Numéro attribué par la bibliothèque

UNIVERSITÉ PARIS 13 — Institut Galilée

« U.F.R DE MATHÉMATIQUES »

\underline{T H È S E}

pour obtenir

le grade de Docteur de l’Université Paris 13

Spécialité : Mathématiques

présentée et soutenue publiquement par

Adriano MARMORA

le 26 juin 2006

Constantes locales p-adiques

Directeur de thèse

Ahmed ABBES

Jury

M. Ahmed ABBES  directeur de thèse
M. Pierre BERTHELOT  rapporteur

M. Bruno CHIARELLOTTO M. Luc ILLUSIE M. William MESSING M. Jacques TILOUINE

Autre rapporteur

M. Nobuo TSUZUKI À la mémoire du Professeur V.Cristante

Remerciements

Je souhaite remercier, avant tout, mon directeur de thèse, Ahmed Abbes. Il a accepté de diriger cette thèse et m’a proposé un sujet de travail qui s’est révélé profond et riche en développements. Il a accompli sa tache avec abnégation et honnêteté. Il a su m’encourager et me pousser à donner le meilleur de moi-même. Il m’a soutenu dans les moments difficiles et il a été intransigeant lorsque il le fallait. Ses remarques et ses critiques constructives sur les versions préliminaires de ce texte ont énormément contribué à améliorer la clarté de l’exposition, la rigueur dans les démonstrations, ainsi que la langue française. Je lui en suis profondément reconnaissant.

Je remercie le Professeur Nobuo Tsuzuki pour son travail de rapporteur, sa lecture attentive et ses remarques.

Le Professeur Pierre Berthelot me fait l’honneur d’être membre du jury de thèse aujourd’hui. Je le remercie également pour son travail de rapporteur, ainsi que pour ses remarques et suggestions.

C’est le Professeur Bruno Chiarellotto qui m’a conseillé, lorsque j’étais étudiant à l’Université de Padoue, de venir en France, d’abord pour suivre des cours de DEA, puis pour travailler avec Ahmed Abbes. Je le remercie pour m’avoir transmis son esprit d’ouverture et je garde un bon souvenir de ses cours à l’université, qu’il donne avec passion. C’est un grand plaisir pour moi qu’il fasse partie du jury.

Dans l’année 2004/2005, j’ai eu la chance de pouvoir assister au cours du Professeur Luc Illusie sur la cohomologie étale à l’Université Paris-Sud. Dans le cadre de ce cours, lors de la préparation d’un exposé sur la transformée de Fourier-Deligne et la formule du produit ℓ-adique, il a eu la patience de m’écouter et de me guider. L’importance pour cette thèse de l’intuition que j’en ai retirée est incontestable. Je le remercie infiniment pour toutes les belles mathématiques qu’il m’apprises et pour tout le soin qu’il a mis dans la préparation de son cours. Il me fait l’honneur aujourd’hui de faire partie du jury.

Je remercie également les professeurs William Messing et Jacques Tilouine d’avoir accepté de faire partie du jury.

Je garde un souvenir ému du Professeur Valentino Cristante. Ses cours à l’Université de Padoue m’ont introduit aux mathématiques, et notamment à la géométrie algébrique et arithmétique. Je me souviens de son style très vivant, clair, et de son goût pour les belles mathématiques. Sa disparition l’année dernière m’a profondément touché. Je lui dédicace cette thèse.

Lors de ces années passées au LAGA à l’Institut Galilée, j’ai profité d’une ambiance féconde et en même temps détendue. J’en remercie tous les membres du laboratoire, en particulier de l’équipe de géométrie algébrique, ainsi que les secrétaires, le bibliothècaire, et les personnels, pour leur sympathie et leur disponibilité. Un remerciement particulier aux autres thésards, avec lesquels j’ai partagé les plaisirs et les difficultés du quotidien.

Un grand merci à tous mes amis, mathématiciens ou non, proches ou éloignés, poètes et artistes : Andrea et Stefania, Ana et Mauro, Luca et Catarina, Ernesto, Pietro, Olivier, Anna et Dmitri, Maurizio, Paolo, Adriano, Joël, Baptiste, Marko, Tanja et Roberto...

Non avrò mai ringraziato abbastanza la mia famiglia che mi ha sempre sostenuto con affetto, nei momenti difficili come nei più felici. Ai miei genitori, Rosa e Umberto, alle mie sorelle Antonella e Giovanna, a Diego, Silvano ed a mio nipote Pietro, a tutti loro : grazie.

I na kraju, puno hvala tebi, Ano.

Table des matières

Introduction 9

partie 1. Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques 13 1. Introduction 14 2. Conducteurs 15 3. Théorie de Hodge p-adique et (φ, Γ)-modules 16 4. Équations différentielles p-adiques 21 5. Preuve du théorème 1.1 et corollaires 26

partie 2. Facteurs Epsilon p-adiques 31

Notations et conventions 33

Chapitre 1. Représentations de Weil-Deligne 35 1.1. Représentations de Weil, Weil-Deligne et caractères additifs 35 1.2. Constantes locales 38 1.3. Formulaire 40 1.4. Un exemple : le facteur epsilon d’un caractère d’Artin-Schreier 42

Chapitre 2. Facteurs epsilon et corps des normes 45 2.1. Rappels et compléments sur le corps des normes et sur la ramification 45 2.2. Tours admissibles de caractères additifs 49 2.3. Stabilisation des facteurs epsilon 53 2.4. Applications aux représentations de de Rham 57

Chapitre 3. F -isocristaux sur un corps local 59 3.1. Les anneaux de fonctions 59 3.2. Modules de Deligne 62 3.3. (φ, ∇)-modules 64 3.4. (φ, ∇)-modules unités 73 3.5. Modules de Crew 76 3.6. Constantes locales 78

Chapitre 4. Calcul (micro)différentiel arithmétique sur un trait complet 81 4.1. Coefficients binomiaux modifiés 81 4.2. Rappels de calcul différentiel sur un trait complet 82 4.3. F D^{†}-modules holonomes 92 4.4. Microdifférentielles arithmétiques sur un trait complet (niveau 0) 94 4.5. Microlocalisation au niveau 0 97

Chapitre 5. Formule du produit 101 5.1. Rappels sur les F -isocristaux 101 5.2. Rappels sur les fonctions L des F -isocristaux 103 5.3. Formule du produit : conjecture 105

Bibliographie 113

Introduction

Cette thèse est consacrée à l’ étude locale des “système locaux” de coefficients p-adiques sur une courbe. Soit K un corps de valuation discrète complet, de corps résiduel k parfait de caractéristique p > 0. La nature des coefficients p-adiques sur Spec(K) dépend de la caractéristique de K : en inégales caractéristiques, ce sont des représentations p-adiques du groupe de Galois absolu G_{K} de K; en égale caractéristique, ce sont des F -isocristaux surconvergents sur Spec(K) (c’est-à-dire des systèmes d’équations différentielles sur l’anneau de Robba, muni d’une structure de Frobenius). Ce travail a pour but de développer et d’étudier les constantes locales (conducteurs et facteurs epsilon) des coefficients p-adiques dans les deux cas.

Le schéma d’étude est le même en égale ou inégales caractéristiques. D’abord, on associe à un “système local” p-adique un module de Deligne (appelé aussi (φ, N, G_{K})-module par Fontaine). Puis, si le corps résiduel de K est fini, on en déduit par linéarisation du Frobenius une représentation de Weil-Deligne de K, et donc des facteurs locaux en suivant la méthode classique tracée par Deligne et Tate pour les coefficients ℓ-adiques [De73], [Ta79]. Cette approche tannakienne, due à Fontaine, est bien connue en inégales caractéristique ; elle est à la base de la théorie de Hodge p-adique. On se propose ici de la calquer en égale caractéristique. Pour ce faire, on utilise le théorème de monodromie p-adique démontré par André, Mebkhout et Kedlaya, et on définit le module de Deligne d’un F -isocristal sur Spec(K), comme étant l’espace des “hypersolutions” de l’isocristal.

Le module de Deligne et à fortiori les invariants locaux définis par le formalisme tannakien sont en général difficiles d’accès. C’est pourquoi on aimerait bien leur trouver une interprétation directe. On attaque ce problème en deux étapes. D’abord, on passe du cas d’inégales caractéristiques au cas d’égale caractéristique par une “déformation cyclotomique” appelée corps des normes, due à Fontaine et Wintemberger [Win83]. Une partie importante de ce travail consiste à suivre les constantes locales le long de cette déformation. Le reste du travail se situe en égale caractéristique. Il s’agit alors de donner des interprétations directes, différentielles ou géométriques, des constantes locales.

Cette stratégie est beaucoup plus simple à réaliser pour le conducteur. Commençons donc par ce cas. En égale caractéristique, on dispose d’un invariant différentiel d’un F - isocristal qui a été défini par Robba, Christol et Mebkhout sur le modèle des équations différentielles classiques, à savoir l’irrégularité p-adique. L’interpretation différentielle du conducteur de Swan est essentiellement due à Matsuda en rang 1 et à Tsuzuki dans le cas général. Tsuzuki à démontré le résultat suivant [Tsu98a], [Tsu98b] : il y a une équivalence tannakienne entre la catégorie des F -isocristaux surconvergents unités^{1} sur Spec(K), et la catégorie des représentations p-adiques continues de G_{K} ayant monodromie finie ; sous cette correspondance l’irrégularité p-adique d’un F -isocristal est égale au conducteur de Swan de la représentation associée. On étend ce résultat au cas général en démontrant que l’irrégularité d’un F -isocristal vaut le conducteur de Swan du module de Deligne associé, cf. [An02a, 7.1.2], [Mat02, 8.6] et (partie 1, 4.10).

Dans la première partie de cette thèse, je développe l’aspect “déformation cyclotomique” pour les conducteurs. Supposons K de caractéristique 0 et soit V une représentation de de Rham de G_{K}. Je démontre que la suite des conducteurs de Swan de la restriction de V le long de la tour p-cyclotomique de K est stationnaire, et elle vaut le conducteur de la représentation de Weil-Deligne induite par V sur le corps des normes. Grâce au résultat de Matsuda-Tsuzuki, j’en déduit que cette limite est l’irrégularité de l’équation différentielle p-adique associée à V par Berger [Berg02].

Pour le facteur epsilon, les deux aspects du travail sont nouveaux. En inégales caractéristiques, je stabilise les facteurs epsilon p-adiques pour une représentation de de Rham V de G_{K} le long de la tour p-cyclotomique. Plus précisément, je démontre que pour un bon choix des caractères additifs (relativement à la tour p-cyclotomique), la suite des facteurs epsilon de la restriction de V le long de la tour p-cyclotomique de K est stationnaire, et que sa limite est le facteur epsilon sur le corps des normes (partie 2, 2.4.2).

La partie la plus difficile de ce travail est l’interprétation différentielle du facteur epsilon en égale caractéristique. Supposons désormais K d’égale caractéristique et notons O_{K} l’anneau des entiers de K. L’idée qui a guidé ma recherche et qui reste pour l’instant inachevée, est la suivante. En utilisant le principe local-global de Katz-Gabber pour les F -isocristaux surconvergents, démontré par Matsuda [Mat02], la question se ramène à une formule du produit pour les facteurs epsilon pour les F -isocristaux surconvergents sur une courbe lisse au-dessus d’un corps fini. C’est un analogue de la formule du produit pour les faisceaux étales ℓ-adiques, conjecturée par Deligne et démontrée par Laumon en 1984 [Lau87]. Je dégage l’analogue p-adique de cette formule (partie 2, 5.3.9) et je le démontre pour les F -isocristaux unités de rang 1 (partie 2, 5.3.15), et pour les F -isocristaux unités finies (partie 2, 5.3.16).

Pour attaquer la formule du produit p-adique dans le cas général, ma stratégie inspirée de l’analogue ℓ-adique, consiste à établir un “principe de la phase stationnaire” sur la droite affine 𝔸_{k}^{1}. Pour ce faire, il est nécessaire de travailler avec des coefficients plus généraux, à savoir les F D^{†}-modules de Berthelot. La première étape est purement locale. Soient O_{C} un anneau de valuation discrète, complet, de caractéristique 0 et de corps résiduel k, 𝒮 un relèvement de Spec(O_{K}) en un O_{C}-schéma formel formellement lisse. Dans des travaux récents et inachevés [Cr04a], [Cr04b’], Crew reprend la définition de l’anneau D^{†} des opérateurs différentiels arithmétiques de Berthelot sur 𝒮 . Il développe aussi un formalisme tannakien pour les F D^{†}-modules holonomes. Je reprend en détails cette étude. L’anneau D^{†} est une limite inductive sur le niveau m ∈ ℕ, d’anneaux D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}. Je construit et j’étudie

l’anneau Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} des microdifférentielles arithmétiques de niveau 0 (partie 2, section 4.4). Je propose aussi une définition de l’anneau Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} des microdifférentielles de niveau m (partie 2, 4.4.9) pour lequel je n’ai pas encore un théorème de structure. En m’inspirant de l’analyse algébrique ([Kas83], [Mal91] et [Sab02]) et de la théorie formelle des opérateurs finis [Lop04], je propose une définition de la micro-localisation (ou la transformée de Fourier locale) pour un D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module, et un énoncé conjectural de la phase stationnaire locale. Cette approche, généralisée au niveau supérieur, pourrait aussi fournir une interprétation, analogue au cas ℓ-adique, du facteur epsilon en tant que “déterminant” du Frobenius agissant sur la transformée de Fourier locale.

1unit-root en anglais

Ce texte est composé de deux parties indépendantes avec une bibliographie commune. La première partie reproduit mon article [Mar04] publié dans Documenta Mathematica 9 (2004). Elle contient le théorème de comparaison entre le conducteur de Swan et l’irrégularité en inégale caractéristique.

La deuxième partie est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre est introductif, il contient les rappels et le formalisme concernant les représentations de Weil-Deligne et leurs constantes locales. Il se termine par le calcul du facteur epsilon pour un caractère d’Artin-Schreier.

Le deuxième chapitre traite de la déformation au corps de normes des facteurs epsilon. Dans la dernière section on donne les applications aux facteurs epsilon d’une représentation de de Rham.

Le troisième chapitre est consacrée aux F -isocristaux sur un corps local d’égale caractéristique, appelés aussi (φ, ∇)-modules. On démontre l’équivalence tannakienne entre la catégorie des (φ, ∇)-modules sur l’anneau de Robba et la catégorie des modules de Deligne. Dans la section 3.4, on fait le lien avec le théorème de classification de Tsuzuki pour les (φ, ∇)-modules unités. Le section 3.5 contient des rappels sur des objets d’algèbre linéaire introduits par Crew [Cr04a, §5], rebaptisés ici modules de Crew. Leurs utilité sera claire dans la section 4.3. Enfin, dans la section 3.6, on définit les constantes locales associées à un F -isocristal.

Le quatrième chapitre ébauche l’analyse micro-locale pour les D^{†}-modules arithmétiques. On commence par des rappels de calcul différentiel. Puis dans la sections 4.3, on esquisse le théorème de classification de Crew pour les F D^{†}-modules holonomes. Dans la section 4.4, on construit les microdifférentielles arithmétiques de niveau 0. La microlocalisation est introduite dans 4.5. On termine par l’énoncé de la conjecture de la phase stationnaire locale (4.5.8).

Le cinquième chapitre concerne la formule du produit pour les F -isocristaux surconvergents sur une courbe. Après des rappels sur les F -isocristaux et leurs fonctions L, on énonce la conjecture de la formule du produit (5.3.9) et on la démontre pour les F -isocristaux unités de rang 1 (5.3.15), et pour les F -isocristaux unités finies (5.3.16).

Première partie

Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques

1. Introduction

Soient K un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0, de corps résiduel k parfait de caractéristique p > 0, et \overline{K} une clôture algébrique de K. On note G_{K} le groupe de Galois de \overline{K}/K et I_{K} le sous-groupe d’inertie. Fontaine a défini une hiérarchie sur les représentations p-adiques de G_{K}(i.e. les ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de G_{K}) : représentations de de Rham ⊃ rep. semi-stables ⊃ rep. cristallines. Le théorème de monodromie p-adique affirme que toute représentation de de Rham est potentiellement semi-stable, i.e. sa restriction à un sous-groupe ouvert de G_{K} est semi-stable. Le but de cet article est l’étude d’invariants numériques qui mesurent le défaut de semi-stabilité de représentations potentiellement semi-stables. Une telle représentation est entièrement décrite par son module de Weil-Deligne D_{pst}(V). Celui-ci est muni d’une action de G_{K} dont la restriction à l’inertie se factorise par un quotient fini. Fontaine [Fon79] définit les conducteurs de Swan et d’Artin de V, notés respectivement sw(V) et ar(V), comme étant les conducteurs de Swan et d’Artin de D_{pst}(V). Dans un travail récent [Berg02], Berger associe à toute représentation de de Rham V une équation différentielle p-adique N_{dR}(V) munie d’une structure de Frobenius. À une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius, Christol et Mebkhout [ChMe01] associent un invariant entier irr(M), l’irrégularité de M.

Pour tout n ∈ ℕ, soient μ_{n} le groupe des racines p^{n}-ièmes de l’unité dans \overline{K} et K_{n} = K(μ_{n}). Pour une représentation p-adique V de G_{K}, on note V_{n} sa restriction au sous-groupe Gal(\overline{K}/K_{n}). Le résultat principal de cet article est le suivant.

Théorème 1.1. Pour toute représentation de de Rham V de G_{K}, on a

irr(N_{dR}(V)) = lim_{n→+∞} sw(V_{n}).

Le théorème 1.1 est l’analogue en caractéristique zéro d’un théorème de Tsuzuki en caractéristique p > 0. Soit E un corps de valuation discrète complet, de caractéristique p et de corps résiduel parfait. Dans [Tsu98a], Tsuzuki montre que la catégorie des représentations p-adiques de G_{E} = Gal(E^{sep}/E) dont l’inertie agit par un quotient fini (monodromie finie), est équivalente à la catégorie des φ-∇-modules étales sur un corps valué E^{†}(E) de caractéristique 0, d’anneau d’entiers hensélien et de corps résiduel E (voir §4.8 pour la définition). Puis dans [Tsu98b], il démontre l’égalité entre le conducteur de Swan de la restriction à l’inertie d’une telle représentation et l’irrégularité du ∇-module correspondent. Dans la démonstration de 1.1, on se ramène, par la théorie du corps des normes, au cas d’un corps de valuation discrète complet d’égale caractéristique p > 0. Cependant, on ne peut pas appliquer directement le résultat de Tsuzuki, car dans notre cas, l’action de l’inertie ne se factorise pas par un quotient fini. La stratégie de la démonstration consiste à décrire la représentation de Weil-Deligne en termes de l’équation différentielle de Berger, puis de reprendre une partie de la preuve de Tsuzuki (l’induction de Brauer). Comme corollaires du théorème 1.1, on en déduit un résultat analogue pour le conducteur d’Artin (cf. 5.7) et l’égalité entre un polygone de Newton de pentes p-adiques et une limite de polygones de Newton de pentes de Swan (cf. 5.9).

Quand cet article a été déjà achevé, l’auteur a reçu une prépublication de P.Colmez [Col03] dont le résultat principal est une formule pour sw(V) en termes d’une filtration sur D_{dR}(V). Les deux travaux sont indépendants et les méthodes utilisées semblent différentes.

Cet article est une partie de la thèse de doctorat en mathématique que je prépare à l’université de Paris 13, sous la direction d’Ahmed Abbes. Je tiens ici à le remercier pour son soutien constant tout le long de ce travail et ses lectures attentives des versions préliminaires de ce texte. Je remercie également le referee qui, par ses remarques, a amélioré ce manuscrit.

Notations. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W = W(k) (resp. W_{n} = W_{n}(k)) l’anneau des vecteurs de Witt infinis (resp. de longueur n ≥ 1) et K_{a} = Fr W le corps des fractions de W. On note | · | la valeur absolue de K_{a} normalisée par |p| = p^{−1} et σ l’endomorphisme de Frobenius agissant sur k, W_{n}, W et K_{a}. On fixe une extension finie K/K_{a} totalement ramifiée et une clôture algébrique \overline{K} de K. On note O\overline{K} la clôture intégrale de O_{K} dans \overline{K}, \overline{k} son corps résiduel, O_{C} le complété p-adique de O\overline{K} et C = Fr O_{C}. Pour toute extension finie L de K_{a}, contenue dans \overline{K}, on note O_{L} son anneau d’entiers, k_{L} son corps résiduel et L_{a} = Fr W(k_{L}). Pour tout n ∈ ℕ, soient μ_{n} le groupe des racines p^{n}-ièmes de l’unité dans \overline{K} et L_{n} = L(μ_{n}). On note L_{∞} la réunion des L_{n}, pour n ∈ ℕ, H_{L} = Gal(\overline{K}/L_{∞}) et Γ_{L} = Gal(L_{∞}/L). Soit χ : G_{K} → ℤ_{p}^{∗} le caractère cyclotomique. Une représentation galoisienne p-adique (ou une ℚ_{p}-représentation galoisienne) est un ℚ_{p}- espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. On note Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) la catégorie des ℚ_{p}-représentations de G_{K}.

2. Conducteurs

On note B_{cris} et B_{st} = B_{cris}[X] les anneaux des périodes de Fontaine associés à K (cf. [Fon94a]). Soient N : B_{st} → B_{st} la B_{cris}-dérivation qui envoie X sur −1 et φ le Frobenius agissant sur B_{cris} et B_{st}. Ces applications vérifient Nφ = pφN. Ces anneaux sont munis d’une action continue de G_{K_{a}} commutant avec φ et N. Soit L/K_{a} une extension finie contenue dans \overline{K}. On note G_{L} = Gal(\overline{K}/L). On rappelle que B_{st}^{G_{L}} = B_{cris}^{G_{L}} = L_{a} (cf. [Fon94b, 5.1.2] et [Fon94a, 4.2.5]).

Pour tout V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}), Fontaine définit

D_{cris}(V) = (B_{cris} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} et D_{st}(V) = (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}}.

Ce sont des K_{a}-espaces vectoriels de dimensions inférieures ou égales à la dimension de V sur ℚ_{p}. Le Frobenius de B_{cris} induit un endomorphisme σ-semi-linéaire φ : D_{cris}(V) → D_{cris}(V), appelé Frobenius. L’espace D_{st}(V) est muni d’un Frobenius φ et d’un endomorphisme K_{a}-linéaire N, vérifiant Nφ = pφN. On rappelle que V est dite cristalline (resp. semi-stable) si dim_{K_{a}} D_{cris}(V) = dim_{ℚ_{p}} V (resp. dim_{K_{a}} D_{st}(V) = dim_{ℚ_{p}} V). Elle est dite potentiellement cristalline (resp. potentiellement semi-stable) s’il existe une extension finie K′/K telle que la restriction de V à G_{K′} est cristalline (resp. semi-stable). On note P le corps K ⊗_{K_{a}} Fr W(\overline{k}). C’est le complété p-adique de l’extension maximale non-ramifiée K^{nr} de K dans \overline{K}. Le groupe d’inertie absolu de K est canoniquement isomorphe à G_{P}, le groupe de Galois absolu de P. Dans la suite, pour tout V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}), on considère la restriction de V à I_{K} comme une représentation p-adique de G_{P}. Par [Fon94a, 5.1.5], une représentation V est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable) si et seulement si sa restriction à I_{K} est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable).

Soit V une représentation p-adique potentiellement semi-stable de dimension n. Fontaine définit D_{pst}(V) = \underrightarrow{lim}_{G′≤G_{K}} (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G′}, où la limite est prise sur les sous-groupes ouverts G′ de G_{K} (cf. [Fon94b, 5.6.4]). C’est un K_{a}^{nr}-espace vectoriel de dimension n, muni d’une action semi-linéaire de G_{K}. Si L/K est une extension galoisienne finie telle que V est semi-stable comme représentation de G_{L}, alors (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{L}} est un L_{a}-espace vectoriel de dimension n et l’action de G_{K} se factorise par Gal(L/K). On a un isomorphisme de représentations D_{pst}(V) ≅ K_{a}^{nr} ⊗_{L_{a}} (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{L}}. Par conséquent la restriction D_{pst}(V)_{|I_{K}} est une représentation linéaire de I_{K} qui se factorise à travers le sous-groupe d’inertie de Gal(L/K).

Définition 2.1. [Fon79, 7.4.7] Soit V une représentation p-adique potentiellement semi-stable. Les conducteurs de Swan et d’Artin de D_{pst}(V)_{|I_{K}} sont aussi appelés conducteur de Swan et d’Artin de V et notés respectivement sw(V) et ar(V).

Si G_{K} agit par un quotient fini Gal(L/K) sur V, alors D_{pst}(V) = K_{a}^{nr} ⊗_{ℚ_{p}} V et sw(V) et ar(V) coïncident avec sw(Gal(L/K), V) et ar(Gal(L/K), V) respectivement.

Pour une représentation V potentiellement semi-stable, on considère aussi la variante

ar_{cris}(V) = ar(V) + dim_{K_{a}} D_{st}(V) − dim_{K_{a}} D_{cris}(V).

3. Théorie de Hodge p-adique et (φ, Γ)-modules

3.1. Les anneaux. On pose O_{E} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}(W_{n}⟦T ⟧[\frac{1}{T}]), qui est aussi la complétion p-adique de W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}]. C’est un anneau de valuation discrète, complet, de caractéristique 0, absolument non ramifié, de corps résiduel k((T)). Son corps de fractions O_{E}[1/p] est canoniquement isomorphe à

E = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} | a_{n} ∈ K_{a}, (a_{n})_{n∈ℤ} bornée et lim_{n→−∞} |a_{n}| = 0} .

On pose

E^{†} = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} ∈ E | ∃ 0 < ρ < 1 vérifiant lim_{n→−∞} |a_{n}|ρ^{n} = 0} ,

l’anneau des séries dans E qui convergent sur une couronne {x ∈ C | ρ ≤ |x|_{C} < 1} pour un réel 0 < ρ < 1. Pour tout s ∈ E^{†}, on note v_{1}(s) = inf_{n∈ℤ} v_{K_{a}}(a_{n}) la valuation de Gauss. On rappelle que cette valuation sur E^{†} est discrète et que l’anneau de valuation O_{E^{†}} est hensélien, de corps résiduel k((T))(cf.[Mat95, §2]).

On note aussi σ l’endomorphisme x ↦ x^{p} de O\overline{K}/pO\overline{K}. Soit R (cf. [Fon90, §A3.1.1]) la limite projective du système

⋯ ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K}.

3. THÉORIE DE HODGE p-adique ET (φ, Γ)-modules 17

C’est une \overline{k}-algèbre intègre, parfaite de caractéristique p. On dispose de la description suivante : R ≅ {(x^{(n)})_{n∈ℕ}| x^{(n)} ∈ O_{C}, (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)}}, où, à droite, la multiplication est donnée composante par composante et la somme par la formule (x + y)^{(n)} = lim_{m→+∞} (x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^{m}}. L’anneau R est complet pour la valuation (non-discrète) définie, pour tout x ∈ R, par v_{R}(x) = v_{C}(x^{(0)}), où v_{C} est la valuation de C normalisée par v_{C}(p) = 1. Le corps Fr R est algébriquement clos (cf. [Fon90, A3.1.6]). On rappelle que W(R) ≅ \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}), où les applications de transition sont la composition des morphismes de troncation et du Frobenius σ de O\overline{K}/pO\overline{K}. C’est une W(\overline{k})-algèbre. Le groupe G_{K_{a}} agit par fonctorialité sur W(R) et W(Fr R). On appelle φ le Frobenius de W(R) (resp. W(Fr R)). On fixe une fois pour toutes un élément ε ∈ R tel que ε^{(0)} = 1 et ε^{(1)} ≠ 1. Pour tout x dans R, on note [x] son relèvement de Teichmüller dans W(R).

On vérifie facilement que ((\overline{ε^{(n)}}, 0, …, 0) − 1)^{p^{n}} = 0 dans W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}). On en déduit, pour tout n ∈ ℕ, un morphisme continu W [T]/T^{p^{n}} → W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}), qui envoie T sur (\overline{ε}^{(n)}, 0, …, 0) − 1 et w ∈ W sur σ^{−n}(w). D’où un morphisme continu de W -algèbres W ⟦T ⟧ → W(R), qui envoie T dans [ε] − 1. Comme [ε] − 1 est inversible dans W(Fr R), on obtient un homomorphisme continu de W -algèbres W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}] → W(Fr R), qui se factorise par complétion p-adique en

\xymatrix{W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}] \ar[rr] \ar@{^{(}->}[dr] &  & W(Fr R) \\  & O_{E} \ar[ur]_{i}}

L’homomorphisme i est injectif car i(p) ≠ 0. En inversant p, on obtient i : E → Fr W(Fr R).

Lemme 3.2. [Fon90, A3.2.2] Les anneaux i(E) et i(E^{†}) ne dépendent pas du choix de ε. Ils sont stables par les actions de G_{K_{a}} et du Frobenius φ sur W(Fr R). Les actions induites de G_{K_{a}} et de φ sur E et E^{†} sont données par

∀g ∈ G_{K_{a}},  g(T) = (T + 1)^{χ(g)} − 1,  φ(T) = (T + 1)^{p} − 1.

L’action de G_{K_{a}} se factorise par Γ_{K_{a}}.

On rappelle brièvement la construction du corps des normes (cf. [Win83, §2.2]). L’extension maximale modérément ramifiée de K dans K_{∞} est finie. Soit n_{1} le plus petit entier tel que K_{∞}/K_{n_{1}} soit totalement sauvagement ramifiée. On choisit une uniformisante u de K_{n_{1}}. Pour tout n ≥ n_{1}, le Frobenius de O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} se factorise à travers O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} ⊂ O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}}. Soit λ_{n} : O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} → O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} le morphisme ainsi défini. On pose O_{E_{K}} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} O_{K_{n}}/uO_{K_{n}}, où les applications de transitions sont les λ_{n}. C’est un anneau de valuation discrète, complet, de corps résiduel canoniquement isomorphe au corps résiduel de K_{∞}, qui est une extension finie k′ de k. Il ne dépend pas du choix de u. Soit E_{K} = Fr O_{E_{K}}. Par fonctorialité de la construction, on associe à \overline{K} une clôture séparable E_{K}^{sep} de E_{K} et Gal(E_{K}^{sep}/E_{K}) est canoniquement isomorphe à H_{K}. Pour tout n ≥ n_{1}, on a un diagramme commutatif

\xymatrix{O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]^{λ_{n}} & O\overline{K}/uO\overline{K} \ar[d]^{σ} \\ O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} \ar@{^{(}->}[r] & O\overline{K}/uO\overline{K}}

Comme R ≅ \underleftarrow{lim}_{n≥n_{1}} O\overline{K}/uO\overline{K}, on en déduit des applications injectives O_{E_{K}} ↪ R et E_{K} ↪ Fr R.

Soient E^{nr} l’extension maximale non-ramifiée de E dans Fr W(Fr R) et O_{E}^{sh} son anneau d’entiers. Par fonctorialité de la hensélisation, G_{K_{a}} et φ agissent sur E^{nr}. L’inclusion i : O_{E} ↪ W(Fr R) induit, par réduction modulo p, un isomorphisme canonique entre les corps résiduels de O_{E} et E_{K_{a}}. Par conséquent, Gal(E^{nr}/E) est canoniquement isomorphe à H_{K_{a}}. Soit L une extension finie de K_{a}. On pose E_{L} = (E^{nr})^{H_{L}}. C’est une extension finie non ramifiée de E. Elle est munie d’actions naturelles de Γ_{L} et de φ . Pour L/K_{a} finie galoisienne, E_{L} est muni d’une action naturelle de Gal(L_{∞}/K_{a}). On note O_{E_{L}} l’anneau de valuation de E_{L}. On note k′_{L} le corps résiduel de E_{L} et L′ = Fr W(k′_{L}). Si L est absolument non-ramifié, alors k′_{L} = k_{L} et L′ = L_{a} = L (cf. [CL, Ch.IV, Prop.17]). Dans ce cas le corps E_{L} a la description simple suivante.

Lemme 3.3. Soit L/K_{a} une extension finie non-ramifiée. Il existe un isomorphisme canonique E_{L} ≅ E ⊗_{K_{a}} L, compatible avec l’action de Γ_{L} et du Frobenius. Pour L/K_{a} finie galoisienne, cet isomorphisme est compatible à l’action de Gal(L_{∞}/K_{a}).

Dém. L’anneau E ⊗_{K_{a}} L est un corps car K_{a} est algébriquement fermé dans E et p est inversible. Comme L = L_{a} ⊆ Fr W(Fr R), l’inclusion i s’étend, par linéarité, en i_{L} : E ⊗_{K_{a}} L ↪ Fr W(Fr R). L’image de cette application est contenue dans E_{L}. On a |i_{L}(E ⊗_{K_{a}} L) : E| = |k_{L} : k| = |E_{L} : E_{K_{a}}| = |E_{L} : E|, donc i_{L}(E ⊗_{K_{a}} L) = E_{L}. □

Proposition 3.4. [Fon90, A2.2.1] Soient \overline{π} une uniformisante de E_{L} et π un relèvement dans O_{E_{L}}. Il existe un unique isomorphisme continu de L′-algèbres, ψ_{π} : E_{L′} → E_{L} qui envoie T sur π.

Dém. L’anneau O_{E_{L}} est de valuation discrète, complet, absolument non-ramifié. C’est donc un anneau de Cohen (cf. [EGA, IV_{0} 19.8.5]). Par [EGA, IV_{0} 19.8.6(ii)] il existe un isomorphisme ψ : O_{E_{L′}} → O_{E_{L}} relevant l’isomorphisme k′_{L}((T)) → E_{L} qui envoie T sur \overline{π}. On note ω = π − ψ(T) ∈ pO_{E_{L}}. Soit s = ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} ∈ O_{E_{L′}}. On écrit

∑_{n=0}^{m} a_{n}π^{n} = ∑_{n=0}^{m} a_{n}(ψ(T) + ω)^{n} = ∑_{n=0}^{m} a_{n} ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}ψ(T)^{i}ω^{n−i} =

= ∑_{j=0}^{m} (∑_{i=0}^{m−j} a_{j+i}\binom{j + i}{i}ψ(T)^{i}) ω^{j} = ∑_{j=0}^{m} ψ (∑_{i=0}^{m−j} a_{j+i}\binom{j + i}{i}T^{i}) ω^{j},

où j = n − i. Pour tout j ∈ ℕ, on pose s_{j} = ∑_{i=0}^{+∞} a_{j+i}\binom{j+i}{i}T^{i} ∈ O_{E_{L′}}. On définit ψ_{π}(s) = ∑_{n<0} a_{n}π^{n} + ∑_{j≥0} ψ(s_{j})ω^{j}, qui converge p-adiquement car ω ∈ pO_{E_{L}} et lim_{n→−∞} a_{n} = 0.

L’application ψ_{π} est un isomorphisme O_{E_{L′}} → O_{E_{L}}, qui envoie T sur π. On la prolonge en un isomorphisme E_{L′} → E_{L}. L’unicité est évidente. □

Soient O_{E^{†}}^{sh} l’hensélisé strict de O_{E^{†}} dans W(Fr R) et E^{†}^{nr} son corps des fractions. Par fonctorialité de la hensélisation, G_{K_{a}} et φ agissent sur E^{†}^{nr}. Comme plus haut, l’inclusion canonique O_{E^{†}}^{sh} ↪ W(Fr R) induit un isomorphisme Gal(E^{†}^{nr}/E^{†}) ≅ H_{K_{a}}. Soit L une

extension finie de K_{a}. On pose E_{L}^{†} = (E^{†}^{nr})^{H_{L}}. C’est une extension finie non ramifiée de E^{†}, de corps résiduel E_{L}. Pour L/K_{a} finie galoisienne non-ramifiée, on démontre comme dans le lemme 3.3, qu’il y a un isomorphisme canonique, E^{†} ⊗_{K_{a}} L ≅ E_{L}^{†}, compatible avec l’action de Gal(L_{∞}/K_{a}) et du Frobenius.

