} & O_{K} \ar[d]_{Φ(ϕ)}^{≀} \ar@{->>}[r] \ar@{^{(}->}[l] & O_{K}/𝔪_{K}^{−n−d} \ar[d]_{Φ_{n}(ϕ)}^{≀} \\ Hom_{c}(K, C^{∗}) & Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) \ar@{->>}[r]^{_{res_{n}}} \ar@{^{(}->}[l] & Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗})}

2.10 Soit (V, ρ) une C-représentation de Weil de W_{K}. On note sw(V) (resp. ar(V)) le conducteur de Swan (resp. Artin) de la restriction de ρ à I_{K} (cf. [Ser67, §19]). Si F^{∗} est un Frobenius géométrique de W_{K}, on pose,

L(V, t) = det_{C}(1 − tρ(F^{∗})|V^{I_{K}})^{−1} ∈ C⟦t⟧.

Cette série formelle ne dépend évidemment pas du Frobenius choisi.

2.11 Soit μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C (cf. [De73, 6.1]). Pour tout x, y ∈ K, on a μ(x + yO_{K}) = ∥y∥_{K}μ(O_{K}). Donc μ est déterminé par μ(O_{K}), et si μ′ est une mesure de Haar sur K, il existe a ∈ C^{∗}, tel que μ′ = aμ.

Définition 2.12 [De73, 3.3–3.4.3]. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial, μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C et π une uniformisante de K. On appelle facteur epsilon de (χ, ψ, μ) l’élément de C^{∗} défini par

ε(χ, ψ, μ) = \{ \begin{matrix}χ(π)^{d(ψ)}q^{d(ψ)}μ(O_{K}) & si χ est non-ramifié ; \\ ∫_{K^{∗}} χ^{−1}ψμ & si χ est ramifié. \end{matrix}

Cela ne dépend pas du choix de l’uniformisante π.

2.13 Pour une catégorie abélienne A, on notera Gr (A) son groupe de Grothendieck. Pour tout objet V de A, on notera [V] la classe de V dans Gr (A). On appelle C-représentation virtuelle de Weil de K un élément de Gr (Rep_{C}(W_{K})).

Théorème 2.14 [De73, Th.4.1]. Soient ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C. Il existe un unique homomorphisme

ε( · , ψ, μ): Gr (Rep_{C}(W_{K})) ⟶ C^{∗}

vérifiant les conditions suivantes :

(1) pour tout a ∈ C^{∗} et toute C-représentation virtuelle de Weil λ de K, on a

ε(λ, ψ, aμ) = a^{dim λ}ε(λ, ψ, μ);

(2) pour toute extension séparable finie L de K contenue dans K^{sep}, pour toute C-représentation virtuelle de Weil λ de L de rang 0, on a

ε(Ind_{W_{L}}^{W_{K}} λ, ψ, μ) = ε(λ, ψ ∘ tr_{L/K}, μ),

où tr_{L/K} désigne la trace de L à K et Ind_{W_{L}}^{W_{K}} λ la C-représentation virtuelle de Weil de K induite par λ;

(3) si V est de rang 1, de quasi-caractère associé χ: K^{∗} → C^{∗}, alors ε([V], ψ, μ) est la constante ε(χ, ψ, μ) définie dans (2.12).

Remarque 2.15. i) Dans loc.cit. Th. 4.1, le corps C est supposé algébriquement clos. On montre immédiatement par descente galoisienne que cette hypothèse est superflue (cf. aussi loc.cit. Th. 6.5).

ii) Si λ est de dimension zéro, ε(λ, ψ, μ) ne dépend pas de μ en vertu de (1) ; on le notera ε(λ, ψ). Pour V ∈ Rep_{C}(W_{K}), on notera simplement ε(V, ψ, μ) au lieu de ε([V], ψ, μ) et on l’appellera facteur epsilon de la C-représentation de Weil V.

2.16 Soit (V, ρ, N) une C-représentation de Weil-Deligne de K. On note abusivement par V la C-représentation de Weil-Deligne (V, ρ, N) et par V^{∘} la C-représentation de Weil (V, ρ). Soit F^{∗} un Frobenius géométrique de W_{K}. On définit les conducteurs d’Artin et de Swan de V par les formules [De73, 8.12.1] :

ar(V) = sw(V^{∘}) + dim_{C} V − dim_{C} (Ker N)^{I_{K}},
sw(V) = sw(V^{∘}).

On appelle fonction L de V et on note L(V, t), la série formelle définie par [loc. cit. 8.12.2]

L(V, t) = det_{C}(1 − tρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1} ∈ C⟦t⟧.

Pour un caractère additif non-trivial ψ: K → C^{∗} et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C, on pose [loc. cit. 5.1 et 8.12]

ε(V, ψ, μ) = ε(V^{∘}, ψ, μ)det_{C}(−ρ(F^{∗}) |(V^{I_{K}}/(Ker N)^{I_{K}})).

On définit aussi le facteur epsilon modifié par la formule [loc. cit. 8.12]

ε_{0}(V, ψ, μ) = ε(V, ψ, μ)det_{C}(−ρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}}).

Ces définitions ne dépendent pas du choix du Frobenius géométrique F^{∗}. Lorsque N = 0, elles coïncident avec les définitions données plus haut pour une représentation de Weil, cf. (2.2), (2.10) et (2.14).

2.17 On pose U_{K}(0) = O_{K}^{∗} et pour tout entier n ⩾ 0, U_{K}(n) = 1 + 𝔪_{K}^{n}. Soit χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère. On note ar(χ) le plus petit entier naturel tel que U_{K}(ar(χ)) ⊆ Ker χ; c’est le conducteur d’Artin de la C-représentation de Weil de rang 1 associée à χ.

Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère et ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial. On note c la partie entière de \frac{ar(χ)}{2} et c^{+} = ar(χ) − c ⩾ c. Pour tout y, z ∈ K tels que v_{K}(y) ⩾ c^{+} et v_{K}(z) ⩾ c^{+}, on vérifie facilement que χ(1 + y + z) = χ(1 + y)χ(1 + z), cf. [De73, 4.16]. On en déduit un homomorphisme

\overline{χ} : 𝔪_{K}^{c^{+}}/𝔪_{K}^{ar(χ)} ⟶ C^{∗}
cl(y) ⟼ χ(1 + y).

On vérifie par (2.9) (cf. [De73, 4.16]) qu’il existe un élément a ∈ K^{∗} tel que :

∀y ∈ K| 2v_{K}(y) ⩾ ar(χ),  χ(1 + y) = ψ(ay) .  (2.17.1)

On appelle un élément a ∈ K^{∗} satisfaisant (2.17.1) une ψ-jauge de χ. On vérifie que v_{K}(a) = −ar(χ) − d(ψ), que sa classe dans K^{∗}/U_{K}(c) est uniquement déterminée et que tout élément de cette classe est une ψ-jauge.

Proposition 2.18 [DeHe81, §1.2]. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et a une ψ-jauge de χ. On note 1_{K} le quasi-caractère trivial de K.

(1) Si ar(χ) = 2c est pair, on a

ε([χ] − [1_{K}], ψ) = q^{c} \frac{ψ(a)}{χ(a)} .

(2) Si ar(χ) = 2c + 1 est impair, on a

ε([χ] − [1_{K}], ψ) = q^{c} ∑_{\overline{β}∈U_{K}(c)/U_{K}(c+1)} \frac{ψ(aβ)}{χ(aβ)} ,

où β est un relèvement de \overline{β} dans U_{K}(c).

Proposition 2.19 [De73, §5 (5.4) et (5.5.3)]. Soient V une C-représentation de Weil de K, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C.

(1) Pour tout a ∈ K^{∗},

ε(V, ψ(a· ), μ) = det V (a)q^{v_{K}(a) dim V} ε(V, ψ, μ),
ε_{0}(V, ψ(a· ), μ) = det V (a)q^{v_{K}(a) dim V} ε_{0}(V, ψ, μ),

où det V (a) désigne la valeur en a du quasi-caractère associé à det V.

(2) Si (W, ρ) est une C-représentation de Weil de K non ramifiée, alors

ε(V ⊗ W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{ar(V)+d(ψ) dim V})ε(V, ψ, μ)^{dim W} ,
ε_{0}(V ⊗ W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{sw(V)+(d(ψ)+1) dim V})ε_{0}(V, ψ, μ)^{dim W};

où F^{∗} est un Frobenius géométrique de W_{K}. En particulier,

ε(W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{d(ψ)})q^{d(ψ) dim W} μ(O_{K})^{dim W} ,
ε_{0}(W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{d(ψ)+1})(−1)^{dim W} q^{d(ψ) dim W} μ(O_{K})^{dim W} .

3. F -isocristaux sur un corps local

3.0.1 Dans cette section, K désigne un corps de valuation discrète, complet de caractéristique p > 0, à corps résiduel k parfait. A partir de (3.4), on supposera k fini de cardinal q = p^{f}. On reprend les notations de (2.1). On fixe une uniformisante de K, ce qui détermine un isomorphisme O_{K} ≅ k⟦T ⟧. Par extension finie séparable de K, on sous-entend une extension finie contenue dans K^{sep}. Pour une telle extension L, on notera O_{L} son anneau d’entiers, k_{L} (resp. 𝔪_{L}) le corps résiduel (resp. l’idéal maximal) de O_{L} et G_{L} le groupe de Galois de K^{sep} sur L.

3.0.2 Soient h ⩾ 1 un entier tel que k contienne un sous-corps de cardinal^{1} p^{h} qu’on note 𝔽, et Λ une extension finie de ℚ_{p} de corps résiduel 𝔽. On note W(k) l’anneau des vecteurs de Witt de k et on pose C = Λ ⊗_{W(𝔽)} W(k). C’est un corps de valuation discrète complet de corps résiduel k. On note O_{C} (resp. 𝔪_{C}) l’anneau des entiers de C (resp. l’idéal maximal de O_{C}), v_{C} la valuation de C normalisée par v_{C}(C^{∗}) = ℤ et ∥x∥ = p^{−hv_{C}(x)} la valeur absolue d’un élément x ∈ C. On munit C de l’endomorphisme σ_{C} = Id_{Λ} ⊗ σ^{h}, où σ est l’endomorphisme de Frobenius de W(k). Le sous-corps de C fixé par σ_{C} est Λ. On dit que σ_{C} est un Frobenius d’ordre h de C. Soit π une uniformisante de Λ, donc π est une uniformisante de C telle que σ_{C}(π) = π. On pose e = [C : Fr W(k)] = [Λ : Fr W(𝔽)]. Les corps C et Λ apparaîtront dans la suite comme des corps de coefficients.

3.1 Modules de Deligne

3.1.1 Un φ-module sur C est un C-espace vectoriel de dimension finie M muni d’une application σ_{C}-linéaire injective φ: M → M. Comme M est de dimension finie et σ_{C} est un isomorphisme, φ est un isomorphisme σ_{C}-linéaire, qu’on appelle Frobenius de M. Un morphisme de φ-modules sur C est une application linéaire commutant aux Frobenius. On désigne par ΦM(C) la catégorie des φ-modules sur C.

Un (φ, N)-module sur C est un φ-module M sur C, muni d’un endomorphisme N du C-espace vectoriel sous-jacent à M, tel que N ∘φ = p^{h}φ∘N. Comme M est de dimension finie, N est nilpotent. On appellera N l’opérateur de monodromie de M. Un morphisme de (φ, N)-modules sur C est un morphisme de φ-modules commutant aux opérateurs de monodromie. On désigne par ΦM_{log}(C) la catégorie des (φ, N)-modules sur C.

1Il est usuel de poser q = p^{h}. Nous n’utilisons pas cette notation pour éviter toute confusion avec le cardinal de k dans le cas où ce dernier est fini.

3.1.2 Soit L une extension finie séparable de K. On note C_{L} l’extension finie non-ramifiée de C de corps résiduel k_{L}. Elle est unique à isomorphisme unique près. En fait C_{L} est isomorphe à C ⊗_{W(k)} W(k_{L}), car C et Fr W(k_{L}) sont linéairement disjoints sur Fr W(k). On pose C^{nr} = \underrightarrow{lim} C_{L}, où la limite est prise sur toutes les extensions L/K finies et séparables contenues dans K^{sep}. On note Ĉ^{nr} le complété p-adique de C^{nr}, il s’identifie à C ⊗_{W(k)} W(k^{sep}). On munit Ĉ^{nr} de l’action de G_{K} produit tensoriel de l’action triviale sur C et de l’action naturelle sur W(k^{sep}) via G_{K} → Gal(k^{sep}/k). Le groupe de cohomologie H_{cont}^{1}(Gal(k^{sep}/k), W(k^{sep})) est trivial, cf. [Ser68b, III-33]. On en déduit que le sous-corps de Ĉ^{nr} fixé par G_{L} est C_{L}. Le Frobenius σ_{C} de C s’étend de façon unique à C^{nr} et par continuité à Ĉ^{nr} ; on le note encore σ_{C}.

Définition 3.1.3 [Fon94b, §1]. (1) Un Ĉ^{nr}-module de Deligne de K est la donnée d’un Ĉ^{nr}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire continue de G_{K} triviale sur un sous-groupe ouvert de I_{K} ; ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ; iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

(2) Un C^{nr}-module de Deligne de K est la donnée d’un C^{nr}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire discrète de G_{K}, i.e. telle que le stabilisateur de tout élément de V soit ouvert dans G_{K} ;

ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ;

iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

(3) Soit L une extension finie galoisienne de K. Un C_{L}-module de Deligne de K est la donnée d’un C_{L}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire de Gal(L/K) ;

ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ;

iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

Dans chacun de ces cas, on appelle N (resp. φ) l’opérateur de monodromie (resp. le Frobenius) de V.

Un morphisme de modules de Deligne de K est une application linéaire équivariante qui commute aux Frobenius et aux opérateurs de monodromie. On note Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) la catégorie des C_{L}- modules de Deligne de K, Del_{C^{nr}}(G_{K}) la catégorie des C^{nr}-modules de Deligne de K, et de même pour Ĉ^{nr}. On vérifie aisément que ces catégories sont abéliennes et Λ-linéaires.

Remarque 3.1.4. Fontaine a introduit les modules de Deligne pour un corps local K d’inégale caractéristique [Fon94b, §1]. Il appelle (φ, N, G_{K})-modules les C^{nr}-modules de Deligne de K et p-modules de Deligne les Ĉ^{nr}-modules de Deligne de K. On uniformise ici la nomenclature en raison du rôle similaire que ces objets joueront dans la suite.

Exemple 3.1.5. On note C^{nr}(1) le C^{nr}-module de Deligne (C^{nr}, π^{−eh}σ_{C}, 0) de K. Pour tout C^{nr}- module de Deligne (V, φ, N) et tout entier n, on note V (n) le C^{nr}-module de Deligne (V, π^{−neh}φ, N). De même pour les Ĉ^{nr}-modules (resp. C_{L}-modules) de Deligne de K.

3.1.6 Soient L une extension galoisienne finie de K, C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr}. L’extension des scalaires V ↦ V ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} induit un foncteur

− ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} : Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ DelC̃^{nr}(G_{K})

définit comme suit : soit (V, φ_{V} , N_{V}) ∈ Del_{C_{L}}(Gal(L/K)), on muni W = V ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} de l’opérateur de monodromie N_{W} = N_{V} ⊗Id, du Frobenius φ_{W} = φ_{V} ⊗_{σ_{C}} σ_{C} et de l’action semi-linéaire diagonale de G_{K}. On vérifie facilement que (W, φ_{W} , N_{W}) est un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Comme (C̃^{nr})^{G_{L}} = C_{L}, ce foncteur est pleinement fidèle.

De façon analogue, l’extension des scalaires de C^{nr} à Ĉ^{nr} induit un foncteur de complétion [Fon94b, 1.2.1]

\underline{Co}: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ DelĈ^{nr}(G_{K}).

Proposition 3.1.7 [Fon94b, Prop 1.2.2]. (1) Soient C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr}, V un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Il existe une extension galoisienne finie L/K et un C_{L}-module de Deligne W de K, tel que W ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} ≅ V. On dit que V est trivialisé par L et que W est une descente de V à L.

(2) Le foncteur \underline{Co} est une équivalence de catégories. Un quasi-inverse est donné par

\underline{Déco}: DelĈ^{nr}(G_{K}) ⟶ Del_{C^{nr}}(G_{K}),

où, pour tout Ĉ^{nr}-module de Deligne V, \underline{Déco}(V) est le sous-ensemble de V formé des éléments de stabilisateur ouvert.

Dém. La démonstration est la même qu’en inégales caractéristiques. Il suffit de calquer la preuve de [Fon94b, Prop 1.2.2].

3.1.8 Soient C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr} et V un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Par hypothèse, l’action de I_{K} sur V est linéaire et se factorise par un quotient fini. On peut donc définir son conducteur et ses pentes de Swan, cf. [Kat88, 1.2–1.6] ; ces définitions ne dépendent pas du quotient choisi. On appelle ces invariants le conducteur et les pentes de Swan de V ; on note le premier sw(V).

3.2 (φ, ∇)-modules 3.2.1 Pour tout nombre rationnel 0 ⩽ ρ < 1, on pose

A([ρ, 1[) = {∑_{n∈ℤ}a_{n}T^{n} | ∀n ∈ ℤ, a_{n} ∈ C, ∀ρ′ ∈ [ρ, 1[, lim_{n→±∞} ∥a_{n}∥ρ′^{n} = 0}

l’anneau des séries convergentes sur la couronne [ρ, 1[ à coefficients dans C. C’est une C-algèbre topologique qui est un espace de Fréchet pour la topologie donnée par la famille des normes ∥∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n}∥_{ρ′} = sup_{n∈ℤ} ∥a_{n}∥ρ^{′n}, pour ρ ⩽ ρ′ < 1. On l’appelle anneau des fonctions analytiques sur la couronne [ρ, 1[. On appelle anneau de Robba, et on note R, la réunion des A([ρ, 1[) pour ρ dans un voisinage (à gauche) de 1. C’est une C-algèbre topologique pour la topologie limite inductive.

On pose

E^{†} = {∑_{n∈ℤ}a_{n}T^{n} ∈ R| ∃b ∈ ℝ t.q ∀n ∈ ℤ, ∥a_{n}∥ < b} .

C’est un corps dit corps des fonctions surconvergentes bornées. Il est muni de la valuation discrète donnée par v_{1}(∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n}) = min_{n∈ℤ} v_{C}(a_{n}). On note ∥·∥_{1} = p^{−hv_{1}(·)} la norme associée à v_{1}, dite norme de Gauss. L’anneau des entiers O_{E^{†}} de E^{†} est hensélien. Son corps résiduel est canoniquement isomorphe à k((T)), donc à K par l’isomorphisme K ≅ k((T)) fixé dans (3.0.1). L’anneau O_{E^{†}} est une O_{C}⟦T ⟧[T^{−1}]-algèbre et s’identifie à un sous-anneau du complété de O_{C}⟦T ⟧[T^{−1}] pour la topologie (𝔪_{C})-adique.