Proposition 3.5. [Mat95, Prop. 3.4] Soit \overline{π} une uniformisante de E_{L}. Il existe un relèvement π de \overline{π} dans O_{E_{L}^{†}} tel que sous l’isomorphisme ψ_{π} : E_{L′} → E_{L}, on ait ψ_{π}(E_{L′}^{†}) =

E_{L}^{†}.

On note

R = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} | a_{n} ∈ K_{a}, ∃ρ_{c} ∈]0, 1[ t.q. ∀ρ ∈]ρ_{c}, 1[ , lim_{n→±∞} |a_{n}|ρ^{n} = 0} .

On munit cet anneau d’une action du Frobenius et de Γ_{K_{a}} en posant :

φ(T) = (1 + T)^{p} − 1 et ∀γ ∈ Γ_{K_{a}}, γ(T) = (1 + T)^{χ(γ)} − 1.

On pose t = log(T + 1) ∈ R, qu’on note aussi abusivement log[ε], bien qu’il n’appartienne pas à W(Fr R). On a une inclusion E^{†} ⊂ R compatible avec les actions du Frobenius et de Γ_{K_{a}}.

Pour toute extension finie L/K_{a}, on pose R_{L} = R⊗_{E^{†}} E_{L}^{†}. On vérifie que cet anneau est intègre. C’est une extension étale finie de R. On le munit du Frobenius produit tensoriel des Frobenius sur R et sur E_{L}^{†}. Si L/K_{a} est galoisienne finie, alors le groupe Gal(L_{∞}/K_{a}) agit sur R_{L} en agissant sur R à travers le quotient Γ_{K_{a}} et sur E_{L}^{†} via son action naturelle. On a R_{L}^{Gal(L_{∞}/(K_{a})_{∞})} = R. On vérifie facilement que log \frac{(1+T)^{p}−1}{T^{p}} ∈ R et pour tout γ ∈ Γ_{K_{a}},

log \frac{(1+T)^{χ(γ)}−1}{T} ∈ R. On prolonge les actions de φ et Gal(L_{∞}/K_{a}) à l’anneau des polynômes R_{L}[X] par

φ_{L}(X) = pX + log \frac{(1 + T)^{p} − 1}{T^{p}}

∀γ ∈ Gal(L_{∞}/K_{a}), γ(X) = X + log \frac{(1 + T)^{χ(γ)} − 1}{T}.

On notera formellement X = log T. On désigne par R[1/t] (resp. R[log T][1/t]) le localisé de R (resp. R[log T]) en t. Dans la suite, on considérera souvent sur R_{L}[1/t] et R_{L}[log T][1/t] l’action du sous groupe Γ_{L} de Gal(L_{∞}/K_{a}). On vérifie que (cf. [Berg02, Prop. 3.3])

(R_{L}[log T][1/t])^{Γ_{L}} = L_{a}.

Soit L/K_{a} une extension finie galoisienne, on a R_{L′} ≅ R⊗_{K_{a}} L′. Si on prend un relevement π ∈ E_{L}^{†} d’une uniformisante de E_{L}, satisfaisant la proposition 3.5, alors ψ_{π} se prolonge en un isomorphisme ψ_{π} : R_{L′} → R_{L}.

3.6. Le théorème de comparaison de Berger. Un (φ, Γ)-module sur O_{E_{K}} (resp. E_{K}) est un O_{E_{K}}-module de type fini (resp. un E_{K}-espace vectoriel de dimension finie) muni d’une action semi-linéaire et continue de Γ_{K} et d’un endomorphisme φ semi-linéaire par rapport au Frobenius de O_{E_{K}} (resp. E_{K}) commutant entre eux. On dit qu’un (φ, Γ)-module M sur O_{E_{K}} est étale si l’image φ(M) engendre M sur O_{E_{K}}.

Pour tout (φ, Γ)-module M sur E_{K} on peut choisir un réseau stable par φ et Γ_{K}, qui est donc un (φ, Γ)-module sur O_{E_{K}}. On dit qu’un (φ, Γ)-module M sur E_{K} est étale s’il existe un réseau M de M stable par Γ_{K} et φ qui est étale. On note ΦΓ_{E_{K}}^{ét} la catégorie dont les objets sont les (φ, Γ)-modules étales et les morphismes sont les applications linéaires commutant avec φ et Γ_{K}. Dans [Fon90], Fontaine construit une équivalence de catégories entre Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) et ΦΓ_{E_{K}}^{ét}. On rappelle sa construction brièvement. On note Ê^{nr} le completé p-adique de E^{nr}. Pour toute ℚ_{p}-représentation V de G_{K}, on considère le E_{K}-espace vectoriel

D(V) = (Ê^{nr} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}} muni des actions semi-linéaires de Γ_{K} et de φ . C’est un objet de ΦΓ_{E_{K}}^{ét}. Le foncteur D définit une équivalence de catégories entre Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) et ΦΓ_{E_{K}}^{ét}.

Théorème 3.7 (Cherbonnier-Colmez). [ChCo98, III 5.2] Soit V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}). La famille des sous-E_{K}^{†}-modules de type fini de D(V) stables par φ et Γ_{K} admet un plus grand élément D^{†}(V) et on a

D(V) = E_{K} ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V).

Pour toute représentation p-adique V de G_{K}, Berger définit D_{rig}^{†}(V) = R_{K}⊗_{E_{K}^{†}}D^{†}(V) et

D_{log}^{†}(V) = R_{K}[log T] ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V) avec les actions évidentes de φ et Γ_{K} (cf.[Berg02, §3.2]). Soit L/K une extension galoisienne finie. Le module D(V_{|G_{L}}), est muni naturellement d’une action de Gal(L_{∞}/K). Par le théorème 3.7, on obtient une action de Gal(L_{∞}/K) sur D^{†}(V_{|G_{L}}) et donc sur D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) et D_{log}^{†}(V_{|G_{L}}).

Théorème 3.8 (Berger). [Berg02, 3.6] Soit V est une représentation p-adique de G_{K}. On a des isomorphismes canoniques :

D_{cris}(V) ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}} et D_{st}(V) ≅ (D_{log}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}.

Soit L/K une extension galoisienne finie. Alors les isomorphismes D_{cris}(V_{|G_{L}}) ≅

(D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t])^{Γ_{L}} et D_{st}(V_{|G_{L}}) ≅ (D_{log}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t])^{Γ_{L}} ci-dessus, sont équivariants pour les actions naturelles de Gal(L/K).

Remarque 3.9. Dans [Berg02, 3.6], l’assertion sur l’équivariance par rapport à Gal(L/K) n’apparait pas. C’est une conséquence immédiate de la démonstration. On l’a mise en évidence pour l’importance qu’elle jouera dans la suite.

4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES p-adiques 21

4. Équations différentielles p-adiques

Soit Ω̂_{R/K_{a}}^{1} le module des différentielles continues de R sur K_{a}. C’est un R-module

libre de rang 1 de base \frac{dT}{T +1} = \frac{d[ε]}{[ε]}. Soient L/K_{a} une extension finie et L′ l’extension finie non-ramifiée de K_{a} qui lui est associée dans la section §3.1 (au dessus de Lemme 3.3). Comme R ↪ R_{L} est étale finie et L′/K_{a} est finie, on a un isomorphisme canonique Ω̂_{R_{L}/L′}^{1} ≅ R_{L} ⊗_{R} Ω̂_{R/K_{a}}^{1}. On étend la dérivation d : R → Ω̂_{R/K_{a}}^{1} en d: R[log T] → Ω̂_{R/K_{a}}^{1}, en posant d(log T) = \frac{1}{T} dT. Le corps des constantes de R_{L}[1/t] et de R_{L}[log T] est L′.

On appelle équation différentielle p-adique (ou module à connexion) sur R_{K} un R_{K}- module de présentation finie muni d’une connexion. On démontre qu’un tel module est forcement libre (cf. [An02b, Prop. 2.3]). Une équation différentielle p-adique est dite unipotente (resp. quasi-unipotente) si elle est extension itérée d’équations différentielles triviales (resp. s’il existe une extension finie L/K telle que M ⊗_{R_{K}} R_{L} soit unipotente). On dit qu’une équation différentielle p-adique M est munie d’une structure de Frobenius si elle est munie d’un endomorphisme φ_{M} : M → M, φ-semi-linéaire, horizontal, tel que φ_{M}(M) engendre M sur R_{K}.

4.1. Équation différentielle p-adique associée à une représentation de de Rham. Soit V une représentation galoisienne p-adique de G_{K}. On rappelle que Berger démontre que pour tout x ∈ D_{rig}^{†}(V)[1/t], la limite lim_{γ→Id_{Γ_{K}}} \frac{γ(x)−x}{χ(γ)−1} existe (cf. [Berg02, §5.1]). On note cette limite ν(x). L’application x ↦ t^{−1}ν(x) ⊗ \frac{dT}{T +1} définit une connexion ∇_{V} : D_{rig}^{†}(V)[1/t] → D_{rig}^{†}(V)[1/t] ⊗_{R_{K}} Ω̂_{R_{K}/K′}^{1}.

Soit V une représentation de de Rham de dimension n. On rappelle que Berger montre qu’il existe un unique sous-R_{K}-module libre de rang n de D_{rig}^{†}(V)[1/t] stable par t^{−1}ν. On l’appelle N_{dR}(V). Il est stable par l’action du Frobenius et de Γ_{K} (cf. [Berg02, §5.4 et §5.5] ou [Berg04, IV.4]). On vérifie qu’il est une muni d’une structure de Frobenius. Par construction, on associe à un morphisme de représentations de de Rham V_{1} → V_{2}, un morphisme d’équations différentielles p-adiques N_{dR}(V_{1}) → N_{dR}(V_{2}).

Théorème 4.2 (Berger). [Berg02, 5.20] On a un foncteur additif V ↦ N_{dR}(V), de la catégorie des représentations p-adiques de de Rham de G_{K}, dans la catégorie des équations différentielles p-adiques sur R_{K} munies d’une structure de Frobenius. Ce foncteur associe à une représentation de dimension n une équation différentielle de rang n. C’est un ⊗-foncteur exacte et fidèle. L’équation N_{dR}(V) est quasi-unipotente si et seulement si la représentation V est potentiellement semi-stable. L’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement s’il existe n tel que la restriction de V à G_{K_{n}} soit semi-stable (resp. cristalline).

On étend ∇_{V} en une connexion ∇_{V} sur D_{log}^{†}(V) et N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T], en posant ∇_{V} (log T) = \frac{dT}{T}.

Soit M un module à connexion sur R_{K}. On vérifie aisément que la dimension sur L′ des sections horizontales de M ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] est inférieure ou égale au rang de M. Si on a l’égalité on dit que M est triviale sur R_{L}[log T]. Le module M est unipotent si et seulement si M est triviale sur R_{K}[log T].

Corollaire 4.3. Si V est cristalline (resp. semi-stable), alors

D_{cris}(V) ⊗_{K_{a}} K′ ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V))^{∇_{V}}

(resp. D_{st}(V) ⊗_{K_{a}} K′ ≅ (D_{log}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} ) .

Dém. Le théorème 3.8 implique que D_{cris}(V) ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}. Par définition de

∇_{V}, on a (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}} ⊆ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}}. Car si x ∈ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}, alors ν(x) =

lim_{γ→Id_{Γ_{K}}} \frac{γ(x)−x}{χ(γ)−1} = 0. D’autre part, par définition, on a aussi, (N_{dR}(V))^{∇_{V}} ⊆

(D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}}. On vérifie facilement que la dimension sur K′ de (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} est inférieure ou égale à dim_{ℚ_{p}} V. Comme V est cristalline, dim_{ℚ_{p}} V = dim_{K_{a}} D_{cris}(V) = dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}}. D’où les premiers isomorphismes. Le cas semi-stable est analogue. □

Théorème 4.4 (André, Kedlaya, Mebkhout). [An02a, 7.1.5][Ked04, 1.1][Meb02, 5.0-23] Tout module à connexion sur R_{K}, admettant une structure de Frobenius est quasiunipotent.

4.5. Rappels sur l’irrégularité d’une équation différentielle p-adique. On rappelle brièvement la définition de l’indice d’une équation différentielle p-adique introduite initialement par Robba (cf. [ChMe01, §2.3] et [ChMe02, §14]). Soient C un corps et u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel V. On dit que u admet un indice si Ker u et Coker u sont de dimension finie et on appelle indice de u l’entier χ(u, V) = dim_{C} Ker u − dim_{C} Coker u. On note A = {∑_{n=0}^{+∞} a_{n}T^{n} ∈ R}. C’est la sous-algèbre de R des séries convergentes sur le disque ouvert. On note γ_{+} l’inclusion de A dans R et et γ^{+} la troncation ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} ↦ ∑_{n∈ℕ} a_{n}T^{n} de R sur A. Pour tout nombre naturel n, on note abusivement γ_{+} (resp. γ^{+}) l’inclusion de A^{⊕n} dans R^{⊕n} (resp. la projection de R^{⊕n} sur A^{⊕n}). Soit M un module à connexion sur R de rang n. On choisit une base de M. Soient ξ = T \frac{d}{dT} et G la matrice de la dérivation ∇_{ξ} : M → M par rapport à cette base. Soit u le K_{a}-endomorphisme T \frac{d}{dT} − G de R^{⊕n}. On dit que M admet un indice généralisé sur A si γ^{+} ∘ u ∘ γ_{+} admet un indice. Ceci ne dépend pas de la base choisie. On note χ̃(M, A) = χ(γ^{+}∘u∘γ_{+}, A^{⊕n}). Si deux modules à connexion sur R, M′ et M′′ ont un indice généralisé, alors pour toute extension M de M′ par M′′, χ̃(M, A) = χ̃(M′, A)+χ̃(M′′, A).

Théorème 4.6 (Christol-Mebkhout). Soit M une équation différentielle p-adique ayant une structure de Frobenius. Alors M admet un indice généralisé sur A.

Dém. L’existence d’une structure de Frobenius implique la solubilité de M et que ses exposants sont non-Liouville (cf. [ChMe01, §2.5]). Le corps de constantes K_{a} est de valuation discrète donc maximalement complet. C’est donc un cas particulier de [ChMe02, Th. 14.11]. □

Pour une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius, on appelle irrégularité de M et on note irr(M), l’indice généralisé χ̃(M, A).

Remarque 4.7. 1. Soient L/K_{a} une extension finie et M un module libre de rang r sur R ⊗_{K_{a}} L muni d’une connexion. On considère M comme une équation différentielle p-adique sur R de rang r dim_{K_{a}} L. Si M admet un indice généralisé, on pose irr(M) = (dim_{K_{a}} L)^{−1}χ̃(M, A).

2. Soit M une équation différentielle p-adique sur R_{K}. On choisit un élément π dans O_{E_{K}^{†}} comme dans 3.5. Via les isomorphismes ψ_{π} : R_{K′} → R_{K} et R_{K′} ≅ R ⊗_{K_{a}} K′, on peut définir l’irrégularité de M. On vérifie que ceci ne dépend pas du choix de π.

3. L’indice généralisé coïncide avec la définition d’indice sur E^{†} de Tsuzuki dans [Tsu98b, §1](cf. [Mat02, §8]).

4.8. Équations quasi-unipotentes. La catégorie des équations différentielles p-adi-ques quasi-unipotentes est tannakienne neutre. On rappelle ici des constructions classiques (cf. [An02a] et [Mat02]). Soit k((T))^{sep} une clôture séparable fixée de k((T)) (dans la section 5 on suppose k((T))^{sep} ⊂ Fr R). Soit E/k((T)) une extension séparable finie contenue dans k((T))^{sep}. On note k_{E} son corps résiduel, G_{E} = Gal(k((T))^{sep}/E) et I_{E} le sous-groupe d’inertie. On pose E(E) = (E^{nr})^{G_{E}}, E^{†}(E) = E(E) ∩ E^{†}^{nr} et R(E) = R ⊗_{E^{†}} E^{†}(E). Évidement, si E est égal au corps de normes E_{L} associé à une extension finie L/K, alors E(E_{L}) = E_{L}, E^{†}(E_{L}) = E_{L}^{†} et R(E_{L}) = R_{L}. Les propriétés qu’on a rappelées dans les sections précédentes pour E_{L}, E_{L}^{†}, R_{L}, en dehors de l’action de Γ_{L}, sont aussi valables pour E(E), E^{†}(E), R(E). Soient F/E une extension galoisienne finie et M un R(E)-module à connexion unipotent sur R(F). On considère le Fr W(k_{F})-espace vectoriel des sections horizontales

S_{F} (M) = (M ⊗_{R(E)} R(F)[log T])^{∇}.

On le munit d’une action semi-linéaire de Gal(F/E) et d’un endomorphisme nilpotent de la façon suivante. Pour tout g ∈ Gal(F/E) et x ∈ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T], on pose g(x) = (Id ⊗ g)(x). On considère sur M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] l’application Id ⊗ N, où N est la R(F)-dérivation de R(F)[log T] qui envoie log T sur 1. Cette application commute avec l’action de Gal(F/E). Les diagrammes suivantes sont commutatifs :

\xymatrix{M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} \ar[d]_{Id⊗g} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1} \ar[d]^{Id⊗g⊗dg} \\ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1}}

et

\xymatrix{M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} \ar[d]^{Id⊗N} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1} \ar[d]^{Id⊗N⊗Id} \\ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1}}

On en déduit sur S_{F} (M), une action de Gal(F/E) et un endomorphisme, qu’on note N_{S_{F} (M)}, commutant entre eux. On vérifie facilement que N_{S_{F} (M)} est nilpotent. On peut résumer ces données en disant que S_{F} (M) est une Fr W(k_{F})-représentation semi-linéaire du schéma en groupes Gal(F/E) × 𝔾_{a}, où Gal(F/E) est considéré comme schéma en groupes constant. La dimension de S_{F} (M) sur Fr W(k_{F}) est par construction égale au rang de M.

Inversement, soit V une Fr W(k_{F})-représentation semi-linéaire de Gal(F/E)×𝔾_{a}. On note N_{V} l’endomorphisme nilpotent de V associé à l’action de 𝔾_{a}. On pose

M_{F} (V) = \{x ∈ V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(F/E), g(x) = x, \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

Proposition 4.9. Sous les hypothèses ci-dessus, M_{F} (V) est un R(E)-module libre de rang égal à la dimension de V.

Dém. Comme R(F) = E^{†}(F) ⊗_{E^{†}(E)} R(E) et E^{†}(E) est un corps on vérifie que
(V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} = (V ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F))^{Gal(F/E)} ⊗_{E^{†}(E)} R(E).

Comme Gal(E^{†}(F)/E^{†}(E)) = Gal(F/E), on en déduit par un raisonnement classique (cf. [CL, Ch.X Prop.3]) que (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} est un R(E)-module libre de rang égal à la dimension de V. On définit un isomorphisme

f : (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} → M_{F} (V),

en posant f(∑_{l} v_{l} ⊗ α_{l}) = ∑_{l} ∑_{i=0}^{r−1} (−1)^{i}N_{V}^{i} (v_{l}) ⊗ \frac{1}{i!}α_{l}(log T)^{i}, où r est un entier tel que N_{V}^{r} = 0. L’application inverse g : M_{F} (V) → (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)}, est induite par la projection R(F)[log T] → R(F) qui envoie log T en 0. En fait, par construction gf = Id et pour conclure il suffit de montrer que g est injective. Soit x = ∑_{l} v_{l} ⊗ (∑_{i=0}^{d} α_{i,l}(log T)^{i}). Supposons que g(x) = ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0. La relation (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 équivaut à

(⋆)  ∀i = 0, …, d, ∑_{l} N_{V} (v_{l}) ⊗ α_{i,l} = − ∑_{l} v_{l} ⊗ (i + 1)α_{i+1,l}.

Comme ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0, en appliquant N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N, on obtient ∑_{l} N_{V} (v_{l}) ⊗ α_{0,l} = 0. D’où par (⋆), ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{1,l} = 0. Ainsi, par récurrence, on montre x = 0. □

On munit M_{F} (V) de la connexion induite par d : R(F)[log T] → Ω̂_{R(F)/ Fr W(k_{F})}^{1} et la connexion triviale sur V. Par construction, il est quasi-unipotent. Les inclusions naturelles

S_{F} (M) ⊆ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] et M_{F} (V) ⊆ V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T]

induisent par linéarisation des isomorphismes

S_{F} (M) ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T] → M ⊗_{R(E)} R(F)[log T],
M_{F} (V) ⊗_{R(E)} R(F)[log T] → V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T]

compatibles aux structures supplémentaires. On en déduit que le foncteur M_{F} est un quasiinverse de S_{F}.

On introduit une variante de ces équivalences après extension des scalaires à \overline{K}. On rappelle que le produit R(E)\overline{K} = R(E) ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K} est intègre car Fr W(k_{E}) est algébriquement fermé dans R(E). Pour une extension galoisienne E/k((T)), on étend linéairement l’action de l’inertie I(E/k((T))) à R(E)\overline{K}. Si F/E est une extension galoisienne finie, alors R(F)I(F/E) ; \overline{K} = R(E)\overline{K}. Tout module à connexion M, libre de type fini sur R(E)\overline{K}, provient par extension des scalaires, d’un module M′, libre de type fini sur R(E) ⊗_{Fr W(k_{E})} L, où L est une extension finie de Fr W(k_{E}) contenue dans \overline{K}. On peut donc parler d’irrégularité de M (cf. Rem.4.7-1 et 4.7-2). Soit M un module à connexion sur R(E)\overline{K}, unipotent sur R(F)\overline{K}. On pose

S′_{F} (M) = (M ⊗_{R(E)\overline{K}} R(F)\overline{K}[log T])^{∇}.

C’est une représentation linéaire de I(F/E)×𝔾_{a}. De façon analogue à ci-dessus, le foncteur S′_{F} est une équivalence de catégories entre modules à connexion sur R(E)\overline{K}, unipotents sur R(F)\overline{K} et représentations linéaires sur \overline{K} du schéma en groupes I(F/E) × 𝔾_{a}. Un quasi-inverse est donné par

M′_{F} (V) = \{x ∈ V ⊗\overline{K} R(F)\overline{K}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ I(F/E), g(x) = x, \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

Pour tout R(E)-module à connexion M, on considère son extension des scalaires M ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K} comme module à connexion sur R(E)\overline{K}. Il est évident que S′_{F} (M ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K}) = S_{F} (M) ⊗_{Fr W(k_{F})} \overline{K}, où on ne considère sur S_{F} (M) que l’action du sous-groupe I(F/E) × 𝔾_{a} de Gal(F/E) × 𝔾_{a}.

La proposition suivante est une variante d’une proposition de Tsuzuki [Tsu98b].

Proposition 4.10. [An02a, 7.1.2] Soient M un R(E)-module à connexion quasiunipotent et F/E une extension galoisienne finie telle que M soit unipotent sur R(F). Alors l’irrégularité de M est égale au conducteur de Swan de la représentation S_{F} (M) du groupe d’inertie I(F/E).

Dém. Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité ne varient pas par extension des scalaires on peut tensoriser avec \overline{K}. L’équivalence S′_{F} induit un isomorphisme entre le groupe de Grothendieck des R(E)\overline{K}-modules à connexion, unipotents sur R(F)\overline{K} et le groupe de Grothendieck des représentations de I(E/F)×𝔾_{a} sur \overline{K}. Dans ce dernier la classe d’une représentation V de I(E/F) × 𝔾_{a} est égale à la classe de sa restriction à I(F/E). Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité se factorisent par le groupe de Grothendieck, il suffit de vérifier qu’ils se correspondent par S′_{F}. Dans cet isomorphisme l’induction d’une représentation correspond à l’oubli de structure pour le module à connexion correspondant. Le conducteur de Swan et l’irrégularité varient de la même façon par rapport à l’induction et à l’oubli respectivement. On peut, en appliquant le théorème d’induction de Brauer (cf. [Ser67, §10]), se réduire au cas de dimension 1. Soit M un module à connexion sur R(E)\overline{K} de rang 1, unipotent sur R(F)\overline{K}. On considère la représentation S = S′_{F} (M) de I = I(F/E). Soit Λ l’extension finie de ℚ_{p}, obtenue en ajoutant les racines m-ièmes de l’unité, où m est l’exposant du groupe I. Par un autre théorème de Brauer (cf.[Ser67, §12.2, Th.24]), il existe une représentation S_{0} de I sur Λ telle que S ≅ S_{0} ⊗_{Λ} \overline{K}. On note Λ′ ⊆ \overline{K} l’extension non-ramifiée de Λ de corps résiduel k_{F}. On rappelle que Tsuzuki [Tsu98b] associe à S_{0} un module à connexion D^{†}(S_{0}) sur Λ′ ⊗_{Fr W(k_{E})} E^{†}(E), d’irrégularité égale au conducteur de Swan de S_{0} (en fait le cas de dimension 1 est dû à Matsuda [Mat95]). On vérifie que D^{†}(S_{0}) = (S_{0} ⊗_{Λ} (Λ′ ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F)))^{I}, avec la connexion induite par celle de E^{†}(F). Comme S est de rang 1, on a M′_{F} (S) = (S ⊗\overline{K} R(F)\overline{K})^{I}. On termine par,

M′_{F} (S) ≅ (S_{0} ⊗_{Λ} \overline{K} ⊗_{Fr W(k_{F})} (E^{†}(F) ⊗_{E^{†}(E)} R(E)))^{I}
≅ (S_{0} ⊗_{Λ} Λ′ ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F))^{I} ⊗_{(Λ′⊗_{Fr W(k_{E})}E^{†}(E))} (\overline{K} ⊗_{Fr W(k_{E})} R(E))
≅ D^{†}(S_{0}) ⊗_{(Λ′⊗_{Fr W(k_{E})}E^{†}(E))} R(E)\overline{K}.
□

5. Preuve du théorème 1.1 et corollaires

Soient V une représentation p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie. On rappelle (cf. §3.6) que les modules D(V_{|G_{L}}), D^{†}(V_{|G_{L}}) et D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) sont munis d’une action naturelle de Gal(L_{∞}/K). Pour tout x ∈ D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t] et g ∈ Gal(L_{∞}/K), g(t^{−1}ν(x)) = χ(g)^{−1}t^{−1}ν(g(x)). Pour V de de Rham, on en déduit une action de Gal(L_{∞}/K) sur N_{dR}(V_{|G_{L}}). On munit les modules D(V), D^{†}(V), D_{rig}^{†}(V) et N_{dR}(V) de l’action de Gal(L_{∞}/K) via le quotient Γ_{K}.

Lemme 5.1. Soient V une représentation p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie. On a des isomorphismes canoniques :

i) D(V_{|G_{L}}) ≅ E_{L} ⊗_{E_{K}} D(V) ;

ii) D^{†}(V_{|G_{L}}) ≅ E_{L}^{†} ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V) ;
iii) D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) ≅ R_{L} ⊗_{R_{K}} D_{rig}^{†}(V) ;
iv) pour V de de Rham, N_{dR}(V_{|G_{L}}) ≅ R_{L} ⊗_{R_{K}} N_{dR}(V).

Ces isomorphismes sont compatibles avec les actions de Gal(L_{∞}/K).

Dém. i) On a une application E_{K}-linéaire injective D(V) → D(V_{|G_{L}}), compatible à l’action de Gal(L_{∞}/K). Comme dim_{E_{K}} D(V) = dim_{E_{L}} D(V_{|G_{L}}) = dim_{ℚ_{p}} V, elle induit un isomorphisme E_{L}⊗_{E_{K}} D(V) ≅ D(V_{|G_{L}}) équivariant pour l’action de Gal(L_{∞}/K). ii) est une conséquence du Théorème 3.7. iii) se déduit directement de ii). iv) L’injection N_{dR}(V) ⊆ D_{rig}^{†}(V)[1/t] entraîne que R_{L} ⊗_{R_{K}} N_{dR}(V) ⊆ R_{L} ⊗_{R_{K}} D_{rig}^{†}(V)[1/t] = D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t]. C’est un sous-R_{L}-module stable par t^{−1}ν, par l’unicité de N_{dR}(V_{|G_{L}}) il est égal à N_{dR}(V_{|G_{L}}). □

Soit V une représentation potentiellement semi-stable de G_{K}. Choisissons une extension galoisienne finie L/K telle que la restriction de V à G_{L} soit semi-stable. Soit L′/K_{a} l’extension finie non-ramifiée associée à L dans la section §3.1 (au dessus de Lemme 3.3). On considère le L′-espace vectoriel des sections horizontales

S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} .

L’action de Gal(L_{∞}/K) sur N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] commute avec la connexion par la définition même de cette dernière (cf. §4.1). On en déduit une action semi-linéaire de Gal(L_{∞}/K) sur S_{E_{L}}(N_{dR}(V)). La restriction de cette action au sous-groupe Gal(L_{∞}/K_{∞}) correspond via l’identification Gal(E_{L}/E_{K}) ≅ Gal(L_{∞}/K_{∞}) à l’action décrite au §4.8.

Proposition 5.2. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à G_{L} soit semi-stable. Il existe un isomorphisme canonique

(5.1)  N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] ≅ D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T].

Le groupe Gal(L_{∞}/K) agit sur le deux membres de (5.1) : à gauche comme décrit plus haut et à droite diagonalement, par son quotient Gal(L/K) sur D_{st}(V_{|G_{L}}) et par son action naturelle sur R_{L}[log T]. L’isomorphisme (5.1) est équivariant pour cette action. Il est aussi horizontal où on considère à droite la connexion triviale sur D_{st}(V_{|G_{L}}). De façon équivalente, en prenant les sections horizontales, on un isomorphisme canonique Gal(L_{∞}/K)- équivariant

(5.2)  S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) ≅ D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} L′.

Par conséquent, l’action de Gal(L_{∞}/K) sur S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) se factorise par son quotient fini Gal(L ⊗_{L_{a}} L′/K). Le conducteur de Swan de V est égal à sw(I(L⊗_{L_{a}}L′/K), S_{E_{L}}(N_{dR}(V))).

Dém. Par le corollaire 4.3, on a un isomorphisme

D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} L′ ≅ (N_{dR}(V_{|G_{L}}) ⊗_{R_{L}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} .

Il est équivariant par rapport à l’action de Gal(L_{∞}/K) car il est le composé de l’isomorphisme équivariant du théorème 3.8 avec une inclusion naturelle. Cette action se factorise évidemment par Gal(L ⊗_{L_{a}} L′/K). Le lemme 5.1-iv) donne un isomorphisme, Gal(L_{∞}/K)- équivariant,

(N_{dR}(V_{|G_{L}}) ⊗_{R_{L}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} =S_{E_{L}}(N_{dR}(V)).

Ceci montre (5.2). L’isomorphisme (5.1) suit en tensorisant (5.2) par R_{L}[log T] au dessus de L′ et en composant avec l’isomorphisme canonique S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) ⊗_{L′} R_{L}[log T] ≅ N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T]. □

Remarque 5.3. Un résultat analogue à la proposition 5.2 a été démontré par N.Wach pour les représentations sur un corps absolument non-ramifié, qui sont de de Rham et de hauteur finie (cf. [Wa96, A5 et B1.4.2]).

Soit L/K une extension galoisienne finie quelconque contenue dans \overline{K}. Pour tout n ∈ ℕ, on note G_{n} = Gal(L_{n}/K_{n}) et I_{n} son sous-groupe d’inertie. Pour n ∈ ℕ, la restriction induit un monomorphisme de groupes f_{n} : G_{n+1} ↪ G_{n}. Soit n(L) le plus petit entier tel que K_{n(L)} contienne l’intersection de L avec K_{∞}. Pour n ≥ n(L), f_{n} est un isomorphisme et le groupe G_{n} est canoniquement isomorphe à Gal(E_{L}/E_{K}). Par abus on note encore f_{n} : Gal(E_{L}/E_{K}) → G_{n} cet isomorphisme. Le lemme suivant est une reformulation d’un résultat classique de Sen (cf. [Sen69, Lemma 1, pg. 40] et [Win83, 3.3.2] ).

Lemme 5.4. Pour n assez grand la filtration de ramification supérieure et inférieure de G_{n} est stationnaire et correspond via l’isomorphisme f_{n} à la filtration de ramification de Gal(E_{L}/E_{K}).

Dém. On utilise ici une définition différente du corps de normes mais équivalente à celle donnée dans le paragraphe 3.1. On considère la limite projective d’ensembles \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} O_{K_{n}}, où les applications de transitions sont les normes. Cet ensemble est isomorphe à O_{E_{K}} muni de la multiplication composante par composante et de la somme donnée par la formule suivante. Si x = (x_{n})_{n∈ℕ} et y = (y_{n})_{n∈ℕ} appartient à O_{E_{K}}, alors (x + y)_{n} = lim_{m→+∞} N_{K_{m}/K_{n}}(x_{m} + y_{m}). On note G = Gal(E_{L}/E_{K}). Soit π ∈ E_{L} une uniformisante. Comme (L_{n}/K)_{n≥1} est cofinal dans l’ensemble des sous-extension finies de L_{∞}/K, on peut écrire π = (π_{n})_{n≥1} avec π_{n} ∈ L_{n}. Soit n′ ≥ n(L) un entier tel que L_{∞}/L_{n′} soit totalement ramifiée. Pour tout n ≥ n′, π_{n} est une uniformisante de L_{n}. Pour tout g ∈ G et n ≥ n′, on pose i(g) = i_{G}(g) = v_{E_{L}}(g(π) − π) et i_{n}(g) = i_{G_{n}}(f_{n}(g)) = v_{L_{n}}(f_{n}(g)(π_{n}) − π_{n}). On doit montrer que i(g) = lim_{n→+∞} i_{n}(g). En fait,

i(g) = v_{E_{L}}(g(π) − π) = v_{L_{n′}} ((g(π) − π)_{n′}) =

= v_{L_{n′}} ( lim_{n′≤n→+∞} N_{L_{n}/L_{n′}} (g(π_{n}) − π_{n})) =

= lim_{n′≤n→+∞} v_{L_{n′}} (N_{L_{n}/L_{n′}} (g(π_{n}) − π_{n})) =

= lim_{n′≤n→+∞} v_{L_{n}}((g(π_{n}) − π_{n})) = lim_{n→+∞} i_{n}(g).

□

On rappelle qu’on a noté V_{n} = V_{|G_{Kn}}.

Lemme 5.5. Soit V une représentation potentiellement semi-stable. La suite (sw(V_{n}))_{n∈ℕ} est stationnaire.

Dém. Par définition sw(V_{n}) = sw(D_{pst}(V_{n})_{|I_{Kn}}). On a un monomorphisme évident D_{pst}(V_{n}) ↪ D_{pst}(V)_{|G_{Kn}}, qui est un isomorphisme car D_{pst}(V_{n}) et D_{pst}(V) ont la même dimension. Donc D_{pst}(V_{n})_{|I_{Kn}} ≅ D_{pst}(V)_{|I_{Kn}} et l’action de I_{K_{n}} se factorise par I_{n}. Par le lemme 5.4, pour n assez grand, le conducteur sw(D_{pst}(V)_{|I_{Kn}}) est constant. □

Soit V une représentation de G_{K} qui devient semi-stable sur L. Pour un entier n assez grand, on considère D_{pst}(V_{n}) = K_{a}^{nr} ⊗_{L′} D_{st}(V_{|G_{Ln}}) comme K_{a}^{nr}-représentation semilinéaire de Gal(E_{L}/E_{K}) via l’isomorphisme f_{n}. Cette représentation ne dépend pas de n. Sa restriction à l’inertie est linéaire. Dans la suite on la considère comme une représentation de G_{E_{K}} et on la note D_{pst}^{∞}(V). Par le lemme 5.5,

(5.3)  sw(D_{pst}^{∞}(V)) = lim_{n→+∞} sw(V_{n}).

Démonstration du théorème 1.1. Par le théorème de monodromie p-adique la représentation V est potentiellement semi-stable. Soit L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable. On choisit un entier n assez grand de façon que G_{n} = Gal(L_{n}/K_{n}) soit isomorphe à Gal(E_{L}/E_{K}) avec leurs filtrations de ramifications. Donc D_{pst}^{∞}(V) = D_{pst}(V_{n}) et sw(D_{pst}^{∞}(V)) = sw(I(L_{n}/K_{n}), D_{st}(V_{|G_{Ln}})). Par la proposition 5.2, on a un isomorphisme S_{E_{Ln}} (N_{dR}(V)) ≅ D_{st}(V_{|G_{Ln}}), équivariant par rapport à l’action de Gal(L_{n}/K). D’où, par restriction, l’égalité de sw(I(L_{n}/K_{n}), D_{st}(V_{|G_{Ln}})) et de sw(I(E_{L}/E_{K}), S_{E_{Ln}} (N_{dR}(V))). Comme E_{L} = E_{L_{n}}, ce dernier est égal à l’irrégularité de N_{dR}(V), par la proposition 4.10. □

Lemme 5.6. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K}, L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable et n′ le plus petit entier tel que K_{n′} ⊇ (L ⊗_{L_{a}} L′) ∩ K_{∞}. Alors :

i) Pour tout n ≥ n′, D_{st}(V_{n}) = D_{st}(V_{n′}) ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} .
ii) Pour tout n ≥ n′, D_{cris}(V_{n}) = D_{cris}(V_{n′}) ≅ (N_{dR}(V))^{∇_{V}} .

Dém. On pose D = D_{st}(V_{|G_{L}}). i) On considère l’isomorphisme (5.1) (prop. 5.2), D ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T] ≅ N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T]. En prenant les sections horizontales et les points fixès par Gal(L_{∞}/K_{∞}), on obtient D_{st}(V_{n′}) = (D ⊗_{L_{a}} L′)^{Gal(L_{∞}/K_{∞})} = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}}. Pour m ≥ n′, de façon analogue, on obtient D_{st}(V_{m}) = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K_{m}}[log T])^{∇_{V}}. Comme H_{K_{m}} = H_{K}, on a R_{K} = R_{K_{m}} en tant qu’anneaux. D’où D_{st}(V_{m}) = D_{st}(V_{n′}). ii) Par la proposition 5.2,

(N_{dR}(V))^{∇_{V}} ≅ (M_{E_{L}}(D ⊗_{L_{a}} L′))^{∇}

= \{x ∈ D ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L_{∞}/K_{∞}), g(x) = x, \\ (N_{D} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0, \\ (Id ⊗ d)(x) = 0 \end{matrix} \}

= \{x ∈ D ⊗_{L_{a}} L′ | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L_{∞}/K_{∞}), g(x) = x, \\ (N_{D} ⊗ Id)(x) = 0 \end{matrix} \} = D_{cris}(V_{n′}).

On conclut comme dans i). □

Corollaire 5.7. Soit V une représentation de de Rham de G_{K}. Alors :

lim_{n→+∞} ar(V_{n}) = irr(N_{dR}(V)) + rg(N_{dR}(V)) − dim_{K′} (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}}

et

lim_{n→+∞} ar_{cris}(V_{n}) = irr(N_{dR}(V)) + rg(N_{dR}(V)) − dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}} .

Dém. Soit L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable. On pose D = D_{st}(V_{|G_{L}}). On rappelle que dim_{L_{a}} D^{I(L/K)} = dim_{K_{a}} D^{Gal(L/K)} car H^{1}(Gal(k_{L}/k), GL_{n}(L_{a})) est triviale (cf. [CL, Ch.X, Prop.3]). On a ar(V) − sw(V) = dim_{L_{a}} D − dim_{L_{a}} D^{I(L/K)} = dim_{L_{a}} D − dim_{K_{a}} D^{Gal(L/K)} = dim_{ℚ_{p}} V − dim_{K_{a}} D_{st}(V) = rg(N_{dR}(V)) − dim_{K_{a}} D_{st}(V). Par le théorème 1.1 et le lemme 5.6-i) on obtient la première formule. On en déduit facilement la deuxième en utilisant la définition de ar_{cris}(V) et 5.6-ii). □

Remarque 5.8. Le corollaire 5.7 généralise un résultat de Berger (cf. Th. 4.2 et [Berg02, Th. 5.20]) : l’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement si V est semi-stable (resp. cristalline) sur K_{n}, pour n assez grand. En effet V est semistable (resp. cristalline) sur K_{n} si et seulement si ar(V_{n}) = 0 (resp. ar_{cris}(V_{n}) = 0).

L’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement si rg(N_{dR}(V)) = dim_{K′} (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} (resp. rg(N_{dR}(V)) = dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}}) et dans ce cas on a aussi irr(N_{dR}(V)) = 0.

Soit M une équation différentielle p-adique ayant une structure de Frobenius. Dans [ChMe01], Christol et Mebkhout associent à M une décomposition en somme directe indexée par les rationnels, la décomposition par les pentes p-adiques. C’est un théorème profond de la théorie que la hauteur du polygone de Newton associé à cette décomposition est égale à l’indice χ̃(M, A).

Corollaire 5.9. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à G_{L} soit semi-stable.

i) On a un isomorphisme Gal(E_{L}/E_{K})-équivariant,

D_{pst}^{∞}(V) ≅ K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)).

ii) Sous l’isomorphisme du i), la décomposition de K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) induite par les pentes p-adiques de N_{dR}(V), correspond à la décomposition par les pentes de Swan de D_{pst}^{∞}(V) (cf. [Kat88, Ch. 1]). Par conséquent, on a l’égalité des polygones de Newton associés.

Dém. On déduit l’assertion i) par restriction de l’isomorphisme (5.2) (prop.5.2) à Gal(L_{∞}/K_{∞}). Pour ii), soit N_{dR}(V) = ⊕_{q∈ℚ}N_{dR}(V)_{q} la décomposition par les pentes p-adiques. On pose D_{q} = K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)_{q}). C’est un facteur directe de D_{pst}^{∞}(V) de dimension égal au rang de N_{dR}(V)_{q}. C’est stable par φ et N. Par la proposition 4.10, on a sw(D_{q}) = irr(N_{dR}(V)_{q}) = q rg N_{dR}(V)_{q} = q dim_{K_{a}^{nr}} D_{q}. Pour conclure il suffit de montrer que toute pente de Swan de D_{q} est égale à q. Soient s une pente de Swan de D_{q} et D_{q,s} ≠ 0 sa partie isopentique de pente s. Par [Kat88, Lemma 1.8], D_{q,s} est stable par Gal(E_{L}/E_{K}). Comme φ et N commutent avec Gal(E_{L}/E_{K}), l’unique pente possible pour φ(D_{q,s}) et N(D_{q,s}) est s. Comme D_{q,s} est maximal de pente s, on a φ(D_{q,s}) ⊆ D_{q,s} et N(D_{q,s}) ⊆ D_{q,s}. On en déduit que M_{E_{L}}(D_{q,s}) est un sous-module différentiel de N_{dR}(V)_{q} muni d’un Frobenius. Donc M_{E_{L}}(D_{q,s}) a comme seule pente q. Par 4.10,

s dim_{K_{a}^{nr}} D_{q,s} = sw(D_{q,s}) = irr(M_{E_{L}}(D_{q,s})) = q rg M_{E_{L}}(D_{q,s}) = q dim_{K_{a}^{nr}} D_{q,s}.

D’où s = q. □

Deuxième partie

Facteurs Epsilon p-adiques

Notations et conventions

0.1. Dans toute cette partie, K désigne un corps de valuation discrète complet. On note O_{K} l’anneau de valuation de K, 𝔪_{K} son idéal maximal et k son corps résiduel qu’on supposera parfait de caractéristique p > 0. On note v_{K} la valuation de K normalisée par v_{K}(K^{∗}) = ℤ. Soient K^{sep} une clôture séparable de K, k^{sep} le corps résiduel de K^{sep} (qui est une clôture séparable de k), G_{K} (resp. G_{k}) le groupe de Galois de K^{sep} sur K (resp. k^{sep} sur k) et I_{K} le groupe d’inertie de K; de sorte qu’on ait une suite exacte

\xymatrix{1 \ar[r] & I_{K} \ar[r] & G_{K} \ar[r] & G_{k} \ar[r] & 1} .

On note σ le Frobenius absolu de k^{sep}, défini par σ(x) = x^{p}.

0.2. Sauf mention explicite du contraire, on sous-entend par module sur un anneau un module à gauche.

0.3. Pour un anneau commutatif A, on note W(A) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A. Pour tout endomorphisme f de A, on notera encore f l’endomorphisme de W(A) déduit par fonctorialité.

0.4. Soient G un groupe, A un anneau commutatif, M un A-module. Supposons que G agit à gauche sur A par des automorphismes d’anneaux. On dira que M est muni d’une action semi-linéaire de G s’il est muni d’un homomorphisme ρ: G → Aut_{ℤ}(M) tel que pour tout γ ∈ G, a ∈ A et m ∈ M, on a ρ(γ)(am) = γ(a)ρ(γ)(m).

Si A est muni d’un endomorphisme σ, on dit qu’un homomorphisme de groupes f: M → N est un morphisme σ-linéaire si pour tout m ∈ M et a ∈ A, on a f(am) = σ(a)f(m).

CHAPITRE 1 Représentations de Weil-Deligne

1.1. Représentations de Weil, Weil-Deligne et caractères additifs

1.1.1. On désigne par K un corps de valuation discrète complet, et on reprend les notations (0.1). On suppose de plus le corps résiduel k de K fini de cardinal q = p^{f}. On note ∥x∥_{K} = q^{−v_{K}(x)} la valeur absolue d’un élément x de K.

L’automorphisme F^{∗} = σ^{−f} est un générateur topologique de G_{k}, qui l’identifie à ℤ̂, et induit ainsi un homomorphisme ν: G_{K} → ℤ̂. On appelle groupe de Weil de K^{sep} sur K et on note W_{K} le sous-groupe de G_{K} image inverse de ℤ par ν. Cette définition ne dépend pas du générateur topologique de G_{k} choisi. On appellera Frobenius géométrique tout élément de W_{K} qui relève F^{∗}.

Pour toute extension finie L de K, W_{L} est un sous-groupe d’indice fini de W_{K} ; si de plus L/K est galoisienne, alors W_{L} est distingué dans W_{K} et le quotient s’identifie au groupe de Galois de L sur K.

Dans toute cette partie, C désigne un corps de caractéristique 0.

Définition 1.1.2. On dit qu’une représentation de W_{K} dans un C-espace vectoriel de dimension finie est une représentation de Weil si elle est triviale sur un sous-groupe ouvert de I_{K}. On notera Rep_{C}(W_{K}) la catégorie abélienne des C-représentations de Weil de K.

Proposition 1.1.3. Supposons C algébriquement clos et soit (V, ρ) une C-représenta-tion irréductible de Weil de K. Alors il existe un caractère non ramifié χ: W_{K} → C^{∗} et une C-représentation (V, ρ′) de W_{K} qui se factorise par un quotient fini, tels que ρ = ρ′ ⊗ χ.

Dém. On note W = ρ(W_{K}) et \overline{ρ} l’inclusion W ↪ GL_{C}(V). On a la suite exacte

\xymatrix{1 \ar[r] & I_{K}/I_{K} ∩ Ker ρ \ar[r] & W \ar[r] & ℤ/ν(Ker ρ) \ar[r] & 1} .

Le groupe I = I_{K}/I_{K} ∩ Ker ρ est fini. Si ν(Ker ρ) ≠ 0, alors W est fini et l’assertion est démontrée en prenant ρ′ = ρ et χ trivial. Sinon, le groupe W est une extension de I par ℤ. On choisit un Frobenius géométrique de W_{K} et on note ϕ son image dans W. Si n est l’ordre du groupe Aut(I), alors pour tout x ∈ I, on a ϕ^{n}xϕ^{−n} = x. On en déduit que ϕ^{n} appartient à Z(W), le centre de W. On note H le sous-groupe de W engendré par ϕ^{n}. Il est isomorphe à ℤ, distingué dans W et d’indice fini (en effet, le quotient W/H est une extension de I par ℤ/nℤ). Par le lemme de Schur, la restriction de \overline{ρ} à H se factorise à travers un caractère χ̃ :

\xymatrix{H \ar[r]^{^{\overline{ρ}^{|_{H}}}} \ar[dr]_{χ̃} & GL_{C}(V) \\  & C^{∗} \ar@{^{(}->}[u]}

Soient z̃ = χ̃(ϕ^{n}), z une racine n-ième de z̃, χ le caractère de W_{K} définit par χ(g) = z^{ν(g)} ; donc χ(g) = χ̃(g), pour g ∈ H. On prend ρ′ = ρχ^{−1}. □

1.1.4. La théorie du corps de classe local fournit un isomorphisme, dit de réciprocité, entre le plus grand quotient abélien W_{K}^{ab} de W_{K} et K^{∗}, normalisé de sorte que la classe d’un Frobenius géométrique corresponde à une uniformisante de K. On note r_{K}: W_{K} → K^{∗} l’homomorphisme obtenu en composant la projection canonique de W_{K} sur W_{K}^{ab} avec l’isomorphisme de réciprocité. Se donner une C-représentation de Weil de K de rang 1 revient à se donner un homomorphisme localement constant K^{∗} → C^{∗}. Un tel homomorphisme est classiquement appelé quasi-caractère. Il est dit non ramifié s’il est trivial sur O_{K}^{∗} ; il correspond alors à une C-représentation de Weil non-ramifiée de rang 1.

Définition 1.1.5. Une C-représentation de Weil-Deligne de K est la donnée d’une représentation de Weil (V, ρ) de K, munie d’une application C-linéaire N: V → V nilpotente, telle que pour tout w dans W_{K}, on ait

ρ(w)Nρ(w)^{−1} = q^{ν(w)}N.

On note Rep_{C}(WD_{K}) la catégorie des C-représentations de Weil-Deligne de K, les morphismes étant les applications linéaires qui commutent aux actions de W_{K} et N.

1.1.6. Une C-représentation de Weil de K est une représentation de Weil-Deligne en prenant N = 0. On identifie ainsi Rep_{C}(W_{K}) à une sous catégorie strictement pleine de Rep_{C}(WD_{K}). Le foncteur (V, ρ, N) ↦ (Ker N, ρ_{| Ker N}), de Rep_{C}(WD_{K}) dans Rep_{C}(W_{K}), est un adjoint à droite de l’inclusion et aussi un quasi-inverse à gauche.

1.1.7. Soit Γ un groupe commutatif. On note Γ_{p} (resp. Γ_{p^{∞}}) le sous-groupe de Γ des éléments d’ordre p (resp. une puissance de p). On appelle caractère additif de K à valeurs dans Γ un homomorphisme localement constant du groupe additif de K dans Γ, K étant muni de la topologie induite par la valuation v_{K}. Un tel homomorphisme se factorise par Γ_{p^{∞}} (en fait par Γ_{p} si K est de caractéristique p). On s’intéresse surtout aux cas Γ = ℚ_{p}/ℤ_{p} et Γ = C^{∗}. Dans le second cas, on notera μ_{p^{∞}}(C) = Γ_{p^{∞}} et μ_{p}(C) = Γ_{p}. On note Hom_{c}(K, Γ) le groupe des caractères additifs de K à valeurs dans Γ.

Soit ψ un caractère additif non-trivial de K à valeurs dans Γ. On appelle codifférente de ψ et on note D(ψ)^{−1}, l’idéal fractionnaire de K défini par,

D(ψ)^{−1} = {x ∈ K | ∀y ∈ O_{K}, ψ(xy) = 1}.

L’inverse de la codifférente, noté D(ψ), est appelé différente ; on prolonge cette définition en posant D(1_{K}) = (0), où 1_{K} est le caractère trivial. On appelle ordre de ψ et on note d(ψ), l’entier

d(ψ) = v_{K}(D(ψ)) = sup{n ∈ ℤ| ψ(𝔪_{K}^{−n}) = 1}.

1.1.8. L’action de K sur lui même par multiplication induit une action de K sur Hom_{c}(K, Γ) qui en fait un K-espace vectoriel.

La dimension de Hom_{c}(K, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sur K est inférieure ou égale à 1. En effet, le groupe additif de K, muni de la topologie induite par la valuation v_{K}, est un groupe topologique commutatif localement compact. Le dual de Pontryagin K^{∧} de K est le groupe des homomorphismes continus de K dans le groupe topologique ℝ/ℤ. L’action de K sur lui même par multiplication fait de K^{∧} un K-espace vectoriel, qui est de dimension 1 par dualité de Pontryagin (cf. [Pon66, Ch.6 §40 Th.52]) . L’inclusion canonique ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊂ ℝ/ℤ identifie Hom_{c}(K, ℚ_{p}/ℤ_{p}) à un sous-K-espace vectoriel de K^{∧}, ce qui prouve notre assertion.

La dimension de Hom_{c}(K, C^{∗}) sur K est inférieure ou égale à 1. En effet, on peut se borner au cas où C est algébriquement clos, puis se ramener à Γ = ℚ_{p}/ℤ_{p} en choisissant un isomorphisme de ℚ_{p}/ℤ_{p} sur μ_{p^{∞}}(C).

Exemple 1.1.9. Si K est de caractéristique 0, il est une extension finie de ℚ_{p}, et un caractère additif non-trivial de K à valeurs dans ℚ_{p}/ℤ_{p} est obtenu en composant la trace de K à ℚ_{p} avec la projection canonique :

K ⟶^{tr_{K/ℚp}} ℚ_{p} → ℚ_{p}/ℤ_{p}.

La différente de ce caractère est égale à la différente de l’extension K/ℚ_{p}.

1.1.10. Supposons K de caractéristique p. Il existe alors un homomorphisme canonique k → O_{K} inverse à gauche de l’homomorphisme de reduction O_{K} → k. On désigne par Ω_{K/k}^{1} l’espace vectoriel des différentielles de K/k, et par d: K → Ω_{K/k}^{1} la dérivation canonique. Observons que Ω_{K/k}^{1} est un K-espace vectoriel de dimension 1 car k est parfait.

Il existe un homomorphisme canonique, O_{K}-linéaire,

Res_{k}: Ω_{K/k}^{1} ⟶ k,

appelé résidu, défini par la propriété suivante : pour toute uniformisante π de K et tout entier m, Res_{k}(π^{m}dπ) = δ_{m,−1}, où δ_{m,−1} est le symbole de Kronecker.

Il existe une application canonique, notée abusivement

v_{K}: Ω_{K/k}^{1} ⟶ ℤ ∪ {+∞},

définie par la propriété suivante : pour tout a ∈ K et toute uniformisante π de K, v_{K}(adπ) = v_{K}(a).

On observe que tout caractère additif K → ℚ_{p}/ℤ_{p} se factorise par le sous-groupe \frac{1}{p}ℤ_{p}/ℤ_{p} de ℚ_{p}/ℤ_{p}, qui est canoniquement isomorphe à 𝔽_{p}.

Lemme 1.1.11. [Lau87, Rem. 3.1.3.6] Supposons K de caractéristique p. L’application de Ω_{K/k}^{1} dans Hom_{c}(K, 𝔽_{p}) qui associe à ω le caractère additif

ψ_{ω}: x ↦ tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(xω)),

est un isomorphisme. L’ordre de ψ_{ω} est égal à v_{K}(ω).

Dém. Il est évident que ω ↦ ψ_{ω} est un homomorphisme. Si ψ_{ω} est trivial, alors pour tout a ∈ k et pour tout entier n, Res_{k}(aπ^{n}ω) = aRes_{k}(π^{n}ω) ∈ Ker(tr_{k/𝔽_{p}}), où π est une uniformisante de K. Donc pour tout entier n, Res_{k}(π^{n}ω) = 0 ; d’où ω = 0. Cela montre l’injectivité ; la surjectivité suit de (1.1.8). L’assertion sur l’ordre de ψ_{ω} est évidente. □

Proposition 1.1.12. [Ta67, 2.2.1] La dimension de Hom_{c}(K, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sur K est égale à 1. La dimension de Hom_{c}(K, C^{∗}) sur K est inférieure ou égale à 1 ; si C est algébriquement clos, elle vaut 1.

Dém. Cela résulte de (1.1.8) et (1.1.9) si K est de caractéristique 0 et de (1.1.8) et (1.1.11) si K est de caractéristique p. □

1.1.13. Soit ϕ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial d’ordre d. Par (1.1.12), l’homomorphisme

Φ(ϕ): K ⟶ Hom_{c}(K, C^{∗}),

qui associe à η le caractère x ↦ ϕ(ηx) est un isomorphisme. Si η ∈ K, alors d(Φ(ϕ)(η)) = d + v_{K}(η). Donc Φ(ϕ) envoie O_{K} dans le sous-groupe Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) de Hom_{c}(K, C^{∗}). On note abusivement cette restriction

Φ(ϕ): O_{K} ⟶ Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}).

On vérifie facilement que c’est un isomorphisme. Pour tout n ≤ −d, l’homomorphisme composé de Φ(ϕ) avec la restriction res_{n}: Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) → Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) a pour noyau

Ker(res_{n} ∘ Φ(ϕ)) = {η ∈ O_{K} | ϕ(η𝔪_{K}^{n}) = 1} = 𝔪_{K}^{−n}D(ϕ)^{−1} = 𝔪_{K}^{−n−d}.

On obtient ainsi un monomorphisme

Φ_{n}(ϕ): O_{K}/𝔪_{K}^{−n−d} ↪ Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗})

entre groupes de même ordre, donc un isomorphisme. Pour résumer, on a le diagramme

\xymatrix{K \ar[d]^{≀}_{Φ(ϕ)} & O_{K} \ar[d]_{Φ(ϕ)}^{≀} \ar@{->>}[r] \ar@{^{(}->}[l] & O_{K}/𝔪_{K}^{−n−d} \ar[d]_{Φ_{n}(ϕ)}^{≀} \\ Hom_{c}(K, C^{∗}) & Hom(K/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗}) \ar@{->>}[r]^{_{res_{n}}} \ar@{^{(}->}[l] & Hom(𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d}, C^{∗})}

1.2. Constantes locales

1.2.1. Soit (V, ρ) une C-représentation de Weil de W_{K}. On note sw(V) (resp. ar(V)) le conducteur de Swan (resp. Artin) de la restriction de ρ à I_{K} (cf. [Ser67, §19]). Si F^{∗} est un Frobenius géométrique de W_{K}, on pose,

L(V, t) = det_{C}(1 − tρ(F^{∗})|V^{I_{K}})^{−1} ∈ C⟦t⟧.

Cette série formelle ne dépend évidemment pas du Frobenius choisi.

1.2.2. Soit μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C (cf. [De73, 6.1]). Pour tout x, y ∈ K, on a

μ(x + yO_{K}) = ∥y∥_{K}μ(O_{K}).

Donc μ est déterminé par μ(O_{K}), et si μ′ est une mesure de Haar sur K, il existe a ∈ C^{∗}, tel que μ′ = aμ.

Définition 1.2.3. [De73, 3.3–3.4.3] Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial, μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C et π une uniformisante de K. On appelle facteur epsilon de (χ, ψ, μ) l’élément de C^{∗} défini par

ε(χ, ψ, μ) = \{ \begin{matrix}χ(π)^{d(ψ)}q^{d(ψ)}μ(O_{K}) & si χ est non-ramifié ; \\ ∫_{K^{∗}} χ^{−1}ψμ & si χ est ramifié. \end{matrix}

Cela ne dépend pas du choix de l’uniformisante π.

1.2.4. Pour une catégorie abélienne A, on notera Gr (A) son groupe de Grothendieck. C’est le groupe abélien libre engendré par les objets de A modulo la relation suivante : pour toute suite exacte courte 0 → V′ → V → V′′ → 0 de A, [V] = [V′] + [V′′], où [V] désigne le générateur associé à V. On appelle C-représentation virtuelle de Weil de K un élément de Gr (Rep_{C}(W_{K})).

Théorème 1.2.5. [De73, Th.4.1] Soient ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C. Il existe un unique homomorphisme

ε( · , ψ, μ): Gr (Rep_{C}(W_{K})) ⟶ C^{∗}

vérifiant les conditions suivantes :

(1) pour tout a ∈ C^{∗} et toute C-représentation virtuelle de Weil λ de K, on a

ε(λ, ψ, aμ) = a^{dim λ}ε(λ, ψ, μ);

(2) pour toute extension séparable finie L de K contenue dans K^{sep}, pour toute Creprésentation virtuelle de Weil λ de L de rang 0, on a

ε(Ind_{W_{L}}^{W_{K}} λ, ψ, μ) = ε(λ, ψ ∘ tr_{L/K}, μ),

où on a noté tr_{L/K} la trace de L à K et Ind_{W_{L}}^{W_{K}} λ la C-représentation virtuelle de Weil de K induite par λ;

(3) si V est de rang 1, de quasi-caractère associé χ: K^{∗} → C^{∗}, alors ε([V], ψ, μ) est la constante ε(χ, ψ, μ) définie dans (1.2.3).

Remarque 1.2.6. i) Dans loc.cit. Th. 4.1, le corps C est supposé algébriquement clos. On montre immédiatement par descente galoisienne que cette hypothèse est superflue (cf. aussi loc.cit. Th. 6.5).

ii) Si λ est de dimension zéro, ε(λ, ψ, μ) ne dépend pas de μ en vertu de (2) ; on le notera ε(λ, ψ). Pour V ∈ Rep_{C}(W_{K}), on notera simplement ε(V, ψ, μ) au lieu de ε([V], ψ, μ) et on l’appellera facteur epsilon de la C-représentation de Weil V.

1.2.7. [De73, 8.12] Soit (V, ρ, N) une C-représentation de Weil-Deligne de K. On note abusivement par V la C-représentation de Weil-Deligne (V, ρ, N) et par V^{∘} la Creprésentation de Weil (V, ρ). Soit F^{∗} un Frobenius géométrique de W_{K}. On définit les conducteurs d’Artin et de Swan de V par les formules :

ar(V) = sw(V^{∘}) + dim_{C} V − dim_{C} (Ker N)^{I_{K}},
sw(V) = sw(V^{∘}).

On appelle fonction L de V et on note L(V, t), la série formelle définie par

L(V, t) = det_{C}(1 − tρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1} ∈ C⟦t⟧.

Pour un caractère additif non-trivial ψ: K → C^{∗} et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C, on pose

ε(V, ψ, μ) = ε(V^{∘}, ψ, μ)det_{C}(−ρ(F^{∗}) |(V^{I_{K}}/(Ker N)^{I_{K}})).

On définit aussi le facteur epsilon modifié par la formule

ε_{0}(V, ψ, μ) = ε(V, ψ, μ)det_{C}(−ρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}}).

Ces définitions ne dépendent pas du choix du Frobenius géométrique F^{∗}. Lorsque N = 0, elles coïncident avec les définitions données plus haut pour une représentation de Weil (cf. 1.1.6, 1.2.1 et 1.2.5).

1.3. Formulaire

1.3.1. On pose U_{K}(0) = O_{K}^{∗} et pour tout entier n ≥ 0, U_{K}(n) = 1+𝔪_{K}^{n}. Soit χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère. On note ar(χ) le plus petit nombre naturel tel que U_{K}(ar(χ)) ⊆ Ker χ; c’est le conducteur d’Artin de la C-représentation de Weil de rang 1 associée à χ.

1.3.2. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère et ψ: K → C^{∗} un caractère additif nontrivial. On note c la partie entière de \frac{ar(χ)}{2} et c^{+} = ar(χ) − c ≥ c. Pour tout y, z ∈ K tels que v_{K}(y) ≥ c^{+} et v_{K}(z) ≥ c^{+}, on a

χ(1 + y + z) = χ(1 + y)χ(1 + z).

En effet, la relation est évidente si χ et non ramifié ; sinon, v_{K}(\frac{yz}{1+y+z} ) ≥ ar(χ) > 0 et par suite

χ(1 + y + z) = χ(1 + y)χ(1 + z)χ(\frac{1 + y + z}{1 + y + z + yz} )
= χ(1 + y)χ(1 + z)χ(1 + \frac{yz}{1 + y + z} )^{−1}
= χ(1 + y)χ(1 + z).

On en déduit un homomorphisme

\overline{χ} : 𝔪_{K}^{c^{+}}/𝔪_{K}^{ar(χ)} ⟶ C^{∗}
cl(y) ⟼ χ(1 + y).

Il existe un élément a ∈ K^{∗} tel que :

(1.3.2.1)  ∀y ∈ K| 2v_{K}(y) ≥ ar(χ),  χ(1 + y) = ψ(ay)

On peut le construire de la façon suivante. Soient π ∈ K une uniformisante et ψ′(x) = ψ(π^{−ar(χ)−d(ψ)}x), de sorte que d(ψ′) = −ar(χ). Par 1.1.13, il existe a′ ∈ O_{K}^{∗}, tel que \overline{χ}(y) = ψ′(a′y). On prend alors a = π^{−ar(χ)−d(ψ)}a′. On appelle un élément a ∈ K^{∗} satisfaisant (1.3.2.1) une ψ-jauge de χ. On vérifie que v_{K}(a) = −ar(χ) − d(ψ), que sa classe dans K^{∗}/U_{K}(c) est uniquement déterminée et que tout élément de cette classe est une ψ-jauge (cf. 1.1.13).

Proposition 1.3.3. [DH81, §1.2] Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et a une ψ-jauge de χ. On note 1_{K} le quasi-caractère trivial de K.

(1) Si ar(χ) = 2c est pair, on a

ε([χ] − [1_{K}], ψ) = q^{c} \frac{ψ(a)}{χ(a)}.

(2) Si ar(χ) = 2c + 1 est impair, on a

ε([χ] − [1_{K}], ψ) = q^{c} ∑_{\overline{β}∈U_{K}(c)/U_{K}(c+1)} \frac{ψ(aβ)}{χ(aβ)},

où β est un relèvement de \overline{β} dans U_{K}(c).

Proposition 1.3.4. [De73, §5 (5.4) et (5.5.3)] Soient V une C-représentation de Weil de K, ψ: K → C^{∗} un caractère additif non-trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeurs dans C.

(1) Pour tout a ∈ K^{∗},

ε(V, ψ(a· ), μ) = det V (a)q^{v_{K}(a) dim V} ε(V, ψ, μ),
ε_{0}(V, ψ(a· ), μ) = det V (a)q^{v_{K}(a) dim V} ε_{0}(V, ψ, μ),

où det V (a) désigne la valeur en a du quasi-caractère associé à det V.

(2) Si (W, ρ) est une C-représentation de Weil de K non ramifiée, alors

ε(V ⊗ W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{ar(V)+d(ψ) dim V})ε(V, ψ, μ)^{dim W} ,
ε_{0}(V ⊗ W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{sw(V)+(d(ψ)+1) dim V})ε_{0}(V, ψ, μ)^{dim W};

où F^{∗} est un Frobenius géométrique de W_{K}. En particulier,

ε(W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{d(ψ)})q^{d(ψ) dim W} μ(O_{K})^{dim W} ,
ε_{0}(W, ψ, μ) = det ρ(F^{∗}^{d(ψ)+1})(−1)^{dim W} q^{d(ψ) dim W} μ(O_{K})^{dim W} .

1.4. Un exemple : le facteur epsilon d’un caractère d’Artin-Schreier

1.4.1. Dans cette section, on supposera K de caractéristique p, et on reprend les notations de (1.1.10). Soient u ∈ K de valuation strictement négative et première à p, et L l’extension de K obtenue en ajoutant une racine x du polynôme X^{p} − X − u. C’est une extension galoisienne de dégré p totalement ramifiée ; on note Gal(L/K) son groupe de Galois. Le choix de x détermine un isomorphisme Gal(L/K) ≅ 𝔽_{p}. En effet, pour tout g ∈ W_{K}, on a gx − x ∈ 𝔽_{p}. Donc l’homomorphisme W_{K} → 𝔽_{p}, g ↦ gx − x se factorise par un isomorphisme Gal(L/K) →^{∼} 𝔽_{p}. Pour tout b ∈ K^{∗}, on pose [u, b) = r_{K}^{−1}(b)x−x ∈ 𝔽_{p}, où r_{K} est l’isomorphisme de réciprocité r_{K}: W_{K}^{ab} → K^{∗} (1.1.4). On pose pour tout b ∈ K^{∗}, dlog b = b^{−1}db ∈ Ω_{K/k}^{1}.

Proposition 1.4.2. [CL, XIV §5 Prop. 15] Pour tout b ∈ K^{∗}, on a

[u, b) = tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(u dlog b)).

1.4.3. On supposera désormais que C contienne une racine primitive p-ième ξ de 1. On note χ: K^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère b ↦ ξ^{[u,b)}. On sait que ar(χ) = −v_{K}(u) + 1, cf. [Ser61, 4.4]. On reprend les notations de (1.3.2) : on note c la partie entière de ar(χ)/2 et c^{+} = ar(χ) − c; par conséquent, v_{K}(u) = −c − c^{+} + 1.

Pour tout ω ∈ Ω_{K/k}^{1}\{0}, on pose θ_{ω}: K → C^{∗}, b ↦ ξ^{ψ_{ω}(b)}, où ψ_{ω}: K → 𝔽_{p} est le caractère additif associé à ω par (1.1.11).

Lemme 1.4.4. Soient ω ∈ Ω_{K/k}^{1}\{0}, a ∈ K tels que du = −aω. Alors a est une θ_{ω}-jauge de χ (1.3.2.1).

Dém. Par (1.1.11) et (1.4.2) il suffit de vérifier que pour tout y ∈ K, avec v_{K}(y) ≥ c^{+},

[u, 1 + y) = tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(\frac{udy}{1+y} )) = tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(−ydu)) = ψ_{ω}(ay).

Par hypothèse, L/K est totalement (sauvagement) ramifiée et donc c^{+} ≥ c ≥ 1. On a (1 + y)^{−1} = ∑_{n=0}^{+∞} (−1)^{n}y^{n}. On a

Res_{k}(u(1 + y)^{−1}dy) = ∑_{n=0}^{+∞} Res_{k}((−1)^{n}y^{n}udy),

et v_{K}((−1)^{n}y^{n}udy) ≥ nc^{+} − c, qui est ≥ 0 pour n ≥ 1. D’où Res_{k}(u(1 + y)^{−1}dy) = Res_{k}(udy). Donc il suffit de montrer que

tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(udy)) = tr_{k/𝔽_{p}}(Res_{k}(−ydu)).

On a Res_{k}(udy + ydu) = Res_{k}(d(uy)) = 0. □

Proposition 1.4.5. Soient π une uniformisante de K et ω = αdπ, avec α ∈ K^{∗}. On note du = u′dπ. On a

ε([χ] − [1_{K}], θ_{ω}) = q^{c}ξ^{tr}^{k/𝔽p}^{(^{Res}^{k}^{(u dlog \frac{α}{u′})})} ∑_{\overline{β}} ξ^{tr^{k/𝔽p}^{(Res_{k}(u(β−1)dβ))}},

où la somme est prise relativement aux \overline{β} ∈ U_{K}(c)/U_{K}(c^{+}) et β est un relèvement de \overline{β} dans U_{K}(c).