On appelle Frobenius d’ordre h de E^{†} un relèvement σ_{C}-linéaire et continu à O_{E^{†}} du Frobenius σ^{h}: x ↦ x^{p^{h}} de K. Un tel homomorphisme se prolonge évidemment de façon unique à E^{†}. Tout Frobenius de E^{†} se prolonge de façon unique en un endomorphisme continu de R, cf. [Mat02, 2.2] ; on l’appelle Frobenius de R. Dans la suite, on fixe un Frobenius σ_{E^{†}} d’ordre h de E^{†}; on notera σ_{R} son prolongement à R.

Pour A un des anneaux R ou E^{†}, on note Ω̂_{A/C}^{1} le A-module des différentielles continues de A sur C, d: A → Ω̂_{A/C}^{1} la dérivation canonique. Par construction C s’identifie au corps des constantes Ker(d) de A. Par universalité, il existe un morphisme σ_{A}-linéaire, noté encore σ_{A}: Ω̂_{A/C}^{1} → Ω̂_{A/C}^{1} qui rend commutatif le diagramme

\xymatrix{A \ar[r]^{d} \ar[d]_{σ_{A}} & Ω̂_{A/C}^{1} \ar[d]^{σ_{A}} \\ A \ar[r]^{d} & Ω̂_{A/C}^{1}}

Par la définition de Frobenius, la série σ_{R}(T)/T^{p^{h}} appartient à 1 + 𝔪_{C}O_{E^{†}}. Donc la série log(σ_{R}(T)/T^{p^{h}}) appartient à O_{E^{†}}. Soit R[X] l’anneau des polynômes en une variable à coefficients dans R. On prolonge σ_{R} et d: R → Ω̂_{R/C}^{1} en un homomorphisme d’anneaux σ_{R}: R[X] → R[X] et une C-dérivation d: R[X] → R[X] ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}, en posant

σ_{R}(X) = p^{h}X + log \frac{σ_{R}(T)}{T^{p^{h}}},
dX = \frac{dT}{T} .

Dans la suite, on désignera par log T la variable X. On appelle monodromie de R[log T], et on note N: R[log T] → R[log T], la R-dérivation qui envoie log T en 1. On a Nσ_{R} = p^{h}σ_{R}N. On définit, de façon analogue, un anneau E^{†}[log T] muni d’un Frobenius, d’un opérateur de monodromie, et une dérivation d: E^{†}[log T] → E^{†}[log T] ⊗_{E^{†}} Ω̂_{E^{†}/C}^{1}.

3.2.2 Soit L une extension finie séparable de K. Comme O_{E^{†}} est hensélien de corps résiduel K, il existe une extension finie, séparable et non-ramifiée E^{†}(L) de E^{†} de corps résiduel L; elle est unique à isomorphisme unique près. L’injection canonique k_{L} ↪ L détermine un homomorphisme W(k_{L}) ↪ E^{†}(L) qui rend commutatif le diagramme

\xymatrix{W(k_{L}) \ar@{^{(}->}[r] & E^{†}(L) \\ W(k) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[u] & E^{†} \ar@{^{(}->}[u]}

On obtient donc une injection C_{L} ↪ E^{†}(L) fonctorielle en L, qui prolonge celle de C dans E^{†}.

On pose R(L) = R ⊗_{E^{†}} E^{†}(L) ; c’est une extension étale finie de R, donc Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} = R(L) ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}. Comme E^{†} est hensélien, les Frobenius σ_{E^{†}} et σ_{R} s’étendent de façon unique à E^{†}(L) et R(L) respectivement, cf. [Mat02, 2.2].

On pose E^{†}^{nr} = \underrightarrow{lim} E^{†}(L), où la limite est prise sur les extensions finies séparables de K. Suivant les notations de [Cr04], on pose

B_{0} = \underrightarrow{lim}_{L/K} R(L) et B = B_{0}[log T]

où la limite est prise sur les extensions finies séparables de K. On appelle B l’anneau des hyperfonctions. Par construction, les anneaux E^{†}^{nr}, B_{0} et B sont des C^{nr}-algèbres. On a Ω̂_{B_{0}/C^{nr}}^{1} = \underrightarrow{lim}_{L/K} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} = B_{0}dT, et de même pour E^{†}^{nr}. On définit une C^{nr}-dérivation d: B → B ⊗_{B_{0}} Ω̂_{B_{0}/C^{nr}}^{1}

en posant d log T = \frac{dT}{T}.

Définition 3.2.3. Un (φ, ∇)-module sur R est la donnée d’un triplet (M, ∇, φ) où : i) M est un R-module libre de rang fini ; ii) ∇: M → M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} est une connexion ; iii) φ: M → M est un Frobenius horizontal, c’est-à-dire une application σ_{R}-linéaire telle que

φ(M) engendre M sur R et telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{φ} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} \ar[d]^{φ⊗σ_{R}} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}}

On note ΦM(R) la catégorie des (φ, ∇)-modules sur R, les morphismes étant les applications linéaires horizontales commutant aux Frobenius. On notera abusivement M au lieu de (M, ∇, φ).

3.2.4 On définit de même qu’en (3.2.3), les notions de (φ, ∇)-module sur E^{†}, ou sur E^{†}(L), ou sur R(L) (pour une extension séparable finie L de K), ou sur B_{0} (3.2.2). On notera respectivement ΦM(E^{†}), ΦM(E^{†}(L)), ΦM(R(L)) et ΦM(B_{0}) les catégories des (φ, ∇)-modules sur ces anneaux.

On appelle aussi ΦM(E^{†}) (resp. ΦM(R) ) la catégorie des F -isocristaux surconvergents (resp. analytiques) sur Spec(K)|C.

Définition 3.2.5. Un (φ, ∇, N)-module sur R[log T] est la donnée du quadruplet (M, ∇, φ, N_{M}) où :

i) M est un R[log T]-module libre de rang fini ;

ii) ∇: M → M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} est une connexion ;

iii) φ: M → M est un Frobenius horizontal, c’est-à-dire une application σ_{R}-linéaire telle que φ(M) engendre M sur R[log T] et telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{φ} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} \ar[d]^{φ⊗σ_{R}} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}}

iv) N_{M}: M → M est une N-dérivation de M (i.e. une application additive telle que, pour tout m ∈ M, α ∈ R[log T], on a N_{M}(αm) = N(α)m + αN_{M}(m) ), qui soit horizontale et telle que

N_{M} ∘ φ = p^{h}φ ∘ N_{M}.

On appelle N_{M} l’opérateur de monodromie de M. On note ΦM(R[log T]) la catégorie des (φ, ∇, N)-modules sur R[log T], les morphismes étant les applications linéaires horizontales commutant aux Frobenius et aux opérateurs de monodromie. On notera abusivement M au lieu de (M, ∇, φ, N_{M}).

3.2.6 On définit de même qu’en (3.2.5), les notions de (φ, ∇, N)-modules sur E^{†}[log T], ou sur E^{†}(L)[log T], ou sur R(L)[log T] (pour une extension séparable finie L de K), ou sur B (3.2.2). On notera respectivement ΦM(E^{†}[log T]), ΦM(E^{†}(L)[log T]), ΦM(R(L)[log T]) et ΦM(B) les catégories des (φ, ∇, N)-modules sur ces anneaux.

3.2.7 On donne dans ce numéro une variante équivariante de la définition (3.2.6), qui sera cruciale pour la classification des (φ, ∇)-modules sur R. Soient L/K une extension galoisienne finie, (M, φ, ∇, N_{M}) un (φ, ∇, N)-module sur R(L)[log T]. Une donnée de descente sur M est la donnée d’une action semi-linéaire ρ de Gal(L/K) sur M, commutant à φ et à N_{M} et qui soit horizontale au sens semi-linéaire, c’est-à-dire que pour tout γ dans Gal(L/K), le diagramme suivant commute

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{ρ(γ)} & M ⊗_{R(L)} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} \ar[d]^{ρ(γ)⊗γ} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(L)} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1}}

où γ: Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} → Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} est l’application γ-linéaire induite par universalité de l’action de γ sur R(L). On note ΦM(R(L)[log T])_{ds} la catégorie des (φ, ∇, N)-modules sur R(L)[log T] muni d’une donnée de descente, les morphismes étant les morphismes de (φ, ∇, N)-modules qui sont équivariants par rapport aux données de descente. De même, on définit, mutatis mutandis, les catégories ΦM(E^{†}(L)[log T])_{ds} et ΦM(B)_{ds}.

3.2.8 On résume dans le tableau suivant les anneaux introduits avec leurs opérateur de monodromie et leurs corps des constantes :

Anneau  N Ker d
R ou E^{†}  0  C
R(L) ou E^{†}(L)  0  C_{L}
R[log T] ou E^{†}[log T]  N ≠ 0 C
R(L)[log T] ou E^{†}(L)[log T] N ≠ 0 C_{L}
B_{0} 0 C^{nr}
B  N ≠ 0 C^{nr}

3.2.9 Soit M un (φ, ∇)-module sur R. On note M^{∇} le C-espace vectoriel Ker ∇ des sections horizontales de M. On montre facilement que la dimension sur C de M^{∇} est inférieure ou égale au rang de M et cet espace hérite de M d’une structure de φ-module sur C, cf. (3.1.1). Ceci définit un foncteur additif et exact à gauche

(−)^{∇}: ΦM(R) ⟶ ΦM(C)  (3.2.9.1)
(M, ∇, φ) ⟼ (M^{∇}, φ)

De même, on a

(−)^{∇}: ΦM(R(L)) ⟶ ΦM(C_{L})  (3.2.9.2)
(−)^{∇}: ΦM(B_{0}) ⟶ ΦM(C^{nr})  (3.2.9.3)

3.2.10 Soit M un (φ, ∇, N)-module sur R[log T]. De façon analogue à (3.2.9), le C-espace vectoriel M^{∇} des sections horizontales de M hérite d’une structure de (φ, N)-module. On en déduit un foncteur additif, exact à gauche,

(−)^{∇}: ΦM(R[log T]) ⟶ ΦM_{log}(C)  (3.2.10.1)

On montre que pour tout (φ, ∇, N)-module M sur R[log T], la dimension de M^{∇} sur C est inférieure ou égale au rang de M sur R[log T].

De même, on a

(−)^{∇}: ΦM(R(L)[log T]) ⟶ ΦM_{log}(C_{L})  (3.2.10.2)
(−)^{∇}: ΦM(B) ⟶ ΦM_{log}(C^{nr})  (3.2.10.3)

3.2.11 Un (φ, ∇)-module sur R est dit R-soluble s’il admet une base de sections horizontales. Pour un tel module M, l’inclusion de M^{∇} dans M induit par linéarisation un isomorphisme de (φ, ∇)-modules

M^{∇} ⊗_{C} R ⟶ M;  (3.2.11.1)

en particulier, on a dim_{C} M^{∇} = rg M. On note ΦM(R)^{sol} la sous-catégorie pleine de ΦM(R) des modules R-solubles. La restriction du foncteur (3.2.9.1) des sections horizontales à ΦM(R)^{sol} est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est :

− ⊗_{C} R: ΦM(C) ⟶ ΦM(R)^{sol}  (3.2.11.2)
(M, φ) ⟼ (M ⊗_{C} R, Id_{M} ⊗ d, φ ⊗_{σ_{C}} σ_{R})

Exemple 3.2.12. On note R(1) le (φ, ∇)-module R-soluble (R, π^{−eh}σ_{R}, d_{R}). Pour tout (φ, ∇)- module (M, φ, ∇) et tout entier n, on note M(n) le (φ, ∇)-module (M, π^{−neh}φ, ∇).

3.2.13 On dit qu’un (φ, ∇)-module M sur R est unipotent si M est une extension itérée de (φ, ∇)-modules R-solubles. On dit qu’un (φ, ∇)-module M sur R est quasi-unipotent s’il existe une extension galoisienne finie L/K telle que M ⊗_{R}R(L) soit unipotent comme (φ, ∇)-module sur R(L). On vérifie que :

(1) M est unipotent si et seulement si rg(M) = dim_{C} (M ⊗_{R} R[log T])^{∇}.

(2) M est quasi-unipotent si et seulement si rg(M) = dim_{C^{nr}} (M ⊗_{R} B)^{∇}.

Théorème 3.2.14 (Monodromie p-adique [And02],[Ked04],[Meb02]). Tout (φ, ∇)-module sur R est quasi-unipotent.

3.2.15 Soit L/K une extension galoisienne finie. Le foncteur des sections horizontales (3.2.10.2) induit un foncteur :

(−)^{∇}: ΦM(R(L)[log T])_{ds} ⟶ Del_{C_{L}}(Gal(L/K))  (3.2.15.1)
(M, φ, ∇, N_{M}; ρ) ⟼ (M^{∇}, φ, N_{M}_{|M^{∇}}; ρ_{|M^{∇}})

De même, (3.2.10.3) induit un foncteur :

(−)^{∇}: ΦM(B)_{ds} ⟶ Del_{C^{nr}}(G_{K})  (3.2.15.2)

3.2.16 On a un foncteur d’extension des scalaires :

− ⊗_{R} B: ΦM(R) ⟶ ΦM(B)_{ds}  (3.2.16.1)

qui envoie (M, ∇, φ) sur le quintuplet

(M ⊗_{R} B, φ ⊗_{σ_{R}} σ_{B}, ∇ ⊗ Id + Id ⊗ d, Id_{M} ⊗ N; Id_{M} ⊗ ρ).

Soit (M, ∇, φ, N_{M}; ρ) ∈ ΦM(B)_{ds}. D’après la définition de B, on a (Ker N)^{G_{K}} = R et donc (Ker N_{M})^{G_{K}} est un R-module. Il hérite de M d’une connexion et d’un Frobenius. S’il est projectif et de type fini sur R, il est libre et appartient donc à ΦM(R). Dans ce cas, on pose

Des_{B/R}(M) = ((Ker N_{M})^{G_{K}}, ∇, φ)  (3.2.16.2)

De la même façon, pour toute extension galoisienne finie L de K, on a

− ⊗_{R} R(L): ΦM(R) ⟶ ΦM(R(L)[log T])_{ds}  (3.2.16.3)

qui envoie (M, ∇, φ) sur le quintuplet

(M ⊗_{R} R(L)[log T], φ ⊗_{σ_{R}} σ_{R}, ∇ ⊗ Id + Id ⊗ d, Id_{M} ⊗ N; Id_{M} ⊗ ρ)

Soit (M, ∇, φ, N_{M}; ρ) ∈ ΦM(R(L)[log T])_{ds}. Si le R-module (Ker N_{M})^{Gal(L/K)} est projectif de type fini, on pose

Des_{R(L)[log T]/R}(M) = ((Ker N_{M})^{Gal(L/K)}, ∇, φ) ∈ ΦM(R)  (3.2.16.4)

Lemme 3.2.17. (1) Les foncteurs (3.2.16.1) et (3.2.16.3) sont pleinement fidèles.

(2) Pour tout M ∈ ΦM(R), le (φ, ∇)-module Des_{B/R}(M ⊗_{R} B) est défini et canoniquement isomorphe à M.

(3) Pour tout extension finie et séparable L de K et tout objet M de ΦM(R), on a Des_{R(L)[log T]/R}(M ⊗_{R} R(L)[log T]) ≅ M.

Dém. Il est évident que ces foncteurs sont fidèles. Soient M un (φ, ∇)-module sur R, et M̃ = M ⊗_{R} B l’image de M par (3.2.16.1). Il est clair que Des_{B/R}(M ⊗_{R} B) est défini et canoniquement isomorphe à M. Comme les morphismes dans ΦM(B)_{ds} sont compatibles à la monodromie et aux données de descente, le foncteur (3.2.16.1) est plein. Idem pour (3.2.16.3) et Des_{R(L)[log T]/R}(M ⊗_{R} R(L)[log T]).

3.2.18 On note S le foncteur composé :

S: ΦM(R) ⟶^{(3.2.16.1)} ΦM(B)_{ds} ⟶^{(3.2.15.2)} Del_{C^{nr}}(G_{K})  (3.2.18.1)

Il résulte du théorème de monodromie p-adique (3.2.14) que pour tout M ∈ ΦM(R), la dimension de S(M) est égale au rang de M.

Pour une extension galoisienne finie L de K, on note ΦM(R)_{L} la sous-catégorie pleine de ΦM(R) des modules qui sont unipotents sur R(L). On note S_{L} le foncteur composé :

S_{L}: ΦM(R)_{L} ⟶^{(3.2.16.3)} ΦM(R(L)[log T])_{ds} ⟶^{(3.2.15.1)} Del_{C_{L}}(Gal(L/K))  (3.2.18.2)

Par construction, pour tout M ∈ ΦM(R)_{L}, la dimension de S_{L}(M) est égale au rang de M. Soit M ∈ ΦM(R). L’inclusion S_{L}(M) ⊂ S(M) induit par linéarisation un monomorphisme de C^{nr}- modules de Deligne

S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} C^{nr} ⟶ S(M)

qui est un isomorphisme puisque les deux membres ont même dimension. Par suite S_{L}(M) est une descente de S(M) à L, cf. (3.1.7). On a donc un diagramme de foncteurs commutatif (à isomorphisme près)

\xymatrix{ΦM(R) \ar[r]^{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \\ ΦM(R)_{L} \ar[r]^{S_{L}} \ar@{^{(}->}[u] & Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) \ar[u]_{−⊗_{C_{L}}C^{nr}}}  (3.2.18.3)

On appelle usuellement S(M) l’espace des cycles proches de M. On se propose dans la suite de montrer que S et S_{L} sont des équivalences de catégories et de construire des quasi-inverses.

3.2.19 Soit L/K une extension galoisienne finie. On définit d’abord les foncteurs

M̃: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ ΦM(E^{†}),
M̃_{L}: Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ ΦM(E^{†}),

par

V ⟼ M̃(V) = \{x ∈ V ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} ,
W ⟼ M̃_{L}(W) = \{x ∈ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L/K), g(x) = x \\ (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

On vérifie facilement que pour tout C_{L}-module de Deligne W de K, on a M̃(W ⊗_{C_{L}} C^{nr}) ≅ M̃_{L}(W).

Lemme 3.2.20. Soient L/K une extension galoisienne finie et (W, N_{W} , φ_{W}) un C_{L}-module de Deligne de K.

(1) On a rg M̃_{L}(W) = dim_{C_{L}} W ; donc M̃_{L} est un foncteur exact.

(2) L’inclusion M̃_{L}(W) ⊂ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T], induit par linéarisation un morphisme

i: M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} E^{†}(L)[log T] ⟶ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T]  (3.2.20.1)

de ΦM(E^{†}(L)[log T])_{ds}, qui est en fait un isomorphisme. En particulier, M̃_{L}(W) est unipotent sur E^{†}(L).