Dém. Soit a ∈ K^{∗} une θ_{ω}-jauge de χ. Par (1.3.3), on a
ε([χ] − [1_{K}], θ_{ω}) = q^{c} ∑_{\overline{β}} \frac{θ_{ω}(aβ)}{χ(aβ)}

= q^{c} \frac{θ_{ω}(a)}{χ(a)} ∑_{\overline{β}} \frac{θ_{ω}(a(β − 1))}{χ(β)}

= q^{c}ξ^{ψ_{ω}(a)−[u,a)} ∑_{\overline{β}} ξ^{ψ_{ω}(a(β−1))−[u,β)}

où les sommes sont prises relativement aux \overline{β} ∈ U_{K}(c)/U_{K}(c^{+}) et β est un relèvement de \overline{β} dans U_{K}(c). Par (1.4.4), on peut prendre a = −α^{−1}u′, d’où

ψ_{ω}(a) − [u, a) = tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(aω − u dlog a))

= tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k} (−du + u dlog \frac{α}{u′} ))

= tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(u dlog \frac{α}{u′} )) ,

et

ψ_{ω}(a(β − 1)) − [u, β) = tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(a(β − 1)ω − u dlog β))
= tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(−(β − 1)du − u dlog β)) .

On a u dlog β = uβ^{−1}dβ = ∑_{n=0}^{+∞} (−1)^{n}u(β − 1)^{n}dβ = ∑_{n=0}^{+∞} (−1)^{n}u(β − 1)^{n}(β − 1)′dπ. Si n ≥ 2, alors v_{K}((−1)^{n}u(β − 1)^{n}(β − 1)′) ≥ 0. D’où

Res_{k}(u dlog β) = Res_{k}(udβ − u(β − 1)dβ).

Par conséquent,

tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(−(β − 1)du − u dlog β)) = tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(−(β − 1)du − udβ + u(β − 1)dβ))
= tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(−d(u(β − 1)) + u(β − 1)dβ))
= tr_{k/𝔽_{p}} (Res_{k}(u(β − 1)dβ)) .
□

CHAPITRE 2 Facteurs epsilon et corps des normes

2.1. Rappels et compléments sur le corps des normes et sur la ramification

2.1.1. Comme dans le premier chapitre, on désigne par K un corps de valuation discrète complet, à corps résiduel fini, et on reprend les notations de (0.1) et (1.1). A partir de (2.1.5) on supposera K une extension finie de ℚ_{p}. Soit L une extension séparable finie de K. On note D_{L/K} la différente de l’extension L/K, e_{L/K} l’indice de ramification et tr_{L/K} (resp. N_{L/K}) la trace (resp. la norme) de L dans K. Soient m, t deux entiers. Pour que tr_{L/K}(𝔪_{L}^{m}) ⊆ 𝔪_{K}^{t}, il faut et il suffit que [CL, Ch.III §3, Prop.7]

𝔪_{L}^{m} ⊆ D_{L/K}^{−1}𝔪_{K}^{t} = D_{L/K}^{−1}𝔪_{L}^{e_{L/K}t}.

Par conséquent,

(2.1.1.1)  tr_{L/K}(𝔪_{L}^{m}) = 𝔪_{K}^{t_{L/K}(m)}, où t_{L/K}(m) = [\frac{m + v_{L}(D_{L/K})}{e_{L/K}}] .

(Pour tout nombre rationnel x, on a noté [x] la partie entière de x.)

2.1.2. Supposons L contenue dans K^{sep} et notons Hom_{K}(L, K^{sep}) l’ensemble pointé des K-plongements de L dans K^{sep}. Pour γ ∈ Hom_{K}(L, K^{sep}), on pose [Win83, 1.1.1]

i_{L/K}(γ) = min_{x∈O_{L}}(v′_{L}(γ(x) − x)),

où v′_{L} est l’unique valuation de K^{sep} prolongeant v_{L}.

Lemme 2.1.3. [Win83, Prop. 2.2.1] Soient L/K une extension séparable, totalement ramifiée, cyclique de degré une puissance de p et ν(L/K) le plus petit saut de ramification supérieure. Alors pour tous x, y ∈ L, on a

v_{K}(N_{L/K}(x + y) − N_{L/K}(x) − N_{L/K}(y)) ≥ min(v_{L}(x), v_{L}(y)) + \frac{p − 1}{p}ν(L/K).

Dém. Il suffit de traiter le cas min(v_{L}(x), v_{L}(y)) = 0, qui est un cas particulier de [Win83, Prop. 2.2.1-(i)]. □

2.1.4. [CL, Ch.V §3] Soient L/K une extension séparable, totalement ramifiée, cyclique de degré p et i le nombre de ramification inférieure. La fonction d’Herbrand ψ de L/K, est donnée par

ψ(x) = \begin{cases}x & si − 1 ≤ x ≤ i; \\ i + p(x − i) & si x ≥ i. \end{cases}

Donc i est aussi le saut (unique) de la ramification supérieure de L/K. Quand il n’y a aucun risque de confusion, on laissera tomber les indices L/K dans la notation N_{L/K}. Pour tout entier c ≥ 0, suivant les notations de (1.3.1), on a, cf. [loc. cit. Prop. 4],

N(U_{L}(ψ(c))) ⊆ U_{K}(c) et N(U_{L}(ψ(c) + 1)) ⊆ U_{K}(c + 1).

On en déduit un homomorphisme

N(c): U_{L}(ψ(c))/U_{L}(ψ(c) + 1)⟶U_{K}(c)/U_{K}(c + 1).

Pour c < i, N(c) est un isomorphisme de U_{L}(c)/U_{L}(c + 1) vers U_{K}(c)/U_{K}(c + 1), cf. [loc. cit. Cor. 1–2 de Prop. 5]. Par conséquent, pour tout c ≤ i, la norme induit un isomorphisme [loc. cit. Cor. 6 de Prop. 5]

(2.1.4.1)  O_{L}^{∗}/U_{L}(c) ⟶^{∼} O_{K}^{∗}/U_{K}(c).

On a v_{L}(D_{L/K}) = (i+1)(p−1), cf. [loc. cit. Lemme 3]. Donc, compte tenu de (2.1.1.1), on obtient

(2.1.4.2)  e_{K} := v_{K}(p) = v_{K}(tr_{L/K}(1)) ≥ [\frac{(i + 1)(p − 1)}{p}] ≥ \frac{p − 1}{p}i.

2.1.5. On supposera désormais K une extension finie de ℚ_{p}. On désignera par K_{∞}/K une ℤ_{p}-extension ramifiée, i.e. une extension galoisienne ramifiée de groupe de Galois Γ isomorphe à ℤ_{p}. Comme tout sous-groupe non-trivial de ℤ_{p} est d’indice fini, l’extension maximale non-ramifiée K_{0} de K dans K_{∞} est finie. Pour r ≥ 0, on note K_{r} l’unique extension de K_{0} dans K_{∞} de degré p^{r}, 1_{r}: K_{r}^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère trivial et on pose O_{r} = O_{K_{r}}, 𝔪_{r} = 𝔪_{K_{r}}, U_{r} = U_{K_{r}}.

L’extension K_{∞}/K est arithmétiquement profinie dans le sens que pour tout nombre réel u, le sous-groupe de ramification supérieur Γ^{u} de Γ est d’indice fini. On peut alors définir une fonction de Herbrand, Ψ_{K_{∞}/K}, par la formule [Win83, 1.2.1]

Ψ_{K_{∞}/K}(x) = \begin{cases}x & si − 1 ≤ x ≤ 0; \\ ∫_{0}^{x}|Γ^{0} : Γ^{ν}|dν & si x ≥ 0. \end{cases}

On note (ν_{n})_{n∈ℕ} la suite strictement croissante des nombres de ramification supérieure de l’extension K_{∞}/K_{0}. Ce sont des entiers par le théorème de Hasse-Arf. On définit la suite (i_{n})_{n∈ℕ} des nombres de ramification inférieure de l’extension K_{∞}/K, en posant i_{n} = Ψ_{K_{∞}/K}(ν_{n}). C’est une suite strictement croissante d’entiers. Pour tout r > 0, i_{0}, …, i_{r−1} sont les nombres de ramification inférieure de l’extension K_{r}/K_{0} ; en particulier, i_{r} est le nombre de ramification (inférieure) de K_{r+1}/K_{r}.

2.1.6. Soit E_{K} le corps des normes associé à l’extension K_{∞}/K, cf. [Win83, §2]. C’est un corps de caractéristique p, complet pour une valuation discrète. Son corps résiduel est canoniquement isomorphe à celui de K_{0} ; on note q_{0} son cardinal. On rappelle qu’en tant qu’ensembles, E_{K} = \underleftarrow{lim}_{r} K_{r}, la limite étant prise suivant les applications normes. Pour

2.1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LE CORPS DES NORMES ET SUR LA RAMIFICATION 47

x = (x_{n})_{n∈ℕ} et y = (y_{n})_{n∈ℕ} dans E_{K}, l’addition et la multiplication sont définies par

x + y = (z_{n})_{n∈ℕ}, où z_{n} = lim_{m→+∞} N_{K_{m}/K_{n}}(x_{m} + y_{m}),
xy = (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ}.

Pour y = (y_{n})_{n∈ℕ} ∈ E_{K}^{∗}, v_{E_{K}}(y) = v_{K_{n}}(y_{n}), pour tout n ≥ 0.

2.1.7. Dans la suite de ce chapitre, par extension algébrique de K, on sous-entend une extension de K contenue dans K^{sep}. Pour des extensions algébriques L et F de K, on notera L · F la plus petite extension de K contenant L et F. Pour toute extension finie L de K on posera L_{∞} = K_{∞} · L; c’est une ℤ_{p}-extension de L et le corps des normes E_{L} de L_{∞}/L est une extension séparable finie de E_{K}. La formation du corps des normes est fonctorielle et la limite inductive de E_{L}, pour L variant parmi les extensions finies de K, est une clôture séparable de E_{K}, qui sera notée E_{K}^{sep}. Le groupe de Galois G_{K} agit par fonctorialité sur E_{K}^{sep}, identifiant Gal(K^{sep}/K_{∞}) au groupe de Galois de E_{K}^{sep} sur E_{K}. Pour tout r assez grand (il suffit que K_{r} contienne L ∩ K_{∞}), la restriction induit une bijection d’ensembles pointés Hom_{K_{r+1}}(L · K_{r+1}, K^{sep}) → Hom_{K_{r}}(L · K_{r}, K^{sep}). On en déduit, par fonctorialité, une bijection d’ensembles pointés

(2.1.7.1)  f_{r}: Hom_{E_{K}}(E_{L}, E_{K}^{sep}) → Hom_{K_{r}}(L · K_{r}, K^{sep}).

Si de plus L/K est galoisienne, alors ces bijections sont des isomorphismes de groupes et pour tout γ ∈ Gal(E_{L}/E_{K}), on a

(2.1.7.2)  N_{L·K_{r+1}/L·K_{r}} ∘ f_{r+1}(γ) = f_{r}(γ) ∘ N_{L·K_{r+1}/L·K_{r}}.

Lemme 2.1.8. [Win83, 3.3.2] Soient L une extension finie de K et γ: E_{L} ↪ E_{K}^{sep} un E_{K}-plongement. Alors

i_{E_{L}/E_{K}}(γ) = lim_{r→+∞} i_{L·K_{r}/K_{r}}(f_{r}(γ)).

2.1.9. L’extension finie L/K est dite admissible (par rapport à K_{∞}) si L ∩ K_{∞} = K et si L · K_{0} est l’extension maximale non-ramifiée de L dans L_{∞}. Dans ce cas, pour tout r ≥ 0, L · K_{r} = L_{r}. On remarque que, quitte à remplacer L et K par des extensions finies contenues respectivement dans L_{∞} et K_{∞}, on peut toujours supposer l’extension L/K admissible.

2.1.10. Pour tout entiers c, r ≥ 0 tels que i_{r} ≥ c, on a un morphisme de suites exactes courtes induit par la norme (2.1.4),

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗} \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d] & 1 \\ 1 \ar[r] & U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗} \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & 1}

Pour c fixé et r variable, ces diagrammes définissent une suite exacte courte de systèmes projectifs. Par passage à la limite, on obtient la suite exacte

(2.1.10.1)  1 ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} U_{r}(c) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} K_{r}^{∗} ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c).

De façon analogue, on dispose de la suite exacte courte de systèmes projectifs :

\xymatrix{1 \ar[r] & (U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} \ar[r] & (U_{r}(c))_{i_{r}>c} \ar[r] & (U_{r}(c)/U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} \ar[r] & 1} ,

les morphismes de transition étant induits par la norme. Par passage à la limite, on obtient la suite exacte

(2.1.10.2)  1 ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c + 1) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c) ⟶ \underleftarrow{lim}_{i_{r}>c} U_{r}(c)/U_{r}(c + 1).

Lemme 2.1.11. Soit c ≥ 0 un entier.

(1) La limite projective \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} U_{r}(c) est canoniquement isomorphe à U_{E_{K}}(c).

(2) Le système projectif (K_{r}^{∗}/U_{r}(c))_{i_{r}≥c} est constant, i.e. les applications de transition sont des isomorphismes. La suite (2.1.10.1) est exacte à droite et s’identifie à

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{E_{K}}(c) \ar[r] & E_{K}^{∗} \ar[r] & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) \ar[r] & 1} .

(3) Le système projectif (U_{r}(c)/U_{r}(c + 1))_{i_{r}>c} est constant. La suite (2.1.10.2) est exacte à droite et s’identifie à

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{E_{K}}(c + 1) \ar[r] & U_{E_{K}}(c) \ar[r] & U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c + 1) \ar[r] & 1.}

Dém. En tant que groupes, E_{K}^{∗} = \underleftarrow{lim}_{r∈ℕ}K_{r}^{∗}, cf. (2.1.6). Montrons (1). Par fonctorialité,

on a un monomorphisme canonique \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} U_{r}(c) ↪ U_{E_{K}}(c). Montrons qu’il est surjectif. C’est

évident si c = 0. Supposons c > 0. Soient x = (x_{r})_{r∈ℕ} ∈ U_{E_{K}}(c), et y = (y_{r})_{r∈ℕ} ∈ 𝔪_{E_{K}}^{c}, tels que x = 1 + y. Pour tout entier r ≥ 0,

v_{K_{r}}(x_{r} − 1) = v_{K_{r}}( lim_{n→+∞} N_{K_{n}/K_{r}}(1 + y_{n}) − 1) = lim_{n→+∞} v_{K_{r}}(N_{K_{n}/K_{r}}(1 + y_{n}) − 1).

Appliquant le lemme 2.1.3, compte tenu que ν(K_{n}/K_{r}) = ν(K_{r+1}/K_{r}) = ν_{r} tend vers l’infini avec r, on voit qu’il existe un entier s, tel que pour tout n ≥ r ≥ s, on a v_{K_{r}}(N_{K_{n}/K_{r}}(1 + y_{n}) − 1) = v_{K_{r}}(y_{r}) = v_{E_{K}}(y) ≥ c. Donc pour tout r ≥ s, x_{r} ∈ U_{r}(c), et par (2.1.4), cela vaut aussi pour tout r tel que i_{r} ≥ c. D’où x ∈ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} U_{r}(c) et l’assertion est

démontrée. Montrons (2). On remarque d’abord que le système (U_{r}(c))_{i_{r}≥c} ne vérifie pas la condition de Mittag-Leffler ; donc l’exactitude à droite de (2.1.10.1) n’est pas une conséquence du critère usuel [EGA, III 0.13.2]. Comme la suite (2.1.10.1) est exacte, on obtient par (1), un monomorphisme E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) ↪ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c). Supposons d’abord c = 0. Pour

tout r, la valuation v_{K_{r}} induit un isomorphisme de K_{r}^{∗}/U_{r}(0) sur ℤ et les applications de transitions induisent l’identité de ℤ. D’où un monomorphisme E_{K}^{∗}/U(0) ↪ ℤ, qui est un isomorphisme car la classe d’une uniformisante est envoyée sur 1. Ceci montre (2) dans le cas c = 0. Supposons c ≥ 1. Les applications normes induisent, pour tout entier r tel que i_{r} ≥ c, le diagramme commutatif

\xymatrix{1 \ar[r] & U_{r+1}(0)/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N′} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(c) \ar[r] \ar[d]^{N} & K_{r+1}^{∗}/U_{r+1}(0) \ar[r] \ar[d]^{N′′} & 1 \\ 1 \ar[r] & U_{r}(0)/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(0) \ar[r] & 1}

On vient de voir que N′′ est un isomorphisme. Comme i_{r} ≥ c, N′ est un isomorphisme, cf. (2.1.4). Il est alors de même pour N et le système projectif (K_{r}^{∗}/U_{r}(c))_{i_{r}≥c} est constant. Pour r tel que i_{r} ≥ c, on note pr_{r} le monomorphisme composée

pr_{r}: E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) ↪ \underleftarrow{lim}_{i_{r}≥c} K_{r}^{∗}/U_{r}(c) ⟶^{∼} K_{r}^{∗}/U_{r}(c).

La restriction de pr_{r} à U_{E_{K}}(0)/U_{E_{K}}(c) se factorise par U_{r}(0)/U_{r}(c) ⊂ K_{r}^{∗}/U_{r}(c) ; on en déduit le diagramme

\xymatrix{0 \ar[r] & U_{E_{K}}(0)/U_{E_{K}}(c) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d]^{_{pr_{r}}} & E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(0) \ar[r] \ar[d]^{≀} & 0 \\ 0 \ar[r] & U_{r}(0)/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(c) \ar[r] & K_{r}^{∗}/U_{r}(0) \ar[r] & 0}

On a démontré que la flèche de droite est un isomorphisme (cas c = 0). Celle de gauche l’est aussi, car elle est injective et les deux groupes sont finis de même cardinal égal à (q_{0} −1)q_{0}^{c−1}. Donc l’application du milieu est un isomorphisme et on a démontré l’assertion (2). La démonstration de (3) est analogue à celle de (2). □

2.2. Tours admissibles de caractères additifs

2.2.1. Conservons les hypothèses de (2.1.5) et considérons un corps C algébriquement clos de caractéristique 0. Il sera commode de noter j_{r} le plus petit entier supérieur ou égal à \frac{p−1}{p}i_{r}; on appelle (j_{r})_{r∈ℕ} la suite des nombres de ramification inférieure modifiée de K_{∞}/K.

Soient n ≤ −d et r ≥ 0 des entiers. Le groupe 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d} est fini d’ordre q_{0}^{−n−d}. Si j_{r} ≥ −n − d, alors il est annulé par p. En effet, par (2.1.4.2), e_{K_{r}} ≥ −n − d; d’où pour tout x ∈ 𝔪_{r}^{n}, px ∈ 𝔪_{r}^{−d}. De plus, sous les mêmes hypothèses, il résulte de (2.1.3) que la norme N_{K_{r+1}/K_{r}}: K_{r+1} → K_{r} induit un homomorphisme de groupes

(2.2.1.1)  N: 𝔪_{r+1}^{n}/𝔪_{r+1}^{−d} ⟶ 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}.

En effet N est un isomorphisme car les groupes sont finis de même cardinal et N est injectif compte tenu que v_{K_{r+1}} = v_{K_{r}} ∘ N_{K_{r+1}/K_{r}}.

Soit ψ: K → C^{∗} un caractère additif d’ordre d. On note \overline{ψ}: K/𝔪_{K}^{−d} → C^{∗} sa réduction (si d = +∞, on pose 𝔪_{K}^{−d} = K). Par abus, on notera encore \overline{ψ} la restriction de \overline{ψ} à 𝔪_{K}^{n}/𝔪_{K}^{−d} pour tout n ≤ −d. Si j_{r} ≥ −n − d, on a \overline{ψ}_{r}(𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}) ⊆ μ_{p}(C).

Définition 2.2.2. On dit qu’une suite (ψ_{r})_{r∈ℕ} de caractères additifs ψ_{r}: K_{r} → C^{∗} est une tour admissible si elle vérifie les conditions suivantes :

i) il existe un entier s ≥ 0, tel que pour tout r ≥ s, d(ψ_{r}) = d(ψ_{s}) = d;
ii) pour tout n ≤ −d et r ≥ s tels que j_{r} ≥ −n − d, le diagramme

[figure: 𝔪_{r+1}^{n}/𝔪_{r+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{r+1}}; N; ≀; μ_{p}(C); 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d}; _{\overline{ψ}_{r}}; μ_{p}(C)]

est commutatif. On appelle d l’ordre de la tour.

Remarque 2.2.3. Il est clairement suffisant de vérifier la condition 2.2.2-ii) pour tout r ≥ s et n = −j_{r} − d.

Définition 2.2.4. Soit (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible d’ordre d. On lui associe un caractère additif ψ_{∞}: E_{K} → μ_{p}(C) d’ordre d comme suit. Soit x = (x_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K}, où x_{r} ∈ K_{r}. On pose

ψ_{∞}(x) = ψ_{r}(x_{r}), pour r ≥ s tel que j_{r} ≥ −v_{E_{K}}(x) − d.

Par la définition d’une tour admissible, ψ_{r}(x_{r}) appartient à μ_{p}(C) et ne dépend pas de r. On vérifie immédiatement que ψ_{∞} est un caractère additif d’ordre d. On l’appelle la limite de la tour (ψ_{r})_{r∈ℕ}.

Proposition 2.2.5. Soient s un entier positif, ψ: K_{s} → C^{∗} et θ: E_{K} → μ_{p}(C) des caractères additifs de même ordre d. Alors il existe une tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ, ψ_{s} = ψ, et pour tout r ≥ s, d(ψ_{r}) = d.

Dém. Comme ψ et θ ont même ordre, si l’un de deux est trivial l’autre aussi et dans ce cas l’énoncé est évident. Supposons ψ et θ non-triviaux. On prouve d’abord qu’il suffit de construire une tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{s} = ψ, et pour tout r ≥ s, d(ψ_{r}) = d. En effet, si (ψ_{r})_{r∈ℕ} est une telle tour, par (1.1.12) il existe a = (a_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K} tel que θ(x) = ψ_{∞}(ax). Comme ψ_{∞} et θ ont le même ordre, a appartient à O_{E_{K}}^{∗} et par conséquent, a_{r} ∈ O_{r}^{∗}, pour tout r ∈ ℕ. On considère la tour (ψ′_{r})_{r∈ℕ}, définie par

ψ′_{r}(x) = \begin{cases}ψ_{r}(x) & si 0 ≤ r ≤ s; \\ ψ_{r}(a_{r}x) & si r > s. \end{cases}

Par construction (ψ′_{r})_{r∈ℕ} est la tour admissible recherchée.

Il reste à construire la tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ}. On procède par récurrence sur r. On choisit d’abord, pour tout entier r ≥ 0, une base ϕ_{r} ∈ Hom_{c}(K_{r}, C^{∗}), telle que ϕ_{s} = ψ et que pour tout r ≥ s, ϕ_{r} ait ordre d; c’est toujours possible par (1.1.13). Pour tout 0 ≤ r ≤ s, on peut prendre ψ_{r} = ϕ_{r}, la condition 2.2.2-ii) étant vide. On suppose donnée, pour h ≥ s, une tour finie (ψ_{i})_{0≤i≤h}, avec ψ_{s} = ψ, d(ψ_{i}) = d pour s ≤ i ≤ h, et satisfaisant à la condition 2.2.2-ii) ; on doit définir un caractère additif ψ_{h+1} d’ordre d tel que la condition 2.2.2-ii) soit vérifiée pour r = h et n = −j_{h} − d, cf. (2.2.3). Avec les notations de (2.2.1), il faut que la restriction de \overline{ψ}_{h+1} à 𝔪_{h+1}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h+1}^{−d}, se factorise comme suit :

[figure: 𝔪_{h+1}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{h+1}}; N; ≀; μ_{p}(C); 𝔪_{h}^{−j_{h}−d}/𝔪_{h}^{−d}; _{\overline{ψ}_{h}}; μ_{p}(C)]

Soit \overline{η}_{h+1} = Φ_{−j_{h}−d}(ϕ_{h+1})^{−1}(\overline{ψ}_{h} ∘N) ∈ O_{h+1}/𝔪_{h+1}^{j_{h}}, cf. (1.1.13). La restriction de \overline{ψ}_{h} ∘N à 𝔪_{h+1}^{−d−1}/𝔪_{h+1}^{−d} est non triviale car d(ψ_{h}) = d et N induit un isomorphisme de 𝔪_{h+1}^{−d−1}/𝔪_{h+1}^{−d} vers 𝔪_{h}^{−d−1}/𝔪_{h}^{−d}, cf. (2.2.1.1). On en déduit par (1.1.13) que \overline{η}_{h+1} ∈ (O_{h+1}/𝔪_{h+1}^{j_{h}})^{∗}. On choisit η_{h+1} ∈ O_{h+1}^{∗} relevant \overline{η}_{h+1} et on prend ψ_{h+1} = Φ(ϕ_{h+1})(η_{h+1}). □

Proposition 2.2.6. Soient (ψ_{r}: K_{r} → C^{∗})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs et L/K une extension finie admissible (2.1.9). Alors la suite de caractères additifs (ϕ_{r} = ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}})_{r∈ℕ} est une tour admissible et ϕ_{∞} = ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}.

Dém. On note 𝔫 (resp. 𝔫_{r}) l’idéal maximal de O_{L} (resp. O_{L_{r}}) et (j_{r}(L_{∞}/L))_{r∈ℕ} la suite des nombres de ramification inférieure modifiée de L_{∞}/L. Il resulte de (2.1.8), qu’il existe s ∈ ℕ, tel que pour tout r ≥ s, v_{L_{r}}(D_{L_{r}/K_{r}}) = v_{E_{L}}(D_{E_{L}/E_{K}}) et e_{L_{r}/K_{r}} = e_{E_{L}/E_{K}}. Pour tous entiers m ≤ −d et r assez grand, considérons le diagramme

(2.2.6.1)  \xymatrix{𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d} \ar[r]^{^{\overline{tr}^{r+1}}} \ar[d]_{N_{L_{r+1}/Lr}} & 𝔪_{r+1}^{t(m)}/𝔪_{r+1}^{t(−d)} \ar[d]^{N_{K_{r+1}/Kr}} \\ 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d} \ar[r]_{_{\overline{tr}_{r}}} & 𝔪_{r}^{t(m)}/𝔪_{r}^{t(−d)}}

où les homomorphismes horizontaux sont induits par la trace tr_{L/K}, les homomorphismes verticaux sont induits par les normes et t(m) = t_{E_{L}/E_{K}}(m), cf. (2.1.1.1). Montrons d’abord que (2.2.6.1) est commutatif. On note L′/K la clôture galoisienne de L/K dans K^{sep}. Quitte à remplacer L′, L par des extensions finies contenues respectivement dans L′_{∞}, L_{∞}, on peut supposer L′/L admissible, puis, quitte à remplacer K par une extensions finie contenues dans K_{∞}, on peut supposer à nouveau L/K admissible ; donc L_{r} = L · K_{r} et L′_{r} = L′ ·L_{r} = L′ ·K_{r}. Le groupe Gal(L′_{r+1}/L′_{r}) s’identifie par restriction à Gal(L_{r+1}/L_{r}) et à Gal(K_{r+1}/K_{r}) ; par conséquent la restriction de N_{L′_{r+1}/L′_{r}} à L_{r+1} (resp. K_{r+1}) est égale à N_{L_{r+1}/L_{r}} (resp. N_{K_{r+1}/K_{r}}). On pose, pour r ≥ 0, F_{r} = Hom_{K_{r}}(L_{r}, K^{sep}) (resp. F = Hom_{E_{K}}(E_{L}, E_{K}^{sep})). On rappelle qu’on dispose d’une bijection f_{r}: F → F_{r}, cf. (2.1.7.1).

Soient x ∈ 𝔫_{r+1}^{m} et \overline{x} sa classe dans 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d}. Si r est un entier assez grand, on a

N_{K_{r+1}/K_{r}}(\overline{tr}_{r+1}(\overline{x})) = N_{K_{r+1}/K_{r}}(∑_{γ∈F} \overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(∑_{γ∈F} \overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= ∑_{γ∈F} N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(\overline{f_{r+1}(γ)(x)})

= ∑_{γ∈F} \overline{f_{r}(γ)(N_{L′_{r+1}/L′_{r}}(x))}  (par 2.1.7.2)

= ∑_{γ∈F} \overline{f_{r}(γ)(N_{L_{r+1}/L_{r}}(x))} = \overline{tr}_{r}(N_{L_{r+1}/L_{r}}(\overline{x})).

Ceci montre la commutativité de (2.2.6.1).

On note 𝔪_{∞} (resp. 𝔫_{∞}) l’idéal maximal de O_{E_{K}} (resp. O_{E_{L}}). Pour tout n ≤ −d, le groupe 𝔪_{∞}^{n}/𝔪_{∞}^{−d} est la limite du système projectif (𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d})_{j_{r}≥−n−d}, suivant les applications normes. Le diagramme commutatif (2.2.6.1) définit par passage à la limite un homomorphisme 𝔫_{∞}^{m}/𝔫_{∞}^{−d} → 𝔪_{∞}^{t(m)}/𝔪_{∞}^{t(−d)} qui est l’homomorphisme induit par la trace tr_{E_{L}/E_{K}}. Soit d l’ordre de la tour admissible (ψ_{r})_{r∈ℕ}. Avec les notations de (2.2.1), pour tout n ≤ −d, l’application \overline{ψ}_{∞}: 𝔪_{E_{K}}^{n}/𝔪_{E_{K}}^{−d} → μ_{p}(C) est la limite projective des \overline{ψ}_{r}: 𝔪_{r}^{n}/𝔪_{r}^{−d} → μ_{p}(C). Par la définition de ordre et par (2.1.1),

d(ϕ_{r}) = max {n ∈ ℤ| tr(𝔫_{r}^{−n}) ⊆ 𝔪_{r}^{−d(ψ_{r})}} = −v_{L_{r}} (D_{L_{r}/K_{r}}^{−1}𝔪_{r}^{−d(ψ_{r})}) .

Quitte à agrandir s, on a d(ψ_{r}) = d et d(ϕ_{r}) est égal à d_{L} = v_{E_{L}}(D_{E_{L}/E_{K}})+e_{E_{L}/E_{K}}d. Pour conclure, il suffit de vérifier que pour m ≤ −d_{L} et r ≥ s tel que j_{r}(L_{∞}/L) ≥ −m − d_{L}, le diagramme

[figure: 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d_{L}}; ^{\overline{ϕ}^{r+1}}; N_{Lr+1/Lr}; μ_{p}(C); 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d_{L}}; _{\overline{ϕ}_{r}}; μ_{p}(C)]

commute. Quitte à agrandir encore s le diagramme précédent s’insère dans le diagramme commutatif

[figure: \overline{ϕ}_{r+1} : 𝔫_{r+1}^{m}/𝔫_{r+1}^{−d_{L}}; ^{\overline{tr}^{r+1}}; N_{Lr+1/Lr}; 𝔪_{r+1}^{t(m)}/𝔪_{r+1}^{−d}; ^{\overline{ψ}^{r+1}}; N_{Kr+1/Kr}; μ_{p}(C); \overline{ϕ}_{r}: 𝔫_{r}^{m}/𝔫_{r}^{−d_{L}}; _{\overline{tr}_{r}}; 𝔪_{r}^{t(m)}/𝔪_{r}^{−d}; _{\overline{ψ}_{r}}; μ_{p}(C)]

On a déjà démontré que le carré de gauche commute et celui de droite commute par l’admissibilité de (ψ_{r})_{r∈ℕ}, ce qui achève la preuve. □

Remarque 2.2.7. C’est évident que les résultats de cette section restent vrais pour des caractères additifs à valeurs dans ℚ_{p}/ℤ_{p}. Les définitions 2.2.2 et 2.2.4 gardent un sens aussi pour les caractères additifs à valeurs dans un groupe abélien quelconque et la proposition 2.2.6 reste vrais. Par contre la proposition 2.2.5 n’est pas vrais en général. Cette remarque ne sera pas utilisée dans la suite.

2.3. Stabilisation des facteurs epsilon

2.3.1. Conservons les hypothèses et les notations de (2.1.5) et de (2.2.1). L’image de W_{E_{K}} par l’isomorphisme canonique (2.1.7)

G_{E_{K}} ⟶^{∼} Gal(K^{sep}/K_{∞})

est contenue dans W_{K} ; on la note W (K^{sep}/K_{∞}). La suite (W_{K_{r}})_{r∈ℕ} est une suite decroissante de sous-groupes de W_{K} (1.1.1) ; leurs intersection coïncide avec W (K^{sep}/K_{∞}).

Soit V = (V, ρ) une C-représentation de Weil de K. On pose, pour tout r ≥ 0, ρ_{r} = ρ_{|W_{Kr}}, V_{r} = (V, ρ_{r}). On définit une C-représentation de Weil de E_{K}, notée V_{∞} = (V, ρ_{∞}), par

ρ_{∞}: W_{E_{K}} ⟶^{∼} W (K^{sep}/K_{∞}) ⟶^{ρ_{|W (K^{sep}/K∞)}} GL_{C}(V).

On appelle V_{∞} la déformation de V au corps des normes. C’est évidemment un foncteur exact de Rep_{C}(W_{K}) dans Rep_{C}(W_{E_{K}}) ; on note encore λ ↦ λ_{∞} l’homomorphisme Gr (Rep_{C}(W_{K})) → Gr (Rep_{C}(W_{E_{K}})) induit sur les groupes de Grothendieck. Il résulte de (2.1.8) que la suite (ar(ρ_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(ρ_{∞}) ; voir aussi [Mar04, 5.4 et 5.5].

Soient L/K une extension finie et V une C-représentation de Weil de L. On vérifie que

(Ind_{W_{L}}^{W_{K}} V )_{∞} = Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} (V_{∞})^{⊕|L∩K_{∞}:K|}

En particulier, si L/K est admissible, on a (Ind_{W_{L}}^{W_{K}} V )_{∞} = Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} (V_{∞}).

Soient (V, ρ, N) une représentation de Weil-Deligne de K. Pour tout r ≥ 0, on note V_{r} la C-représentation de Weil-Deligne (V, ρ_{r}, N) de K_{r}. On définit la déformation de (V, ρ, N) au corps des normes, notée abusivement V_{∞}, comme la C-représentation de Weil-Deligne (V, ρ_{∞}, N) de E_{K}.

2.3.2. Soit χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère. Pour tout entier r ≥ 0, on note χ_{r} = χ ∘ N_{K_{r}/K} et χ_{∞}: E_{K}^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère défini par χ_{∞}((x_{r})_{r∈ℕ}) = χ_{r}(x_{r}) = χ_{0}(x_{0}). Soient V (χ) (resp. V (χ_{r}), resp. V (χ_{∞}) ) la C-représentation de Weil de K (resp. K_{r}, resp. E_{K}) de rang 1 associée à χ (resp. χ_{r}, resp. χ_{∞}). On a alors V (χ)_{∞} = V (χ_{∞}) et V (χ)_{r} = V (χ_{r}), pour tout r ≥ 0. On en déduit que la suite (ar(χ_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(χ_{∞}). On note c la partie entière de \frac{ar(χ_{∞})}{2} et c^{+} = ar(χ_{∞}) − c, de sorte que c^{+} = c si ar(χ_{∞}) est pair et c^{+} = c + 1 sinon.

Lemme 2.3.3. Soient χ: K^{∗} → C^{∗} un quasi-caractère, (ψ_{r}: K_{r} → C^{∗})_{r∈ℕ} une tour admissible d’ordre d de caractères additifs non-triviaux et, pour r ≥ 0, a_{r} ∈ K_{r} une ψ_{r}- jauge de χ_{r} (1.3.2). Il existe alors un entier s ≥ 0 tel que pour r ≥ s,

\frac{N(a_{r+1})}{a_{r}} ∈ U_{r}(c)
N(a_{r+1}) − a_{r} ∈ 𝔪_{r}^{−d−c^{+}}

où on a noté N la norme N_{K_{r+1}/K_{r}}: K_{r+1} → K_{r}.

Dém. Pour tout entier r ≥ 0, on choisit une uniformisante π_{r} de O_{r} telle que N(π_{r+1}) = π_{r}. Soit s tel que pour r ≥ s, ar(χ_{r}) et d(ψ_{r}) soient constants. Si ar(χ_{s}) = 0, alors, pour r ≥ s, π_{r}^{−d} est une ψ_{r}-jauge de χ_{r} et le lemme est évident. On suppose ar(χ_{s}) > 0. On déduit la première équation de la deuxième en divisant par a_{r}. Si y ∈ O_{r+1}, alors v_{K_{r}}(N(1 + y) − 1 − N(y)) ≥ j_{r}, cf. (2.1.3). Donc pour r ≥ s, tel que j_{r} ≥ ar(χ_{r}) = c + c^{+}, et pour y ∈ O_{r+1} de valuation v_{K_{r+1}}(y) ≥ c^{+} > 0, on a

ψ_{r+1}(a_{r+1}y) = χ_{r+1}(1 + y) = χ_{r}(N(1 + y))
= χ_{r} (1 + \frac{N(1 + y) − 1 − N(y)}{1 + N(y)}) χ_{r}(1 + N(y))
= χ_{r}(1 + N(y))
= ψ_{r}(a_{r}N(y)).

Par définition de tour admissible, pour r et y comme ci-dessus, on a

ψ_{r+1}(a_{r+1}y) = ψ_{r}(N(a_{r+1})N(y)).

Donc, quitte à agrandir s, pour tout r ≥ s et tout y ∈ O_{r+1} de valuation v_{K_{r+1}}(y) ≥ c^{+}, on a ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))N(y)) = 1. Pour conclure il suffit de prouver que

ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))𝔪_{r}^{c^{+}}) = {1}.

Soit z ∈ 𝔪_{r}^{c^{+}}. On pose m = v_{K_{r}}(z) et z = απ_{r}^{m}, où α ∈ O_{r}^{∗}. Par (2.1.4.1), il existe β ∈ O_{r+1}^{∗} tel que N(β) = α(1 + u), avec u ∈ 𝔪_{r}^{i_{r}}. Si on prend y = βπ_{r+1}^{m}, alors N(y) = N(βπ_{r+1}^{m}) = z + zu. Comme i_{r} ≥ j_{r} ≥ c + c^{+} > c, alors

ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))z) = ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))N(y))ψ_{r}((a_{r} − N(a_{r+1}))zu)^{−1} = 1.

□

Proposition 2.3.4. Soient χ: K → C^{∗} un quasi-caractère et (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs non-triviaux. Alors il existe un entier positif s tel que pour tout r ≥ s, on a

ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r}) = ε([χ_{∞}] − [1_{E_{K}}], ψ_{∞}).

Dém. Soit s tel que pour r ≥ s, ar(χ_{r}) et d(ψ_{r}) soient constants. L’énoncé est évident si χ_{s} est non ramifié. Pour tout r ≥ s, soit a_{r} ∈ K_{r} une ψ_{r}-jauge de χ_{r}; la classe \overline{a}_{r} de a_{r} dans K_{r}^{∗}/U_{r}(c) est uniquement déterminée (1.3.2). Par le lemme 2.3.3, quitte à agrandir s, on a, pour r ≥ s, N(\overline{a}_{r+1}) = \overline{a}_{r}. On en déduit par (2.1.11-2), un élément \overline{a}_{∞} = (\overline{a}_{r})_{r≥s} ∈ E_{K}^{∗}/U_{E_{K}}(c). Soit a_{∞} ∈ E_{K}^{∗} un relèvement de \overline{a}_{∞}. Montrons que a_{∞} est une ψ_{∞}-jauge de χ_{∞}. D’après (1.3.2), on peut supposer que a_{r} = (a_{∞})_{r}; pour tout r ≥ s, a_{r} est une ψ_{r}-jauge de χ_{r} et N(a_{r+1}) = a_{r}. Soit y = (y_{r})_{r∈ℕ} ∈ E_{K}, de valuation v_{E_{K}}(y) ≥ c^{+}. On a,

χ_{∞}(1+y) = χ_{0}((1 + y)_{0}) = χ_{0}( lim_{r→+∞} N_{K_{r}/K_{0}}(1+y_{r})) = lim_{r→+∞} χ_{r}(1+y_{r}) = lim_{r→+∞} ψ_{r}(a_{r}y_{r}).

Comme N(a_{r+1}y_{r+1}) = a_{r}y_{r}, ψ_{r}(a_{r}y_{r}) est constant égal à ψ_{∞}(a_{∞}y), cf. (2.2.4). Par (1.3.3), on a

ε([χ_{∞}] − [1_{E_{K}}], ψ_{∞}) = q_{0}^{c} ∑_{\overline{β}∈U(c)/U(c^{+})} \frac{ψ_{∞}(a_{∞}β)}{χ_{∞}(a_{∞}β)},

où U(c)/U(c^{+}) désigne U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c^{+}) et β est un relèvement de \overline{β}. En vertu de (2.1.11-3), pour tout r assez grand, l’application U_{E_{K}}(c)/U_{E_{K}}(c^{+}) → U_{r}(c)/U_{r}(c^{+}), \overline{β} ↦ \overline{β}_{r} est un isomorphisme et comme ψ_{∞}(a_{∞}β)χ_{∞}(a_{∞}β)^{−1} = ψ_{r}(a_{r}β_{r})χ_{r}(a_{r}β_{r})^{−1}, la proposition s’en suit. □

On note C la C-représentation de Weil triviale de rang 1.

Théorème 2.3.5. Soient V = (V, ρ) ∈ Rep_{C}(W_{K}) et (ψ_{r})_{r∈ℕ} une tour admissible de caractères additifs non-triviaux. Alors il existe s tel que pour tout r ≥ s, on a

ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r}) = ε([V_{∞}] − dim V [C], ψ_{∞}).

Dém. On peut supposer V irréductible. Par (1.1.3), C étant algébriquement clos, on a ρ = ρ′ ⊗ γ, où ρ′: W_{K} → GL_{C}(V) est une représentation qui se factorise par un quotient fini et γ: W_{K} → C^{∗} est un caractère non-ramifié. On pose V′ = (V, ρ′). On se donne, pour tout r ≥ 0, un Frobenius géométrique F_{r}^{∗} de W_{K_{r}} et un Frobenius géométrique de W_{E_{K}}, qu’on note F_{∞}^{∗}. En appliquant (1.3.4-2), on obtient

ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r}) = γ_{r}(F_{r}^{∗(ar(ρ′_{r})+d(ψ_{r}) dim V)})ε([V′_{r}] − dim V [C], ψ_{r}),

Par (2.3.1) la suite (ar(ρ′_{r}))_{r∈ℕ} est stationnaire de limite égale à ar(ρ′_{∞}). Par définition la suite (d(ψ_{r}))_{r∈ℕ} (resp. (γ(F_{r}^{∗}))_{r∈ℕ} ) est stationnaire (resp. constante) de limite égale à d(ψ_{∞}) (resp. γ_{∞}(F_{∞}^{∗}) ). Donc, quitte à changer les notations, on peut supposer que ρ: W_{K} → GL_{C}(V) se factorise par un quotient fini G. Par le théorème d’induction de Brauer [De73, Prop.1.5], on écrit

[V] − dim V [C] = ∑_{H≤G,V_{H}} n(V_{H}) Ind_{H}^{G}([V_{H}] − [C]),

où H (resp. V_{H}) varie parmi les sous-groupes de G (resp. les C-représentations de H de rang 1) et les n(V_{H}) sont des entiers. Par linéarité du facteur epsilon, on est ramené à démontrer le théorème pour les représentations virtuelles de la forme Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]), où L est une extension finie de K et V est une C-représentation de Weil de L, de rang 1, qui se factorise par un quotient fini H de W_{L}. Comme on s’interesse à la restriction de Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]) à W_{K_{r}} pour r assez grand, quitte à remplacer K par une extension finie dans K_{∞}, on peut supposer L ∩ K_{∞} = K. On vérifie que

Res_{W_{K}}^{W_{Kr}} Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]) = Ind_{W_{L·Kr}}^{W_{Kr}} Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]),

en utilisant le cas particulier suivant du théorème de Mackey :

Lemme 2.3.6. [Isa94, Ch.5, Pr.(5.2)]. Soient G un groupe fini , H ≤ G et V une Creprésentation de H. Si S ≤ G tel que HS = G, alors Res_{G}^{S} Ind_{H}^{G} V = Ind_{S∩H}^{S} Res_{H}^{S∩H} V.

D’où, par 1.2.5-(2),

ε(Res_{W_{K}}^{W_{Kr}} Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]), ψ_{r}) = ε(Ind_{W_{L·Kr}}^{W_{Kr}} Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]), ψ_{r})
= ε(Res_{W_{L}}^{W_{L·Kr}} ([V] − [C]), ψ_{r} ∘ tr_{L·K_{r}/K_{r}}).

On note χ: L^{∗} → C^{∗} le quasi-caractère associé à V. Quitte à remplacer L et K par une extension finie contenue respectivement dans L_{∞} et K_{∞}, on peut supposer L/K admissible (2.1.9), donc L · K_{r} = L_{r}. Avec les notations de (2.3.2), on a

ε(Res_{W_{L}}^{W_{Lr}} ([V] − [C]), ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}) = ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}).

Par 2.2.6 et 2.3.4, il existe un s ∈ ℕ, tel que pour r ≥ s, on a

ε([χ_{r}] − [1_{r}], ψ_{r} ∘ tr_{L_{r}/K_{r}}) = ε([χ_{∞}] − [1_{E_{L}}], ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}).

On note V (χ_{∞}) la C-représentation de Weil de E_{L} de rang 1, associée à χ_{∞}. Par (1.2.5), on a

ε([χ_{∞}] − [1_{E_{L}}], ψ_{∞} ∘ tr_{E_{L}/E_{K}}) = ε(Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} ([V (χ_{∞})] − [C]), ψ_{∞}),

et par (2.3.1), Ind_{W_{E_{L}}}^{W_{E_{K}}} ([V (χ_{∞})] − [C]) = (Ind_{W_{L}}^{W_{K}}([V] − [C]))_{∞}, ce qui achève la preuve. □

2.3.7. Pour toute mesure de Haar ν_{∞} sur E_{K}, on note ν_{r} l’unique mesure de Haar sur K_{r} telle que ν_{r}(O_{K_{r}}) = ν_{∞}(O_{E_{K}}).

Corollaire 2.3.8. Soient (V, ρ, N) une C-représentation de Weil-Deligne de K, θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial et ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K}. On se donne une tour admissible de caractères additifs (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ (2.2.5). Alors il existe un entier s ≥ 0 tel que pour tout r ≥ s, on a

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε(V_{∞}, θ, ν_{∞})
ε_{0}(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε_{0}(V_{∞}, θ, ν_{∞}).

Dém. Supposons d’abord N = 0. On a alors

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r})ε(C, ψ_{r}, ν_{r})^{dim V}
= ε([V_{r}] − dim V [C], ψ_{r})ν_{r}(O_{K_{r}})^{dim V} q_{0}^{d(ψ_{r}) dim V} .

Par construction, d(ψ_{r}) se stabilise à d(θ) et ν_{r}(O_{K_{r}}) est constant égal à ν_{∞}(O_{E_{K}}). On conclut en appliquant le théorème 2.3.5. Pour le cas général, il suffit de remarquer que det(−ρ(F_{n}^{∗})|V^{I_{Kn}} /Ker N^{I_{Kn}}) se stabilise en det(−ρ(F_{∞}^{∗})|V^{I_{E_{K}}} /Ker N^{I_{E_{K}}}), où F_{n}^{∗} (resp. F_{∞}^{∗}) désigne un Frobenius géométriques quelconque de W_{K_{n}} (resp. W_{E_{K}}). L’assertion pour ε_{0} s’ensuit. □

2.4. Applications aux représentations de de Rham

2.4.1. Dans cette section, on suppose que C contienne K^{sep}. On pose K_{a} = Fr W(k) et on note K_{a}^{nr} son extension maximale non-ramifiée dans K^{sep} et B_{st} l’anneau des périodes des représentations semi-stables de G_{K}.

Soit V une représentation galoisienne p-adique, i.e. un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. On pose

D_{pst}(V) = \underrightarrow{lim}_{G′≤G_{K}} (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{st})^{G′},

où la limite est prise sur les sous-groupes ouverts de G_{K}. C’est un K_{a}^{nr}-espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à la dimension de V sur ℚ_{p}. Il est muni d’une action

ρ̃: G_{K} ⟶ Aut_{K_{a}}(D_{pst}(V)),

semi-linéaire par rapport à l’action naturelle de G_{K} sur K_{a}^{nr}, d’une application σ-linéaire équivariante φ: D_{pst}(V) → D_{pst}(V) et d’un endomorphisme nilpotent équivariant N tels que N ∘φ = pφ ∘N (cf. la première partie de cette thèse [Mar04, §2], pour plus de détails).

Suivant Fontaine et Perrin-Riou [PR95, App. C.1.4], on muni D_{pst}(V) d’une action linéaire ρ de W_{K} en posant

∀w ∈ W_{K}, ρ(w) = ρ̃(w)φ^{fν(w)}.

Le triplet (D_{pst}(V), ρ, N) est une K_{a}^{nr}-représentation de Weil-Deligne de K qu’on note abusivement D_{pst}(V).

Soient ψ: K → C^{∗} un caractère additif non trivial et μ une mesure de Haar sur K à valeur dans C. On pose

ε(V, ψ, μ) = ε(D_{pst}(V) ⊗_{K_{a}^{nr}} C, ψ, μ).

Ces définitions prennent tout leur intérêt dans le cas d’une représentation de de Rham V où on a dim_{K_{a}^{nr}} D_{pst}(V) = dim_{ℚ_{p}} V.

Pour tout entier r ≥ 0, on note V_{r} la restriction de V à G_{K_{r}}. Comme, D_{pst}(V_{r}) = D_{pst}(V)_{|W_{Kr}}, on obtient par (2.3.8), le corollaire suivant.

Corollaire 2.4.2. Soient V une représentation de de Rham de G_{K}, D_{pst}(V)_{∞} la déformation au corps des normes (2.3.1) de D_{pst}(V), θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial et ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K} à valeurs dans K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)). On se donne une tour admissible de caractères additifs (ψ_{r})_{r∈ℕ} telle que ψ_{∞} = θ, cf. (2.2.5). Alors il existe un entier positif s, tel que pour tout r ≥ s,

ε(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞}),
ε_{0}(V_{r}, ψ_{r}, ν_{r}) = ε_{0}(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞}).

Anticipant sur les définitions du chapitre 3, on a le corollaire suivant :

Corollaire 2.4.3. Soient K_{∞} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, V une représentation de de Rham de G_{K}, N_{dR}(V) le (φ, ∇)-module de Berger associé à V [Berg02, 5.20], θ: E_{K} → μ_{p}(C) un caractère additif non-trivial et ν_{∞} une mesure de Haar sur E_{K} à valeurs dans K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)). Alors, avec les définitions de (3.6.4), on a (2.4.3.1) WD(N_{dR}(V)) = D_{pst}(V)_{∞}

(2.4.3.2) ε(D_{pst}(V)_{∞} ⊗_{K_{a}^{nr}} K_{a}^{nr}(μ_{p}(C)), θ, ν_{∞}) = ε(N_{dR}(V), θ, ν_{∞}) et de même pour ε_{0}.

Dém. Dans la première partie, cf. (partie 1, 5.3), on a noté D_{pst}^{∞}(V) la représentation semi-linéaire de G_{E_{K}} obtenue à partir de D_{pst}(V)_{|Gal(K^{sep}/K_{∞})} via l’isomorphisme canonique Gal(K^{sep}/K_{∞}) ≅ G_{E_{K}}. Par (partie 1, 5.9-i), on a S(N_{dR}(V)) ≅ D_{pst}^{∞}(V) en tant que K_{a}^{nr}-modules de Deligne de E_{K}, cf. (3.2.4) et (3.3.16.1). En recopiant (2.4.1), on peut considérer D_{pst}^{∞}(V) (resp. S(N_{dR}(V)) ) comme une K_{a}^{nr}-représentation de Weil-Deligne de E_{K} ; elle est alors égale à la déformation au corps des normes D_{pst}(V)_{∞} de D_{pst}(V) (resp. à WD(N_{dR}(V)) ), d’où (2.4.3.1). On en déduit immédiatement (2.4.3.2). □

CHAPITRE 3 F -isocristaux sur un corps local

3.1. Les anneaux de fonctions

3.1.1. Dans tout ce chapitre, K désigne un corps de valuation discrète, complet de caractéristique p > 0, à corps résiduel k parfait. A partir de la section 3.6, on supposera k fini de cardinal q = p^{f}. On reprend les notations de (0.1). On fixe une uniformisante de K, ce qui détermine un isomorphisme O_{K} ≅ k⟦T ⟧. Par extension finie séparable de K, on sous-entend une extension finie contenue dans K^{sep}. Pour une telle extension L, on notera O_{L} son anneau d’entiers, k_{L} (resp. 𝔪_{L}) le corps résiduel (resp. l’idéal maximal) de O_{L} et G_{L} le groupe de Galois de K^{sep} sur L.

3.1.2. Soient h ≥ 1 un entier tel que k contienne un sous-corps de cardinal^{1} p^{h} qu’on note 𝔽, et Λ une extension finie de ℚ_{p} de corps résiduel 𝔽. On pose C = Λ ⊗_{W(𝔽)} W(k). C’est un corps de valuation discrète complet de corps résiduel k. On note O_{C} (resp. 𝔪_{C}) l’anneau des entiers de C (resp. l’idéal maximal de O_{C}), v_{C} la valuation de C normalisée par v_{C}(C^{∗}) = ℤ et ∥x∥ = p^{−hv_{C}(x)} la valeur absolue d’un élément x ∈ C. On munit C de l’endomorphisme σ_{C} = Id_{Λ} ⊗ σ^{h}, où σ est l’endomorphisme de Frobenius de W(k). Le sous-corps de C fixé par σ_{C} est Λ. On dit que σ_{C} est un Frobenius d’ordre h de C. Les corps C et Λ apparaîtront dans la suite comme des corps de coefficients.

3.1.3. Pour tout nombre rationnel 0 ≤ ρ < 1, on pose

A([ρ, 1[) = {∑_{n∈ℤ}a_{n}T^{n} | ∀n ∈ ℤ, a_{n} ∈ C, ∀ρ′ ∈ [ρ, 1[, lim_{n→±∞} ∥a_{n}∥ρ′^{n} = 0}

l’anneau des séries convergentes sur la couronne [ρ, 1[ à coefficients dans C. C’est une Calgèbre topologique qui est un espace de Fréchet pour la topologie donnée par la famille des normes ∥∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n}∥_{ρ′} = sup_{n∈ℤ} ∥a_{n}∥ρ^{′n}, pour ρ ≤ ρ′ < 1. On l’appelle anneau des fonctions analytiques sur la couronne [ρ, 1[. On appelle anneau de Robba, et on note R, la réunion des A([ρ, 1[) pour ρ dans un voisinage (à gauche) de 1,

R = \underrightarrow{lim}_{ρ<1} A([ρ, 1[).

C’est une C-algèbre topologique pour la topologie limite inductive.

1Il est usuel de poser q = p^{h}. Nous n’utilisons pas cette notation pour éviter toute confusion avec le cardinal de k dans le cas où ce dernier est fini.

60 3. F -ISOCRISTAUX SUR UN CORPS LOCAL

3.1.4. On pose

E^{†} = {∑_{n∈ℤ}a_{n}T^{n} ∈ R| ∃b ∈ ℝ t.q ∀n ∈ ℤ, ∥a_{n}∥ < b} .

C’est un corps dit corps des fonctions surconvergentes bornées. Il est muni de la valuation discrète donnée par v_{1}(∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n}) = min_{n∈ℤ} v_{C}(a_{n}). On note ∥·∥_{1} = p^{−hv_{1}(·)} la norme associée à v_{1}, dite norme de Gauss. L’anneau des entiers O_{E^{†}} de E^{†} est hensélien. Son corps résiduel est canoniquement isomorphe à k⟦T ⟧, donc à O_{K} par l’isomorphisme O_{K} ≅ k⟦T ⟧ fixé dans (3.1.1). L’anneau O_{E^{†}} est une O_{C}⟦T ⟧[T^{−1}]-algèbre et s’identifie à un sous-anneau du complété de O_{C}⟦T ⟧[T^{−1}] pour la topologie (𝔪_{C})-adique.

On appelle Frobenius d’ordre h de E^{†} un relèvement σ_{C}-linéaire et continu à O_{E^{†}} du Frobenius σ^{h}: x ↦ x^{p^{h}} de K. Un tel homomorphisme se prolonge évidemment de façon unique à E^{†}. L’homomorphisme σ_{C}-linéaire continu de E^{†} envoyant T sur (1 + T)^{p^{h}} − 1 est un exemple naturel de Frobenius d’ordre h. Un autre exemple est obtenu en envoyant T sur T^{p^{h}}. Tout Frobenius de E^{†} se prolonge de façon unique en un endomorphisme continu de R, cf. [Mat02, 2.2] ; on l’appelle Frobenius de R. Dans la suite, on fixe un Frobenius σ_{E^{†}} d’ordre h de E^{†}, qui laisse stable le sous-anneau O_{C}⟦T ⟧ de O_{E^{†}} ; on notera σ_{R} son prolongement à R.

3.1.5. Pour A un des anneaux R ou E^{†}, on note Ω̂_{A/C}^{1} le A-module des différentielles

continues de A sur C, d: A → Ω̂_{A/C}^{1} la dérivation canonique. Par construction C s’identifie au corps des constantes Ker(d) de A. Par universalité, il existe un morphisme σ_{A}-linéaire dσ_{A}: Ω̂_{A/C}^{1} → Ω̂_{A/C}^{1} qui rend commutatif le diagramme

\xymatrix{A \ar[r]^{d} \ar[d]_{σ_{A}} & Ω̂_{A/C}^{1} \ar[d]^{dσ_{A}} \\ A \ar[r]^{d} & Ω̂_{A/C}^{1}}

3.1.6. Par la définition de Frobenius, la série σ_{R}(T)/T^{p^{h}} appartient à 1 + 𝔪_{C}O_{C}⟦T ⟧. Donc la série log(σ_{R}(T)/T^{p^{h}}) appartient à O_{C}⟦T ⟧. Soit R[X] l’anneau des polynômes en une variable à coefficients dans R. On prolonge σ_{R} et d: R → Ω̂_{R/C}^{1} en un homomorphisme

d’anneaux σ_{R}: R[X] → R[X] et une C-dérivation d: R[X] → R[X] ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}, en posant

σ_{R}(X) = p^{h}X + log \frac{σ_{R}(T)}{T^{p^{h}}},
dX = \frac{dT}{T} .

Dans la suite, on désignera par log T la variable X. On appelle monodromie de R[log T], et on note N: R[log T] → R[log T], la R-dérivation qui envoie log T en 1. On a Nσ_{R} = p^{h}σ_{R}N. On définit, de façon analogue, un anneau E^{†}[log T] muni d’un Frobenius, d’un opérateur de monodromie, et une dérivation d: E^{†}[log T] → E^{†}[log T] ⊗_{E^{†}} Ω̂_{E^{†}/C}^{1}.

3.1.7. Soit L une extension finie séparable de K. On note C_{L} l’extension finie nonramifiée de C de corps résiduel k_{L}. Elle est unique à isomorphisme unique près. En fait C_{L} est isomorphe à C ⊗_{W(k)}W(k_{L}), car C et Fr W(k_{L}) sont linéairement disjoints sur Fr W(k). Comme O_{E^{†}} est hensélien de corps résiduel K, il existe une extension finie, séparable et non-ramifiée E^{†}(L) de E^{†} de corps résiduel L; elle est unique à isomorphisme unique près. L’injection canonique k_{L} ↪ L détermine un homomorphisme W(k_{L}) ↪ E^{†}(L) qui rend commutatif le diagramme

\xymatrix{W(k_{L}) \ar@{^{(}->}[r] & E^{†}(L) \\ W(k) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[u] & E^{†} \ar@{^{(}->}[u]}

On a donc un homomorphisme injectif C_{L} ↪ E^{†}(L) fonctoriel en L, qui prolonge celui de C dans E^{†}.

On pose R(L) = R ⊗_{E^{†}} E^{†}(L) ; c’est une extension étale finie de R, donc Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} =

R(L) ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}. Comme E^{†} est hensélien, les Frobenius σ_{E^{†}} et σ_{R} s’étendent de façon unique à E^{†}(L) et R(L) respectivement, cf. [Mat02, 2.2].

3.1.8. On pose C^{nr} = \underrightarrow{lim} C_{L}, où la limite est prise sur toutes les extensions L/K finies et séparables contenues dans K^{sep}. On note Ĉ^{nr} le complété p-adique de C^{nr}, il s’identifie à C ⊗_{W(k)} W(k^{sep}). On munit Ĉ^{nr} de l’action de G_{K} produit tensoriel de l’action triviale sur C et de l’action naturelle sur W(k^{sep}) via G_{K} → Gal(k^{sep}/k). Le groupe de cohomologie H_{cont}^{1}(Gal(k^{sep}/k), W(k^{sep})) est trivial, cf. [Ser68, III-33]. On en déduit que, pour toute extension séparable finie L de K, le sous-corps de Ĉ^{nr} fixé par G_{L} est

\binom{}{C^{nr}}^{G_{L}} = (C^{nr})^{G_{L}} = C_{L}.

Le Frobenius σ_{C} de C s’étend de façon unique à C^{nr} et par continuité à Ĉ^{nr} ; on le note encore σ_{C}. On pose E^{†}^{nr} = \underrightarrow{lim} E^{†}(L), où la limite est prise sur les extensions finies séparables de K. Suivant [Cr04a], on note

B_{0} = \underrightarrow{lim}_{L/K} R(L) et B = B_{0}[log T]

où la limite est prise sur les extensions finies séparables de K. On appelle B l’anneau des hyperfonctions. Par construction, les anneaux E^{†}^{nr}, B_{0} et B sont des C^{nr}-algèbres. On a Ω̂_{B_{0}/C^{nr}}^{1} = \underrightarrow{lim}_{L/K} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} = B_{0}dT, et de même pour E^{†}^{nr}. On définit une C^{nr}-dérivation

d: B → B ⊗_{B_{0}} Ω̂_{B_{0}/C^{nr}}^{1} en posant d log T = \frac{dT}{T}.

3.2. Modules de Deligne

Définition 3.2.1. Un φ-module sur C est un C-espace vectoriel de dimension finie M muni d’une application σ_{C}-linéaire injective φ: M → M. Comme M est de dimension finie et σ_{C} est un isomorphisme, φ est isomorphisme σ_{C}-linéaire, qu’on appelle Frobenius de M. Un morphisme de φ-modules sur C est une application linéaire commutant aux Frobenius. On désigne par ΦM(C) la catégorie des φ-modules sur C.

3.2.2. La catégorie des φ-modules sur C est équivalente à la catégorie des F -isocristaux sur Spec(k)|C, au sens de [Bert96a, (2.5.8)].

Définition 3.2.3. Un (φ, N)-module sur C est un φ-module M sur C, muni d’un endomorphisme N du C-espace vectoriel sous-jacent à M, tel que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

Comme M est de dimension finie, N est nilpotent. On appellera N l’opérateur de monodromie de M. Un morphisme de (φ, N)-modules sur C est un morphisme de φ-modules commutant aux opérateurs de monodromie. On désigne par ΦM_{log}(C) la catégorie des (φ, N)-modules sur C.

Définition 3.2.4. [Fon94c, §1] (1) Un Ĉ^{nr}-module de Deligne de K est la donnée d’un Ĉ^{nr}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire continue de G_{K} triviale sur un sous-groupe ouvert de I_{K} ; ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ; iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

(2) Un C^{nr}-module de Deligne de K est la donnée d’un C^{nr}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire discrète de G_{K}, i.e. telle que le stabilisateur de tout élément de V soit ouvert dans G_{K} ;

ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ; iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

(3) Soit L une extension finie galoisienne de K. Un C_{L}-module de Deligne de K est la donnée d’un C_{L}-espace vectoriel V de dimension finie muni des structures suivantes :

i) une action semi-linéaire de Gal(L/K) ; ii) un endomorphisme N: V → V nilpotent et équivariant ; iii) une application σ_{C}-linéaire φ: V → V injective et équivariante telle que

N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N.

Dans chacun de ces cas, on appelle N (resp. φ) l’opérateur de monodromie (resp. le Frobenius) de V.

Un morphisme de modules de Deligne de K est une application linéaire équivariante qui commute aux Frobenius et aux opérateurs de monodromie. On note Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) la catégorie des C_{L}-modules de Deligne de K, Del_{C^{nr}}(G_{K}) la catégorie des C^{nr}-modules de Deligne de K, et de même pour Ĉ^{nr}. On vérifie aisément que ces catégories sont abéliennes et Λ-linéaires.

Remarque 3.2.5. Fontaine a introduit les modules de Deligne pour un corps local K d’inégale caractéristique [Fon94c, §1]. Il appelle (φ, N, G_{K})-modules les C^{nr}-modules de Deligne de K et p-modules de Deligne les Ĉ^{nr}-modules de Deligne de K. On uniformise ici la nomenclature en raison du rôle similaire que ces objets joueront dans la suite.

Exemple 3.2.6. On note C^{nr}(1) le C^{nr}-module de Deligne (C^{nr}, p^{−h}σ_{C}, 0) de K. Pour tout C^{nr}-module de Deligne (V, φ, N) de K et tout entier n, on note V (n) le C^{nr}-module (V, p^{−nh}φ, N). De même pour les Ĉ^{nr}-modules (resp. C_{L}-modules) de Deligne de K.

3.2.7. Soient L une extension galoisienne finie de K, C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr}. L’extension des scalaires V ↦ V ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} induit un foncteur

− ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} : Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ DelC̃^{nr}(G_{K})

définit comme suit : soit (V, φ_{V} , N_{V}) ∈ Del_{C_{L}}(Gal(L/K)), on muni W = V ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} de l’opérateur de monodromie N_{W} = N_{V} ⊗ Id, du Frobenius φ_{W} = φ_{V} ⊗_{σ_{C}} σ_{C} et de l’action semi-linéaire diagonale de G_{K}. On vérifie facilement que (W, φ_{W} , N_{W}) est un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Comme (C̃^{nr})^{G_{L}} = C_{L}, ce foncteur est pleinement fidèle.

De façon analogue, l’extension des scalaires de C^{nr} à Ĉ^{nr} induit un foncteur de complétion [Fon94c, 1.2.1]

\underline{Co}: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ DelĈ^{nr}(G_{K}).

Proposition 3.2.8. [Fon94c, Prop 1.2.2] (1) Soient C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr}, V un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Il existe une extension galoisienne finie L/K et un C_{L}-module de Deligne W de K, tel que W ⊗_{C_{L}} C̃^{nr} ≅ V. On dit que V est trivialisé par L et que W est une descente de V à L.

(2) Le foncteur \underline{Co} est une équivalence de catégories. Un quasi-inverse est donné par

\underline{Déco}: DelĈ^{nr}(G_{K}) ⟶ Del_{C^{nr}}(G_{K}),

où, pour tout Ĉ^{nr}-module de Deligne V, \underline{Déco}(V) est le sous-ensemble de V formé des éléments de stabilisateur ouvert.

Dém. (1) Soient V un C^{nr}-module de Deligne de K et v_{1}, …, v_{n} une base de V. Par définition, le stabilisateur de v_{1}, …, v_{n} est un sous-groupe ouvert de G_{K}. Il existe donc un sous-groupe ouvert distingué H de G_{K} qui stabilise les éléments v_{1}, …, v_{n}. Soient L = (K^{sep})^{H} et W le sous-C_{L}-espace vectoriel de V engendré par v_{1}, …, v_{n}. Comme N et φ sont équivariants, W est stable sous leurs action et c’est clairement un C_{L}-module de Deligne de K tel que W ⊗_{C_{L}} C^{nr} ≅ V.

Supposons maintenant que V soit un Ĉ^{nr}-module de Deligne de K, J un sous-groupe distingué ouvert de I_{K} qui agit trivialement sur V et L/K une extension galoisienne finie telle que J = I_{L}. L’action de G_{L} sur V se factorise à travers Gal(k^{sep}/k_{L}). On prend W = V^{Gal(k^{sep}/k_{L})}. C’est un C_{L}-espace vectoriel muni d’une action semi-linéaire de Gal(L/K) et d’applications N et φ déduites de celles de V. Comme H_{cont}^{1}(Gal(k^{sep}/k_{L}), GL_{n}(Ĉ^{nr})) est trivial [Ser68, III-33], on a W ⊗_{C_{L}} Ĉ^{nr} ≅ V.

(2) Il est évident que \underline{Déco}(V) = W ⊗_{C_{L}} C^{nr} et que \underline{Déco} est un foncteur. Le reste de l’assertion s’ensuit facilement, en raisonnant comme dans [Fon94c, 1.2.3]. □

3.2.9. Soient C̃^{nr} l’un des corps C^{nr} ou Ĉ^{nr} et V un C̃^{nr}-module de Deligne de K. Par hypothèse, l’action de I_{K} sur V est linéaire et se factorise par un quotient fini. On peut donc définir son conducteur et ses pentes de Swan, cf. [Kat88, 1.2–1.6] ; ces définitions ne dépendent pas du quotient choisi. On appelle ces invariants le conducteur et les pentes de Swan de V ; on note le premier sw(V).

3.3. (φ, ∇)-modules

Définition 3.3.1. Un (φ, ∇)-module sur R est la donnée d’un triplet (M, ∇, φ) où :

i) M est un R-module libre de type fini ; ii) ∇: M → M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} est une connexion ; iii) φ: M → M est un Frobenius horizontal, c’est-à-dire une application σ_{R}-linéaire

telle que φ(M) engendre M sur R et telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{φ} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} \ar[d]^{φ⊗dσ_{R}} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}}

On note ΦM(R) la catégorie des (φ, ∇)-modules sur R, les morphismes étant les applications linéaires horizontales commutant aux Frobenius. On notera abusivement M au lieu de (M, ∇, φ).

3.3.2. On définit de même qu’en (3.3.1), les notions de (φ, ∇)-module sur E^{†}, ou sur E^{†}(L), ou sur R(L) (pour une extension séparable finie L de K), ou sur B_{0} (3.1.8). On notera respectivement ΦM(E^{†}), ΦM(E^{†}(L)), ΦM(R(L)) et ΦM(B_{0}) les catégories des (φ, ∇)-modules sur ces anneaux.

On appelle aussi ΦM(E^{†}) (resp. ΦM(R) ) la catégorie des F -isocristaux surconvergents (resp. analytiques) sur Spec(K)|C.