Dém. Pour alléger les notations, on pose G = Gal(L/K) et U = W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L). Montrons (1). D’abord on définit un isomorphisme de E^{†}-espaces vectoriels f: (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} → M̃_{L}(W), en posant f(∑_{l} v_{l} ⊗ α_{l}) = ∑_{l} ∑_{i=0}^{r−1} (−1)^{i}N_{W}^{i} (v_{l}) ⊗ α_{l} \frac{(log T)^{i}}{i!} , où r est un entier tel que N_{W}^{r} = 0. L’application inverse g: M̃_{L}(W) → (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} est induite par la projection E^{†}(L)[log T] → E^{†}(L) qui envoie log T sur 0. Par construction, on a gf = Id. Il suffit donc de montrer que g est injective. Soit x = ∑_{l} v_{l} ⊗ (∑_{i=0}^{d} α_{i,l}(log T)^{i}). Supposons que g(x) = ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0. La relation (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 équivaut à

∑_{l} N_{W} (v_{l}) ⊗ α_{i,l} = − ∑_{l} v_{l} ⊗ (i + 1)α_{i+1,l} ∀i = 0, …, d.  (3.2.20.2)

Comme ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0, en appliquant N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N, on obtient ∑_{l} N_{W} (v_{l}) ⊗ α_{0,l} = 0. D’où ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{1,l} = 0, par (3.2.20.2). On en déduit par récurrence que x = 0.

Pour terminer la preuve de (1), il suffit de montrer que dim_{E^{†}} (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} = dim_{C_{L}} W. On pose n = dim_{C_{L}} W. Comme Gal(E^{†}(L)/E^{†}) = G, l’ensemble pointé de cohomologie noncommutative H^{1}(G, GL_{n}(E^{†}(L))) est trivial [Ser68a, Ch.X Prop.3] ; donc dim_{E^{†}} (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} = dim_{E^{†}(L)}(W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)) = n.

Montrons (2). Posons B = E^{†}(L)[log T]. Comme B est un anneau de polynômes à coefficients dans un corps, en tensorisant (3.2.20.1) par Fr B au dessus de B, on obtient un diagramme commutatif

\xymatrix{M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} B \ar[r]^{i} \ar@{^{(}->}[d] & W ⊗_{C_{L}} B \ar@{^{(}->}[d] \\ M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} Fr B \ar[r]^{i⊗_{B}Id} & W ⊗_{C_{L}} Fr B}

On va montrer que i ⊗_{B} Id est injective ; donc par (1) que c’est un isomorphisme. Par conséquent i est injective et son conoyau est un B-module de torsion qu’on note Q. Comme i est horizontal, le module Q est muni d’une connexion ; on montre facilement que ceci force Q a être nul. Montrons l’injectivité de i ⊗_{B} Id. Soit x = ∑_{i}^{m} v_{i} ⊗ a_{i} un élément non-nul du noyau de i ⊗_{B} Id, de longueur minimale m. On peut supposer a_{m} = 1. L’élément |G|x − ∑_{g∈G} g(x) appartient au noyau de i ⊗_{B} Id et a pour longueur m − 1, ce qui mène à un contradiction.

3.2.21 Soit L/K une extension galoisienne finie. On définit des foncteurs :

M: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ ΦM(R),
M_{L}: Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ ΦM(R),

par

V ⟼ M(V) = \{x ∈ V ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \}
W ⟼ M_{L}(W) = \{x ∈ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L/K), g(x) = x \\ (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

On vérifie facilement que pour tout C_{L}-module de Deligne W de K, on a M(W ⊗_{C_{L}} C^{nr}) ≅ M_{L}(W).

Lemme 3.2.22. Soit W ∈ Del_{C_{L}}(Gal(L/K)).

(1) L’inclusion M̃_{L}(W) ⊂ M_{L}(W) induit par linéarisation un isomorphisme canonique de ΦM(R)

M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} R ⟶^{∼} M_{L}(W).

(2) On a rg M_{L}(W) = dim_{C_{L}} W, donc M_{L} est un foncteur exact.

(3) L’inclusion M_{L}(W) ⊂ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T], induit par linéarisation un morphisme

M_{L}(W) ⊗_{R} R(L)[log T] ⟶ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T]  (3.2.22.1)

de ΦM(R(L)[log T])_{ds}, qui est en fait un isomorphisme. En particulier, M_{L}(W) est unipotent sur R(L), ou de façon équivalente, M_{L} se factorise par ΦM(R)_{L}.

Dém. Montrons d’abord (1). On pose G = Gal(L/K). Comme M̃_{L} est exact, on peut supposer W simple, donc N_{W} = 0, M̃_{L}(W) = (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} et M_{L}(W) = (W ⊗_{C_{L}} R(L))^{G}. On doit montrer que

(W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} ⊗_{E^{†}} R = (W ⊗_{C_{L}} R(L))^{G}

On pose U = W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L). Comme R(L) = E^{†}(L) ⊗_{E^{†}} R, il suffit de montrer que U^{G} ⊗_{E^{†}} R = (U ⊗_{E^{†}} R)^{G}. On a la suite exacte

0 ⟶ U^{G} ⊗_{E^{†}} R ⟶ (U ⊗_{E^{†}} R)^{G} ⟶ (U/U^{G} ⊗_{E^{†}} R)^{G}.

Donc on peut supposer U^{G} = 0 ; il suffit de montrer que (U ⊗_{E^{†}} R)^{G} = 0. Soient v_{1}, …, v_{n} une base de U sur E^{†} et v = ∑_{i=1}^{n} v_{i} ⊗ a_{i} ∈ (U ⊗_{E^{†}} R)^{G}. Pour tout g ∈ G, on a ∑_{i=1}^{n}(v_{i} − g(v_{i})) ⊗ a_{i} = 0. En prenant la somme sur g ∈ G, on a

0 = ∑_{g∈G} ( ∑_{i=1}^{n}(v_{i} − g(v_{i})) ⊗ a_{i}) = ∑_{i=1}^{n}(|G|v_{i} − ∑_{g∈G} g(v_{i})) ⊗ a_{i}.

Pour tout i, on a ∑_{g∈G} g(v_{i}) ∈ U^{G} = 0, d’où v = 0.

Les assertions (2) et (3) sont des conséquences immédiates de (1) et (3.2.20).

Théorème 3.2.23. Les foncteurs S et M (resp. S_{L} et M_{L}) sont des équivalences des catégories quasiinverses l’une de l’autre. De plus, on a un diagramme commutatif de foncteurs (à isomorphisme près)

\xymatrix{ΦM(R) \ar[r]_{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[l]_{M} \\ ΦM(R)_{L} \ar[r]_{S_{L}} \ar@{^{(}->}[u] & Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) \ar[u]_{−⊗_{C_{L}}C^{nr}} \ar[l]_{M_{L}}}  (3.2.23.1)

Dém. La commutation du diagramme a déjà été montrée. Il suffit de montrer l’assertion pour S_{L} et M_{L}, car tout (φ, ∇)-module sur R est quasi-unipotent (3.2.14), tout C^{nr}-module de Deligne admet une descente (3.1.7)-(1), et le foncteur d’extension des scalaires − ⊗_{C_{L}} C^{nr} est pleinement fidèle (3.1.6). Posons B = R(L)[log T]. Soit M un objet de ΦM(R)_{L}. L’inclusion S_{L}(M) ⊂ M ⊗_{R} B induit par linéarisation un morphisme de ΦM(B)_{ds}

S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} B ⟶ M ⊗_{R} B  (3.2.23.2)

qui est un isomorphisme par (3.2.11.1), car M unipotent sur R(L) par hypothèse. En composant les isomorphismes (3.2.22.1) et (3.2.23.2) on obtient

M_{L}(S_{L}(M)) ⊗_{R} B ⟶^{∼} S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} B ⟶^{∼} M ⊗_{R} B.

En appliquant la descente Des_{B/R} on obtient un isomorphisme M_{L} ∘ S_{L} ⟶^{∼} Id, cf. (3.2.17). Soit W un C_{L}-module de Deligne de K, en composant les isomorphismes (3.2.23.2) et (3.2.22.1) on obtient

S_{L}(M_{L}(W)) ⊗_{C_{L}} B ⟶^{∼} M_{L}(W) ⊗_{R} B ⟶^{∼} W ⊗_{C_{L}} B.

En prenant les sections horizontales on obtient un isomorphisme S_{L} ∘ M_{L} ⟶^{∼} Id.

Remarque 3.2.24. On note ΦM(B)_{eff}^{sol} la sous-catégorie pleine de ΦM(B)_{ds} des objets B-solubles et effectifs, i.e. les modules M admettant une base de sections horizontales et tels que Des_{B/R}(M) soit défini et de rang égal au rang de M. Il est utile de résumer la classification du théorème précédent par le diagramme de foncteurs commutatif (à isomorphisme près)

\xymatrix{ & ΦM(B)_{eff}^{sol} \ar[dl]_{_{Des_{B/R}}} \ar[dr]_{_{(−)_{∇}}} \\ ΦM(R) \ar[rr]^{S} \ar[ur]_{−⊗_{R}B} &  & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[ll]^{M} \ar[ul]_{−⊗_{C^{nr}}B}}

où les trois couples des foncteurs opposés sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

3.2.25 Analytification. On ne dispose pas en général de théorèmes de classification pour les (φ, ∇)-modules sur E^{†} analogues à (3.2.14) et (3.2.23). Toutefois, on peut considérer le foncteur d’extension des scalaires − ⊗_{E^{†}} R: ΦM(E^{†}) → ΦM(R), et attacher des C^{nr}-modules de Deligne de K aux (φ, ∇)-modules sur E^{†}. Suivant [Cr04, 4.1], on appelle le foncteur − ⊗_{E^{†}} R foncteur d’analytification. C’est un foncteur essentiellement surjectif, cf. (3.2.27) et [Tsu98c, 4.2.1]. Il est clair que ce foncteur est fidèle, mais il n’est pas plein en général, comme le montre l’exemple ci-dessus.

Exemple 3.2.26. Les groupes Ext_{ΦM(E^{†})}^{1}(E^{†}(1), E^{†}) et Ext_{ΦM(R)}^{1}(R(1), R) ne sont pas isomorphes. Soit R un des deux anneaux E^{†} ou R. Considérons d’abord des modules à connexion sur R, sans donnée de Frobenius. Crew observe [Cr04, pg. 28] que l’ensemble des extensions Ext_{∇}^{1}(R, R) du module à connexion trivial R de rang 1 par lui-même, est égal à H_{dR}^{1}(R) := Coker(R →^{d} Ω̂_{R/C}^{1}). Or dim_{C} H_{dR}^{1}(R) = 1 et dim_{C} H_{dR}^{1}(E^{†}) = +∞. Ceci montre en particulier que l’extension des scalaires − ⊗_{E^{†}} R n’est pas pleinement fidèle entre les catégories des modules à connexion. Pour conclure on construit l’exemple suivant. Supposons pour simplifier que σ(T) = T^{p} et π = p. Soit M un E^{†}-espace vectoriel de base e_{1}, e_{2}. On le muni de la connexion ∇(e_{1}) = 0, ∇(e_{2}) = ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}}e_{1} ⊗ \frac{dT}{T} et du Frobenius φ(e_{1}) = p^{−1}e_{1}, φ(e_{2}) = −T e_{1} + e_{2}. On vérifie facilement que M est un (φ, ∇)-module sur E^{†}, extension de E^{†}(1) par E^{†}. Comme la différentielle ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}} ⊗ \frac{dT}{T} n’est pas intégrable dans E^{†}, M n’est pas une extension triviale de E^{†}(1) par E^{†} en tant que module à connexion et à fortiori en tant que (φ, ∇)-module. Par contre, comme ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}} ⊗ \frac{dT}{T} est intégrable dans R, l’analytification M ⊗_{E^{†}} R de M est R-soluble. Donc S(M ⊗_{E^{†}} R) = (M ⊗_{E^{†}} R)^{∇} ⊗_{C} C^{nr} muni de la monodromie triviale, de l’action semi-linéaire triviale de G_{K} et du Frobenius induit par le Frobenius de M. Par construction les pentes du Frobenius sont 0 et 1, donc par Dieudonné-Manin on a

\underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = Ĉ^{nr}(1) ⊕ Ĉ^{nr}

en tant que φ-modules sur Ĉ^{nr}, mais aussi comme Ĉ^{nr}-modules de Deligne de K, car la monodromie et l’action de G_{K} sont triviales. Comme \underline{Co} et S sont des équivalences, on conclut que M ⊗_{E^{†}} R est une extension triviale de R(1) par R dans ΦM(R).

Corollaire 3.2.27. On a un triangle commutatif (à isomorphismes près) de foncteurs

\xymatrix{ΦM(R) & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[l]^{M}_{∼} \ar[dl]^{M̃} \\ ΦM(E^{†}) \ar[u]^{−⊗_{E^{†}}R}}

Par conséquent, le foncteur d’extension des scalaires −⊗_{E^{†}} R est essentiellement surjectif. Le foncteur M̃ est pleinement fidèle, mais il n’est pas essentiellement surjectif.

Dém. Soient V un C^{nr}-module de Deligne de K, L/K une extension galoisienne finie trivialisant V et W une descente de V à L (cf. 3.1.7). On a M̃(V) = M̃_{L}(W) et M(V) = M_{L}(W), cf. (3.2.19). Donc le diagramme commute par le lemme 3.2.20-(2). Le foncteur M̃ est pleinement fidèle car M est une équivalence et − ⊗_{E^{†}} R est fidèle. Il n’est pas essentiellement surjectif car sinon − ⊗_{E^{†}} R serait une équivalence.

3.3 (φ, ∇)-modules unités

3.3.1 On dit que un (φ, ∇)-module M sur E^{†} est unité si le φ-module sous-jacent est unité, i.e. s’il existe un sous-O_{E^{†}}-module M′ libre de M, stable par φ, tel que [Mat02, 5.2] :

(1) M ≅ E^{†} ⊗_{O_{E^{†}}} M′;

(2) Id ⊗ φ: O_{E^{†}} ⊗_{σ_{E^{†}}} M′ ⟶^{∼} M′.

Un (φ, ∇)-module M sur R est dit unité s’il existe un (φ, ∇)-module unité M̃ sur E^{†} tel que M ≅ M̃ ⊗_{E^{†}} R.

On dit qu’un module de Deligne est unité si le φ-module sous-jacent est un φ-module unité. On note ΦM(E^{†})^{u} (resp. ΦM(R)^{u}) la sous-catégorie pleine de ΦM(E^{†}) (resp. ΦM(R) ) dont les

objets sont unités. De même, l’exposant ^{u} pour une catégorie de modules de Deligne désignera la sous-catégorie pleine dont les objets sont unités.

3.3.2 On rappelle qu’on a noté Λ le sous-corps de C des éléments fixés par σ_{C}, cf. (3.0.2). On note Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) la catégorie de Λ-représentations de G_{K} à monodromie géométrique finie, i.e. telle que la restriction de l’action à I_{K} se factorise par un quotient fini.

Théorème 3.3.3 [Tsu98a]. Le foncteur D^{†}: Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) → ΦM(E^{†})^{u} défini par

D^{†}(V) = (V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}}

est une équivalence de catégories.

Les énoncés qui suivent, relient les théorèmes 3.3.3 et 3.2.23.

3.3.4 Soit (D, φ, N) un Ĉ^{nr}-module de Deligne unité. La relation N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N implique que N = 0. On considère le foncteur

− ⊗_{Λ} Ĉ^{nr} : Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) ⟶ DelĈ^{nr}(G_{K})^{u},  (3.3.4.1)

qui associe à une Λ-représentation V de G_{K} à monodromie géométrique finie le module de Deligne V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr} muni du Frobenius induit par le Frobenius σ_{C} de Ĉ^{nr} et de la monodromie triviale. En sens inverse, on considère le foncteur

(·)^{φ=Id} : DelĈ^{nr}(G_{K})^{u} ⟶ Rep_{Λ}^{gf}(G_{K})  (3.3.4.2)

qui associe à un Ĉ^{nr}-module de Deligne unité (D, φ, 0) de K, la représentation D^{φ=Id} de G_{K} des points fixes par φ.

Lemme 3.3.5. (1) Le foncteur (3.3.4.1) est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est (3.3.4.2).

(2) Soient V une Λ-représentation de G_{K} à monodromie géométrique finie et M = D^{†}(V) le (φ, ∇)-module unité sur E^{†} correspondant à V. On a

S(M ⊗_{E^{†}} R) = \underline{Déco}(V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}).

(3) Soit W un C^{nr}-module de Deligne unité de K. Alors

D^{†} ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id}) = (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = M̃(W).

Dém. (1) Il est évident que pour tout V dans Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}), (V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr})^{φ=Id} est canoniquement isomorphe à V. Pour vérifier l’autre égalité il suffit de montrer que pour tout Ĉ^{nr}-module de Deligne unité W de K, on a dim_{Λ} (W)^{φ=Id} = dimĈ^{nr} W. Ceci se déduit du théorème de classification de Dieudonné-Manin appliqué au φ-module W sur le corps Ĉ^{nr}. On remarque ici qu’il est nécessaire de travailler avec Ĉ^{nr} plutôt que avec C^{nr}.

(2) Il est équivalent de montrer que \underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}. Par définition, on a

\underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B)^{∇} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}

Le deuxième membre est contenu dans ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{∇}; il lui est égal car ils sont de même dimension sur Ĉ^{nr}. Comme B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} contient E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}, en utilisant le théorème de Tsuzuki [Tsu98a, 4.2.2-(1)], on a

(V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} =
= ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} (E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})) ⊗_{E^{†}^{nr}⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}} (B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})
= V ⊗_{Λ} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}.

On conclut par la relation

(V ⊗_{Λ} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{∇} = V ⊗_{Λ} C^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} = V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}.

(3) Par définition, on a

D^{†} ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id}) = ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id} ⊗_{Λ} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}.

Par (1), le deuxième membre est égale à (W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}. Soit T une descente de W à L (3.1.7). Alors (W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = (T ⊗_{C_{L}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}. Le E^{†}-espace vectoriel (T ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{Gal(L/K)} est contenu dans (T ⊗_{C_{L}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}, et comme il est de dimension maximale les deux sont égaux. On a

(T ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{Gal(L/K)} = (T ⊗_{C_{L}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = (T ⊗_{C_{L}} C^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}
= (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} ⊆ M̃(W).

Pour conclure, il suffit de noter que dim_{E^{†}} (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = dim_{E^{†}} M̃(W).

Proposition 3.3.6. Le diagramme de foncteurs

\xymatrix{ΦM(R)^{u} \ar[r]_{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K})^{u} \ar[l]_{M} \ar[d]_{\underline{Co}} \ar[ddl]_{M̃} \\  & DelĈ^{nr}(G_{K})^{u} \ar[u]_{\underline{Déco}} \ar[d]_{_{(·)_{φ=Id}}} \\ ΦM(E^{†})^{u} \ar[uu]^{−⊗_{E^{†}}R} & Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) \ar[l]^{D^{†}} \ar[u]_{−⊗_{Λ}Ĉ^{nr}}}  (3.3.6.1)

est commutatif (à isomorphisme près), et toutes les flèches sont des équivalences des catégories.