Définition 3.3.3. Un (φ, ∇, N)-module sur R[log T] est la donnée du quadruplet (M, ∇, φ, N_{M}) où :

i) M est un R[log T]-module libre de type fini ; ii) ∇: M → M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} est une connexion ;

3.3. (φ, ∇)-MODULES 65

iii) φ: M → M est un Frobenius horizontal, c’est-à-dire une application σ_{R}-linéaire telle que φ(M) engendre M sur R[log T] et telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{φ} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1} \ar[d]^{φ⊗dσ_{R}} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R} Ω̂_{R/C}^{1}}

iv) N_{M}: M → M est une N-dérivation de M (i.e. une application additive telle que, pour tout m ∈ M, α ∈ R[log T], on a N_{M}(αm) = N(α)m+αN_{M}(m) ), qui soit horizontale et telle que

N_{M} ∘ φ = p^{h}φ ∘ N_{M}.

On appelle N_{M} l’opérateur de monodromie de M. On note ΦM(R[log T]) la catégorie des (φ, ∇, N)-modules sur R[log T], les morphismes étant les applications linéaires horizontales commutant aux Frobenius et aux opérateurs de monodromie. On notera abusivement M au lieu de (M, ∇, φ, N_{M}).

3.3.4. On définit de même qu’en (3.3.3), les notions de (φ, ∇, N)-modules sur E^{†}[log T], ou sur E^{†}(L)[log T], ou sur R(L)[log T] (pour une extension séparable finie L de K), ou sur B (3.1.8). On notera respectivement ΦM(E^{†}[log T]), ΦM(E^{†}(L)[log T]), ΦM(R(L)[log T]) et ΦM(B) les catégories des (φ, ∇, N)-modules sur ces anneaux.

3.3.5. On donne dans ce numéro une variante équivariante de la définition (3.3.4), qui sera cruciale pour la classification des (φ, ∇)-modules sur R. Soient L/K une extension galoisienne finie, (M, φ, ∇, N_{M}) un (φ, ∇, N)-module sur R(L)[log T]. Une donnée de descente sur M est la donnée d’une action semi-linéaire ρ de Gal(L/K) sur M, commutant à φ et à N_{M} et qui soit horizontale au sens semi-linéaire, c’est-à-dire que pour tout γ dans Gal(L/K), le diagramme suivant commute

\xymatrix{M \ar[r]^{∇} \ar[d]_{ρ(γ)} & M ⊗_{R(L)} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} \ar[d]^{ρ(γ)⊗dγ} \\ M \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(L)} Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1}}

où dγ: Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} → Ω̂_{R(L)/C_{L}}^{1} est l’application γ-linéaire induite par universalité de l’action de γ sur R(L). On note ΦM(R(L)[log T])_{ds} la catégorie des (φ, ∇, N)-modules sur R(L)[log T] muni d’une donnée de descente, les morphismes étant les morphismes de (φ, ∇, N)-modules qui sont équivariants par rapport aux données de descente. De même, on définit, mutatis mutandis, les catégories ΦM(E^{†}(L)[log T])_{ds} et ΦM(B)_{ds}.

3.3.6. On résume dans le tableau suivant les anneaux introduits avec leurs opérateur de monodromie et leurs corps des constantes :

Anneau  N Ker d
R ou E^{†}  0  C
R(L) ou E^{†}(L)  0  C_{L}
R[log T] ou E^{†}[log T]  N ≠ 0 C
R(L)[log T] ou E^{†}(L)[log T] N ≠ 0 C_{L}
B_{0} 0 C^{nr}
B  N ≠ 0 C^{nr}

3.3.7. Soit M un (φ, ∇)-module sur R. On note M^{∇} le C-espace vectoriel Ker ∇ des sections horizontales de M. On montre facilement que la dimension sur C de M^{∇} est inférieure ou égale au rang de M et cet espace hérite de M d’une structure de φ-module sur C cf. (3.2.1). Ceci définit un foncteur additif et exact à gauche

(3.3.7.1)  (−)^{∇}: ΦM(R) ⟶ ΦM(C)
(M, ∇, φ) ⟼ (M^{∇}, φ)

De même, on a

(3.3.7.2)  (−)^{∇}: ΦM(R(L)) ⟶ ΦM(C_{L})
(3.3.7.3)  (−)^{∇}: ΦM(B_{0}) ⟶ ΦM(C^{nr})

3.3.8. Soit M un (φ, ∇, N)-module sur R[log T]. De façon analogue à (3.3.7), le Cespace vectoriel M^{∇} des sections horizontales de M hérite d’une structure de (φ, N)- module. On en déduit un foncteur additif, exacte à gauche,

(3.3.8.1)  (−)^{∇}: ΦM(R[log T]) ⟶ ΦM_{log}(C)

On montre que pour tout (φ, ∇, N)-module M sur R[log T], la dimension de M^{∇} sur C est inférieure ou égale au rang de M sur R[log T].

De même, on a

(3.3.8.2)  (−)^{∇}: ΦM(R(L)[log T]) ⟶ ΦM_{log}(C_{L})
(3.3.8.3)  (−)^{∇}: ΦM(B) ⟶ ΦM_{log}(C^{nr})

3.3.9. Un (φ, ∇)-module sur R est dit R-soluble s’il admet une base de sections horizontales. Pour un tel module M, l’inclusion de M^{∇} dans M induit par linéarisation un isomorphisme de (φ, ∇)-modules

(3.3.9.1)  M^{∇} ⊗_{C} R ⟶ M;

en particulier, on a dim_{C} M^{∇} = rg M. On note ΦM(R)^{sol} la sous-catégorie pleine de ΦM(R) des modules R-solubles. La restriction du foncteur (3.3.7.1) des sections horizontales à ΦM(R)^{sol} est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est :

(3.3.9.2)  − ⊗_{C} R: ΦM(C) ⟶ ΦM(R)^{sol}
(M, φ) ⟼ (M ⊗_{C} R, Id_{M} ⊗ d, φ ⊗_{σ_{C}} σ_{R})

Exemple 3.3.10. On note R(1) le (φ, ∇)-module R-soluble (R, p^{−h}σ_{R}, d_{R}). Pour tout (φ, ∇)-module (M, φ, ∇) et tout entier n, on note M(n) le (φ, ∇)-module (M, p^{−nh}φ, ∇).

3.3.11. On dit qu’un (φ, ∇)-module M sur R est unipotent si M est une extension itérée de (φ, ∇)-modules R-solubles. On dit que un (φ, ∇)-module M sur R est quasiunipotent s’il existe une extension galoisienne finie L/K telle que M ⊗_{R}R(L) soit unipotent comme (φ, ∇)-module sur R(L). On vérifie que :

(1) M est unipotent si et seulement si rg(M) = dim_{C} (M ⊗_{R} R[log T])^{∇}.

(2) M est quasi-unipotent si et seulement si rg(M) = dim_{C^{nr}} (M ⊗_{R} B)^{∇}.

Théorème 3.3.12 (Monodromie p-adique [An02a],[Ked04],[Meb02]). Tout (φ, ∇)- module sur R est quasi-unipotent.

3.3.13. Soit L/K une extension galoisienne finie. Le foncteur des sections horizontales (3.3.8.2) induit un foncteur :

(3.3.13.1)  (−)^{∇}: ΦM(R(L)[log T])_{ds} ⟶ Del_{C_{L}}(Gal(L/K))
(M, φ, ∇, N_{M}; ρ) ⟼ (M^{∇}, φ, N_{M}_{|M^{∇}}; ρ_{|M^{∇}})

De même, (3.3.8.3) induit un foncteur :

(3.3.13.2)  (−)^{∇}: ΦM(B)_{ds} ⟶ Del_{C^{nr}}(G_{K})

3.3.14. On a un foncteur d’extension des scalaires :

(3.3.14.1)  − ⊗_{R} B: ΦM(R) ⟶ ΦM(B)_{ds}

qui envoie (M, ∇, φ) sur le quintuplet

(M ⊗_{R} B, φ ⊗_{σ_{R}} σ_{B}, ∇ ⊗ Id + Id ⊗ d, Id_{M} ⊗ N; Id_{M} ⊗ ρ).

Soit (M, ∇, φ, N_{M}; ρ) ∈ ΦM(B)_{ds}. D’après la définition de B, on a (Ker N)^{G_{K}} = R; donc (Ker N_{M})^{G_{K}} est un R-module. Il hérite de M d’une connexion et d’un Frobenius. S’il est projectif et de type fini sur R, il est libre et appartient donc à ΦM(R). Dans ce cas, on pose

(3.3.14.2)  Des_{B/R}(M) = ((Ker N_{M})^{G_{K}}, ∇, φ)

De la même façon, pour toute extension galoisienne finie L de K, on a

(3.3.14.3)  − ⊗_{R} R(L): ΦM(R) ⟶ ΦM(R(L)[log T])_{ds}

qui envoie (M, ∇, φ) sur le quintuplet

(M ⊗_{R} R(L)[log T], φ ⊗_{σ_{R}} σ_{R}, ∇ ⊗ Id + Id ⊗ d, Id_{M} ⊗ N; Id_{M} ⊗ ρ)

Soit (M, ∇, φ, N_{M}; ρ) ∈ ΦM(R(L)[log T])_{ds}. Si le R-module (Ker N_{M})^{G_{K}} est projectif de type fini, on pose

(3.3.14.4)  Des_{R(L)[log T]/R}(M) = ((Ker N_{M})^{Gal(L/K)}, ∇, φ) ∈ ΦM(R)

Lemme 3.3.15. (1) Les foncteurs (3.3.14.1) et (3.3.14.3) sont pleinement fidèles.

(2) Pour tout M ∈ ΦM(R), le (φ, ∇)-module Des_{B/R}(M ⊗_{R} B) est défini et canoniquement isomorphe à M.

(3) Pour tout extension finie et séparable L de K et tout M ∈ ΦM(R), on a Des_{R(L)[log T]/R}(M ⊗_{R} R(L)[log T]) ≅ M.

Dém. Il est évident que ces foncteurs sont fidèles. Soient M un (φ, ∇)-module sur R, et M̃ = M ⊗_{R} B l’image de M par (3.3.14.1). Il est clair que Des_{B/R}(M ⊗_{R} B) est défini et canoniquement isomorphe à M. Comme les morphismes dans ΦM(B)_{ds} sont compatibles à la monodromie et aux données de descentes, le foncteur (3.3.14.1) est plein. Idem pour (3.3.14.3) et Des_{R(L)[log T]/R}(M ⊗_{R} R(L)[log T]). □

3.3.16. On pose S le foncteur composé :

(3.3.16.1) S: ΦM(R) ⟶^{(3.3.14.1)} ΦM(B)_{ds} ⟶^{(3.3.13.2)} Del_{C^{nr}}(G_{K})

Il résulte du théorème de monodromie p-adique (3.3.12) que pour tout M ∈ ΦM(R), la dimension de S(M) est égale au rang de M.

Pour une extension galoisienne finie L de K, on note ΦM(R)_{L} la sous-catégorie pleine de ΦM(R) des modules qui sont unipotents sur R(L). On pose S_{L} le foncteur composé :

(3.3.16.2) S_{L}: ΦM(R)_{L} ⟶^{(3.3.14.3)} ΦM(R(L)[log T])_{ds} ⟶^{(3.3.13.1)} Del_{C_{L}}(Gal(L/K))

Par construction, pour tout M ∈ ΦM(R)_{L}, la dimension de S_{L}(M) est égale au rang de M. Soit M ∈ ΦM(R). L’inclusion S_{L}(M) ⊂ S(M) induit par linéarisation un monomorphisme de C^{nr}-modules de Deligne

S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} C^{nr} ⟶ S(M)

qui est un isomorphisme puisque les deux membres ont même dimension. Par suite S_{L}(M) est une descente de S(M) à L, cf. (3.2.8). On a donc un diagramme de foncteurs commutatif (à isomorphisme près)

(3.3.16.3)  \xymatrix{ΦM(R) \ar[r]^{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \\ ΦM(R)_{L} \ar[r]^{S_{L}} \ar@{^{(}->}[u] & Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) \ar[u]_{−⊗_{C_{L}}C^{nr}}}

On appelle usuellement S(M) l’espace des cycles proches de M. On se propose dans la suite de cette section de montrer que S et S_{L} sont des équivalences de catégories et de construire des quasi-inverses.

3.3.17. Soit L/K une extension galoisienne finie. On définit d’abord les foncteurs

M̃: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ ΦM(E^{†}),
M̃_{L}: Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ ΦM(E^{†}),

par

V ⟼ M̃(V) = \{x ∈ V ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .
W ⟼ M̃_{L}(W) = \{x ∈ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L/K), g(x) = x \\ (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

On vérifie facilement que pour tout C_{L}-module de Deligne W de K, on a

M̃(W ⊗_{C_{L}} C^{nr}) ≅ M̃_{L}(W)

Lemme 3.3.18. Soient L/K une extension galoisienne finie et (W, N_{W} , φ_{W}) un C_{L}- module de Deligne de K.

(1) On a rg M̃_{L}(W) = dim_{C_{L}} W ; donc M̃_{L} est un foncteur exact.

(2) L’inclusion M̃_{L}(W) ⊂ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T], induit par linéarisation un morphisme

(3.3.18.1)  i: M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} E^{†}(L)[log T] ⟶ W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)[log T]

de ΦM(E^{†}(L)[log T])_{ds}, qui est en fait un isomorphisme. En particulier, M̃_{L}(W) est unipotent sur E^{†}(L).

Dém. Pour alléger les notations, on pose G = Gal(L/K) et U = W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L). Montrons (1). D’abord on définit un isomorphisme de E^{†}-espaces vectoriels

f: (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} ⟶ M̃_{L}(W)

en posant f(∑_{l} v_{l} ⊗ α_{l}) = ∑_{l} ∑_{i=0}^{r−1} (−1)^{i}N_{W}^{i} (v_{l}) ⊗ α_{l} \frac{(log T)^{i}}{i!} , ou r est un entier tel que N_{W}^{r} = 0. L’application inverse g: M̃_{L}(W) → (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G}, est induite par la projection E^{†}(L)[log T] → E^{†}(L) qui envoie log T en 0. Par construction, on a gf = Id. Donc il suffit de montrer que g est injective. Soit x = ∑_{l} v_{l} ⊗ (∑_{i=0}^{d} α_{i,l}(log T)^{i}). Supposons que g(x) = ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0. La relation (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 équivaut à

(3.3.18.2)  ∑_{l} N_{W} (v_{l}) ⊗ α_{i,l} = − ∑_{l} v_{l} ⊗ (i + 1)α_{i+1,l} ∀i = 0, …, d.

Comme ∑_{l} v_{l} ⊗α_{0,l} = 0, en appliquant N_{W} ⊗Id +Id ⊗N, on obtient ∑_{l} N_{W} (v_{l})⊗α_{0,l} = 0. D’où par (3.3.18.2), ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{1,l} = 0. On en déduit par récurrence que x = 0.

Pour terminer la preuve de (1), il suffit de montrer que dim_{E^{†}} (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} = dim_{C_{L}} W. On pose n = dim_{C_{L}} W. Comme Gal(E^{†}(L)/E^{†}) = G, l’ensemble pointé de cohomologie non-commutative H^{1}(G, GL_{n}(E^{†}(L))) est trivial [CL, Ch.X Prop.3] ; donc dim_{E^{†}} (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} = dim_{E^{†}(L)}(W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L)) = n.

Montrons (2). Posons B = E^{†}(L)[log T]. Comme B est un anneau de polynômes à coefficients dans un corps, en tensorisant (3.3.18.1) par Fr B au dessus de B, on obtient un diagramme commutatif

\xymatrix{M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} B \ar[r]^{i} \ar@{^{(}->}[d] & W ⊗_{C_{L}} B \ar@{^{(}->}[d] \\ M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} Fr B \ar[r]^{i⊗_{B}Id} & W ⊗_{C_{L}} Fr B}

On va montrer que i⊗_{B}Id est injective ; donc par (1) c’est un isomorphisme. Par conséquent i est injective et son conoyau est un B-module de torsion qu’on note Q. Comme i est horizontal, le module Q est muni d’une connexion ; on montre facilement que ceci force Q a être nul. Montrons l’injectivité de i ⊗_{B} Id. Soit x = ∑_{i}^{m} v_{i} ⊗ a_{i} un élément non-nul du noyau de i ⊗_{B} Id, de longueur minimale m. On peut supposer a_{m} = 1. L’élément |G|x − ∑_{g∈G} g(x) appartient au noyau de i ⊗_{B} Id et a pour longueur m − 1, ce qui mène à un contradiction. □

3.3.19. Soit L/K une extension galoisienne finie. On définit des foncteurs :

M: Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ ΦM(R),
M_{L}: Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) ⟶ ΦM(R),

par

V ⟼ M(V) = \{x ∈ V ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \}
W ⟼ M_{L}(W) = \{x ∈ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L/K), g(x) = x \\ (N_{W} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

On vérifie facilement que pour tout C_{L}-module de Deligne W de K, on a

M(W ⊗_{C_{L}} C^{nr}) ≅ M_{L}(W)

Lemme 3.3.20. Soit W ∈ Del_{C_{L}}(Gal(L/K)).

(1) L’inclusion M̃_{L}(W) ⊂ M_{L}(W) induit par linéarisation un isomorphisme canonique de ΦM(R)

M̃_{L}(W) ⊗_{E^{†}} R ⟶^{∼} M_{L}(W).

(2) On a rg M_{L}(W) = dim_{C_{L}} W, donc M_{L} est un foncteur exact.

(3) L’inclusion M_{L}(W) ⊂ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T], induit par linéarisation un morphisme

(3.3.20.1)  M_{L}(W) ⊗_{R} R(L)[log T] ⟶ W ⊗_{C_{L}} R(L)[log T]

de ΦM(R(L)[log T])_{ds}, qui est en fait un isomorphisme. En particulier, M_{L}(W) est unipotent sur R(L), ou de façon équivalente, M_{L} se factorise par ΦM(R)_{L}.

Dém. Montrons d’abord (1). On pose G = Gal(L/K). Comme M̃_{L} est exact, on peut supposer W simple, donc N_{W} = 0, M̃_{L}(W) = (W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} et M_{L}(W) = (W ⊗_{C_{L}} R(L))^{G}. On doit montrer que

(W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{G} ⊗_{E^{†}} R = (W ⊗_{C_{L}} R(L))^{G}

On pose U = W ⊗_{C_{L}} E^{†}(L). Comme R(L) = E^{†}(L) ⊗_{E^{†}} R, il suffit de montrer que

U^{G} ⊗_{E^{†}} R = (U ⊗_{E^{†}} R)^{G}.

On a la suite exacte

0 ⟶ U^{G} ⊗_{E^{†}} R ⟶ (U ⊗_{E^{†}} R)^{G} ⟶ (U/U^{G} ⊗_{E^{†}} R)^{G}.

Donc on peut supposer U^{G} = 0 ; il suffit de montrer que (U ⊗_{E^{†}} R)^{G} = 0. Soient v_{1}, …, v_{n} une base de U sur E^{†} et v = ∑_{i=1}^{n} v_{i} ⊗ a_{i} ∈ (U ⊗_{E^{†}} R)^{G}. Pour tout g ∈ G, on a

∑_{i=1}^{n}(v_{i} − g(v_{i})) ⊗ a_{i} = 0.

En prenant la somme sur g ∈ G, on a

0 = ∑_{g∈G} ( ∑_{i=1}^{n}(v_{i} − g(v_{i})) ⊗ a_{i}) = ∑_{i=1}^{n}(|G|v_{i} − ∑_{g∈G} g(v_{i})) ⊗ a_{i}.

Pour tout i, on a ∑_{g∈G} g(v_{i}) ∈ U^{G} = 0, d’où v = 0.

Les assertions (2) et (3) sont des conséquences immédiate de (1) et (3.3.18). □

Théorème 3.3.21. Les foncteurs S et M (resp. S_{L} et M_{L}) sont des équivalences des catégories quasi-inverses l’une de l’autre. De plus, on a un diagramme commutatif de foncteurs (à isomorphisme près)

(3.3.21.1)  \xymatrix{ΦM(R) \ar[r]_{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[l]_{M} \\ ΦM(R)_{L} \ar[r]_{S_{L}} \ar@{^{(}->}[u] & Del_{C_{L}}(Gal(L/K)) \ar[u]_{−⊗_{C_{L}}C^{nr}} \ar[l]_{M_{L}}}

Dém. La commutation du diagramme a déjà été montrée. Il suffit de montrer l’assertion pour S_{L} et M_{L}, car tout (φ, ∇)-module sur R est quasi-unipotent (3.3.12), tout C^{nr}-module de Deligne admet une descente (3.2.8)-(1), et le foncteur d’extension des scalaires −⊗_{C_{L}}C^{nr} est pleinement fidèle (3.2.7). Posons B = R(L)[log T]. Soit M un objet de ΦM(R)_{L}. L’inclusion S_{L}(M) ⊂ M ⊗_{R} B induit par linéarisation un morphisme de ΦM(B)_{ds}

(3.3.21.2)  S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} B ⟶ M ⊗_{R} B

qui est un isomorphisme par (3.3.9.1), car M unipotent sur R(L) par hypothèse. En composant les isomorphismes (3.3.20.1) et (3.3.21.2) on obtient

M_{L}(S_{L}(M)) ⊗_{R} B ⟶^{∼} S_{L}(M) ⊗_{C_{L}} B ⟶^{∼} M ⊗_{R} B.

En appliquant la descente Des_{B/R} on obtient un isomorphisme M_{L} ∘S_{L} ⟶^{∼} Id, cf. (3.3.15). Soit W un C_{L}-module de Deligne de K, en composant les isomorphismes (3.3.21.2) et (3.3.20.1) on obtient

S_{L}(M_{L}(W)) ⊗_{C_{L}} B ⟶^{∼} M_{L}(W) ⊗_{R} B ⟶^{∼} W ⊗_{C_{L}} B.

En prenant les sections horizontales on obtient un isomorphisme S_{L} ∘ M_{L} ⟶^{∼} Id. □

Remarque 3.3.22. On note ΦM(B)_{eff}^{sol} la sous-catégorie pleine de ΦM(B)_{ds} des objets B-solubles et effectifs, i.e. les modules M admettant une base de sections horizontales et tels que Des_{B/R}(M) soit défini et de rang égal au rang de M. Il est utile de résumer la classification du théorème précédent par le diagramme de foncteurs commutatif (à isomorphisme près)

\xymatrix{ & ΦM(B)_{eff}^{sol} \ar[dl]_{_{Des_{B/R}}} \ar[dr]_{_{(−)_{∇}}} \\ ΦM(R) \ar[rr]^{S} \ar[ur]_{−⊗_{R}B} &  & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[ll]^{M} \ar[ul]_{−⊗_{C^{nr}}B}}

où les trois couples des foncteurs opposés sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

3.3.23. Analytification. On ne dispose pas en général de théorèmes de classification pour les (φ, ∇)-modules sur E^{†} analogues à (3.3.12) et (3.3.21). Toutefois, on peut considérer le foncteur d’extension des scalaires − ⊗_{E^{†}} R: ΦM(E^{†}) → ΦM(R), et attacher des C^{nr}-modules de Deligne de K aux (φ, ∇)-modules sur E^{†}. Suivant [Cr04a, 4.1], on appelle le foncteur − ⊗_{E^{†}} R foncteur d’analytification. On verra que c’est un foncteur essentiellement surjectif, cf. (3.3.25) et [Tsu98c, 4.2.1]. C’est évident qu’il est fidèle, mais il n’est pas plein en général, comme le montre l’exemple ci-dessus.

Exemple 3.3.24. Les groupes Ext_{ΦM(E^{†})}^{1}(E^{†}(1), E^{†}) et Ext_{ΦM(R)}^{1}(R(1), R) ne sont pas isomorphes. Soit R un des deux anneaux E^{†} ou R. Considérons d’abord des modules à connexion sur R, sans donnée de Frobenius. Crew observe [Cr04a, pg. 28] que l’ensemble des extensions Ext_{∇}^{1}(R, R) du module à connexion trivial R de rang 1 par lui-même, est égal à H_{dR}^{1}(R) := Coker(R →^{d} Ω̂_{R/C}^{1}). Or dim_{C} H_{dR}^{1}(R) = 1 et dim_{C} H_{dR}^{1}(E^{†}) = +∞. Ceci montre en particulier que l’extension des scalaires −⊗_{E^{†}} R n’est pas pleinement fidèle entre les catégories des modules à connexion. Pour conclure on construit l’exemple suivant ; supposons pour simplifier que σ(T) = T^{p}. Soit M un E^{†}-espace vectoriel de base e_{1}, e_{2}. On le muni de la connexion ∇(e_{1}) = 0, ∇(e_{2}) = ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}}e_{1} ⊗ \frac{dT}{T} et du Frobenius φ(e_{1}) = p^{−1}e_{1}, φ(e_{2}) = −T e_{1} + e_{2}. On vérifie facilement que M est un (φ, ∇)-module sur E^{†}, extension de E^{†}(1) par E^{†}. Comme la différentielle ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}} ⊗ \frac{dT}{T} n’est pas intégrable dans E^{†}, M n’est pas une extension triviale de E^{†}(1) par E^{†} en tant que module à connexion et à fortiori en tant que (φ, ∇)-module. Par contre, comme ∑_{n∈ℕ} T^{p^{n}} ⊗ \frac{dT}{T} est intégrable dans R, l’analytification M ⊗_{E^{†}} R de M est R-soluble. Donc S(M ⊗_{E^{†}} R) = (M ⊗_{E^{†}} R)^{∇} ⊗_{C} C^{nr} muni de la monodromie triviale, de l’action semi-linéaire triviale de G_{K} et du Frobenius induit par le Frobenius de M. Par construction les pentes du Frobenius sont 0 et 1, donc par Dieudonné-Manin on a

\underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = Ĉ^{nr}(1) ⊕ Ĉ^{nr}

3.4. (φ, ∇)-MODULES UNITÉS 73

en tant que φ-modules sur Ĉ^{nr}, mais aussi comme Ĉ^{nr}-modules de Deligne de K, car la monodromie et l’action de G_{K} sont triviales. Comme \underline{Co} et S sont des équivalences, on conclut que M ⊗_{E^{†}} R est une extension triviale de R(1) par R dans ΦM(R).

Corollaire 3.3.25. On a un triangle commutatif (à isomorphismes près) de foncteurs

\xymatrix{ΦM(R) & Del_{C^{nr}}(G_{K}) \ar[l]^{M}_{∼} \ar@{-->}[dl]^{M̃} \\ ΦM(E^{†}) \ar[u]^{−⊗_{E^{†}}R}}

Par conséquent, le foncteur d’extension des scalaires − ⊗_{E^{†}} R est essentiellement surjectif. Le foncteur M̃ est pleinement fidèle, mais il n’est pas essentiellement surjectif.

Dém. Soient V un C^{nr}-module de Deligne de K, L/K une extension galoisienne finie trivialisant V et W une descente de V à L (cf. 3.2.8). On a M̃(V) = M̃_{L}(W) et M(V) = M_{L}(W), cf. (3.3.17). Donc le diagramme commute par le lemme 3.3.18-(2). Le foncteur M̃ est pleinement fidèle car M est une équivalence et − ⊗_{E^{†}} R est fidèle. Il n’est pas essentiellement surjectif car sinon − ⊗_{E^{†}} R serait une équivalence. □

3.4. (φ, ∇)-modules unités

3.4.1. On dit que un (φ, ∇)-module M sur E^{†} est unité^{2} si le φ-module sous-jacent est unité, i.e. s’il existe un sous-O_{E^{†}}-module M′ de M, stable par φ, tel que [Mat02, 5.2] :

(1) M ≅ E^{†} ⊗_{O_{E^{†}}} M′;

(2) la linéarisation O_{E^{†}} ⊗_{σ_{E^{†}}} M′→M′ de φ est un isomorphisme.

Un (φ, ∇)-module M sur R est dit unité s’il existe un (φ, ∇)-module unité M̃ sur E^{†} tel que M ≅ M̃ ⊗_{E^{†}} R.

On dit qu’un module de Deligne est unité si le φ-module sous-jacent est un φ-module unité.

On note ΦM(E^{†})^{u} (resp. ΦM(R)^{u}) la sous-catégorie pleine de ΦM(E^{†}) (resp. ΦM(R) ) dont les objets sont unités. De même, l’exposant ^{u} pour une catégorie de modules de Deligne désignera la sous-catégorie pleine dont les objets sont unités.

3.4.2. On rappelle qu’on a noté Λ le sous-corps de C des éléments fixés par σ_{C}, cf. (3.1.2). On note Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) la catégorie de Λ-représentations de G_{K} à monodromie géométrique finie, i.e. telle que la restriction de l’action à I_{K} se factorise par un quotient fini.

Théorème 3.4.3. [Tsu98a] Le foncteur D^{†}: Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) → ΦM(E^{†})^{u} défini par
D^{†}(V) = (V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}}

est une équivalence de catégories.

Les énoncés qui suivent, relient les théorèmes 3.4.3 et 3.3.21.

2unit-root en anglais

3.4.4. Soit (D, φ, N) un Ĉ^{nr}-module de Deligne unité. La relation N ∘ φ = p^{h}φ ∘ N implique que N = 0. On considère le foncteur

(3.4.4.1)  − ⊗_{Λ} Ĉ^{nr} : Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) ⟶ DelĈ^{nr}(G_{K})^{u},

qui associe à une Λ-représentation V de G_{K} à monodromie géométrique finie le module de Deligne V ⊗_{Λ}Ĉ^{nr} muni du Frobenius induit par le Frobenius σ_{C} de Ĉ^{nr} et de la monodromie triviale. En sens inverse, on considère le foncteur

(3.4.4.2)  (·)^{φ=Id} : DelĈ^{nr}(G_{K})^{u} ⟶ Rep_{Λ}^{gf}(G_{K})

qui associe à un Ĉ^{nr}-module de Deligne unité (D, φ, 0) de K, la représentation D^{φ=Id} de G_{K} des points fixes par φ.

Lemme 3.4.5. (1) Le foncteur (3.4.4.1) est une équivalence de catégories dont un quasiinverse est (3.4.4.2).

(2) Soient V une Λ-représentation de G_{K} à monodromie géométrique finie et M = D^{†}(V) le (φ, ∇)-module unité sur E^{†} correspondant à V. On a

S(M ⊗_{E^{†}} R) = \underline{Déco}(V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}).

(3) Soit W un C^{nr}-module de Deligne unité de K. Alors

D^{†} ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id}) = (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = M̃(W).

Dém. (1) Il est évident que pour tout V dans Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}), (V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr})^{φ=Id} est canoniquement isomorphe à V. Pour vérifier l’autre égalité il suffit de montrer que pour tout Ĉ^{nr}-module de Deligne unité W de K, on a dim_{Λ} (W)^{φ=Id} = dimĈ^{nr} W. Ceci se déduit du théorème de classification de Dieudonné-Manin appliqué au φ-module W sur le corps Ĉ^{nr}. On remarque ici qu’il est nécessaire de travailler avec Ĉ^{nr} plutôt que avec C^{nr}.

(2) Il est équivalent de montrer que \underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}. Par définition, on a

\underline{Co}(S(M ⊗_{E^{†}} R)) = ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B)^{∇} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}

Le deuxième membre est contenu dans ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{∇}; il lui est égal car ils sont de même dimension sur Ĉ^{nr}. Comme B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} contient E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}, en utilisant le théorème de Tsuzuki (3.4.3), on a

(V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} =
= ((V ⊗_{Λ} E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{G_{K}} ⊗_{E^{†}} (E^{†}^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})) ⊗_{E^{†}^{nr}⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}} (B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})
= V ⊗_{Λ} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr}.

On conclut par la relation

(V ⊗_{Λ} B ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{∇} = V ⊗_{Λ} C^{nr} ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} = V ⊗_{Λ} Ĉ^{nr}.

(3) Par définition, on a

D^{†} ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id}) = ((W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr})^{φ=Id} ⊗_{Λ} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}.

Par (1), le deuxième membre est égale à (W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}. Soit T une descente de W à L (3.2.8). Alors (W ⊗_{C^{nr}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = (T ⊗_{C_{L}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}. Le E^{†}-espace vectoriel (T ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{Gal(L/K)} est contenu dans (T ⊗_{C_{L}} Ĉ^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}, et comme il est de dimension maximale les deux sont égaux. On a

(T ⊗_{C_{L}} E^{†}(L))^{Gal(L/K)} = (T ⊗_{C_{L}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = (T ⊗_{C_{L}} C^{nr} ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}}
= (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} ⊆ M̃(W).

Pour conclure, il suffit de noter que dim_{E^{†}} (W ⊗_{C^{nr}} E^{†}^{nr})^{G_{K}} = dim_{E^{†}} M̃(W). □

Proposition 3.4.6. Le diagramme de foncteurs

(3.4.6.1)  \xymatrix{ΦM(R)^{u} \ar[r]_{S} & Del_{C^{nr}}(G_{K})^{u} \ar[l]_{M} \ar[d]_{\underline{Co}} \ar[ddl]_{M̃} \\  & DelĈ^{nr}(G_{K})^{u} \ar[u]_{\underline{Déco}} \ar[d]_{_{(·)_{φ=Id}}} \\ ΦM(E^{†})^{u} \ar[uu]^{−⊗_{E^{†}}R} & Rep_{Λ}^{gf}(G_{K}) \ar[l]^{D^{†}} \ar[u]_{−⊗_{Λ}Ĉ^{nr}}}

est commutatif (à isomorphisme près), et toutes les flèches sont des équivalences des catégories.

Dém. Montrons d’abord que M et S induisent des foncteurs sur les sous-catégories des objets unités. Si un foncteur conserve la propriété d’être unité alors tout quasi-inverse la conserve aussi. Les foncteurs − ⊗_{E^{†}} R et \underline{Co} conservent la propriété d’être unité par définition ; par conséquent \underline{Déco} aussi. On déduit de (3.4.5-3) que le foncteur M̃ conserve la propriété d’être unité ; par conséquent les foncteurs M et S aussi. Le triangle supérieur de (3.4.6.1) est commutatif par (3.3.25), le tringle inférieur est commutatif par le lemme (3.4.5-3) et le périmètre du carré par (3.4.5-2). Les équivalences verticales sur la droite sont données par (3.4.5-1) et (3.2.8-2), et D^{†} est une équivalence par (3.4.3). On en déduit que les restrictions de − ⊗_{E^{†}} R et M̃ aux objets unités sont aussi des équivalences de catégories. □

Corollaire 3.4.7. La restriction du foncteur d’analytification

− ⊗_{E^{†}} R: ΦM(E^{†})^{u} ⟶ ΦM(R)^{u}

aux (φ, ∇)-modules unités est une équivalence de catégories. Un quasi-inverse est donné par la restriction de M̃ ∘ S au (φ, ∇)-modules unités.

Dém. C’est une conséquence de (3.4.6). □

Corollaire 3.4.8. La restriction du foncteur d’analytification aux (φ, ∇)-modules de rang 1 est une équivalence de catégories.

Dém. Par torsion du Frobenius on se ramène au cas unité. □

3.5. Modules de Crew

Définition 3.5.1. [Cr04a, §5] Un module de Crew de K est la donnée d’un couple de C^{nr}-espaces vectoriels de dimension finie V,W, munis des structures suivantes :

i) des actions semi-linéaires discrètes ρ_{V} et ρ_{W} de G_{K} sur V et W, i.e. telles que le stabilisateur de tout élément de V ou de W soit ouvert dans G_{K} ;

ii) un couple de Frobenius φ_{V} et φ_{W} de V et W ;

iii) une application linéaire c: V → W équivariante commutant aux Frobenius ; iv) une application linéaire v: W → V équivariante telle que φ_{V} ∘ v = p^{h}v ∘ φ_{W} ;

v) pour tout τ ∈ I_{K} une application v(τ): W → V commutant aux Frobenius telle que, pour tout τ ∈ I_{K}, ρ_{V} (τ) = Id_{V} + v(τ) ∘ c et ρ_{W} (τ) = Id_{W} + c ∘ v(τ).