Dém. Montrons d’abord que M et S induisent des foncteurs sur les sous-catégories des objets unités. Si un foncteur conserve la propriété d’être unité alors tout quasi-inverse la conserve aussi. Les foncteurs − ⊗_{E^{†}} R et \underline{Co} conservent la propriété d’être unité par définition ; par conséquent \underline{Déco} aussi. On déduit de (3.3.5-3) que le foncteur M̃ conserve la propriété d’être unité ; par conséquent les foncteurs M et S aussi. Le triangle supérieur de (3.3.6.1) est commutatif par (3.2.27), le triangle inférieur est commutatif par le lemme (3.3.5-3) et le périmètre du carré par (3.3.5-2). Les équivalences verticales sur la droite sont données par (3.3.5-1) et (3.1.7-2), et D^{†} est une équivalence par (3.3.3). On en déduit que les restrictions de − ⊗_{E^{†}} R et M̃ aux objets unités sont aussi des équivalences de catégories.

Corollaire 3.3.7. La restriction du foncteur d’analytification aux (φ, ∇)-modules de rang 1 est une équivalence de catégories.

Dém. Par torsion du Frobenius on se ramène au cas unité qui est une conséquence de (3.3.6).

3.4 Constantes locales

3.4.1 On suppose désormais que le corps résiduel k de K est fini, de cardinal q = p^{f} et que l’ordre h du Frobenius σ_{C}, fixé dans (3.0.2), divise f. Pour le reste, on conserve les notations de (3.0.1) et (3.0.2). On pose a = fh^{−1}.

3.4.2 Soient M un (φ, ∇)-module sur R, S(M) le C^{nr}-module de Deligne de K associé. On muni S(M) d’une action C^{nr}-linéaire ρ: W_{K} → Aut_{C^{nr}}(S(M)) en posant pour tout g ∈ W_{K} et m ∈ S(M),

ρ(g)(m) = g(φ^{aν(g)}(m)),

où ν(g) est l’entier définit dans (2.1).

Proposition 3.4.3. Le triplet (S(M), ρ, N) est une C^{nr}-représentation de Weil-Deligne de K.

Dém. En effet ρ est linéaire et triviale sur un sous-groupe ouvert de l’inertie. La relation ρ(w)N = q^{ν(w)}Nρ(w) résulte facilement de l’égalité Nφ = p^{h}φN sur S(M).

Définition 3.4.4. Soit M un (φ, ∇)-module sur R. On appelle C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée à M, et on note WD(M), le triplet (S(M), ρ, N) de (3.4.3). On appelle constantes locales de M les constante locales de WD(M) ; plus précisément on pose, d’après (2.16) :

i) L(M, t) = L(WD(M), t) ;

ii) ar(M) = ar(WD(M)) ;

iii) pour un caractère additif non-trivial ψ: K → C^{∗} et une mesure de Haar μ sur K à valeur dans C,

\begin{aligned}ε(M, ψ, μ) & = ε(WD(M), ψ, μ), \\ ε_{0}(M, ψ, μ) & = ε_{0}(WD(M), ψ, μ). \end{aligned}

Proposition 3.4.5. Soient (M, φ, ∇) un (φ, ∇)-module sur R, S(M) = (S(M), φ, N) le C^{nr}-module de Deligne associé et WD(M) = (S(M), ρ, N) la C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée. On désigne par Ker N le noyau de N sur S(M) : il est stable sous l’action semi-linéaire de G_{K}, sous l’action C^{nr}-linéaire ρ de W_{K} et par le Frobenius.

(1) On a un isomorphisme canonique M^{∇} ≅ (Ker N)^{G_{K}} de φ-modules sur C.

(2) On a un isomorphisme canonique, G_{k}-équivariant, M^{∇} ⊗_{C} C^{nr} ≅ (Ker N)^{I_{K}}, de φ-modules sur C^{nr}.

(3) On a :

ar(M) = irr(M) + rg(M) − dim_{C}(M^{∇}) ;  (3.4.5.1)
L(M, t) = det_{C}(1 − tφ^{a}|M^{∇})^{−1} ∈ 1 + tC⟦t⟧;  (3.4.5.2)
det_{C^{nr}}(ρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}}) = det_{C}(φ^{a}|M^{∇}), où F^{∗} = σ^{−f} ∈ G_{k};  (3.4.5.3)
ε(M, ψ, μ) = ε_{0}(M, ψ, μ)det_{C}(−φ^{a}|M^{∇})^{−1};  (3.4.5.4)
ε_{0}(M, ψ, μ) = ε_{0}(WD(M)^{∘}, ψ, μ).  (3.4.5.5)

où irr(M) désigne l’irrégularité de M [ChMe02, 14.11].

Dém. Montrons (1). D’après (3.2.23), on a

M ≅ M(S(M)) = \{x ∈ S(M) ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N ⊗ Id + Id ⊗ N(x) = 0 \end{matrix} \} .

D’où

M^{∇} ≅ \{x ∈ S(M) ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N ⊗ Id + Id ⊗ N(x) = 0 \\ Id ⊗ d(x) = 0 \end{matrix} \}

= \{x ∈ S(M) | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N(x) = 0 \end{matrix} \}

= (Ker N)^{G_{K}}.

Montrons (2). Fixons une extension galoisienne finie L/K qui rend M unipotent et on pose D = S_{L}(M). D’après (3.2.23), on a M ≅ M_{L}(D) et M^{∇} ≅ (Ker N)^{G_{K}} = (Ker N_{D})^{Gal(L/K)}. Comme H^{1}(Gal(k_{L}/k), GL_{r}(C_{L})) est trivial, on en déduit que

(Ker N_{D})^{Gal(L/K)} ⊗_{C} C_{L} ≅ (Ker N_{D})^{I(L/K)}.

D’où M^{∇} ⊗_{C} C^{nr} = (Ker N_{D})^{I(L/K)} ⊗_{C_{L}} C^{nr} = (Ker N)^{I_{K}}. Par construction cet isomorphisme est équivariant et commute aux Frobenius respectifs.

(3.4.5.1) Par la définition ar(M) = sw(ρ)+dim_{C^{nr}} WD(M)−dim_{C^{nr}} (Ker N)^{I_{K}}. Par un théorème de Matsuda-Tsuzuki, cf. [Mat02, 8.6], [Tsu98b, 7.2.2] on a irr(M) = sw(ρ) ; on conclut par (1) et (2).

(3.4.5.2) Par la définition de ρ, on a ρ(F^{∗}) = F^{∗} ∘ φ^{a} sur (Ker N)^{I_{K}}, où F^{∗} = σ^{−f} ∈ G_{k}. On remarque que l’endomorphisme σ_{C}^{a}: C^{nr} → C^{nr} est égale à Id_{C} ⊗σ^{f}, cf. (3.0.2) et (3.1.2). En utilisant (2), on calcule

L(M, t) = det_{C^{nr}}(1 − tρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(F^{∗} ∘ φ^{a})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(Id_{M} ⊗ σ^{−f}) ∘ (φ^{a} ⊗ σ_{C}^{a})|M^{∇} ⊗_{C} C^{nr})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(φ^{a} ⊗ Id_{C^{nr}})|M^{∇} ⊗_{C} C^{nr})^{−1}
= det_{C}(1 − tφ^{a}|M^{∇})^{−1}.

De même pour (3.4.5.3). Enfin, (3.4.5.4) et (3.4.5.5) sont évidents d’après (2) et (2.16).

4. Formule du produit

4.1 Rappels sur les F -isocristaux

4.1.1 Soit k un corps parfait de caractéristique p > 0. On reprend les notations de (3.0.2) concernant le corps de coefficients C. À partir de (4.2), on supposera k fini de cardinal q = p^{f} et que l’ordre h du Frobenius σ_{C} divise f ; on posera a = h^{−1}f.

Soient X un k-schéma séparé de type fini, Z un sous-schéma fermé, U l’ouvert complémentaire de Z dans X qu’on suppose non vide. On note F -Isoc^{†}(U, X|C) la catégorie des F -isocristaux sur U|C surconvergents le long de Z, cf. [Bert96, 2.3.2]. Si U = X, on note cette catégorie F -Isoc(X|C), et on l’appelle la catégorie des F -isocristaux convergents sur X|C.

Soient f: Y → X un morphisme séparé de type fini, V = f^{−1}(U). On a un foncteur image inverse, (cf. loc. cit. (2.3.2-iv))

f^{∗}: F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc^{†}(V, Y |C)

Si f est une immersion ouverte on notera M_{|Y} ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C) l’image d’un objet M de F -Isoc^{†}(U, X|C) par f^{∗}.

4.1.2 La catégorie F -Isoc(Spec k|C) est équivalente à la catégorie ΦM(C) définie dans (3.1.1), cf. [Bert96, 2.5.8]. Tout nombre rationnel λ s’écrit de manière unique sous la forme λ = \frac{r}{seh}, avec r et s deux entiers premiers entre eux et s > 0 (pour λ = 0 on prend par convention r = 0 et s = 1). On note C_{σ}[T] l’anneau de polynômes non commutatif défini par la relation T α = σ_{C}(α)T, pour tout α dans C. On définit le F -isocristal C(λ) ∈ F -Isoc(Spec k|C) comme étant le C-espace vectoriel C_{σ}[T]/(T^{s} − π^{−r}), muni du Frobenius défini par la multiplication à gauche par T. Pour tout k-schéma f: X → Spec k et tout λ ∈ ℚ, on note O_{X}^{†}(λ) ∈ F -Isoc(X|C) l’image inverse f^{∗}C(λ) ; pour tout ouvert non-vide U de X, on a O_{U}^{†}(λ) = O_{X}^{†}(λ)_{|U} ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). Pour tout M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C) et tout λ ∈ ℚ, on définit le décalé M(λ) de M par la pente λ, comme étant le produit tensoriel de M avec O_{U}^{†}(λ).

4.1.3 Dans la suite de cette section, on supposera désormais que X soit une courbe projective, lisse et géométriquement connexe sur k. On note g son genre, η son point générique, et η̄ un point géométrique au dessus de η. On désigne par |X| l’ensemble des points fermés de X. Pour U un ouvert non vide de X et Z un fermé de X tel que X = U ∪ Z, on appelle F -isocristal surconvergent sur U|C, tout F -isocristal sur U|C surconvergent le long de Z. Pour un tel F -isocristal M, on note H_{rig}^{i}(U, M) (resp. H_{rig,c}^{i}(U, M) ) la cohomologie rigide (resp. rigide à support propre) de M.

Théorème 4.1.4 [Cr98, 9.5]. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C) et M^{∨} son dual. Alors les C-espaces vectoriels H_{rig}^{i}(U, M), H_{rig,c}^{i}(U, M) sont de dimension finie, nuls pour i ≠ 0, 1, 2, et on a un accouplement parfait canonique

H_{rig,c}^{i}(U, M) × H_{rig}^{2−i}(U, M^{∨}) ⟶ C(−1)

de φ-modules sur C.

4.1.5 Soit x un point fermé de X. On pose O_{X,x} l’anneau local de X en x, 𝔪_{x} son idéal maximal, k(x) son corps résiduel, i_{x}: Spec k(x) → X l’injection canonique. On note Ô_{X,x} le séparé complété de O_{X,x} pour la topologie 𝔪_{x}-adique, K_{x} le corps des fractions de Ô_{X,x}, X̂_{(x)} = Spec Ô_{X,x}, η_{x} = Spec(K_{x}) le point générique de X̂_{(x)}, \overline{η}_{x} (resp. x̄) un point géométrique au dessus de η_{x} (resp. x). On fixe une uniformisante de Ô_{X,x}, ce qui détermine un isomorphisme Ô_{X,x} ≅ k(x)⟦t⟧. On note k(η) le corps des fonctions méromorphes sur X.

On pose C(x) = C ⊗_{W(k)} W(k(x)), R(η_{x}) (resp. E^{†}(η_{x}) ) l’anneau de Robba (resp. l’anneaux des fonctions surcovergentes bornées) relativement à K_{x}, cf. (3.2.1). On note F -Isoc^{†}(η_{x}|C(x)) la catégorie de (φ, ∇)-modules sur E^{†}(η_{x}) et F -Isoc_{an}^{†}(η_{x}|C(x)) la catégorie de (φ, ∇)-modules sur R(η_{x}).

4.1.6 Soient U un ouvert non vide de X, x un point fermé de U. On a un foncteur

i_{x}^{∗}: F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc(Spec k(x)|C) ≅ ΦM(C(x))

On note (M_{x}, φ_{x}) l’image par ce foncteur d’un objet M de F -Isoc^{†}(U, X|C).

4.1.7 Soient U un ouvert non vide de X, x un point fermé de X. On pose U\{x} = U ∩(X\{x}), de sorte qu’on ait le diagramme cartésien

[figure: η_{x}; □; U\{x}; X̂_{(x)}; X]

On a un foncteur de localisation [Cr98, 7.2]

F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc^{†}(η_{x}|C)  (4.1.7.1)

On en déduit, par composition avec le foncteur d’analityfication (3.2.25), un foncteur de localisation

F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc_{an}^{†}(η_{x}|C)  (4.1.7.2)

On note (M_{η_{x}}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) (resp. (M_{η_{x}}^{†}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) ) l’image d’un objet M de F -Isoc^{†}(U|C) par (4.1.7.2) (resp. (4.1.7.1) ).

Définition 4.1.8 [Cr87, 1.9]. Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C. On dit que M est unité si pour tout morphisme i: Spec Ω → U, où Ω est un corps parfait, le φ-module i^{∗}M est unité. On note F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} la catégorie des F -isocristaux surconvergents unité sur U|C.

Proposition 4.1.9 [Cr92, Prop. 1.2]. Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C. Si l’image inverse i^{∗}M par un point géométrique générique i: η̄ → U est un φ-module unité, alors M est unité.

Corollaire 4.1.10. Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C de rang 1. Alors il existe un nombre rationnel λ dans \frac{1}{eh}ℤ et un F -isocristal surconvergent unité M′ sur U|C, tels que M = M′(λ).

Dém. Soit λ ∈ \frac{1}{eh}ℤ la pente du φ-module i^{∗}M image inverse de M par le point géométrique générique i: η̄ → U. En vertu de (4.1.9), le F -isocristal M(−λ) est unité. On prend M′ = M(−λ).

4.1.11 Soient U un ouvert non vide de X, V un Λ-espace vectoriel de dimension finie, θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V ) une représentation continue de π_{1}(U, η̄), et x un point de X\U. On dit que θ a monodromie géométrique finie en x si le composé

π_{1}(η_{x}, η̄_{x}) ⟶ π_{1}(U, η̄_{x}) ≅ π_{1}(U, η̄) ⟶^{θ} Aut_{Λ}(V )

a monodromie géométrique finie, c’est-à-dire que sa restriction à l’inertie de π(η_{x}, η̄_{x}) a une image finie. On dit que θ a monodromie géométrique locale finie si pour tout point x de X\U, θ a monodromie géométrique finie en x. On note Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) la catégorie des Λ-représentations continues de dimension finie de π_{1}(U, η̄), à monodromie géométrique locale finie.

Théorème 4.1.12 [Tsu98a, 7.2.2-7.2.3]. Soit U un ouvert non vide de X. Il existe une équivalence de catégories canonique

G: Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) ⟶ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}

telle que pour tout x ∈ X\U, on a un diagramme commutatif de foncteurs

\xymatrix{Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) \ar[d] \ar[r]^{G} & F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} \ar[d] \\ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(η_{x}, η̄_{x})) \ar[r]^{D_{x}^{†}} & F -Isoc^{†}(η_{x}|C(x))^{u}}

où les flèches verticales sont la restriction et la localisation respectivement, et D_{x}^{†} est l’équivalence de (3.3.3) relativement au corps K_{x}.

Définition 4.1.13. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}. On dit que M est fini si la représentation de π_{1}(U, η̄) associée à M par le théorème 4.1.12 se factorise par un quotient fini.

4.1.14 Soient U un ouvert non-vide de X, f: V → U un morphisme étale fini. On note Y la compactification lisse de V, f̄: Y → X la compactification de f, de sorte qu’on ait le diagramme cartésien

[figure: V; f; □; Y; f̄; U; X]

On a un foncteur exact [Cr98, 8.3]

f_{∗}: F -Isoc^{†}(V, Y |C) ⟶ F -Isoc^{†}(U, X|C)  (4.1.14.1)

On note η_{Y} le point générique de Y, η̄_{Y} un point géométrique générique de Y. Soient M ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C)^{u} et W ∈ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(V, η̄_{Y})), tels que M = G(W). En vertu de [Cr00, 4.2], on a

f_{∗}M = G(Ind_{π_{1}(V,η̄_{Y} )}^{π_{1}(U,η̄_{Y} )} W )  (4.1.14.2)

4.2 Rappels sur les fonctions L des F -isocristaux

4.2.1 On suppose désormais k fini de cardinal q = p^{f} et que l’ordre h du Frobenius σ_{C}, fixé dans (3.0.2), divise f. On pose a = h^{−1}f. Pour tout x ∈ |X|, on note deg(x) = [k(x) : k] le degré de x. Soient U un ouvert non vide de X et M un F -isocristal surconvergent sur U|C. Pour tout x ∈ |X|, φ_{x}^{a deg(x)} est la plus petite puissance de φ_{x}: M_{x} → M_{x} qui soit C(x)-linéaire. Pour tout entier i, on note F^{∗} la puissance a-ième du Frobenius des φ-modules de cohomologie rigide H_{rig,c}^{i}(U, M) et H_{rig}^{i}(U, M), qui est donc une application C-linéaire.

Lemme 4.2.2 [Et04, Lemma 3.1]. Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C. On a det_{C(x)}(1 − tφ_{x}^{a deg(x)}|M_{x}) ∈ 1 + tC⟦t⟧.

Définition 4.2.3 [Kat72, 6.0], [EtLS93, 2.3]. Soient U un ouvert non vide de X, et M un objet de F -Isoc^{†}(U, X|C). On pose

L(M, t) = ∏_{x∈|U|} det_{C(x)}(1 − t^{deg(x)}φ_{x}^{a deg(x)}|M_{x})^{−1}.

Ce produit converge formellement dans 1 + tC⟦t⟧ car il n’y a qu’on nombre fini de points fermés de U de degré donné.

Remarque 4.2.4. On peut considérer M_{x} comme un C-espace vectoriel de dimension finie. On calcule

det_{C}(1 − t^{deg(x)}φ_{x}^{a deg(x)}|M_{x}) = N_{C(x)/C}(det_{C(x)}(1 − t^{deg(x)}φ_{x}^{a deg(x)}|M_{x}))

qui est égal à det_{C(x)}(1 − t^{deg(x)}φ_{x}^{a deg(x)}|M_{x})^{deg(x)} par (4.2.2). Donc par abus de langage on trouve dans la littérature l’expression

L(M, t) = ∏_{x∈|U|} det_{C}(1 − t^{deg(x)}φ_{x}^{a deg(x)}|M_{x})^{− \frac{1}{deg(x)}} .

Théorème 4.2.5 (Interprétation cohomologique [EtLS93, Th. 6.3 I]). Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On a

L(M, t) = ∏_{i} det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}}

Corollaire 4.2.6 (Équation fonctionnelle). Soient U un ouvert non vide de X, M un objet de F -Isoc^{†}(U, X|C), M^{∨} son dual. On a

L(M, t) = ε(U, M)t^{−χ_{c}(U,M)}L_{∘}(M^{∨}, q^{−1}t^{−1}),

où

ε(U, M) = det_{C}(− F^{∗}, H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = ∏_{i=0}^{2} det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}},

χ_{c}(U, M) = ∑_{i=0}^{2} (−1)^{i}dim_{C} H_{rig,c}^{i}(U, M),

L_{∘}(M, t) = ∏_{i=0}^{2} det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}}.

Dém. Il suffit d’appliquer à l’accouplement (4.1.4) un lemme classique d’algèbre linéaire, cf. [Har77, 4.3 Appendix C].

4.3 Formule du produit : conjecture et résultats

4.3.1 Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), x ∈ |X|. On note I_{η_{x}} le groupe d’inertie de π_{1}(η_{x}, η̄_{x}) et F_{x}^{∗} le Frobenius géométrique de π_{1}(x, x̄). Pour alléger les notations, on désignera le triplet (M_{η_{x}}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) simplement par M_{η_{x}}, cf. (4.1.7.2). On pose

WD(M_{η_{x}}) = (S(M_{η_{x}}), ρ_{η_{x}}, N_{η_{x}})

la C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée à M_{η_{x}}, cf. (3.4.2). On pose (3.4.5.3)

t_{M}(x) = tr_{C^{nr}}(ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗})|(Ker N_{η_{x}})^{I_{ηx}} ) = tr_{C(x)}(φ_{η_{x}}^{a deg(x)}|M_{η_{x}}^{∇_{x}})  (4.3.1.1)
det_{M}(x) = det_{C^{nr}}(ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗})|(Ker N_{η_{x}})^{I_{ηx}} ) = det_{C(x)}(φ_{η_{x}}^{a deg(x)}|M_{η_{x}}^{∇_{x}}).  (4.3.1.2)

Exemple 4.3.2. Soient U un ouvert non vide de X et λ un nombre rationnel. On écrit λ = \frac{r}{seh} comme dans (4.1.2). Pour tout x ∈ |X|, la C^{nr}-représentation de Weil-Deligne WD(O_{U}^{†}(λ)_{η_{x}}) de K_{x} a monodromie géométrique triviale, i.e. N_{η_{x}} = 0 et ρ_{η_{x}}: π_{1}(η_{x}, \overline{η}_{x}) → Aut_{C^{nr}}(S(O_{U}^{†}(λ)_{η_{x}})) est

non-ramifiée. On a t_{O_{U}^{†} (λ)}(x) = 0 et det_{O_{U}^{†} (λ)}(x) = ((−1)^{s−1}π^{−r})^{a deg(x)} = ((−1)^{(s−1)a}π^{−ar})^{deg(x)}.

On pose c(λ) = (−1)^{(s−1)a}π^{−ar}.

Lemme 4.3.3. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U|C) et x ∈ |U|. Alors : (1) M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble (3.2.11) et M_{η_{x}}^{∇_{x}} = M_{x}.

(2) La C^{nr}-représentation de Weil-deligne WD(M_{η_{x}}) de K_{x} a monodromie géométrique triviale.

(3) t_{M}(x) et det_{M}(x) appartiennent à C.

Dém. Comme M est convergent sur U, pour tout x ∈ |U|, le (φ, ∇)-module M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble (par [Kat72, 3.1]), donc M_{η_{x}}^{∇_{x}} = M_{x}. L’assertion (2) résulte de (1) et l’assertion (3) s’en déduit par (4.2.2).

4.3.4 Supposons désormais que C^{nr} contienne une racine primitive p-ième de l’unité. Le choix d’une telle racine ξ détermine l’isomorphisme ψ_{𝔽_{p}}: 𝔽_{p} → μ_{p}(C^{nr}) envoyant 1 sur ξ. On note Ω_{k(η)/k}^{1} le module des formes différentielles méromorphes sur X. Pour tout ω ∈ Ω_{k(η)/k}^{1} différent de zéro et x ∈ |X|, on note ω_{x} ∈ Ω_{η_{x}/k(x)}^{1} le germe de ω en x, et par ψ(ω_{x}): K_{x} → C^{nr}^{∗} le caractère additif donné par α ↦ ψ_{𝔽_{p}}(Tr_{k(x)/𝔽_{p}}(Res(αω_{x}))), cf. (2.8). On note μ_{x} l’unique mesure de Haar sur K_{x} telle que μ_{x}(Ô_{X,x}) = 1. Si U est un ouvert non-vide de X et M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), on note simplement ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) au lieu de ε(M_{η_{x}}, ψ(ω_{x}), μ_{x}), et de même pour ε_{0}, cf. (3.4.4).

Conjecture 4.3.5. Soient U un ouvert non vide de X, M un objet de F -Isoc^{†}(U, X|C), et ω un élément non-nul de Ω_{k(η)/k}^{1}. On a

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = q^{(1−g) rg(M)} ∏_{x∈|U|} (q^{deg(x)v_{x}(ω) rg(M)}det_{M}(x)^{v_{x}(ω)}) ∏_{x∈X\U} ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x}).

(4.3.5.1)

Lemme 4.3.6. Si la conjecture (4.3.5) est vérifiée pour M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), alors elle l’est aussi pour tout M(λ), avec λ ∈ ℚ.

Dém. On pose λ = \frac{r}{seh} comme dans (4.1.2). Par définition rg(M(λ)) = rg(M)s et H_{rig,c}^{∗}(U, M(λ)) = H_{rig,c}^{∗}(U, M)(λ). Par la formule donnant le déterminant d’un produit tensoriel [Bou70, A III.101 (33)], le membre de gauche de (4.3.5.1) calculé en M(λ) est égal à

∏_{i=0}^{2} det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1} rg(C(λ))}det_{C}(φ_{C(λ)}^{a}|C(λ))^{−h_{c}^{i}(U,M)}

= det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−s}c(λ)^{−χ_{c}(U,M)},

où h_{c}^{i}(U, M) = dim_{C} H_{rig,c}^{i}(U, M) et c(λ) = (−1)^{(s−1)a}π^{−ar}, cf. (4.3.2). De même det_{M(λ)}(x) = det_{M}(x)^{s}c(λ)^{deg(x) rg(M)} et, par 2.19-(2),

ε_{0}(M_{η_{x}}(λ), ω_{x}) = ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x})^{s}c(λ)^{deg(x)(irr(M_{ηx})+(v_{x}(ω)+1) rg(M))}.

Par conséquent, le membre de droite de (4.3.5.1) calculé en M(λ) est égal au produit

q^{(1−g) rg(M)s}· ∏_{x∈|U|}(q^{deg(x)v_{x}(ω) rg(M)s}det_{M}(x)^{v_{x}(ω)s}c(λ)^{rg(M) deg(x)v_{x}(ω)})
· ∏_{x∈X\U} ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x})^{s}c(λ)^{deg(x)(irr(M_{ηx})+(v_{x}(ω)+1) rg(M))}

qui, par hypothèse, est égal à

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−s}c(λ)^{(∑_{x∈|X|} rg(M) deg(x)v_{x}(ω)+∑_{x∈X\U} deg(x)(irr(M_{ηx})+rg(M)))} .

On conclut compte tenu de ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(ω) = 2g − 2 et de la formule de Grothendieck-Ogg-Chafarevitch pour les F -isocristaux surconvergents [ChMe02, 1.2] :

χ_{c}(U, M) = χ_{c}(U) rg(M) − ∑_{x∈X\U} deg(x) irr(M_{η_{x}})

= (2 − 2g − ∑_{x∈X\U} deg(x)) rg(M) − ∑_{x∈X\U} deg(x) irr(M_{η_{x}}) .

4.3.7 On note 𝔸_{k(η)} l’anneau des adèles de k(η). Le choix de la différentielle ω détermine un caractère additif non-trivial ψ(ω): 𝔸_{k(η)}/k(η) → C^{nr}^{∗}, tel que pour tout x ∈ |X|, le composé de ψ(ω) et K_{x} ↪ 𝔸_{k(η)}/k(η) soit égal à ψ(ω_{x}).

Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}, θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V ) la représentation à monodromie géométrique locale finie associée à M par (4.1.12). On considère l’homomorphisme π_{1}(η, \overline{η}) → π_{1}(U, \overline{η}) → Aut_{Λ}(V ). Si rg(M) = 1, alors cet homomorphisme se factorise par π_{1}(η, \overline{η})^{ab} → Λ^{∗}. Par composition avec l’homomorphisme de réciprocité globale 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → π_{1}(η, \overline{η})^{ab}, on obtient un homomorphisme 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → Λ^{∗}, qu’on note χ(M) et qu’on appelle quasi-caractère global associé à M.

4.3.8 Soient U un ouvert non-vide de X et M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On définit un homomorphisme

d(M): k(η)^{∗} ⟶ C^{nr}^{∗}

de la façon suivante. Soient x ∈ |X|, α ∈ k(η)^{∗}. On note α_{x} l’image de α par l’homomorphisme composé k(η)^{∗} ↪ K_{x}^{∗} → W_{K_{x}}^{ab}, où la seconde flèche est l’isomomorphisme de réciprocité locale. Alors le produit

d(M)(α) = ∏_{x∈|X|} det ρ_{η_{x}}(α_{x}) ∈ C^{nr}^{∗}  (4.3.8.1)

est bien défini. Il est clair que d(M) est un homomorphisme.

Proposition 4.3.9. Soient U un ouvert non vide de X, M un objet de F -Isoc^{†}(U, X|C). Alors : (1) d(M) = 1.

(2) Le deuxième membre de (4.3.5.1) ne dépend pas du choix de ω.

Dém. L’affirmation (1) implique (2). En effet, si on remplace ω par αω, avec α ∈ k(η)^{∗}, alors en appliquant 2.19-(1), on voit que le deuxième membre de (4.3.5.1) est multiplié par d(M)(α).

Montrons (1). Pour tout point fermé x de X, on vérifie que WD(det(M_{η_{x}})) = det(WD(M_{η_{x}})) ; donc d(M) = d(det(M)), et on se réduit au cas où M est de rang 1. D’abord traitons le cas où M est unité : pour tout α ∈ k(η)^{∗}, on a d(M)(α) = χ(M)(α) = 1, cf. (4.3.7). Dans le cas général, par (4.1.10), il existe λ ∈ \frac{1}{eh}ℤ et un F -isocristal surconvergent unité M′ tel que M = M′(λ). Pour tout α ∈ k(η)^{∗}, on calcule d(M′(λ))(α) = ∏_{x∈|X|} ρ′_{η_{x}}(α_{x})π^{−λa deg(x)v_{x}(α)} = d(M′)(α)π^{−λa ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(α)}. Ceci est égale à 1, car d(M′) = 1 et ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(α) = 0.

4.3.10 Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On pose

L_{WD}(X, M, t) = ∏_{x∈|X|} L(M_{η_{x}}, t^{deg x})  (4.3.10.1)

Ce produit converge formellement dans 1 + tC^{nr}⟦t⟧ car X est de type fini et

L(M_{η_{x}}, t^{deg x}) = L(WD(M_{η_{x}}), t^{deg x}) = det_{C(x)}(1 − t^{deg(x)}φ^{a deg(x)}, M_{η_{x}}^{∇})^{−1}

appartient à 1 + t^{deg(x)}C(x)⟦t⟧, cf. (3.4.5.2).

Théorème 4.3.11 (Tate). Soient U un ouvert non-vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} de rang 1, et ω ∈ Ω_{k(η)/k}^{1}\{0}. Alors

L_{WD}(X, M, t) = q^{(1−g)}t^{−χ_{c}(U,M)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) L_{WD}(X, M^{∨}, q^{−1}t^{−1})

Dém. Soient χ(M): 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → Λ^{∗} le quasi-caractère globale associée à M, et ψ(ω): 𝔸_{k(η)}/k(η) → C^{nr}^{∗} le caractère additif non-trivial associé à ω, cf. (4.3.7). Par la définition de L_{WD}(X, M, t) et ε(M_{η_{x}}, ω_{x}), l’équation fonctionnelle recherchée est l’équation fonctionnelle globale de Tate relative à χ(M) et ψ(ω), cf. [Lau87, (3.1.2.4)-(3.1.3.5)].

Lemme 4.3.12. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} de rang 1. Supposons que X\U soit non vide et, pour tout x dans X\U, M_{η_{x}} ne soit pas R(η_{x})-soluble. Alors H_{rig}^{0}(U, M) = 0 = H_{rig,c}^{2}(U, M) et H_{rig,c}^{1}(U, M) ≅ H_{rig}^{1}(U, M). En particulier L_{∘}(U, M, t) = L(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{1}(U, M)).

Dém. Comme U est une courbe affine, on a par (4.2.5)

L(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{1}(U, M))det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{2}(U, M))^{−1}

et par définition

L_{∘}(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{1}(U, M))det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{0}(U, M))^{−1}.

On considère la suite exacte [Cr00, (3.1.4)],

0 → H_{rig}^{0}(U, M) → H_{rig}^{0}(X\U, Rj_{∗}M) → H_{rig,c}^{1}(U, M) →

→ H_{rig}^{1}(U, M) → H_{rig}^{1}(X\U, Rj_{∗}M) → H_{rig,c}^{2}(U, M) → 0,

où par définition H_{rig}^{i}(X\U, Rj_{∗}M) = ⊕_{x∈X\U}H_{rig}^{i}(x, Rj_{∗}M), H_{rig}^{0}(x, Rj_{∗}M) = Ker ∇_{x} et H_{rig}^{1}(x, Rj_{∗}M) = Coker ∇_{x}. Comme M est unité, on a [Cr00, (3.2.10)]

dim_{C} H_{rig}^{0}(x, Rj_{∗}M) = dim_{C} H_{rig}^{1}(x, Rj_{∗}M)

Par hypothèse, pour tout x ∈ X\U, M_{η_{x}} est non-trivial de rang 1. Donc Ker ∇_{x} = 0.

Lemme 4.3.13. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}. Si pour un x ∈ X\U, M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble, alors il existe M̃ ∈ F -Isoc^{†}(U ∪ {x}, X|C)^{u} tel que M̃_{|U} = M.

Dém. On peut supposer X\U non-vide. Soient x ∈ X\U, Y = U ∪ {x} et

θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V )

la représentation associée à M par (4.1.12). On a un homomorphisme surjectif

Gal(k(η̄)/k(η)) → π_{1}(U, η̄)

dont le noyau est le sous-groupe de Gal(k(η̄)/k(η)) correspondant à la sous-extension de k(η̄)/k(η) maximale non-ramifiée sur U, cf. [SGA1, V 8.2]. Donc on déduit du diagramme cartésien

[figure: η_{x}; j_{x}; □; U; Y_{(x)}; Y]

le diagramme cocartésien,

[figure: π_{1}(η_{x}, η̄_{x}); π_{1}(j_{x}); □; π_{1}(U, η̄_{x}); π_{1}(x, x̄); π_{1}(Y, η̄_{x})]

Par hypothèse M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble et unité, donc M_{η_{x}}^{†} est E^{†}(η_{x})-soluble et la représentation θ ∘ π_{1}(j_{x}) se factorise par π_{1}(x, x̄), cf. (3.3.6). Comme le carré est cocartésien en déduit une représentation continue θ̃: π_{1}(Y, η̄_{x}) → Aut_{Λ}(V ) qui fait commuter le diagramme

[figure: π_{1}(η_{x}, η̄_{x}); π_{1}(j_{x}); □; π_{1}(U, η̄_{x}); θ; Aut_{Λ}(V ); π_{1}(x, x̄); π_{1}(Y, η̄_{x}); θ̃]

Le F -isocristal M̃ ∈ F -Isoc^{†}(Y, X|C)^{u}, correspondant à θ̃: π_{1}(Y, η̄_{x}) → Aut_{Λ}(V ) par (4.1.12), répond à la question.

Théorème 4.3.14. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C) de rang 1. Alors M satisfait la conjecture (4.3.5).

Dém. Comme M est de rang 1, quitte à décaler M par une pente dans \frac{1}{eh}ℤ, cf. (4.3.6) et (4.1.10), on peut supposer M unité de rang 1.

Comme M est unité, quitte à agrandir U, on peut supposer par (4.3.13) que pour tout x ∈ X\U, M_{η_{x}} ne soit pas R(η_{x})-soluble, et puisque M est de rang 1, M_{η_{x}}^{∇_{x}} = 0. On en déduit facilement que pour tout x ∈ X\U, on a (M_{η_{x}}^{∨})^{∇} = 0. D’où L_{WD}(X, M, t) = L(M, t) et de même pour M^{∨}. L’équation fonctionnelle 4.2.6 s’écrit

L(M, t) = det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1}t^{−χ_{c}(U,M)}L(M^{∨}, q^{−1}t^{−1}).

En effet, il n’y a rien à montrer si U = X, et si U ≠ X, c’est une conséquence de (4.3.12). En comparant avec l’équation fonctionnelle de Tate (4.3.11)

L_{WD}(X, M, t) = q^{(1−g)}t^{−χ_{c}(U,M)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) L_{WD}(X, M^{∨}, q^{−1}t^{−1}),

on obtient,

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = q^{(1−g)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}).

Pour x ∈ X\U, on a M_{η_{x}}^{∇_{x}} = 0, d’où ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) = ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x}), cf. (3.4.5.4). Pour x ∈ |U|, par (4.3.3) et 2.19-(2), on a

ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) = q^{deg(x)v_{x}(ω)} det ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗v_{x}(ω)})
= q^{deg(x)v_{x}(ω)} det_{M}(x)^{v_{x}(ω)},

ce qui achève la preuve.

Théorème 4.3.15. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}. Si M est fini (4.1.13), alors il satisfait la conjecture (4.3.5).

Dém. D’après (4.1.12), on a un isomorphisme canonique de groupes de Grothendieck

Gr (F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}) ⟶ Gr (Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)))  (4.3.15.1)

La relation (4.3.5.1) est une équation sur le groupe de gauche. En vertu de (4.3.14), elle est vérifiée pour les F -isocristaux de rang 1. On en déduit qu’elle est vérifiée pour M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} si et seulement si elle est vérifiée pour [M]−rg(M)[O_{U}^{†}], où [O_{U}^{†}] est la classe de l’isocristal trivial. Soient M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} fini, θ: π_{1}(U, \overline{η}) → Aut_{Λ}(W ) son image par (4.1.12) ; donc θ se factorise par un quotient fini G de π_{1}(U, \overline{η}). On sait d’après le théorème d’induction de Brauer [De73, Prop.1.5], que

[W] − (dim_{Λ} W)[Λ] = ∑_{H,W_{H}} n_{W_{H}} Ind_{H}^{G}([W_{H}] − [Λ])

où H varie parmi les sous-groupes de G, W_{H} est une représentation de rang 1 de H, n_{W_{H}} est un entier, et [Λ] désigne la classe de la représentation triviale. Transposant cette relation par (4.3.15.1) sur le groupe de Grothendieck de F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}, il suffit de montrer l’assertion suivante. Soient

[figure: V; f; □; Y; f̄; U; X]

un diagramme cartésien, avec f étale, Y lisse, f̄ fini, et P ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C)^{u} de rang 1. Alors la conjecture (4.3.5.1) est verifiée pour f_{∗}([P] − [O_{V}^{†}]) = [f_{∗}P] − [f_{∗}O_{V}^{†}].