On appelle c l’application canonique, v la variation et les v(τ) les variations de Galois. Par abus, on notera (V, W, c, v, v(τ)) la donnée d’un module de Crew, les Frobenius et l’action de G_{K} sur V et W étant sous-entendus.

Un morphisme de modules de Crew de K est un couple f: V → V′, g: W → W′ d’applications C^{nr}-linéaires équivariantes, commutant aux Frobenius, aux applications canoniques, aux variations et aux variations de Galois.

\xymatrix{V \ar[d]|{c} \ar[r]^{f} & V′ \ar[d]|{c′} \\ W \ar[r]^{g} \ar[u]|{v} \ar[u]_{v(τ)} & W′ \ar[u]|{v′} \ar[u]_{v′(τ)}}

C’est-à-dire que

(3.5.1.1)  g ∘ c = c′ ∘ f,  v′ ∘ g = f ∘ v et v′(τ) ∘ g = f ∘ v(τ) ∀τ ∈ I_{K}

On note Cr_{C^{nr}}(G_{K}) la catégorie des modules de Crew de K.

Remarque 3.5.2. Dans [Cr04a], Crew note Cr_{C^{nr}}(G_{K}) par Soln_{C} et appelle ses objets Solution Data.

3.5.3. Soit (V, W, c, v, v(τ)) un module de Crew. On pose N_{V} = v ∘ c: V → V (resp. N_{W} = c ∘ v: W → W). C’est une application linéaire équivariante telle que N_{V} ∘ φ_{V} = p^{h}φ_{V} ∘ N_{V} (resp. N_{W} ∘ φ_{W} = p^{h}φ_{W} ∘ N_{W}) ; donc nilpotente. On déduit que (V, φ_{V} , N_{V}) et (W, φ_{W} , N_{W}) sont des C^{nr}-modules de Deligne de K. On rappelle qu’on note V (−1) le C^{nr}-module de Deligne (V, p^{h}φ_{V} , N_{V}) de K, cf. (3.2.6). Le lemme suivant est immédiat :

Lemme 3.5.4. (1) La donnée d’un module de Crew de K est équivalente à la donnée d’un couple de C^{nr}-modules de Deligne de K

(V, ρ_{V} , φ_{V} , N_{V}) et (W, ρ_{W} , φ_{W} , N_{W}) ∈ Del_{C^{nr}}(G_{K}),

d’un couple de morphismes c: V → W, v: W → V (−1) et pour tout τ ∈ I_{K}, d’un morphisme v(τ): W → V tel que :

ρ_{V} (τ) = Id_{V} + v(τ) ∘ c et ρ_{W} (τ) = Id_{W} + c ∘ v(τ), ∀τ ∈ I_{K}.

(2) La donnée d’un morphisme de modules de Crew est équivalente à la donnée d’un couple de morphismes de C^{nr}-modules de Deligne commutant avec c, v et v(τ), pour tout τ ∈ I_{K}.

3.5.5. Comme Del_{C^{nr}}(G_{K}) est abélienne et Λ-linéaire, il en est de même de Cr_{C^{nr}}(G_{K}).

3.5.6. Un module de Crew (V, W, c, v, v(τ)) est dit de type connexion si le morphisme c est bijectif, cf. [Cr04a, 5.6.1] ; dans ce cas il est isomorphe au module de Crew

(V, V, Id_{V} , N_{V} , ρ(τ) − Id_{V})

par l’isomorphisme

\xymatrix{0 \ar[r] & V \ar[d]_{Id} \ar[r]^{Id} & V \ar[d]_{c} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & V \ar[r]^{c}_{∼} \ar[u]|{N_{V}} \ar[u]_{ρ(τ)−Id} & W \ar[u]|{v} \ar[u]_{v(τ)} \ar[r] & 0}

Crew définit un foncteur extension par zéro, noté j_{+},

j_{+} : Del_{C^{nr}}(G_{K}) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K})
V ⟼ (V, V, Id, N, ρ(τ) − Id)

qui est clairement pleinement fidèle, exact et son image essentielle est constitué des modules de type connexion.

3.5.7. Un module de Crew est dit ponctuel s’il est de la forme (0, W, 0, 0, 0), cf. [Cr04a, 5.6.2] ; dans ce cas l’action de I_{K} sur W est forcement triviale car pour tout τ ∈ I_{K}, ρ_{W} (τ)− Id_{W} = c ∘ v(τ) = 0. Comme l’ensemble pointé de cohomologie H_{cont}^{1}(G_{k}, GL_{n}(C^{nr})) est trivial, le φ-module W^{G_{K}} sur C est de dimension égale à dim_{C^{nr}} W et W ≅ W^{G_{K}} ⊗_{C} C^{nr}. On définit un foncteur :

i_{+} : ΦM(C) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K})
(V, φ) ⟼ (0, V ⊗_{C} C^{nr}, 0, 0, 0)

où V ⊗_{C} C^{nr} est considéré comme un C^{nr}-module de Deligne muni du Frobenius φ ⊗_{σ_{C}} σ_{C}, de la monodromie nulle et de l’action de G_{K} déduite de son action sur C^{nr}. On vérifie facilement que ce foncteur est pleinement fidèle, exact, d’image essentielle formée par les modules ponctuels.

3.5.8. Pour tout module de Crew (V, W, c, v, v(τ)) de K, on a la suite exacte, cf. [Cr04a, 5.6.2]

(3.5.8.1)  \xymatrix{0 \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]_{Id} \ar[r]^{Id} & V \ar[d]_{c} \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & Ker c \ar[u] \ar[u] \ar[r] & V \ar[r]^{c} \ar[u]|{N_{V}} \ar[u]_{ρ(τ)−Id} & W \ar[u]|{v} \ar[u]_{v(τ)} \ar[r] & Coker c \ar[u] \ar[u] \ar[r] & 0}

appelé dévissage standard de (V, W, c, v, v(τ)).

Lemme 3.5.9. Pour tout module de Crew (V, W, c, v, v(τ)) de K, on a sw(V) = sw(W).

Dém. On considère la suite exacte (3.5.8.1). Par (3.5.7), l’action de I_{K} sur Ker c et Coker c est triviale, donc leurs conducteurs de Swan sont nuls. Le conducteur de Swan étant additif sur les suites exactes, on obtient que sw(V) = sw(W). □

3.6. Constantes locales

3.6.1. On suppose désormais que le corps résiduel k de K est fini, de cardinal q = p^{f} et que l’entier h fixé dans (3.1.2) vaut 1, de sorte que C = Λ ⊗_{ℤ_{p}} W(k). Pour le reste, on conserve les notations de (0.1) et (1.1.1).

3.6.2. Soient M un (φ, ∇)-module sur R, S(M) le C^{nr}-module de Deligne de K associé. On muni S(M) d’une action C^{nr}-linéaire ρ: W_{K} → Aut_{C^{nr}}(S(M)) en posant pour tout g ∈ W_{K} et m ∈ S(M),

ρ(g)(m) = g(φ^{fν(g)}(m)).

où ν(g) est l’entier définit dans (1.1.1).

Proposition 3.6.3. Le triplet (S(M), ρ, N) est une C^{nr}-représentation de Weil-Deligne de K.

Dém. En effet ρ est linéaire et triviale sur un sous-groupe ouvert de l’inertie. La relation ρ(w)Nρ(w)^{−1} = q^{ν(w)}N résulte facilement de l’égalité Nφ = pφN sur S(M). □

3.6.4. Soit M un (φ, ∇)-module sur R. On appelle C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée à M, et on note WD(M), le triplet (S(M), ρ, N) de (3.6.3). On appelle constantes locales de M les constante locales de WD(M) ; plus précisément on pose, d’après (1.2.7) :

i) L(M, t) = L(WD(M), t) ; ii) ar(M) = ar(WD(M)) ; iii) pour un caractère additif non-trivial ψ: K → C^{∗} et une mesure de Haar μ sur K à

valeur dans C,

\begin{aligned}ε(M, ψ, μ) & = ε(WD(M), ψ, μ) \\ ε_{0}(M, ψ, μ) & = ε_{0}(WD(M), ψ, μ) \end{aligned}

Remarque 3.6.5. En inégale caractéristique, ces définitions sont dues à Fontaine et Perrin-Riou, cf. [Fon94c, 1.3.5] et [PR95, C.1.4].

Proposition 3.6.6. Soient (M, φ, ∇) un (φ, ∇)-module sur R, S(M) = (S(M), φ, N) le C^{nr}-module de Deligne associé et WD(M) = (S(M), ρ, N) la C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée. On désigne par Ker N le noyau de N sur S(M) : il est stable sous l’action semi-linéaire de G_{K}, sous l’action C^{nr}-linéaire ρ de W_{K} et par le Frobenius.

(1) On a un isomorphisme canonique M^{∇} ≅ (Ker N)^{G_{K}} de φ-modules sur C.

(2) On a un isomorphisme canonique, G_{k}-équivariant, M^{∇} ⊗_{C} C^{nr} ≅ (Ker N)^{I_{K}}, de φ-modules sur C^{nr}.

(3) On a :

(3.6.6.1) ar(M) = irr(M) + rg(M) − dim_{C}(M^{∇}) ;

L(M, t) = det_{C}(1 − tφ^{f}|M^{∇})^{−1} ∈ 1 + tC⟦t⟧; (3.6.6.2)

(3.6.6.3) det_{C^{nr}}(−ρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}}) = det_{C}(−φ^{f}|M^{∇}), où F^{∗} = σ^{−f} ∈ G_{k};

ε(M, ψ, μ) = ε_{0}(M, ψ, μ)det_{C}(−φ^{f}|M^{∇})^{−1}; (3.6.6.4)

ε_{0}(M, ψ, μ) = ε_{0}(WD(M)^{∘}, ψ, μ). (3.6.6.5)

Dém. Montrons (1). D’après (3.3.21), on a

M ≅ M(S(M)) = \{x ∈ S(M) ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N ⊗ Id + Id ⊗ N(x) = 0 \end{matrix} \} .

D’où

M^{∇} ≅ \{x ∈ S(M) ⊗_{C^{nr}} B | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N ⊗ Id + Id ⊗ N(x) = 0 \\ Id ⊗ d(x) = 0 \end{matrix} \}

= \{x ∈ S(M) | \begin{matrix}∀g ∈ G_{K}, g(x) = x \\ N(x) = 0 \end{matrix} \}

= (Ker N)^{G_{K}}.

Montrons (2). Fixons une extension galoisienne finie L/K qui rend M unipotent et on pose D = S_{L}(M). D’après (3.3.21), on a M ≅ M_{L}(D) et M^{∇} ≅ (Ker N)^{G_{K}} = (Ker N_{D})^{Gal(L/K)}. Comme H^{1}(Gal(k_{L}/k), GL_{r}(C_{L})) est trivial, on en déduit que

(Ker N_{D})^{Gal(L/K)} ⊗_{C} C_{L} ≅ (Ker N_{D})^{I(L/K)}.

D’où M^{∇} ⊗_{C} C^{nr} = (Ker N_{D})^{I(L/K)} ⊗_{C_{L}} C^{nr} = (Ker N)^{I_{K}}. Par construction cet isomorphisme est équivariant et commute aux Frobenius respectifs.

(3.6.6.1) Par la définition ar(M) = sw(ρ) + dim_{C^{nr}} WD(M) − dim_{C^{nr}} (Ker N)^{I_{K}}. Par un théorème de Matsuda-Tsuzuki, cf. [Mat02, 8.6], [Tsu98b, 7.2.2] (rappelé dans cette thèse, cf. [Mar04, 4.7]), on a irr(M) = sw(ρ) ; on conclut par (1) et (2).

(3.6.6.2) Par la définition de ρ, on a ρ(F^{∗}) = F^{∗} ∘ φ^{f} sur (Ker N)^{I_{K}}, où F^{∗} = σ^{−f} ∈ G_{k}. En utilisant (2),

L(M, t) = det_{C^{nr}}(1 − tρ(F^{∗})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(F^{∗} ∘ φ^{f})|(Ker N)^{I_{K}})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(Id ⊗ σ_{C}^{−f}) ∘ (φ^{f} ⊗ σ_{C}^{f})|M^{∇} ⊗_{C} C^{nr})^{−1}
= det_{C^{nr}}(1 − t(φ^{f} ⊗ Id)|M^{∇} ⊗_{C} C^{nr})^{−1}
= det_{C}(1 − tφ^{f}|M^{∇})^{−1}.

De même pour (3.6.6.3). Enfin, (3.6.6.4) et (3.6.6.5) sont évidents d’après (2) et (1.2.7). □

CHAPITRE 4 Calcul (micro)différentiel arithmétique sur un trait complet

4.1. Coefficients binomiaux modifiés

4.1.1. On rappelle dans cette section les définitions et quelques propriétés p-adiques des coefficients binomiaux dues à Berthelot [Bert96b, 1.1]. On note v_{p} la valuation p-adique de ℚ_{p}, normalisée par v_{p}(p) = 1. Pour tout entier i ≥ 0, on note s_{i} la somme des chiffres de son développement p-adique. On a

(4.1.1.1)  v_{p}(i!) = \frac{i − s_{i}}{p − 1}

Soit m ≥ 0 un entier. Pour i = i′ +i′′, avec i′, i′′ ∈ ℕ, on désigne i = qp^{m} +r, i′ = q′p^{m} +r′, i′′ = q′′p^{m} + r′′ les divisions euclidiennes de i, i′ et i′′ par p^{m}. On pose

\binom{i}{i′} = \frac{i!}{i′!i′′!} (4.1.1.2)

\left\{{i \atop i′}\right\}_{(m)} = \frac{q!}{q′!q′′!} (4.1.1.3)

\left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(m)} = \binom{i}{i′}\left\{{i \atop i′}\right\}_{(m)}^{−1} (4.1.1.4)

Nous omettrons l’indice (m) lorsque aucune confusion n’en résultera. Pour m = 0, on a

\left\{{i \atop i′}\right\}_{(0)} = \binom{i}{i′}, \left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(0)} = 1. (4.1.1.5)

Pour tout 0 ≤ i < p^{m}, on a

\left\{{i \atop i′}\right\}_{(m)} = 1, \left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(m)} = \binom{i}{i′}.

Pour tout i′, i′′ ∈ ℕ, i = i′ + i′′, on a \binom{i}{i′}, \left\{{i \atop i′}\right\}_{(m)} ∈ ℕ, \left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(m)} ∈ ℤ_{(p)} et

v_{p}(\binom{i}{i′}) = \frac{s_{i′} + s_{i′′} − s_{i}}{p − 1} ≥ 0 (4.1.1.6)

v_{p}(\left\{{i \atop i′}\right\}_{(m)}) = \frac{q − q′ − q′′ + s_{q′} + s_{q′′} − s_{q}}{p − 1} ≥ 0 (4.1.1.7)

v_{p} (\left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(m)}) = \frac{q′ + q′′ − q + s_{r′} + s_{r′′} − s_{r}}{p − 1} ≥ 0 (4.1.1.8)

Il en résulte en particulier que si i ≤ p^{m},

(4.1.1.9)  v_{p}(\left⟨{p^{m} \atop i}\right⟩_{(m)}) = v_{p}(\binom{p^{m}}{i}) = m − v_{p}(i) et v_{p} (\left\{{p^{m} \atop i}\right\}_{(m)}) = 0.

De même, si i ≥ p^{m},

(4.1.1.10)  \left\{{i \atop p^{m}}\right\}_{(m)} = q et v_{p}(\left⟨{i \atop p^{m}}\right⟩_{(m)}) = 0.

4.2. Rappels de calcul différentiel sur un trait complet

4.2.1. On reprend les hypothèses et notations du chapitre 3, en dehors de celles de (3.6). On pose S = Spec O_{K}, s = Spec k (resp. η = Spec K) le point fermé (resp. générique) de S. On note 𝒮 le O_{C}-schéma formel Spf O_{C}⟦T ⟧, où O_{C}⟦T ⟧ est muni de la topologie 𝔪_{C}- adique. Sa fibre spéciale 𝒮 ×_{Spf O_{C}} Spec k s’identifie à S en envoyant la classe de T sur l’uniformisante de O_{K} fixé dans (3.1.1). On note i_{S}: S ↪ 𝒮 l’immersion fermé ainsi définie. On note i_{0} : Spf O_{C} ↪ 𝒮 l’immersion fermée d’idéal T O_{C}⟦T ⟧, de sorte qu’on ait le diagramme commutatif à carrés cartésiens

\xymatrix{Spf O_{C} & 𝒮 \ar[l] & Spf O_{C} \ar[l]_{i_{0}} \\ Spec k \ar[u] & S \ar[u]^{i_{S}} \ar[l] & s \ar[l] \ar[u]}

Le Frobenius σ_{E^{†}} fixé dans (3.1.4) laisse stable O_{C}⟦T ⟧, donc il induit un relèvement 𝒮 → 𝒮 , qu’on note encore σ, du Frobenius algébrique (d’ordre h) de S.

4.2.2. Pour tout entier n ≥ 0, posons A_{n} = O_{C}/𝔪_{C}^{n} et S_{n} = 𝒮 ×_{Spf O_{C}} Spec A_{n} = Spec A_{n}⟦T ⟧. On munit A_{n} de la topologie discrète et A_{n}⟦T ⟧ de la topologie T -adique. On note Ω̂_{S_{n}/A_{n}}^{1} le module des différentielles continues de S_{n} au dessus de Spec A_{n}.

Comme S_{n} est formellement lisse sur A_{n} [EGA, IV 0.19.7.1], Ω̂_{S_{n}/A_{n}}^{1} est un A_{n}⟦T ⟧- module libre de rang 1 engendré par la différentielle dT [EGA, IV 0.20.4.10]. On note ∂ = d/dT: A_{n}⟦T ⟧ → A_{n}⟦T ⟧ la dérivation duale de dT. On désigne par A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧ le produit tensoriel complété [EGA, I 0.7.7.5]. La multiplication induit un homomorphisme surjectif A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧ → A_{n}⟦T ⟧, de noyau monogène engendré par (1⊗T −T ⊗1). On note P_{S_{n}}^{r} le quotient de A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧ par l’idéal engendré par (1 ⊗ T − T ⊗ 1)^{r+1} ; on l’appelle algèbre des parties principales continues d’ordre r. On munit P_{S_{n}}^{r} de la topologie quotient de celle de A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧.

On note pr_{r}: P_{S_{n}}^{r+1} → P_{S_{n}}^{r} la projection canonique, et i_{r} (resp. d_{r}) l’application A_{n}- linéaire continue A_{n}⟦T ⟧ → P_{S_{n}}^{r}, qui envoie T sur la classe de T ⊗ 1 (resp. 1 ⊗ T). Pour tout entier r positif, on munit P_{S_{n}}^{r} de la structure de A_{n}⟦T ⟧-module à gauche (resp. droite) via l’application i_{r} (resp. d_{r}). La topologie de P_{S_{n}}^{r} coïncide avec la topologie T -adique induite par la structure de A_{n}⟦T ⟧-module à gauche (resp. à droite). En effet, la topologie de P_{S_{n}}^{r} est clairement moins fine que la topologie T -adique à gauche (resp. droite) ; inversement en développant la relation (1 ⊗ T − T ⊗ 1)^{r+1} = 0, on voit que 1 ⊗ T^{r+1} ∈ T P_{S_{n}}^{r} (resp. T^{r+1} ⊗ 1 ∈ P_{S_{n}}^{r}T). Sauf mention explicite du contraire, on munit P_{S_{n}}^{r} de la structure de A_{n}⟦T ⟧-module à gauche. Les applications pr_{r} sont A_{n}⟦T ⟧-linéaires. On désigne par τ la classe de 1 ⊗ T − T ⊗ 1 dans P_{S_{n}}^{r}. Le A_{n}⟦T ⟧-module P_{S_{n}}^{r} est libre de rang r + 1, de base (1, τ, …, τ^{r}).

4.2.3. On pose

D_{S_{n},r} = Hom_{A_{n}⟦T ⟧}(P_{S_{n}}^{r}, A_{n}⟦T ⟧)
D_{S_{n}} = \underrightarrow{lim}_{r∈ℕ}D_{S_{n},r} = ⋃_{r∈ℕ}D_{S_{n},r}

Ce sont des A_{n}⟦T ⟧-modules libres filtrés ; on note (∂^{[j]})_{0≤j≤r}, la base de D_{S_{n},r} duale de la base (τ^{j})_{0≤j≤r}. On définit une loi de multiplication dans D_{S_{n}}, compatible à la structure de A_{n}⟦T ⟧-module filtré, comme dans [EGA, IV 16.8.9.1] : pour tout entiers r, r′ ≥ 0, il existe une unique application A_{n}⟦T ⟧-linéaire

(4.2.3.1)  δ_{r,r′}: P_{S_{n}}^{r+r′} ⟶ P_{S_{n}}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′}

rendant commutatif le diagramme

(4.2.3.2)  \xymatrix{A_{n}⟦T ⟧ \ar[r]^{d_{r+r′}} \ar[d]^{d_{r′}} & P_{S_{n}}^{r+r′} \ar[d]^{δ_{r,r′}} \\ P_{S_{n}}^{r′} \ar[r]^{d_{r}⊗Id} & P_{S_{n}}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′}}

où le produit tensoriel P_{S_{n}}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′} est pris par rapport à la structure de A_{n}⟦T ⟧-module à droite (resp. à gauche) sur P_{S_{n}}^{r} (resp. P_{S_{n}}^{r′}), et d_{r} ⊗ Id désigne l’homomorphisme

P_{S_{n}}^{r′} ≅ A_{n}⟦T ⟧ ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′} ⟶^{d_{r}⊗Id} P_{S_{n}}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′}.

Le produit de P: P_{S_{n}}^{r} → A_{n}⟦T ⟧ et Q: P_{S_{n}}^{r′} → A_{n}⟦T ⟧ est défini comme l’homomorphisme composé

P Q: P_{S_{n}}^{r+r′} ⟶^{δ_{r,r′}} P_{S_{n}}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n}}^{r′} ⟶^{Id⊗Q} P_{S_{n}}^{r} ⟶^{P} A_{n}⟦T ⟧

On appelle D_{S_{n}} l’algèbre des opérateurs différentiels continus de S_{n} au dessus de A_{n}.

4.2.4. Comme me l’a signalé P.Berthelot, le module des différentielles algébriques Ω_{S_{n}/A_{n}}^{1} est égal à Ω̂_{S_{n}/A_{n}}^{1}. Cela résulte de [BeMe90, 1.3.1], car A_{1} = k étant parfait, l’élément T donne une p-base de A_{1}⟦T ⟧. Par conséquent, les constructions de l’algèbre des parties principales continues (4.2.2), et de l’algèbre des opérateurs différentiels continus (4.2.3), coïncident avec les constructions algébriques [EGA, IV 16.8].

Proposition 4.2.5. (1) Pour tout α ∈ A_{n}⟦T ⟧, on a

(4.2.5.1)  d_{r}(α) = ∑_{0≤j≤r} i_{r}(∂^{[j]}(α))τ^{j}.  (formule de Taylor)

Si on écrit α = ∑_{m∈ℕ} a_{m}T^{m}, alors

(4.2.5.2)  ∂^{[j]}(α) = ∑_{m≥j} a_{m}\binom{m}{j}T^{m−j} ∈ A_{n}⟦T ⟧.

(2) On a les relations :

(4.2.5.3)  ∂^{[i′]}∂^{[i′′]} = ∂^{[i′′]}∂^{[i′]} = \binom{i′+i′′}{i′}∂^{[i′+i′′]} ∈ D_{S_{n}}  ∀i′, i′′ ∈ ℕ,
(4.2.5.4)  ∂^{[i]}α = ∑_{i′+i′′=i} \binom{i}{i′}∂^{[i′]}(α)∂^{[i′′]} ∈ D_{S_{n}}  ∀i ∈ ℕ, ∀α ∈ A_{n}⟦T ⟧.

(3) On désigne par End_{A_{n}}^{ct}(A_{n}⟦T ⟧) la A_{n}⟦T ⟧-algèbre des endomorphismes continus du A_{n}-module A_{n}⟦T ⟧. Les applications D_{S_{n},r} → End_{A_{n}}^{ct}(A_{n}⟦T ⟧) qui envoient P ↦ P ∘ d_{r}, définissent un homomorphisme injectif D_{S_{n}} → End_{A_{n}}^{ct}(A_{n}⟦T ⟧) de A_{n}⟦T ⟧-algèbres. Dans la suite, on identifiera D_{S_{n}} à son image dans End_{A_{n}}^{ct}(A_{n}⟦T ⟧).

(4) En tant que A_{n}⟦T ⟧-algèbre D_{S_{n}} est engendrée par ∂^{[p^{j}]}, pour j ∈ ℕ. Pour tout i ∈ ℕ, on a i!∂^{[i]} = ∂^{i}; pour tout i > 0, ∂^{[i]} est nilpotent.

Dém. Par (4.2.4), la démonstration est identique à celle de [EGA, IV 16.11] pour le cas lisse. Rappelons juste la preuve de (4). C’est évident par (4.2.5.2) que pour tout i ≥ 0, on a i!∂^{[i]} = ∂^{i}. Soit j = ∑_{m=0}^{d} a_{m}p^{m} le développement p-adique d’un entier j ≥ 0. On déduit de (4.2.5.3) que c∂^{[j]} = ∏_{m=0}^{d} ∂^{[p^{m}]}^{a_{m}}, avec c = j!(∏_{m=0}^{d} (p^{m}!)^{a_{m}})^{−1} qui est de valuation p-adique zéro. Ce qui prouve que (∂^{[p^{j}]})_{j∈ℕ} est un système de générateurs de la A_{n}⟦T ⟧-algèbre D_{S_{n}}. Enfin, il suffit de montrer que pour tout j ≥ 0, ∂^{[p^{j}]} est nilpotent. On déduit de (4.2.5.3) que (∂^{[p^{j}]})^{p} = b_{p^{j},p} ∂^{[p^{j+1}]}, avec b_{p^{j},p} = p^{j+1}!/(p^{j}!)^{p}, qu’on vérifie

facilement être de valuation p-adique 1. Donc (∂^{[p^{j}]})^{pi} = (b_{p^{j},p})^{i}(∂^{[p^{j+1}]})^{i} est égale à zéro pour i tel que (b_{p^{j},p})^{i} = 0 dans A_{n}⟦T ⟧. □

4.2.6. Pour tout n′ ≥ n ≥ 0, la projection A_{n′} → A_{n} induit un homomorphisme D_{S_{n′}} → D_{S_{n}}. On obtient ainsi un système projectif (D_{S_{n}})_{n∈ℕ}. On pose

D̂_{𝒮 ,ℚ} = (\underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}D_{S_{n}}) ⊗_{ℤ} ℚ,

qui est une algèbre sur l’anneau C⟦T ⟧^{b} = O_{C}⟦T ⟧ ⊗_{ℤ} ℚ, car O_{C}⟦T ⟧ = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}A_{n}⟦T ⟧. Par

construction, on a une action à gauche, fidèle et continue, de D̂_{𝒮 ,ℚ} sur C⟦T ⟧^{b}. Comme D_{S_{n}} est libre de base (∂^{[i]})_{i∈ℕ}, on a

(4.2.6.1)  D̂_{𝒮 ,ℚ} = {∑_{i∈ℕ}a_{i}∂^{[i]}| a_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, lim_{i→+∞} ∥a_{i}∥_{1} = 0} ,

où ∥·∥_{1} désigne la norme de Gauss (3.1.4), et ∂^{[i]} agit sur C⟦T ⟧^{b} par

\frac{1}{i!} \frac{d^{i}}{dT^{i}} : C⟦T ⟧^{b} ⟶ C⟦T ⟧^{b}.

4.2.7. Soit, pour tout entier m ≥ 0, (P_{S_{n},(m)}, I, J, γ) la m-PD-enveloppe de l’anneau A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧ relativement à l’idéal engendré par 1⊗T −T ⊗1 [Bert02, 1.1.2]. C’est une A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧-algèbre munie d’un m-PD-idéal (I, J, γ) tel que (1⊗T −T ⊗1)P_{S_{n},(m)} ⊆ I, vérifiant une propriété universelle.

On note τ l’image de 1 ⊗ T − T ⊗ 1 dans P_{S_{n},(m)}, et, pour tout i ≥ 0, τ^{{i}^{(m)}} la i-ième puissance divisée partielle de τ. On notera τ^{{i}} au lieu de τ^{{i}^{(m)}} lorsque il n’y a aucun ambiguïté sur le niveau m.

On note (I^{{n}})_{n∈ℕ} la filtration m-PD-adique de P_{S_{n},(m)}, cf. [Bert02, 1.1.3], [Bert00, A.3]. C’est la filtration d’anneau la plus fine telle que :

(i) I^{{0}} = P_{S_{n},(m)} et I^{{1}} = I;

(ii) pour tout i ≥ 1, x ∈ I^{{i}} et r ≥ 0, x^{{r}} ∈ I^{{ri}};
(iii) pour tout i ≥ 0, (J + pP_{S_{n},(m)}) ∩ I^{{i}} est un sous-PD-idéal de J + pP_{S_{n},(m)}.

On pose, pour tout r ≥ 0, [Bert02, 1.1.3], [Cr04a, 3.1]

P_{S_{n},(m)}^{r} = P_{S_{n},(m)}/I^{{r+1}}.

On l’appelle l’algèbre des parties principales continues d’ordre r et niveau m. On note encore τ^{{i}} la classe de τ^{{i}} dans P_{S_{n},(m)}^{r}. On a un morphisme canonique P_{S_{n}}^{r} → P_{S_{n},(m)}^{r}. Par la propriété universelle [Bert96b, 1.4.2], P_{S_{n},(m)}^{r} s’identifie à la m-PD-enveloppe de P_{S_{n}}^{r} relativement à l’idéal engendré par τ. Pour m variable, les P_{S_{n},(m)}^{r} forment de façon naturelle un système projectif de A_{n}⟦T ⟧ˆ⊗_{A_{n}}A_{n}⟦T ⟧-algèbres dont la limite projective s’identifie à P_{S_{n}}^{r} [Bert96b, 1.4.7, 2.1.2.1].

On désigne par i_{r}^{(m)} : A_{n}⟦T ⟧ → P_{S_{n},(m)}^{r} (resp. d_{r}^{(m)} : A_{n}⟦T ⟧ → P_{S_{n},(m)}^{r}) l’application A_{n}-linéaire composée de i_{r} (resp. d_{r}) et du morphisme canonique P_{S_{n}}^{r} → P_{S_{n},(m)}^{r}. On munit

P_{S_{n},(m)}^{r} d’une structure de A_{n}⟦T ⟧-module à gauche (resp. droite) par i_{r}^{(m)} (resp. d_{r}^{(m)}). Sauf mention explicite du contraire, on munit P_{S_{n},(m)}^{r} de la structure de A_{n}⟦T ⟧-module à gauche. On vérifie que P_{S_{n},(m)}^{r} est libre de base (τ^{{i}})_{0≤i≤r}; la preuve est identique à [Bert96b, 1.5.1], compte tenu de (4.2.4).

Par la fonctorialité des m-PD-enveloppes, pour r, r′ ∈ ℕ, on obtient de δ_{r,r′}, un homomorphisme

(4.2.7.1)  δ_{r,r′}^{(m)} : P_{S_{n},(m)}^{r+r′} ⟶ P_{S_{n},(m)}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n},(m)}^{r′}

où le produit tensoriel P_{S_{n},(m)}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n},(m)}^{r′} est pris par rapport à la structure de A_{n}⟦T ⟧- module à droite (resp. à gauche) sur P_{S_{n},(m)}^{r} (resp. P_{S_{n},(m)}^{r′}).

4.2.8. On pose [Bert02, 1.2.2], [Cr04a, 3.1]

D_{S_{n},r}^{(m)} = Hom_{A_{n}⟦T ⟧}(P_{S_{n},(m)}^{r}, A_{n}⟦T ⟧)
D_{S_{n}}^{(m)} = \underrightarrow{lim}_{r∈ℕ}D_{S_{n},r}^{(m)} = ⋃_{r∈ℕ}D_{S_{n},r}^{(m)}

Ce sont des A_{n}⟦T ⟧-modules libres filtrés ; on note (∂^{⟨i⟩^{(m)}})_{0≤i≤r}, la base de D_{S_{n},r}^{(m)} duale de (τ^{{i}^{(m)}})_{0≤i≤r}. On définit une loi de multiplication, compatible à la structure de A_{n}⟦T ⟧- module filtré de la façon suivante. Le produit de P: P_{S_{n},(m)}^{r} → A_{n}⟦T ⟧ et Q: P_{S_{n},(m)}^{r′} → A_{n}⟦T ⟧ est défini comme l’homomorphisme composé

P Q: P_{S_{n},(m)}^{r+r′} ⟶^{δ_{r,r′}^{(m)}} P_{S_{n},(m)}^{r} ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} P_{S_{n},(m)}^{r′} ⟶^{Id⊗Q} P_{S_{n},(m)}^{r} ⟶^{P} A_{n}⟦T ⟧

On appelle D_{S_{n}}^{(m)} l’algèbre des opérateurs différentiels de niveau m de S_{n} au dessus de A_{n}.

Proposition 4.2.9. [Bert96b, 2.2.4] Soit m ∈ ℕ. (1) Pour tout α ∈ A_{n}⟦T ⟧, s ∈ ℕ, on a

(4.2.9.1)  d_{s}^{(m)}(α) = ∑_{i=0}^{s} i_{s}^{(m)}(∂^{⟨i⟩}(α))τ^{{i}}  (formule de Taylor dans P_{S_{n},(m)}^{s}).

Si on écrit α = ∑_{j∈ℕ} a_{j}T^{j}, i = q_{i}p^{m} + r_{i}, avec 0 ≤ r_{i} < p^{m}, on a

(4.2.9.2)  ∂^{⟨i⟩}(α) = ∑_{j≥i} a_{j}q_{i}!\binom{j}{i}T^{j−i} = q_{i}!∂^{[i]}(α)

(2) On a les relations :

(4.2.9.3)  ∂^{⟨i′⟩}∂^{⟨i′′⟩} = ∂^{⟨i′′⟩}∂^{⟨i′⟩} = \left⟨{i′+i′′ \atop i′}\right⟩∂^{⟨i′+i′′⟩} ∈ D_{S_{n}}^{(m)},  ∀i′, i′′ ∈ ℕ,
(4.2.9.4)  ∂^{⟨i⟩}α = ∑_{i′+i′′=i} \left\{{i \atop i′}\right\}∂^{⟨i′⟩}(α)∂^{⟨i′′⟩} ∈ D_{S_{n}}^{(m)},  ∀i ∈ ℕ, ∀α ∈ A_{n}⟦T ⟧,

(3) La A_{n}⟦T ⟧-algèbre D_{S_{n}}^{(m)} est engendrée par (∂^{⟨p^{j}⟩})_{0≤j≤m}. Pour tout 0 ≤ j < m, l’élément ∂^{⟨p^{j}⟩} est nilpotent ; par contre l’élément ∂^{⟨p^{m}⟩} n’est pas nilpotent.