Soient y ∈ Y \V, x = f̄(y), et W_{η_{y}} ∈ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(η_{y}, η̄_{y})) tel que D_{y}^{†}(W_{η_{y}}) = P_{η_{y}}^{†}. Par (4.1.14) et (4.1.12), on a pour tout x ∈ |X|,

(f_{∗}P)_{η_{x}}^{†} = ⨁_{y↦x} D_{x}^{†}(Ind_{π_{1}(η_{y},η̄_{y})}^{π_{1}(η_{x},η̄_{y})} W_{η_{y}})

On en déduit que :

(i) pour tout y ∈ V,

det_{f_{∗}P} (x)^{v_{x}(ω)} = ∏_{y↦x} det_{P} (y)^{v_{y}(f^{∗}ω)} ;  (4.3.15.2)

(ii) pour tout y ∈ Y \V, on a

det_{f_{∗}P} (x) = ∏_{y↦x} det_{P} (y)^{e_{Ky/Kx}} ;

et, par 2.14-(2),

ε([(f_{∗}P)_{η_{x}}] − [(f_{∗}O_{V}^{†})_{η_{x}}], ω_{x}) = ∏_{y↦x} ε([P_{η_{y}}] − [(O_{V}^{†})_{η_{y}}], (f^{∗}ω)_{y}).

Comme P est unité, N_{η_{x}} = 0 ; donc ε_{0}(P_{η_{x}}, ω) = ε(P_{η_{x}}, ω) det_{P} (x). Par (ii) ci-dessus, on a alors

ε_{0}([(f_{∗}P)_{η_{x}}] − [(f_{∗}O_{V}^{†})_{η_{x}}], ω_{x}) = ∏_{y↦x} ε_{0}([P_{η_{y}}] − [(O_{V}^{†})_{η_{y}}], (f^{∗}ω)_{y}).  (4.3.15.3)

Pour tout i, on a H_{rig,c}^{i}(U, f_{∗}P) = H_{rig,c}^{i}(V, P) [Cr00, 4.2] ; donc

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, [f_{∗}P] − [f_{∗}O_{V}^{†}]))^{−1} = det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(V, [P] − [O_{V}^{†}]))^{−1}

qui est égale, par (4.3.14), à

∏_{y∈|V |} det_{P} (y)^{v_{y}(f^{∗}ω)} ∏_{y∈Y \V} ε_{0}([P_{η_{y}}] − [O_{V}^{†}], (f^{∗}ω)_{y}).

Par (4.3.15.2) et (4.3.15.3), ce dernier est égal à

∏_{x∈|U|} det_{f_{∗}P} (x)^{v_{x}(ω)} ∏_{x∈X\U} ε_{0}([f_{∗}P_{η_{x}}] − [f_{∗}O_{V}^{†}], ω_{x})

ce qui termine la démonstration.

5. Facteurs epsilon et corps des normes

5.1 Rappels et compléments sur le corps des normes et sur la ramification

5.1.1 On désigne par K un corps de valuation discrète complet, à corps résiduel fini, et on reprend les notations de (2.1). A partir de (5.1.5) on supposera K une extension finie de ℚ_{p}. Soit L une extension séparable finie de K. On note D_{L/K} la différente de l’extension L/K, e_{L/K} l’indice de ramification et tr_{L/K} (resp. N_{L/K}) la trace (resp. la norme) de L dans K. Soient m, t deux entiers. Pour que tr_{L/K}(𝔪_{L}^{m}) ⊆ 𝔪_{K}^{t}, il faut et il suffit que [Ser68a, Ch.III §3, Prop.7]

𝔪_{L}^{m} ⊆ D_{L/K}^{−1}𝔪_{K}^{t} = D_{L/K}^{−1}𝔪_{L}^{e_{L/K}t}.

Par conséquent,

tr_{L/K}(𝔪_{L}^{m}) = 𝔪_{K}^{t_{L/K}(m)}, où t_{L/K}(m) = [\frac{m + v_{L}(D_{L/K})}{e_{L/K}}] .  (5.1.1.1)

(Pour tout nombre rationnel x, on a noté [x] la partie entière de x.)

5.1.2 Supposons L contenue dans K^{sep} et notons Hom_{K}(L, K^{sep}) l’ensemble pointé des Kplongements de L dans K^{sep}. Pour γ ∈ Hom_{K}(L, K^{sep}), on pose [Win83, 1.1.1]

i_{L/K}(γ) = min_{x∈O_{L}}(v′_{L}(γ(x) − x)),

où v′_{L} est l’unique valuation de K^{sep} prolongeant v_{L}.

Lemme 5.1.3 [Win83, Prop. 2.2.1]. Soient L/K une extension séparable, totalement ramifiée, cyclique de degré une puissance de p et ν(L/K) le plus petit saut de ramification supérieure. Alors pour tous x, y ∈ L, on a

v_{K}(N_{L/K}(x + y) − N_{L/K}(x) − N_{L/K}(y)) ⩾ min(v_{L}(x), v_{L}(y)) + \frac{p − 1}{p}ν(L/K).

Dém. Il suffit de traiter le cas min(v_{L}(x), v_{L}(y)) = 0, qui est un cas particulier de [Win83, Prop. 2.2.1-(i)].

5.1.4 Soient L/K une extension séparable, totalement ramifiée, cyclique de degré p et i le nombre de ramification inférieure. La fonction d’Herbrand ψ de L/K, est donnée par [Ser68a, Ch.V §3]

ψ(x) = \begin{cases}x & si − 1 ⩽ x ⩽ i; \\ i + p(x − i) & si x ⩾ i. \end{cases}

Donc i est aussi le saut (unique) de la ramification supérieure de L/K. Quand il n’y a aucun risque de confusion, on laissera tomber les indices L/K dans la notation N_{L/K}. Pour tout entier c ⩾ 0, suivant les notations de (2.17), on a, cf. [loc. cit. Prop. 4],

N(U_{L}(ψ(c))) ⊆ U_{K}(c) et N(U_{L}(ψ(c) + 1)) ⊆ U_{K}(c + 1).

On en déduit un homomorphisme

N(c): U_{L}(ψ(c))/U_{L}(ψ(c) + 1)⟶U_{K}(c)/U_{K}(c + 1).

Pour c < i, N(c) est un isomorphisme de U_{L}(c)/U_{L}(c + 1) vers U_{K}(c)/U_{K}(c + 1), cf. [loc. cit. Cor. 1–2 de Prop. 5]. Par conséquent, pour tout c ⩽ i, la norme induit un isomorphisme [loc. cit. Cor. 6 de Prop. 5]

O_{L}^{∗}/U_{L}(c) ⟶^{∼} O_{K}^{∗}/U_{K}(c).  (5.1.4.1)

On a v_{L}(D_{L/K}) = (i + 1)(p − 1), cf. [loc. cit. Lemme 3]. Donc, compte tenu de (5.1.1.1), on obtient

e_{K} := v_{K}(p) = v_{K}(tr_{L/K}(1)) ⩾ [\frac{(i + 1)(p − 1)}{p}] ⩾ \frac{p − 1}{p}i.  (5.1.4.2)

5.1.5 On supposera désormais K une extension finie de ℚ_{p}. On désignera par K_{∞}/K une ℤ_{p}- extension ramifiée, i.e. une extension galoisienne ramifiée de groupe de Galois Γ isomorphe à ℤ_{p}. Comme tout sous-groupe non-trivial de ℤ_{p} est d’indice fini, l’extension maximale non-ramifiée K_{0} de K dans K_{∞} est finie. Pour r ⩾ 0, on note K_{r} l’unique extension de K_{0} dans K_{∞} de degré p^{r}, 1_{r}: K_{r}^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère trivial et on pose O_{r} = O_{K_{r}}, 𝔪_{r} = 𝔪_{K_{r}}, U_{r} = U_{K_{r}}.

L’extension K_{∞}/K est arithmétiquement profinie dans le sens que pour tout nombre réel u, le sous-groupe de ramification supérieur Γ^{u} de Γ est d’indice fini. On peut alors définir une fonction de Herbrand, Ψ_{K_{∞}/K}, par la formule [Win83, 1.2.1]

Ψ_{K_{∞}/K}(x) = \begin{cases}x & si − 1 ⩽ x ⩽ 0; \\ ∫_{0}^{x}|Γ^{0} : Γ^{ν}|dν & si x ⩾ 0. \end{cases}

On note (ν_{n})_{n∈ℕ} la suite strictement croissante des nombres de ramification supérieure de l’extension K_{∞}/K_{0}. Ce sont des entiers par le théorème de Hasse-Arf. On définit la suite (i_{n})_{n∈ℕ} des nombres de ramification inférieure de l’extension K_{∞}/K, en posant i_{n} = Ψ_{K_{∞}/K}(ν_{n}). C’est une suite strictement croissante d’entiers. Pour tout r > 0, i_{0}, …, i_{r−1} sont les nombres de ramification inférieure de l’extension K_{r}/K_{0} ; en particulier, i_{r} est le nombre de ramification (inférieure) de K_{r+1}/K_{r}.

5.1.6 Soit E_{K} le corps des normes associé à l’extension K_{∞}/K, cf. [Win83, §2]. C’est un corps de caractéristique p, complet pour une valuation discrète. Son corps résiduel est canoniquement isomorphe à celui de K_{0} ; on note q_{0} son cardinal. On rappelle qu’en tant qu’ensembles, E_{K} = \underleftarrow{lim}_{r} K_{r},

la limite étant prise suivant les applications normes. Pour x = (x_{n})_{n∈ℕ} et y = (y_{n})_{n∈ℕ} dans E_{K}, l’addition et la multiplication sont définies par

x + y = (z_{n})_{n∈ℕ}, où z_{n} = lim_{m→+∞} N_{K_{m}/K_{n}}(x_{m} + y_{m}),
xy = (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ}.

Pour y = (y_{n})_{n∈ℕ} ∈ E_{K}^{∗}, v_{E_{K}}(y) = v_{K_{n}}(y_{n}), pour tout n ⩾ 0.

5.1.7 Dans la suite de cette section, par extension algébrique de K, on sous-entend une extension de K contenue dans K^{sep}. Pour des extensions algébriques L et F de K, on notera L · F la plus petite extension de K contenant L et F. Pour toute extension finie L de K on posera L_{∞} = K_{∞} · L; c’est une ℤ_{p}-extension de L et le corps des normes E_{L} de L_{∞}/L est une extension séparable finie de E_{K}. La formation du corps des normes est fonctorielle et la limite inductive de E_{L}, pour L variant parmi les extensions finies de K, est une clôture séparable de E_{K}, qui sera notée E_{K}^{sep}. Le groupe de Galois G_{K} agit par fonctorialité sur E_{K}^{sep}, identifiant Gal(K^{sep}/K_{∞}) au groupe de Galois de E_{K}^{sep} sur E_{K}. Pour tout r assez grand (il suffit que K_{r} contienne L ∩ K_{∞}), la restriction induit une bijection d’ensembles pointés Hom_{K_{r+1}}(L · K_{r+1}, K^{sep}) → Hom_{K_{r}}(L · K_{r}, K^{sep}). On en déduit, par fonctorialité, une bijection d’ensembles pointés

f_{r}: Hom_{E_{K}}(E_{L}, E_{K}^{sep}) → Hom_{K_{r}}(L · K_{r}, K^{sep}).  (5.1.7.1)

Si de plus L/K est galoisienne, alors ces bijections sont des isomorphismes de groupes et pour tout γ ∈ Gal(E_{L}/E_{K}), on a

N_{L·K_{r+1}/L·K_{r}} ∘ f_{r+1}(γ) = f_{r}(γ) ∘ N_{L·K_{r+1}/L·K_{r}}.  (5.1.7.2)

Lemme 5.1.8 [Win83, 3.3.2]. Soient L une extension finie de K et γ: E_{L} ↪ E_{K}^{sep} un E_{K}-plongement. Alors

i_{E_{L}/E_{K}}(γ) = lim_{r→+∞} i_{L·K_{r}/K_{r}}(f_{r}(γ)).

5.1.9 L’extension finie L/K est dite admissible (par rapport à K_{∞}) si L ∩ K_{∞} = K et si L · K_{0} est l’extension maximale non-ramifiée de L dans L_{∞}. Dans ce cas, pour tout r ⩾ 0, L · K_{r} = L_{r}. On remarque que, quitte à remplacer L et K par des extensions finies contenues respectivement dans L_{∞} et K_{∞}, on peut toujours supposer l’extension L/K admissible.

5.1.10 Pour tout entiers c, r ⩾ 0 tels que i_{r} ⩾ c, on a un morphisme de suites exactes courtes induit par la norme (5.1.4),

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗} \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d] & 1 \\ 1 \ar[r] & U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗} \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & 1}

Pour c fixé et r variable, ces diagrammes définissent une suite exacte courte de systèmes projectifs. Par passage à la limite, on obtient la suite exacte

1 ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} U_{r}(c) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} K_{r}^{∗} ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c).  (5.1.10.1)

De façon analogue, on dispose de la suite exacte courte de systèmes projectifs :

\xymatrix{1 \ar[r] & (U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} \ar[r] & (U_{r}(c))_{i_{r}>c} \ar[r] & (U_{r}(c)/U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} \ar[r] & 1} ,

les morphismes de transition étant induits par la norme. Par passage à la limite, on obtient la suite exacte

1 ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c + 1) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c)/U_{r}(c + 1).  (5.1.10.2)

Lemme 5.1.11. Soit c ⩾ 0 un entier.

(1) La limite projective \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} U_{r}(c) est canoniquement isomorphe à U_{E_{K}}(c).

(2) Le système projectif (K_{r}^{∗}/U_{r}(c))_{i_{r}⩾c} est constant, i.e. les applications de transition sont des isomorphismes. La suite (5.1.10.1) est exacte à droite et s’identifie à

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{E_{K}}(c) \ar[r] & E_{K}^{∗} \ar[r] & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) \ar[r] & 1} .

(3) Le système projectif (U_{r}(c)/U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} est constant. La suite (5.1.10.2) est exacte à droite et s’identifie à

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{E_{K}}(c + 1) \ar[r] & U_{E_{K}}(c) \ar[r] & U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c + 1) \ar[r] & 1.}

Dém. En tant que groupes, E_{K}^{∗} = \underleftarrow{lim}_{r∈ℕ}K_{r}^{∗}, cf. (5.1.6). Montrons (1). Par fonctorialité, on a un

monomorphisme canonique \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} U_{r}(c) ↪ U_{E_{K}}(c). Montrons qu’il est surjectif. C’est évident si c = 0.

Supposons c > 0. Soient x = (x_{r})_{r∈ℕ} ∈ U_{E_{K}}(c), et y = (y_{r})_{r∈ℕ} ∈ 𝔪_{E_{K}}^{c}, tels que x = 1 + y. Pour tout entier r ⩾ 0,

v_{K_{r}}(x_{r} − 1) = v_{K_{r}}( lim_{n→+∞} N_{K_{n}/K_{r}}(1 + y_{n}) − 1) = lim_{n→+∞} v_{K_{r}}(N_{K_{n}/K_{r}}(1 + y_{n}) − 1).

Appliquant le lemme 5.1.3, compte tenu que ν(K_{n}/K_{r}) = ν(K_{r+1}/K_{r}) = ν_{r} tend vers l’infini avec r, on voit qu’il existe un entier s, tel que pour tout n ⩾ r ⩾ s, on a v_{K_{r}}(N_{K_{n}/K_{r}}(1+y_{n})−1) = v_{K_{r}}(y_{r}) = v_{E_{K}}(y) ⩾ c. Donc pour tout r ⩾ s, x_{r} ∈ U_{r}(c), et par (5.1.4), cela vaut aussi pour tout r tel que i_{r} ⩾ c. D’où x ∈ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} U_{r}(c) et l’assertion est démontrée. Montrons (2). On remarque d’abord que le système

(U_{r}(c))_{i_{r}⩾c} ne vérifie pas la condition de Mittag-Leffler ; donc l’exactitude à droite de (5.1.10.1) n’est pas une conséquence du critère usuel [EGA, III 0.13.2]. Comme la suite (5.1.10.1) est exacte, on obtient par (1), un monomorphisme E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) ↪ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c). Supposons d’abord c = 0. Pour

tout r, la valuation v_{K_{r}} induit un isomorphisme de K_{r}^{∗}/U_{r}(0) sur ℤ et les applications de transitions induisent l’identité de ℤ. D’où un monomorphisme E_{K}^{∗}/U(0) ↪ ℤ, qui est un isomorphisme car la classe d’une uniformisante est envoyée sur 1. Ceci montre (2) dans le cas c = 0. Supposons c ⩾ 1. Les applications normes induisent, pour tout entier r tel que i_{r} ⩾ c, le diagramme commutatif

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{r+1}(0)/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N′} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(0) \ar[r] \ar[d]^{N′′} & 1 \\ 1 \ar[r] & U_{r}(0)/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(0) \ar[r] & 1}

On vient de voir que N′′ est un isomorphisme. Comme i_{r} ⩾ c, N′ est un isomorphisme, cf. (5.1.4). Il est alors de même pour N et le système projectif (K_{r}^{∗}/U_{r}(c))_{i_{r}⩾c} est constant. Pour r tel que i_{r} ⩾ c, on note pr_{r} le monomorphisme composée

pr_{r}: E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) ↪ \underleftarrow{lim}_{i_{r}⩾c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c) ⟶^{∼} K_{r}^{∗}/U_{r}(c).

La restriction de pr_{r} à U_{E_{K}}(0)/U_{E_{K}}(c) se factorise par U_{r}(0)/U_{r}(c) ⊂ K_{r}^{∗}/U_{r}(c) ; on en déduit le diagramme

\xymatrix{0 \ar[r] & U_{E_{K}}(0)/U_{E_{K}}(c) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d]^{_{pr_{r}}} & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(0) \ar[r] \ar[d]^{≀} & 0 \\ 0 \ar[r] & U_{r}(0)/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(0) \ar[r] & 0}

On a démontré que la flèche de droite est un isomorphisme (cas c = 0). Celle de gauche l’est aussi, car elle est injective et les deux groupes sont finis de même cardinal égal à (q_{0} − 1)q_{0}^{c−1}. Donc l’application du milieu est un isomorphisme et on a démontré l’assertion (2). La démonstration de (3) est analogue à celle de (2).

5.2 Tours admissibles de caractères additifs

5.2.1 Conservons les hypothèses de (5.1.5) et considérons un corps C algébriquement clos de caractéristique 0. Il sera commode de noter j_{r} le plus petit entier supérieur ou égal à \frac{p−1}{p}i_{r}; on appelle (j_{r})_{r∈ℕ} la suite des nombres de ramification inférieure modifiée de K_{∞}/K.

Soient n ⩽ −d et r ⩾ 0 des entiers. Le groupe 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d} est fini d’ordre q_{0}^{−n−d}. Si j_{r} ⩾ −n − d, alors il est annulé par p. En effet, par (5.1.4.2), e_{K_{r}} ⩾ −n − d; d’où pour tout x ∈ 𝔪_{r}^{n}, px ∈ 𝔪_{r}^{−d}. De plus, sous les mêmes hypothèses, il résulte de (5.1.3) que la norme N_{K_{r+1}/K_{r}}: K_{r+1} → K_{r} induit un homomorphisme de groupes

N: 𝔪_{r+1}^{n}/𝔪_{r+1}^{−d} ⟶ 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}.  (5.2.1.1)

En effet N est un isomorphisme car il est injectif, compte tenu que v_{K_{r+1}} = v_{K_{r}} ∘ N_{K_{r+1}/K_{r}}, et les groupes sont finis de même cardinal.

Soit ψ: K → C^{∗} un caractère additif d’ordre d. On note \overline{ψ}: K/𝔪_{K}^{−d} → C^{∗} sa réduction (si d = +∞, on pose 𝔪_{K}^{−d} = K). Par abus, on notera encore \overline{ψ} la restriction de \overline{ψ} à 𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d} pour tout n ⩽ −d. Si j_{r} ⩾ −n − d, on a \overline{ψ}_{r}(𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}) ⊆ μ_{p}(C).

Définition 5.2.2. On dit qu’une suite (ψ_{r})_{r∈ℕ} de caractères additifs ψ_{r}: K_{r} → C^{∗} est une tour admissible si elle vérifie les conditions suivantes :

i) il existe un entier s ⩾ 0, tel que pour tout r ⩾ s, d(ψ_{r}) = d(ψ_{s}) = d; ii) pour tout n ⩽ −d et r ⩾ s tels que j_{r} ⩾ −n − d, le diagramme

[figure: 𝔪_{r+1}^{n}/𝔪_{r+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{r+1}}; N; ≀; μ_{p}(C); 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}; _{\overline{ψ}_{r}}; μ_{p}(C)]

est commutatif. On appelle d l’ordre de la tour.

Remarque 5.2.3. Il est clairement suffisant de vérifier la condition 5.2.2-ii) pour tout r ⩾ s et n = −j_{r} − d.

Définition 5.2.4. Soit (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible d’ordre d. On lui associe un caractère additif ψ_{∞}: E_{K} → μ_{p}(C) d’ordre d comme suit. Soient s un entier comme dans (5.2.2), et x = (x_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K}, où x_{r} ∈ K_{r}. On pose

ψ_{∞}(x) = ψ_{r}(x_{r}), pour r ⩾ s tel que j_{r} ⩾ −v_{E_{K}}(x) − d.

Par la définition d’une tour admissible, ψ_{r}(x_{r}) appartient à μ_{p}(C) et ne dépend pas de r. On vérifie immédiatement que ψ_{∞} est un caractère additif d’ordre d. On l’appelle la limite de la tour (ψ_{r})_{r∈ℕ}.

Proposition 5.2.5. Soient s un entier positif, ψ: K_{s} → C^{∗} et θ: E_{K} → μ_{p}(C) des caractères additifs de même ordre d. Alors il existe une tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ, ψ_{s} = ψ, et pour tout r ⩾ s, d(ψ_{r}) = d.

Dém. Comme ψ et θ ont même ordre, si l’un de deux est trivial l’autre aussi et dans ce cas l’énoncé est évident. Supposons ψ et θ non-triviaux. On prouve d’abord qu’il suffit de construire une tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{s} = ψ, et pour tout r ⩾ s, d(ψ_{r}) = d. En effet, si (ψ_{r})_{r∈ℕ} est une telle tour, par (2.6) il existe a = (a_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K} tel que θ(x) = ψ_{∞}(ax). Comme ψ_{∞} et θ ont le même ordre, a appartient à O_{E_{K}}^{∗} et par conséquent, a_{r} ∈ O_{r}^{∗}, pour tout r ∈ ℕ. On considère la tour (ψ′_{r})_{r∈ℕ}, définie par

ψ′_{r}(x) = \begin{cases}ψ_{r}(x) & si 0 ⩽ r ⩽ s; \\ ψ_{r}(a_{r}x) & si r > s. \end{cases}

Par construction (ψ′_{r})_{r∈ℕ} est la tour admissible recherchée.

Il reste à construire la tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ}. On procède par récurrence sur r. On choisit d’abord, pour tout entier r ⩾ 0, une base ϕ_{r} ∈ Hom_{c}(K_{r}, C^{∗}), telle que ϕ_{s} = ψ et que pour tout r ⩾ s, ϕ_{r} ait ordre d; c’est toujours possible par (2.9). Pour tout 0 ⩽ r ⩽ s, on peut prendre ψ_{r} = ϕ_{r}, la condition 5.2.2-ii) étant vide. On suppose donnée, pour h ⩾ s, une tour finie (ψ_{i})_{0⩽i⩽h}, avec ψ_{s} = ψ, d(ψ_{i}) = d pour s ⩽ i ⩽ h, et satisfaisant à la condition 5.2.2-ii) ; on doit définir un caractère additif ψ_{h+1} d’ordre d tel que la condition 5.2.2-ii) soit vérifiée pour r = h et n = −j_{h} − d, cf. (5.2.3). Avec les notations de (5.2.1), il faut que la restriction de \overline{ψ}_{h+1} à 𝔪_{h+1}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h+1}^{−d}, se factorise comme suit :

[figure: 𝔪_{h+1}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{h+1}}; N; ≀; μ_{p}(C); 𝔪_{h}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h}^{−d}; _{\overline{ψ}_{h}}; μ_{p}(C)]

Soit \overline{η}_{h+1} = Φ_{−j_{h}−d}(ϕ_{h+1})^{−1}(\overline{ψ}_{h}∘N) ∈ O_{h+1}/𝔪_{h+1}^{j_{h}}, cf. (2.9). La restriction de \overline{ψ}_{h}∘N à 𝔪_{h+1}^{−d−1}/𝔪_{h+1}^{−d} est non triviale car d(ψ_{h}) = d et N induit un isomorphisme de 𝔪_{h+1}^{−d−1}/𝔪_{h+1}^{−d} vers 𝔪_{h}^{−d−1}/𝔪_{h}^{−d}, cf. (5.2.1.1). On en déduit par (2.9) que \overline{η}_{h+1} ∈ (O_{h+1}/𝔪_{h+1}^{j_{h}})^{∗}. On choisit η_{h+1} ∈ O_{h+1}^{∗} relevant \overline{η}_{h+1} et on prend ψ_{h+1} = Φ(ϕ_{h+1})(η_{h+1}).

Proposition 5.2.6. Soient (ψ_{r}: K_{r} → C^{∗})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs et L/K une extension finie admissible (5.1.9). Alors la suite de caractères additifs (ϕ_{r} = ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}})_{r∈ℕ} est une tour admissible et ϕ_{∞} = ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}.

Dém. On note 𝔫 (resp. 𝔫_{r}) l’idéal maximal de O_{L} (resp. O_{L_{r}}) et (j_{r}(L_{∞}/L))_{r∈ℕ} la suite des nombres de ramification inférieure modifiée de L_{∞}/L. Il résulte de (5.1.8), qu’il existe s ∈ ℕ, tel que pour tout r ⩾ s, v_{L_{r}}(D_{L_{r}/K_{r}}) = v_{E_{L}}(D_{E_{L}/E_{K}}) et e_{L_{r}/K_{r}} = e_{E_{L}/E_{K}}. Pour tous entiers m ⩽ −d et r assez grand, considérons le diagramme

\xymatrix{𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d} \ar[r]^{^{\overline{tr}^{r+1}}} \ar[d]_{N_{L_{r+1}/Lr}} & 𝔪_{r+1}^{t(m)}/𝔪_{r+1}^{t(−d)} \ar[d]^{N_{K_{r+1}/Kr}} \\ 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d} \ar[r]_{_{\overline{tr}_{r}}} & 𝔪_{r}^{t(m)}/𝔪_{r}^{t(−d)}}  (5.2.6.1)

où les homomorphismes horizontaux sont induits par la trace tr_{L/K}, les homomorphismes verticaux sont induits par les normes et t(m) = t_{E_{L}/E_{K}}(m), cf. (5.1.1.1). Montrons d’abord que (5.2.6.1) est commutatif. On note L′/K la clôture galoisienne de L/K dans K^{sep}. Quitte à remplacer L′, L par des extensions finies contenues respectivement dans L′_{∞}, L_{∞}, on peut supposer L′/L admissible, puis, quitte à remplacer K par une extensions finie contenues dans K_{∞}, on peut supposer à nouveau L/K admissible ; donc L_{r} = L · K_{r} et L′_{r} = L′ · L_{r} = L′ · K_{r}. Le groupe Gal(L′_{r+1}/L′_{r}) s’identifie par restriction à Gal(L_{r+1}/L_{r}) et à Gal(K_{r+1}/K_{r}) ; par conséquent la restriction de N_{L′_{r+1}/L′_{r}} à L_{r+1} (resp. K_{r+1}) est égale à N_{L_{r+1}/L_{r}} (resp. N_{K_{r+1}/K_{r}}). On pose, pour r ⩾ 0, F_{r} = Hom_{K_{r}}(L_{r}, K^{sep}) (resp. F = Hom_{E_{K}}(E_{L}, E_{K}^{sep})). On rappelle qu’on dispose d’une bijection f_{r}: F → F_{r}, cf. (5.1.7.1). Soient x ∈ 𝔫_{r+1}^{m} et \overline{x} sa classe dans 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d}. Si r est un entier assez grand, on a

N_{K_{r+1}/K_{r}}(\overline{tr}_{r+1}(\overline{x})) = N_{K_{r+1}/K_{r}}(∑_{γ∈F} \overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(∑_{γ∈F} \overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= ∑_{γ∈F} N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(\overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= ∑_{γ∈F} \overline{f_{r}(γ)(N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(x))}  (par 5.1.7.2)

= ∑_{γ∈F} \overline{f_{r}(γ)(N_{L_{r+1}/L_{r}}(x))} = \overline{tr}_{r}(N_{L_{r+1}/L_{r}}(\overline{x})).

Ceci montre la commutativité de (5.2.6.1).

On note 𝔪_{∞} (resp. 𝔫_{∞}) l’idéal maximal de O_{E_{K}} (resp. O_{E_{L}}). Pour tout n ⩽ −d, le groupe 𝔪_{∞}^{n}/𝔪_{∞}^{−d} est la limite du système projectif (𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d})_{j_{r}⩾−n−d}, suivant les applications normes. Le diagramme commutatif (5.2.6.1) définit par passage à la limite un homomorphisme 𝔫_{∞}^{m}/𝔫_{∞}^{−d} → 𝔪_{∞}^{t(m)}/𝔪_{∞}^{t(−d)} qui est l’homomorphisme induit par la trace tr_{E_{L}/E_{K}}. Soit d l’ordre de la tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ}. Avec les notations de (5.2.1), pour tout n ⩽ −d, l’application \overline{ψ}_{∞}: 𝔪_{E_{K}}^{n}/𝔪_{E_{K}}^{−d} → μ_{p}(C) est la limite projective des \overline{ψ}_{r}: 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d} → μ_{p}(C). Par la définition de ordre et par (5.1.1),

d(ϕ_{r}) = max {n ∈ ℤ| tr(𝔫_{r}^{−n}) ⊆ 𝔪_{r}^{−d(ψ_{r})}} = −v_{L_{r}} (D_{L_{r}/K_{r}}^{−1}𝔪_{r}^{−d(ψ_{r})}) .

Quitte à agrandir s, on a d(ψ_{r}) = d et d(ϕ_{r}) est égal à d_{L} = v_{E_{L}}(D_{E_{L}/E_{K}})+e_{E_{L}/E_{K}}d. Pour conclure, il suffit de vérifier que pour m ⩽ −d_{L} et r ⩾ s tel que j_{r}(L_{∞}/L) ⩾ −m − d_{L}, le diagramme

[figure: 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d_{L}}; ^{\overline{ϕ}^{r+1}}; N_{Lr+1/Lr}; μ_{p}(C); 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d_{L}}; _{\overline{ϕ}_{r}}; μ_{p}(C)]

commute. Quitte à agrandir encore s le diagramme précédent s’insère dans le diagramme commutatif

[figure: \overline{ϕ}_{r+1} : 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d_{L}}; ^{\overline{tr}^{r+1}}; N_{Lr+1/Lr}; 𝔪_{r+1}^{t(m)}/𝔪_{r+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{r+1}}; N_{Kr+1/Kr}; μ_{p}(C); \overline{ϕ}_{r}: 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d_{L}}; _{\overline{tr}_{r}}; 𝔪_{r}^{t(m)}/𝔪_{r}^{−d}; _{\overline{ψ}_{r}}; μ_{p}(C)]

On a déjà démontré que le carré de gauche commute et celui de droite commute par l’admissibilité de (ψ_{r})_{r∈ℕ}, ce qui achève la preuve.

5.3 Déformation au corps des normes

5.3.1 Conservons les hypothèses et les notations de (5.1.5) et de (5.2.1). L’image de W_{E_{K}} par l’isomorphisme canonique G_{E_{K}} →^{∼} Gal(K^{sep}/K_{∞}) (5.1.7) est contenue dans W_{K} (2.1) ; on la note W (K^{sep}/K_{∞}). La suite (W_{K_{r}})_{r∈ℕ} est une suite decroissante de sous-groupes de W_{K} ; leurs intersection coïncide avec W (K^{sep}/K_{∞}).

Soit V = (V, ρ) une C-représentation de Weil de K. On pose, pour tout r ⩾ 0, ρ_{r} = ρ_{|W_{Kr}}, V_{r} = (V, ρ_{r}). On définit une C-représentation de Weil de E_{K}, notée V_{∞} = (V, ρ_{∞}), par

ρ_{∞}: W_{E_{K}} ⟶^{∼} W (K^{sep}/K_{∞}) ⟶^{ρ_{|W (K^{sep}/K∞)}} GL_{C}(V).

On appelle V_{∞} la déformation de V au corps des normes. C’est évidemment un foncteur exact de Rep_{C}(W_{K}) dans Rep_{C}(W_{E_{K}}) ; on note encore λ ↦ λ_{∞} l’homomorphisme Gr (Rep_{C}(W_{K})) → Gr (Rep_{C}(W_{E_{K}})) induit sur les groupes de Grothendieck. Il résulte de (5.1.8) que la suite (ar(ρ_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(ρ_{∞}) ; voir aussi [Mar04, 5.4 et 5.5].

Soient L/K une extension finie et V une C-représentation de Weil de L. On vérifie que

(Ind_{W_{L}}^{W_{K}} V )_{∞} = Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} (V_{∞})^{⊕|L∩K_{∞}:K|}

En particulier, si L/K est admissible, on a (Ind_{W_{L}}^{W_{K}} V )_{∞} = Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} (V_{∞}).

Soient (V, ρ, N) une représentation de Weil-Deligne de K. Pour tout r ⩾ 0, on note V_{r} la Creprésentation de Weil-Deligne (V, ρ_{r}, N) de K_{r}. On définit la déformation de (V, ρ, N) au corps des normes, notée abusivement V_{∞}, comme la C-représentation de Weil-Deligne (V, ρ_{∞}, N) de E_{K}.

5.3.2 Soit χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère. Pour tout entier r ⩾ 0, on note χ_{r} = χ ∘ N_{K_{r}/K} et χ_{∞}: E_{K}^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère défini par χ_{∞}((x_{r})_{r∈ℕ}) = χ_{r}(x_{r}) = χ_{0}(x_{0}). Soit V (χ) (resp. V (χ_{r}), resp. V (χ_{∞}) ) la C-représentation de Weil de K (resp. K_{r}, resp. E_{K}) de rang 1 associée à χ (resp. χ_{r}, resp. χ_{∞}). On a alors V (χ)_{∞} = V (χ_{∞}) et V (χ)_{r} = V (χ_{r}), pour tout r ⩾ 0. On en déduit que la suite (ar(χ_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(χ_{∞}). On note c la partie entière de \frac{ar(χ_{∞})}{2} et c^{+} = ar(χ_{∞}) − c, de sorte que c^{+} = c si ar(χ_{∞}) est pair et c^{+} = c + 1 sinon.

Lemme 5.3.3. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, (ψ_{r}: K_{r} → C^{∗})_{r∈ℕ} une tour admissible d’ordre d de caractères additifs non-triviaux et, pour r ⩾ 0, a_{r} ∈ K_{r} une ψ_{r}-jauge de χ_{r} (2.17). Il existe alors un entier s ⩾ 0 tel que pour r ⩾ s,

\frac{N(a_{r+1})}{a_{r}} ∈ U_{r}(c)
N(a_{r+1}) − a_{r} ∈ 𝔪_{r}^{−d−c^{+}}

où on a noté N la norme N_{K_{r+1}/K_{r}}: K_{r+1} → K_{r}.

Dém. Pour tout entier r ⩾ 0, on choisit une uniformisante π_{r} de O_{r} telle que N(π_{r+1}) = π_{r}. Soit s tel que pour r ⩾ s, ar(χ_{r}) et d(ψ_{r}) soient constants. Si ar(χ_{s}) = 0, alors, pour r ⩾ s, π_{r}^{−d} est une ψ_{r}-jauge de χ_{r} et le lemme est évident. On suppose ar(χ_{s}) > 0. On déduit la première équation de la deuxième en divisant par a_{r}. Si y ∈ O_{r+1}, alors v_{K_{r}}(N(1 + y) − 1 − N(y)) ⩾ j_{r}, cf. (5.1.3). Donc pour r ⩾ s, tel que j_{r} ⩾ ar(χ_{r}) = c + c^{+}, et pour y ∈ O_{r+1} de valuation v_{K_{r+1}}(y) ⩾ c^{+} > 0, on a

ψ_{r+1}(a_{r+1}y) = χ_{r+1}(1 + y) = χ_{r}(N(1 + y))
= χ_{r} (1 + \frac{N(1 + y) − 1 − N(y)}{1 + N(y)}) χ_{r}(1 + N(y))
= χ_{r}(1 + N(y))
= ψ_{r}(a_{r}N(y)).

Par définition de tour admissible, pour r et y comme ci-dessus, on a

ψ_{r+1}(a_{r+1}y) = ψ_{r}(N(a_{r+1})N(y)).

Donc, quitte à agrandir s, pour tout r ⩾ s et tout y ∈ O_{r+1} de valuation v_{K_{r+1}}(y) ⩾ c^{+}, on a ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))N(y)) = 1. Pour conclure il suffit de prouver que

ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))𝔪_{r}^{c^{+}}) = {1}.

Soit z ∈ 𝔪_{r}^{c^{+}}. On pose m = v_{K_{r}}(z) et z = απ_{r}^{m}, où α ∈ O_{r}^{∗}. Par (5.1.4.1), il existe β ∈ O_{r+1}^{∗} tel que N(β) = α(1 + u), avec u ∈ 𝔪_{r}^{i_{r}}. Si on prend y = βπ_{r+1}^{m}, alors N(y) = N(βπ_{r+1}^{m}) = z + zu. Comme i_{r} ⩾ j_{r} ⩾ c + c^{+} > c, alors

ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))z) = ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))N(y))ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))zu)^{−1} = 1.

Proposition 5.3.4. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère et (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs non-triviaux. Alors il existe un entier positif s tel que pour tout r ⩾ s, on a

ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r}) = ε([χ_{∞}] − [1_{E_{K}}], ψ_{∞}).

Dém. Soit s tel que pour r ⩾ s, ar(χ_{r}) et d(ψ_{r}) soient constants. L’énoncé est évident si χ_{s} est non ramifié. Pour tout r ⩾ s, soit a_{r} ∈ K_{r} une ψ_{r}-jauge de χ_{r}; la classe \overline{a}_{r} de a_{r} dans K_{r}^{∗}/U_{r}(c) est uniquement déterminée (2.17). Par le lemme 5.3.3, quitte à agrandir s, on a, pour r ⩾ s, N(\overline{a}_{r+1}) = \overline{a}_{r}. On en déduit par (5.1.11-2), un élément \overline{a}_{∞} = (\overline{a}_{r})_{r⩾s} ∈ E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c). Soit a_{∞} ∈ E_{K}^{∗} un relèvement de \overline{a}_{∞}. Montrons que a_{∞} est une ψ_{∞}-jauge de χ_{∞}. D’après (2.17), on peut supposer que a_{r} = (a_{∞})_{r}; pour tout r ⩾ s, a_{r} est une ψ_{r}-jauge de χ_{r} et N(a_{r+1}) = a_{r}. Soit y = (y_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K}, de valuation v_{E_{K}}(y) ⩾ c^{+}. On a,

χ_{∞}(1 + y) = χ_{0}((1 + y)_{0}) = χ_{0}( lim_{r→+∞} N_{K_{r}/K_{0}}(1 + y_{r})) = lim_{r→+∞} χ_{r}(1 + y_{r}) = lim_{r→+∞} ψ_{r}(a_{r}y_{r}).

Comme N(a_{r+1}y_{r+1}) = a_{r}y_{r}, ψ_{r}(a_{r}y_{r}) est constant égal à ψ_{∞}(a_{∞}y), cf. (5.2.4). Par (2.18), on a

ε([χ_{∞}] − [1_{E_{K}}], ψ_{∞}) = q_{0}^{c} ∑_{\overline{β}∈U(c)/U(c^{+})} \frac{ψ_{∞}(a_{∞}β)}{χ_{∞}(a_{∞}β)},

où U(c)/U(c^{+}) désigne U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c^{+}) et β est un relèvement de \overline{β}. En vertu de (5.1.11-3), pour tout r assez grand, l’application U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c^{+}) → U_{r}(c)/U_{r}(c^{+}), \overline{β} ↦ \overline{β}_{r} est un isomorphisme et comme ψ_{∞}(a_{∞}β)χ_{∞}(a_{∞}β)^{−1} = ψ_{r}(a_{r}β_{r})χ_{r}(a_{r}β_{r})^{−1}, la proposition s’en suit.

On note C la C-représentation de Weil triviale de rang 1.

Théorème 5.3.5. Soient V = (V, ρ) ∈ Rep_{C}(W_{K}) et (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs non-triviaux. Alors il existe s tel que pour tout r ⩾ s, on a

ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r}) = ε([V_{∞}] − dim V [C], ψ_{∞}).

Dém. On peut supposer V irréductible. Par (2.3), C étant algébriquement clos, on a ρ = ρ′ ⊗ γ, où ρ′: W_{K} → GL_{C}(V) est une représentation qui se factorise par un quotient fini et γ: W_{K} → C^{∗} est un caractère non-ramifié. On pose V′ = (V, ρ′). On se donne, pour tout r ⩾ 0, un Frobenius géométrique F_{r}^{∗} de W_{K_{r}} et un Frobenius géométrique de W_{E_{K}}, qu’on note F_{∞}^{∗}. En appliquant (2.19-2), on obtient

ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r}) = γ_{r}(F_{r}^{∗(ar(ρ′_{r})+d(ψ_{r}) dim V)})ε([V′_{r}] − dim V [C], ψ_{r}),

Par (5.3.1) la suite (ar(ρ′_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(ρ′_{∞}). Par définition la suite (d(ψ_{r}))_{r∈ℕ} (resp. (γ(F_{r}^{∗}))_{r∈ℕ} ) est stationnaire (resp. constante) de limite égale à d(ψ_{∞}) (resp. γ_{∞}(F_{∞}^{∗}) ). Donc, quitte à changer les notations, on peut supposer que ρ: W_{K} → GL_{C}(V) se factorise par un quotient fini G. Par le théorème d’induction de Brauer [De73, Prop.1.5], on écrit

[V] − dim V [C] = ∑_{H⩽G,V_{H}} n(V_{H}) Ind_{H}^{G}([V_{H}] − [C]),

où H (resp. V_{H}) varie parmi les sous-groupes de G (resp. les C-représentations de H de rang 1) et les n(V_{H}) sont des entiers. Par linéarité du facteur epsilon, on est ramené à démontrer le théorème pour les représentations virtuelles de la forme Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]), où L est une extension finie de K et V est une C-représentation de Weil de L, de rang 1, qui se factorise par un quotient fini H de W_{L}. Comme on s’interesse à la restriction de Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]) à W_{K_{r}} pour r assez grand, quitte à remplacer K par une extension finie dans K_{∞}, on peut supposer L ∩ K_{∞} = K. On vérifie que

Res_{W_{K}}^{W_{Kr}} Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]) = Ind_{W_{L·Kr}}^{W_{Kr}} Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]),

en utilisant le cas particulier suivant du théorème de Mackey :

Lemme 5.3.6 [Isa94, Ch.5, Pr.(5.2)]. Soient G un groupe fini , H ⩽ G et V une C-représentation de H. Si S ⩽ G tel que HS = G, alors Res_{G}^{S} Ind_{H}^{G} V = Ind_{S∩H}^{S} Res_{H}^{S∩H} V.

D’où, par 2.14-(2),

ε(Res_{W_{K}}^{W_{Kr}} Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]), ψ_{r}) = ε(Ind_{W_{L·Kr}}^{W_{Kr}} Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]), ψ_{r})
= ε(Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]), ψ_{r} ∘ tr_{L·K_{r}/K_{r}}).

On note χ: L^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère associé à V. Quitte à remplacer L et K par une extension finie contenue respectivement dans L_{∞} et K_{∞}, on peut supposer L/K admissible (5.1.9), donc L · K_{r} = L_{r}. Avec les notations de (5.3.2), on a

ε(Res_{W_{L}}^{W_{Lr}} ([V] − [C]), ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}) = ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}).

Par 5.2.6 et 5.3.4, il existe un s ∈ ℕ, tel que pour r ⩾ s, on a

ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}) = ε([χ_{∞}] − [1_{E_{L}}], ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}).

On note V (χ_{∞}) la C-représentation de Weil de E_{L} de rang 1, associée à χ_{∞}. Par (2.14), on a

ε([χ_{∞}] − [1_{E_{L}}], ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}) = ε(Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} ([V (χ_{∞})] − [C]), ψ_{∞}),

et par (5.3.1), Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} ([V (χ_{∞})] − [C]) = (Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]))_{∞}, ce qui achève la preuve.

5.3.7 Pour toute mesure de Haar ν_{∞} sur E_{K}, on note ν_{r} l’unique mesure de Haar sur K_{r} telle que ν_{r}(O_{K_{r}}) = ν_{∞}(O_{E_{K}}).

Corollaire 5.3.8. Soient (V, ρ, N) une C-représentation de Weil-Deligne de K, ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K} et θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial. On se donne une tour admissible de caractères additifs (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ (5.2.5). Alors il existe un entier s ⩾ 0 tel que pour tout r ⩾ s, on a

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε(V_{∞}, θ, ν_{∞})
ε_{0}(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε_{0}(V_{∞}, θ, ν_{∞}).

Dém. Supposons d’abord N = 0. On a alors

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r})ε(C, ψ_{r}, ν_{r})^{dim V}
= ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r})ν_{r}(O_{K_{r}})^{dim V} q_{0}^{d(ψ_{r}) dim V} .

Par construction, d(ψ_{r}) se stabilise à d(θ) et ν_{r}(O_{K_{r}}) est constant égal à ν_{∞}(O_{E_{K}}). On conclut en appliquant (5.3.5). Pour le cas général, il suffit de remarquer que det(−ρ(F_{n}^{∗})|V^{I_{Kn}} /Ker N^{I_{Kn}}) se stabilise en det(−ρ(F_{∞}^{∗})|V^{I_{E_{K}}} /Ker N^{I_{E_{K}}}), où F_{n}^{∗} (resp. F_{∞}^{∗}) désigne un Frobenius géométriques quelconque de W_{K_{n}} (resp. W_{E_{K}}). L’assertion pour ε_{0} s’ensuit.

5.4 Applications aux représentations de de Rham

5.4.1 Dans cette sous-section, on suppose que C contienne K^{sep}. On pose K_{a} = Fr W(k) et on note K_{a}^{nr} son extension maximale non-ramifiée dans K^{sep} et B_{st} l’anneau des périodes des représentations semi-stables de G_{K}.

Soit V une représentation galoisienne p-adique, i.e. un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. On pose [Fon94a, 5.6.4]

D_{pst}(V) = \underrightarrow{lim}_{G′⩽G_{K}} (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{st})^{G′},

où la limite est prise sur les sous-groupes ouverts de G_{K}. C’est un K_{a}^{nr}-espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à la dimension de V sur ℚ_{p}. Il est muni d’une action ρ̃: G_{K} → Aut_{K_{a}}(D_{pst}(V)), semi-linéaire par rapport à l’action naturelle de G_{K} sur K_{a}^{nr}, d’une application σ-linéaire équivariante φ: D_{pst}(V) → D_{pst}(V) et d’un endomorphisme nilpotent équivariant N tels que N ∘ φ = pφ ∘ N.

Suivant Fontaine et Perrin-Riou [PR95, App. C.1.4], on muni D_{pst}(V) d’une action linéaire ρ de W_{K} en posant

∀w ∈ W_{K}, ρ(w) = ρ̃(w)φ^{fν(w)}.

Le triplet (D_{pst}(V), ρ, N) est une K_{a}^{nr}-représentation de Weil-Deligne de K qu’on note abusivement D_{pst}(V).

Soient ψ: K → C^{∗} un caractère additif non trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeur dans C. On pose

ε(V, ψ, μ) = ε(D_{pst}(V) ⊗_{K_{a}^{nr}} C, ψ, μ).

Ces définitions prennent tout leur intérêt dans le cas d’une représentation de de Rham V où on a dim_{K_{a}^{nr}} D_{pst}(V) = dim_{ℚ_{p}} V.

Pour tout entier r ⩾ 0, on note V_{r} la restriction de V à G_{K_{r}}. Comme, D_{pst}(V_{r}) = D_{pst}(V)_{|W_{Kr}}, on obtient par (5.3.8), le corollaire suivant.

Corollaire 5.4.2. Soient V une représentation de de Rham de G_{K}, D_{pst}(V)_{∞} la déformation au corps des normes (5.3.1) de D_{pst}(V), θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial et ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K} à valeurs dans K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)). On se donne une tour admissible de caractères additifs (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ, cf. (5.2.5). Alors il existe un entier positif s, tel que pour tout r ⩾ s,

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞}),
ε_{0}(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε_{0}(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞}).

Corollaire 5.4.3. Soient K_{∞} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, V une représentation de de Rham de G_{K}, N_{dR}(V) le (φ, ∇)-module de Berger associé à V [Berg02, 5.20], θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial et ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K} à valeurs dans K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)). Alors, on a (3.4.4)

WD(N_{dR}(V)) = D_{pst}(V)_{∞}  (5.4.3.1)
ε(N_{dR}(V), θ, ν_{∞}) = ε(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞})  (5.4.3.2)

et de même pour ε_{0}.

Dém. Dans [Mar04, pg. 430], on a noté D_{pst}^{∞}(V) la représentation semi-linéaire de G_{E_{K}} obtenue à partir de D_{pst}(V)_{|Gal(K^{sep}/K_{∞})} via l’isomorphisme canonique Gal(K^{sep}/K_{∞}) ≅ G_{E_{K}}. Par [Mar04, 5.9-i)], on a S(N_{dR}(V)) ≅ D_{pst}^{∞}(V) en tant que K_{a}^{nr}-modules de Deligne de E_{K}. En recopiant (5.4.1), on peut considérer D_{pst}^{∞}(V) (resp. S(N_{dR}(V)) ) comme une K_{a}^{nr}-représentation de Weil-Deligne de E_{K} ; elle est alors égale à la déformation au corps des normes D_{pst}(V)_{∞} de D_{pst}(V) (resp. à WD(N_{dR}(V)) ), d’où (5.4.3.1). On en déduit immédiatement (5.4.3.2).

Remerciements

Cet article est issu d’une partie de ma thèse [Mar06, partie 2], effectuée au laboratoire LAGA de l’Université Paris 13. Je tiens ici à remercier mon directeur Ahmed Abbes, pour son encouragement, son soutien constant tout le long de ce travail et ses relectures critiques. Je remercie Takeshi Saito et Nobuo Tsuzuki pour plusieurs discussions mathématiques qui ont améliorés les résultats présentés ici. Je remercie également Olivier Brinon et Fabien Trihan pour plusieurs commentaires sur ce texte. Cet article a été mis au point lors d’un séjour à l’Université de Tokyo dans le cadre d’une bourse JSPS. Je remercie ces institutions ainsi que le professeur Takeshi Saito pour leur hospitalité.

Références

And02 André, Y. : Filtrations de type Hasse-Arf et monodromie p-adique, Invent. Math. 148 (2002),

285–317.

Berg02 Berger, L. : Représentations p-adiques et équations différentielles, Invent. Math. 148 (2002), 219–

284.

Bert96 Berthelot, P. : Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres. Première partie (version

provisoire 1991). Prépublication IRMR 96-03 (1996).

Bou70 Bourbaki, N. : Éléments de mathématique, Algèbre, Hermann, Paris (1970). ChMe02 Christol, G. et Mebkhout, Z. : Équations différentielles p-adiques et coefficients p-adiques sur les

courbes, Astérisque 279 (2002), 125–183.

Cr87 Crew, R. : F -isocrystals and p-adic Representations, Proc. Symp. Pure Math. 46 (1987), 111–138. Cr92 Crew, R. : F -isocrystals and their monodromy groups, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4ème série, 25

n°4 (1992), 429–464.

Cr98 Crew, R. : Finiteness theorems for the cohomology of an overconvergent isocrystal on a curve, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4ème série, 31 n°6 (1998), 717–763.

Cr00 Crew, R. : Canonical extensions, irregularities, and the Swan conductor, Math. Ann. 316 (2000),

19–37.

Cr04 Crew, R. : Arithmetic D-modules on the unit disk, http ://www.math.ufl.edu/∼crew/papers.html,

incomplete version, 7 Decembre 2004, 1–29.

De73 Deligne, P. : Les constantes locales des équations fonctionnelles des fonctions L. Dans : Modular

fonctions of one variable II, Lect. Notes in Math. 349 (1973), 501–597.

DeHe81 Deligne, P. et Henniart, G. : Sur la variation, par torsion, des constantes locales d’équations fonc-

tionnelles de fonctions L, Invent. Math. 64 (1981), 89–118.

Et04 Etesse, J.-Y. : Introduction to L-functions of F -isocrystals. Dans : Geometric aspects of Dwork

theory. Volume I, II, Walter de Gruyter GmbH & CO. KG, Berlin (2004), 701–710.

EtLS93 Etesse, J.-Y. et Le Stum, B. : Fonctions L associées aux F -isocristaux surconvergent I. Interpréta-

tion cohomologique, Math. Ann. 296 (1993), 557–576.

Fon94a Fontaine, J.-M. : Représentations p-adiques semi-stables, Dans : Périodes p-adiques, Astérisque

223 (1994), 113–184.

Fon94b Fontaine, J.-M. : Représentations ℓ-adiques potentiellement semi-stables. Dans : Périodes p-adiques,

Astérisque 223 (1994), 321–347.

Har77 Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, Springer-Verlag (1977). Ked04 Kedlaya, S.K. : A p-adic local monodromy theorem, Ann. of Math. 160 (2004), 93–184. Kat72 Katz, N. : Travaux de Dwork, Sem. Bourb. 409, (1972). Kat88 Katz, N. : Gauss sums, Kloosterman sums and monodromy groups, Annals of mathematics studies

116, Priceton Univerity press, Princeton, New Jersey (1988).

Isa94 Isaacs, I.M. : Character Theory of Finite Groups, Dover, New York (1994). Lau87 Laumon, G. : Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de

Weil, Publ. Math. de I.H.E.S. 65 (1987), 131–210.

Mar04 Marmora, A. : Irrégularité et conducteur de Swan p-adiques, Documenta Math. 9 (2004), 413–433. Mar06 Marmora, A. : Constantes locales p-adiques, Thèse de doctorat (26 Juin 2006), Univ. Paris 13. Mat02 Matsuda, S. : Katz Correspondence for quasi-Unipotent Overconvergent Isocrystals, Comp. Math.

134 (2002), 1–34.

Meb02 Mebkhout, Z. : Analogue p-adique du théorème de Turrittin et le théorème de la monodromie

p-adique, Invent. Math. 148 (2002), 319–351.

PR95 Perrin-Riou, B. : Fonctions L p-adiques des représentations p-adiques, Astérisque 229, Soc. Math.

de France, Paris (1995).

Ser67 Serre, J.-P. : Représentations linéaires de groupes finis, Hermann, Paris (1967). Ser68a Serre, J.-P. : Corps Locaux, deuxième édition, Hermann, Paris (1968). Ser68b Serre, J.-P. : Abelian ℓ-adic représentations and elliptic curves, W.A.Benjamin, New York (1968). Ta67 Tate, J. : Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta-Functions, (Thesis, 1950). Dans :

Algebraic Number Theory, Edité par Cassels, J. et Fröhlich, A., Academic Press (1967), 305–347.

Ta79 Tate, J. : Number Theoretic Background, dans : Proc. Symp. Pure Math. 33, partie 2 (1979), 3–26. Tsu98a Tsuzuki, N. : Finite local monodromy of overconvergent unit-root F-isocrystals on a curve, Amer.

J. Math. 120 (1998), 1165–1190.

Tsu98b Tsuzuki, N. : The local index and Swan conductor, Comp. Math. 111 (1998), 245–288. Tsu98c Tsuzuki, N. : Slope filtration of quasi-unipotent overconvergent F -isocrystals, Ann. Inst. Four.

48(2) (1998), 379–412.

Win83 Wintenberger, J.-P. : Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4ème série, 16 (1983), 59–89.

EGA Dieudonné, J. et Grothendieck, A. : EGA, Publ. Math. IHES. SGA1 Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Revêtements Étales et Groupe Fondamental,

dirigé par A. Grothendieck, avec la collaboration de M. Raynaud. Soc. Math. France, Doc. Math.

3. Édition recomposée de Lect. Notes in Math. 224 (1971).

Adriano Marmora amarmora@mathstat.concordia.ca LAGA, Institut Galilée, Université Paris 13, 93430 Villetaneuse (France) Current address: Department of Mathematics and Statistics, Concordia University, 1455 de Maisonneuve Blvd. West, Montréal, Québec H3G 1M8 (Canada)