Dém. La formule de Taylor est tautologique. On en déduit (4.2.9.2) et (2) comme dans le cas de type fini [Bert96b, 2.2.4]. Rappelons en détail la démonstration de (3). Pour tout entier i ≥ 0, soient i = q_{i}p^{m} +r sa division euclidienne par p^{m} et r = ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}p^{j} le développement p-adique du reste. On déduit de (2) que

c_{i}∂^{⟨i⟩} = (∂^{⟨p^{m}⟩})^{q_{i}} ∏_{j=0}^{m−1} (∂^{⟨p^{j}⟩})^{a_{j}}

avec c_{i} = i!(q_{i}!(p^{m}!)^{q_{i}} ∏_{j=0}^{m−1} (p^{j}!)^{a_{j}})^{−1} qui est de valuation p-adique

v_{p}(c_{i}) = \frac{1}{p − 1}(i − s_{i} − q_{i} + s_{q_{i}} − q_{i}p^{m} + q_{i} − ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}p^{j} + ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}) = 0

On en déduit que les ∂^{⟨p^{j}⟩}, pour j = 0, …, m, engendrent D_{S_{n}}^{(m)} en tant que A_{n}⟦T ⟧-algèbre.

Pour tout 0 ≤ a < p^{m} et 0 ≤ a′ ≤ a, on a \left⟨{a \atop a′}\right⟩ = \binom{a}{a′}, cf. (4.1.1). On en déduit que pour tout 0 ≤ j < m, on a (∂^{⟨p^{j}⟩})^{p} = b_{p^{j},p} ∂^{⟨p^{j+1}⟩}, avec b_{p^{j},p} = p^{j+1}!/(p^{j}!)^{p}, qu’on vérifie facilement être de valuation p-adique 1. Donc (∂^{⟨p^{j}⟩})^{pi} = (b_{p^{j},p})^{i}(∂^{⟨p^{j+1}⟩})^{i} est égale à zéro pour i tel que (b_{p^{j},p})^{i} = 0 dans A_{n}⟦T ⟧. Par contre pour tout i, on a (∂^{⟨p^{m}⟩})^{i} = c_{ip^{m}}∂^{⟨ip^{m}⟩}, où c_{ip^{m}} = \frac{(ip^{m})!}{(p^{m}!)^{i}i!} est de valuation p-adique 0. Donc pour tout entier positif i, (∂^{⟨p^{m}⟩})^{i} est différent de zéro. □

4.2.10. On désigne par ρ_{m}: D_{S_{n}}^{(m)} → D_{S_{n}} l’homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-modules qui envoie ∂^{⟨i⟩} sur q_{i}!∂^{[i]} ; en particulier, pour 0 ≤ i ≤ p^{m}, ρ_{m}(∂^{⟨i⟩}) = ∂^{[i]}, et pour i assez grand ρ_{m}(∂^{⟨i⟩}) = 0. On vérifie par (4.2.9)-(2) que ρ_{m} est un homomorphisme d’anneaux, et par (4.2.9)-(3) que l’image de D_{S_{n}}^{(m)} par ρ_{m} s’identifie à

(4.2.10.1)  ρ_{m}(D_{S_{n}}^{(m)}) = A_{n}⟦T ⟧[∂, ∂^{[p]}, …, ∂^{[p^{m}]}] ⊂ D_{S_{n}}.

4.2.11. Pour m′ ≥ m ≥ 0, on définit une application de A_{n}⟦T ⟧-modules

ρ_{m′,m}: D_{S_{n}}^{(m)} → D_{S_{n}}^{(m′)}

par

ρ_{m′,m}(∂^{⟨i⟩^{(m)}}) = \frac{q_{i}!}{q′_{i}!}∂^{⟨i⟩^{(m′)}} ∀ i ∈ ℕ,

où i = q_{i}p^{m} + r_{i} = q′_{i}p^{m′} + r′_{i}, avec 0 ≤ r_{i} < p^{m} et 0 ≤ r′_{i} < p^{m′}. C’est en fait un homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-algèbres. On obtient ainsi un système inductif (D_{S_{n}}^{(m)}, ρ_{m′,m})_{m∈ℕ} dont la limite inductive s’identifie, par \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ}ρ_{m}, à D_{S_{n}}.

4.2.12. Soit m ≥ 0 un entier. Pour tout n′ ≥ n ≥ 0, la projection A_{n′} → A_{n}, induit un morphisme d’anneaux D_{S_{n′}}^{(m)} → D_{S_{n}}^{(m)}. On obtient un système projectif (D_{S_{n}}^{(m)})_{n∈ℕ}. On pose

D̂_{𝒮}^{(m)} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}D_{S_{n}}^{(m)} (4.2.12.1)

D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} = D̂_{𝒮}^{(m)} ⊗_{ℤ} ℚ (4.2.12.2)

4.2.13. Pour m′ ≥ m ≥ 0, les applications ρ_{m′,m} définies ci-dessus, induisent un homomorphisme ρ_{m′,m}: D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m′)} → D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}, et on obtient un système inductif (D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}, ρ_{m′,m})_{m∈ℕ} Comme O_{C}⟦T ⟧ = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}A_{n}⟦T ⟧ est de caractéristique zéro, les applications ρ_{m′,m} sont injectives. On pose

D_{𝒮}^{†} = \underrightarrow{lim}_{m≥0} D̂_{𝒮}^{(m)} (4.2.13.1)

D^{†} = D_{𝒮 ,ℚ}^{†} = \underrightarrow{lim}_{m≥0} D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} (4.2.13.2)

On appelle D_{𝒮 ,ℚ}^{†} (resp. D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}) l’anneau des opérateurs différentiels arithmétiques (resp. de niveau m) sur 𝒮 . Ce sont des C⟦T ⟧^{b}-algèbres.

4.2.14. Les homomorphismes ρ_{m}: D_{S_{n}}^{(m)} → D_{S_{n}} induisent par passage à la limite pro-

jective sur n des homomorphismes ρ̂_{m}: D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} → D̂_{𝒮 ,ℚ} et ρ = \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ} ρ̂_{m}: D_{𝒮 ,ℚ}^{†} → D̂_{𝒮 ,ℚ}, qui

sont injectifs car la base est de caractéristique zéro. On en déduit une action naturelle à gauche de D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} et D_{𝒮 ,ℚ}^{†} sur C⟦T ⟧^{b}.

Lemme 4.2.15. [Bert96b, (2.4.3.1)] Soient m, i ≥ 0 deux entiers, i = q_{i}^{(m)}p^{m} + r_{i}^{(m)} la division euclidienne de i par p^{m}, avec 0 ≤ r_{i}^{(m)} < p^{m}. On a :

\frac{i}{p^{m}(p − 1)} − log_{p}(i + 1) − \frac{p}{p − 1} < v_{p}(q_{i}^{(m)}!) ≤ \frac{i}{p^{m}(p − 1)}

Lemme 4.2.16. [Bert96b, (2.4.3)]

(1) Pour tout m ∈ ℕ, il existe deux réels 0 < η < 1, c > 0, tels que pour tout i ≥ 0, de division euclidienne i = q_{i}^{(m)}p^{m} + r_{i}^{(m)}, on a ∥q_{i}^{(m)}!∥ ≤ cη^{i}.

(2) Pour tout réel 0 < η < 1, il existe m ∈ ℕ, c ∈ ℝ, tels que pour tout i ≥ 0, de division euclidienne i = q_{i}^{(m)}p^{m} + r_{i}^{(m)}, on a η^{i} ≤ c∥q_{i}^{(m)}!∥.

Proposition 4.2.17. Soit m ≥ 0 un entier. L’homomorphisme ρ̂_{m} (resp. ρ) identifie D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} (resp. D_{𝒮 ,ℚ}^{†}) à la sous-C⟦T ⟧^{b}-algèbre suivante de D̂_{𝒮 ,ℚ} :

D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} = {∑_{i∈ℕ}a_{i}q_{i}!∂^{[i]}| a_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, lim_{i→+∞} a_{i} = 0} (4.2.17.1)

D_{𝒮 ,ℚ}^{†} = {∑_{i=0}^{+∞} b_{i}∂^{[i]}| b_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, ∃ c, η ∈ ℝ, η < 1, ∥b_{i}∥_{1} < cη^{i}} (4.2.17.2)

où ∂^{[i]} = \frac{1}{i!} \frac{d^{i}}{dT^{i}} et ∥·∥_{1} désigne la norme de Gauss (3.1.4).

Dém. On pose, pour tout entier i ≥ 0, i = q_{i}p^{m}+r, avec 0 ≤ r < p^{m}. En caractéristique zéro, on a ∂^{⟨i⟩} = q_{i}!∂^{[i]} = (q_{i}!/i!)∂^{i}. On en déduit la première égalité. D’après (4.2.16)-(1), pour tout entier m positif, il existe η < 1, tel que

D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)} ⊆ {∑_{i∈ℕ}b_{i}∂^{[i]}| b_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, ∃ c ∈ ℝ t.q. ∥b_{i}∥ ≤ cη^{i}} .

On déduit de (4.2.16)-(2), que pour tout η < 1, il existe m′, dépendant de η, tel que

{∑_{i∈ℕ}b_{i}∂^{[i]}| b_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, ∃ c ∈ ℝ t.q. ∥b_{i}∥ ≤ cη^{i}} ⊆ D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m′)}.

L’égalité (4.2.17.2) s’ensuit car D_{𝒮 ,ℚ}^{†} = ⋃_{m∈ℕ} D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}. □

Lemme 4.2.18. [Cr04a, 3.2],[Bert96b, 4.2.1] Soient f ∈ A_{n}⟦T ⟧, r ≥ 0 un entier. On pose

B_{S_{n}}(f, r) = A_{n}⟦T ⟧[X]/(f^{r}X − p)

4.2. RAPPELS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL SUR UN TRAIT COMPLET 89

Si p^{m+1} divise r, la structure naturelle de D_{S_{n}}^{(m)}-module sur A_{n}⟦T ⟧ s’étend à B_{S_{n}}(f, r). Cette structure est compatible [Bert96b, 2.3.4] à la structure de A_{n}⟦T ⟧-algèbre de B_{S_{n}}(f, r).

4.2.19. Soient m, r ≥ 0 deux entiers tels que p^{m+1} divise r. Pour tout f ∈ A_{n}⟦T ⟧, on munit B_{S_{n}}(f, r) d’une action à gauche de D̂_{𝒮}^{(m)} via la projection D̂_{𝒮}^{(m)} → D_{S_{n}}^{(m)} (4.2.12).

Soit f ∈ O_{C}⟦T ⟧; pour tout entier n ≥ 0, on note f̄_{n} la classe de f dans A_{n}⟦T ⟧. Pour tout entier n′ ≥ n ≥ 0, la projection A_{n′} → A_{n} induit un homomorphisme

B_{S_{n′}} (f̄_{n′}, r) ⟶ B_{S_{n}}(f̄_{n}, r)

d’anneaux, qui est aussi un homomorphisme pour la structure de D̂_{𝒮}^{(m)}-modules définie ci-dessus. On obtient ainsi un système projectif d’anneaux (B_{S_{n}}(f̄_{n}, r))_{n∈ℕ} (resp. D̂_{𝒮}^{(m)}- modules). On pose

(4.2.19.1)  B_{𝒮} (f, r) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}B_{S_{n′}} (f̄_{n}, r)

qui est canoniquement isomorphe à O_{C}⟦T ⟧{X}/(f^{r}X − p).

4.2.20. Soient n ≥ 0 un entier et f ∈ A_{n}⟦T ⟧. Pour tout entier m′ ≥ m ≥ 0, D_{S_{n}}^{(m)} agit sur B_{S_{n}}(f, p^{m′+1}) via ρ_{m,m′}: D_{S_{n}}^{(m)} → D_{S_{n}}^{(m′)} (4.2.11). L’endomorphisme de la A_{n}⟦T ⟧-algèbre A_{n}⟦T ⟧[X], X ↦ f^{p^{m′+1}−p^{m+1}}X, induit un homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-algèbres

ρ′_{m,m′}: B_{S_{n}}(f, p^{m+1}) ⟶ B_{S_{n}}(f, p^{m′+1})

On vérifie que c’est aussi un homomorphisme de D_{S_{n}}^{(m)}-modules. On obtient un système inductive (B_{S_{n}}(f, p^{m+1}), ρ′_{m,m′})_{m∈ℕ} au dessus de (D_{S_{n}}^{(m)}, ρ_{m,m′})_{m∈ℕ}. Les applications ρ′_{m,m′} passent à la limite projective sur n ∈ ℕ et on obtient ainsi pour tout f ∈ O_{C}⟦T ⟧, un système inductif (B_{𝒮} (f, p^{m+1}), ρ′_{m,m′})_{m∈ℕ} au dessus de (D̂_{𝒮}^{(m)}, ρ_{m,m′})_{m∈ℕ}.

Proposition 4.2.21. [Bert96b, 4.3.2] On a un homomorphisme canonique injectif de O_{C}⟦T ⟧-algèbres

Ψ: \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ}B_{𝒮} (T, p^{m+1})⟶O_{E^{†}},

qui induit un isomorphisme de C⟦T ⟧^{b}-algèbres

Ψ_{ℚ}: ( \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ}B_{𝒮} (T, p^{m+1})) ⊗_{ℤ} ℚ ⟶^{∼} E^{†}.

Ce qui munit E^{†} d’une structure canonique de D^{†}-module.

Dém. Pour tout n, m ≥ 0, on considère l’homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-algèbres

A_{n}⟦T ⟧[X]/(T^{p^{m+1}}X − p) ⟶ A_{n}⟦T ⟧[T^{−1}]
X ⟼ \frac{p}{T^{p^{m+1}}}

Par passage à la limite projective sur n ∈ ℕ, on obtient un homomorphisme de O_{C}⟦T ⟧- algèbres

Ψ_{m}: B_{𝒮} (T, p^{m+1}) = O_{C}⟦T ⟧\{X\}/(T^{p^{m+1}}X − p) ⟶ O_{E} := \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}A_{n}⟦T ⟧[T^{−1}]
X ⟼ \frac{p}{T^{p^{m+1}}}

qui est clairement injectif. On rappelle que O_{E^{†}} s’identifie à une sous-O_{C}⟦T ⟧-algèbre de O_{E}, (3.1.4). Il est facile de vérifier que l’image de Ψ_{m} est contenue dans la sous-algèbre de O_{E} des séries convergentes sur la couronne [∥p∥^{1/p^{m+1}}, 1[. En particulier, pour tout m ∈ ℕ, Ψ_{m} se factorise par O_{E^{†}} ↪ O_{E}.

Les homomorphismes Ψ_{m} commutent aux homomorphismes ρ′_{m,m′} (4.2.20), et induisent ainsi, par passage à la limite inductive sur m ∈ ℕ, un homomorphisme injectif de O_{C}⟦T ⟧- algèbres

Ψ: \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ}B_{𝒮} (T, p^{m+1}) ↪ O_{E^{†}}

En tensorisant avec ℚ, on obtient un homomorphisme injectif de C⟦T ⟧^{b}-algèbres

Ψ_{ℚ}: ( \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ}B_{𝒮} (T, p^{m+1})) ⊗_{ℤ} ℚ ↪ E^{†}

Prouvons que Ψ_{ℚ} est surjectif. Il suffit de prouver que pour tout s(T) ∈ E^{†}, il existe r ∈ ℕ, tel que p^{r}s(T) appartient à Im Ψ. Soit s(T) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} ∈ E^{†}. Il existe m ∈ ℕ, tel que lim_{n→−∞} ∥a_{n}∥∥p∥^{n/p^{m+1}} = 0 ; en particulier, il existe n′ ∈ ℤ tel que pour tout n ≤ n′, on a

v_{p}(a_{n}) ≥ −\frac{n}{p^{m+1}} . Quitte à multiplier s(T) par une puissance de p, on peut supposer que pour tout n ∈ ℤ, on a a_{n} ∈ O_{C} et v_{p}(a_{n}) ≥ −\frac{n}{p^{m+1}} + 1. Montrons que s(T) appartient à l’image de Ψ_{m}. On pose f_{0} = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}T^{n} et pour tout i > 0,

f_{i} = ∑_{n=−ip^{m+1}}^{−(i−1)p^{m+1}−1}(\frac{a_{n}}{p^{i}} )T^{n+ip^{m+1}}

Par construction, on a f_{i} ∈ O_{C}⟦T ⟧ et formellement s(T) = ∑_{i∈ℕ}f_{i} \frac{p^{i}}{T^{ip^{m+1}}} . Donc il reste à

montrer que lim_{i→+∞} ∥f_{i}∥_{1} = 0. En effet, on a

v_{1}(f_{i}) ≥ inf {v_{p}(a_{n}) − i | −ip^{m+1} ≤ n < −(i − 1)p^{m+1} }

≥ inf \{v_{p}(a_{n}) + \frac{n}{p^{m+1}} − 1 | − ip^{m+1} ≤ n < −(i − 1)p^{m+1}\}

où v_{1}(f_{i}) est la valuation de Gauss de f_{i} (3.1.4), qui tend vers +∞ à cause de la condition de convergence sur s(T). □

4.2. RAPPELS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL SUR UN TRAIT COMPLET 91

4.2.22. On pose

(4.2.22.1)  D_{S_{n}}^{(m)}(0) = B_{S_{n}}(T, p^{m+1}) ⊗_{A_{n}⟦T ⟧} D_{S_{n}}^{(m)}

Par (4.2.18), B_{S_{n}}(T, p^{m+1}) est munie d’une structure de D_{S_{n}}^{(m)}-module compatible à sa structure de A_{n}⟦T ⟧-algèbre. Donc par [Bert96b, 2.3.5], il existe une unique structure d’anneau sur D_{S_{n}}^{(m)}(0) telle que les morphismes B_{S_{n}}(T, p^{m+1}) → D_{S_{n}}^{(m)}(0), b ↦ b ⊗ 1 et D_{S_{n}}^{(m)} → D_{S_{n}}^{(m)}(0), P ↦ 1 ⊗ P, soient des homomorphismes d’anneaux, que (b ⊗ 1)(1 ⊗ P) = b ⊗ P pour tout b ∈ B_{S_{n}}(T, p^{m+1}), P ∈ D_{S_{n}}^{(m)}, et que pour tout j ∈ ℕ, b ∈ B_{S_{n}}(T, p^{m+1}), on ait

(1 ⊗ ∂^{⟨j⟩})(b ⊗ 1) = ∑_{0≤i≤j} \left\{{j \atop i}\right\}∂^{⟨j−i⟩}b ⊗ ∂^{⟨i⟩}.

Pour tout entier n′ ≥ n ≥ 0, la projection A_{n′} → A_{n} induit un homomorphisme D_{S_{n′}}^{(m)}(0) → D_{S_{n}}^{(m)}(0). On pose

(4.2.22.2)  D̂_{𝒮}^{(m)}(0) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}D_{S_{n}}^{(m)}(0)
(4.2.22.3)  D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0) = D̂_{𝒮}^{(m)}(0) ⊗_{ℤ} ℚ

Par définition, on a D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0) = B_{𝒮} (T, p^{m+1})ˆ⊗_{O_{C}⟦T ⟧}D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}. On obtient un système inductif

(D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0), ρ′_{m′,m} ˆ⊗ ρ_{m′,m}),

on pose

(4.2.22.4)  D^{†}(0) = D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0) = \underrightarrow{lim}_{m∈ℕ} D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0)

On appelle D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0) (resp. D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0) ) l’anneau des opérateurs différentielles arithmétiques (resp. de niveau m) sur 𝒮 à singularités surconvergentes en 0.

Proposition 4.2.23. L’action naturelle de D^{†} sur E^{†} (4.2.21) se prolonge en une action de D^{†}(0) sur E^{†}. L’anneau D^{†}(0) s’identifie formellement à l’anneaux des séries

(4.2.23.1)  D^{†}(0) ≅ {∑_{i=0}^{+∞} a_{i}∂^{[i]}| a_{i} ∈ E^{†}, ∃c, η ∈ ℝ, η < 1, ∥a_{i}∥_{1} < cη^{i}} .

où ∂^{[i]} agit sur E^{†} par \frac{1}{i!} \frac{d^{i}}{dT^{i}} : E^{†} → E^{†}.

Dém. La première assertion est évidente. Par (4.2.17.1), compte tenu de D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0) = B_{𝒮} (T, p^{m+1})ˆ⊗_{O_{C}⟦T ⟧}D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}, on a

D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m)}(0) = {∑_{i∈ℕ}a_{i}∂^{⟨i⟩^{(m)}} | a_{i} ∈ B_{𝒮} (T, p^{m+1}) ⊗_{ℤ} ℚ, lim_{i→+∞} a_{i} = 0}

On conclut par (4.2.21), en procédant comme dans la démonstration de (4.2.17). □

4.3. F D^{†}-modules holonomes

4.3.1. Soit m_{0} ∈ ℕ le plus petit entier tel que 𝔪_{C} soit muni d’une m_{0}-PD-structure à puissances divisées (il suffit que p^{m_{0}}(p − 1) ≥ v_{C}(p)). On note σ: 𝒮 → 𝒮 le relèvement du Frobenius absolu (d’ordre h) de S (4.2.1), 𝒮 ′ le O_{C}-schéma formel déduit de 𝒮 par le changement de base défini par σ_{C}: O_{C} → O_{C}, et F: 𝒮 → 𝒮 ′ le Frobenius relatif, de sorte qu’on ait le diagramme commutatif à carré cartésien

\xymatrix{𝒮 \ar[r]^{F} \ar[dr] & 𝒮 ′ \ar[d]^{□} \ar[r] & 𝒮 \ar[d] \\  & Spf O_{C} \ar[r] & Spf O_{C}}

Pour tout m ≥ m_{0}, l’image inverse par F induit une équivalence de catégories F^{∗} entre la catégorie des D̂_{𝒮 ′,ℚ}^{(m)}-modules et la catégorie des D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m+h)}-modules [Bert02, 3.1.4, 2.1.3].

On en déduit que l’image inverse par F, induit une équivalence de la catégorie des D_{𝒮 ′,ℚ}^{†}-

modules vers la catégorie des D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-modules [Bert02, 4.3.1]. Pour tout D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-module M on notera σ^{∗}M le D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-module F^{∗}M′, où on a noté M′ l’image inverse de M par 𝒮 ′ → 𝒮 .

On dit qu’un D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-module M est muni d’une structure de Frobenius s’il est muni d’un isomorphisme de D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-modules φ: M → σ^{∗}M. On dit aussi que M est un F D^{†}-module. On appelle φ le Frobenius de M. Un morphisme de F D^{†}-modules est un morphisme de D^{†}-modules commutant aux Frobenius.

De même, l’image inverse par F, permet de définir un foncteur M ↦ σ^{∗}M de la catégorie des D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0)-modules dans elle même. On appelle F D^{†}(0)-module un D^{†}(0)-module M muni d’un isomorphisme φ: M → σ^{∗}M.

4.3.2. Soit M un F D^{†}(0)-module. On munit M d’un endomorphisme σ_{C}-linéaire φ_{M} induit par le Frobenius de M et d’une application ∇_{M}: M → M ⊗_{E^{†}} Ω̂_{E^{†}/C}^{1}, définie par m ↦ (∂m) ⊗ dT.

Définition 4.3.3. [Cr04a, 3.5] On dit qu’un F D^{†}(0)-module M est holonome s’il est de dimension finie sur E^{†}. Dans ce cas, le triplet (M, ∇_{M}, φ_{M}) appartient à ΦM(E^{†}). On note F -Hol(D^{†}(0)) la catégorie des F D^{†}(0)-modules holonomes.

Proposition 4.3.4. Le foncteur

F -Hol(D^{†}(0)) ⟶ ΦM(E^{†})
M ⟼ (M, ∇_{M}, φ_{M})

est une équivalence de catégories.

Dém. La pleine fidélité est évidente. Montrons que ce foncteur est essentiellement surjectif. Soient (M, φ, ∇) un (φ, ∇)-module sur E^{†}, ∥·∥_{M} une norme sur M relativement à la valeur absolue ∥·∥_{1} de E^{†}, et ∇(d/dT): M → M la dérivation de M associé par ∇ à

4.3. F D^{†}-MODULES HOLONOMES 93

la dérivation d/dT: E^{†} → E^{†}. Pour tout m ∈ M, η < 1, on a [Tsu98c, 3.4.2]

lim_{i→+∞} ∥\frac{1}{i!}∇(d/dT)^{i}(m)∥_{M}η^{i} = 0

Donc par (4.2.23) et [Tsu98c, 3.4.4], on peut munir M d’une action à gauche de D^{†}(0), en faisant agir ∂ comme ∇(d/dT). Le Frobenius φ induit une structure de F D^{†}(0)-module sur M, qui est holonome car il est de dimension finie sur E^{†}. □

4.3.5. Pour tout F D^{†}-module M, on pose, j^{+}M = D^{†}(0) ⊗_{D^{†}} M, cf. [Cr04a, 3.5]. Crew énonce la caractérisation suivante de l’holonomie pour un F D^{†}-module, qu’on

prend ici comme définition, cf. loc. cit. 3.5.

Définition 4.3.6 (Crew). On dit que un F D^{†}-module M est holonome s’il est cohérent en tant que D^{†}-module et si j^{+}M est holonome en tant que F D^{†}(0)-module. On note F -Hol(D^{†}) la catégorie des F D^{†}-modules holonomes.

4.3.7. Pour tout F D^{†}(0)-module M, on pose j_{+}(M) le F D^{†}-module déduit de M par restriction de scalaires, cf. [Cr04a, 3.5].

4.3.8. Dans [Cr04a, 4], Crew définit un anneau D^{an} (resp. D^{an}(0) ) contenant D^{†} (resp. D^{†}(0) ), une catégorie F -Hol(D^{an}) (resp. F -Hol(D^{an}(0)) ) et un foncteur d’analytification

(4.3.8.1)  F -Hol(D^{†}) ⟶ F -Hol(D^{an})
M ⟼ M^{an} := D^{an} ⊗_{D^{†}} M

Soit A = A([0, 1[) ⊂ R le sous-anneau des fonctions analytiques sur le disque ouvert (3.1.3). On a (C⟦T ⟧^{b})^{an} = A et E^{†}^{an} = R. L’anneau C⟦T ⟧^{b} (resp. E^{†}) a une structure naturelles de F D^{†}-module (resp. F D^{†}(0)-module) ; en déduit que l’anneau A (resp. R) a une structure de F D^{an}-module (resp. F D^{an}(0)-module). L’anneau B des hyperfonctions (3.1.8) est un F D^{an}(0)-module.

4.3.9. Crew définit le F D^{an}-module des microfonctions C par la suite exacte de F D^{an}- modules [Cr04a, 5.1]

0 ⟶ A ⊗_{C} C^{nr} ⟶ B ⟶^{can} C ⟶ 0

où l’homomorphisme A ⊗_{C} C^{nr} ↪ B est induit par les inclusions A ⊂ R ⊂ B et C^{nr} ⊂ B, cf. (3.1.8). On appelle can: B → C la projection canonique. Le F D^{an}-module C est muni d’une action de G_{K} induite par celle sur B. L’anneau A ⊗_{C} C^{nr} est contenu dans le noyau de l’opérateur de monodromie N: B → B. Ce dernier se factorise donc par une application C → B, notée var, qu’on appelle variation, de sorte qu’on ait le diagramme commutatif

[figure: B; can; N; C; var; N; B; can; C]

De façon analogue, pour tout τ ∈ I_{K}, l’action de τ − Id étant triviale sur A ⊗_{C} C^{nr}, on en déduit une application linéaire v(τ): C → B telle que τ − Id_{B} = v(τ) ∘ can sur B et τ − Id_{C} = can ∘ v(τ) sur C. On appelle variations de Galois les applications v(τ).

On considère B et C aussi comme des D^{†}-modules via l’inclusion D^{†} → D^{an}.

4.3.10. Soit M un F D^{†}-module. On pose, cf. [Cr04a, 5.1.7]

(4.3.10.1)  𝕍(M) = Hom_{D^{†}}(M, B) = Hom_{D^{an}}(M^{an}, B)
(4.3.10.2)  𝕎(M) = Hom_{D^{†}}(M, C) = Hom_{D^{an}}(M^{an}, C)

Ce sont des C^{nr}-espaces vectoriels munis d’actions de G_{K} et de Frobenius. Les applications can, var et v(τ) induisent respectivement des applications linéaires c: 𝕍(M) → 𝕎(M), v: 𝕎(M) → 𝕍(M) et v(τ): 𝕎(M) → 𝕍(M).

Proposition 4.3.11. [Cr04a, 5.4] Pour tout F D^{†}-module holonome M, on a une suite exacte canonique

0 ⟶ Hom_{D^{†}}(M, A ⊗_{C} C^{nr}) ⟶ 𝕍(M) ⟶^{c} 𝕎(M) ⟶ Ext_{D^{†}}^{1}(M)(A ⊗_{C} C^{nr}) ⟶ 0

Théorème 4.3.12 (Crew). [Cr04a, 5.6] Pour tout F D^{†}-module holonome M, 𝕍(M) et 𝕎(M) sont des C^{nr}-espaces vectoriels de dimension finie ; autrement dit

(𝕍(M), 𝕎(M), c, v, v(τ))

est un module de Crew (3.5).

On en déduit un foncteur contravariant exact

Sol: F -Hol(D^{†}) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K}).

Théorème 4.3.13 (Crew). [Cr04a, 6.2] Le foncteur

Sol: F -Hol(D^{†}) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K})
M ⟼ (𝕍(M), 𝕎(M), c, v, v(τ))

est essentiellement surjectif et fidèle.

Remarque 4.3.14. [Cr04a, 6.3] Le foncteur Sol se factorise en

Sol: F -Hol(D^{†}) ⟶^{(4.3.8.1)} F -Hol(D^{an}) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K}).

Le foncteur induit

F -Hol(D^{an}) ⟶ Cr_{C^{nr}}(G_{K})

est une anti-équivalence de catégories.

4.4. Microdifférentielles arithmétiques sur un trait complet (niveau 0)

4.4.1. Dans cette section et la suivante, on entreprend une théorie de la microlocalisation pour les D_{𝒮 ,ℚ}^{†}-modules arithmétiques. Notre approche s’inspire de l’analyse algèbrique ([Kas83], [Mal91] et [Sab02]) et de la théorie formelle des opérateurs finis [Lop04, 3].

4.4. MICRODIFFÉRENTIELLES ARITHMÉTIQUES SUR UN TRAIT COMPLET (NIVEAU 0) 95

4.4.2. On note Θ_{S_{n}}^{(0)} le A_{n}⟦T ⟧-module libre de base (ξ^{i})_{i∈ℤ}; ses éléments sont donc les sommes finies ∑_{s≤i≤d} α_{i}ξ^{i}, avec α_{i} ∈ A_{n}⟦T ⟧. Si on identifie Θ_{S_{n}}^{(0)} avec le A_{n}⟦T ⟧-module sous-

jacent à l’algèbre A_{n}⟦T ⟧[ξ, ξ^{−1}] des polynômes de Laurent, la multiplication induit une loi de composition interne commutative de Θ_{S_{n}}^{(0)} qu’on notera ∗. Par la même identification, on obtient un homomorphisme A_{n}⟦T ⟧-linéaire

∂_{ξ}: Θ_{S_{n}}^{(0)} ⟶ Θ_{S_{n}}^{(0)}

déduit de la A_{n}⟦T ⟧-dérivation de A_{n}⟦T ⟧[ξ, ξ^{−1}] définie par ξ ↦ 1. Pour tout entier r ≥ 0, on pose

∂_{T}^{[r]} : Θ_{S_{n}}^{(0)} ⟶ Θ_{S_{n}}^{(0)}
∑_{s≤i≤d} α_{i}ξ^{i} ⟼ ∑_{s≤i≤d} ∂^{[r]}(α_{i})ξ^{i}

où ∂^{[r]} ∈ D_{S_{n}}, cf. (4.2.5).

On munit Θ_{S_{n}}^{(0)} de la loi de composition interne définie par la formule suivante : pour tout F, G ∈ Θ_{S_{n}}^{(0)}, on pose

(4.4.2.1)  F · G = ∑_{r≥0} ∂_{ξ}^{r}(F) ∗ ∂_{T}^{[r]}(G)

La somme ci-dessus est finie car ∂_{ξ}^{r}(F) = 0 dès que r! = 0 dans A_{n}. Cette loi est noncommutative et fait de Θ_{S_{n}}^{(0)} une A_{n}⟦T ⟧-algèbre via l’homomorphisme A_{n}⟦T ⟧ → Θ_{S_{n}}^{(0)}, qui envoie α ↦ αξ^{0} ; cela résulte du lemme évident suivant.

Lemme 4.4.3. (1) Soient i ≥ 0, j ≥ 0 deux entiers. Alors

ξ^{i}T^{j} = ∑_{r=0}^{min(i,j)} \frac{j!i!}{r!(j − r)!(i − r)!}T^{j−r}ξ^{i−r}
ξ^{−i}T^{j} = ∑_{r=0}^{j} \frac{(−1)^{r}j!(r + i − 1)!}{r!(j − r)!(i − 1)!}T^{j−r}ξ^{−i−r}  (si i ≠ 0)

(2) Pour tout α ∈ A_{n}⟦T ⟧, G ∈ Θ_{S_{n}}^{(0)}, on a α · G = αG où le produit à droite est le produit induit par la structure de A_{n}⟦T ⟧-module sur Θ_{S_{n}}^{(0)}.

Définition 4.4.4. On appelle Θ_{S_{n}}^{(0)} l’algèbre des opérateurs microdifférentielles de niveau 0 sur S_{n}.

Proposition 4.4.5. L’homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-modules D_{S_{n}}^{(0)} → Θ_{S_{n}}^{(0)} qui envoie ∂^{⟨i⟩} ↦ ξ^{i}, i ∈ ℕ, est un homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-algèbres, ce qui munit Θ_{S_{n}}^{(0)} d’une structure de D_{S_{n}}^{(0)}-algèbre.

96 4. CALCUL (MICRO)DIFFÉRENTIEL ARITHMÉTIQUE SUR UN TRAIT COMPLET

Dém. L’homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-modules est bien défini car D_{S_{n}}^{(0)} est libre de base ∂^{⟨i⟩} (4.2.8). On vérifie facilement, en utilisant (4.2.9)-(2), qu’il commute à la multiplication ; on rappelle que \left⟨{i \atop i′}\right⟩_{(0)} = 1, pour tout i, i′ ∈ ℕ (4.1.1.5). □

Corollaire 4.4.6. Le quotient de l’algèbre des polynômes non-commutatifs D_{S_{n}}^{(0)}[Y] par l’idéal bilatère engendré par ∂^{⟨1⟩}Y −1 et Y ∂^{⟨1⟩} −1 est canoniquement isomorphe à Θ_{S_{n}}^{(0)} en tant que D_{S_{n}}^{(0)}-algèbre.

Dém. Notons Q le quotient en question. L’homomorphisme de D_{S_{n}}^{(0)}-algèbres D_{S_{n}}^{(0)}[Y] → Θ_{S_{n}}^{(0)} qui envoie Y ↦ ξ^{−1} est clairement surjectif et se factorise par Q. Inversement, on considère l’homomorphisme de A_{n}⟦T ⟧-modules Θ_{S_{n}}^{(0)} → Q qui envoie, pour tout i ∈ ℕ, ξ^{i} sur la classe de ∂^{⟨i⟩} dans Q et ξ^{−i} sur la classe de Y^{i}. Il est clairement l’inverse de l’homomorphisme Q → Θ_{S_{n}}^{(0)} ci-dessus. □

4.4.7. Pour tout n′ ≥ n ≥ 0, la projection A_{n′} → A_{n} induit un homomorphisme d’anneaux Θ_{S_{n′}}^{(0)} → Θ_{S_{n}}^{(0)} compatible à l’homomorphisme D_{S_{n′}}^{(0)} → D_{S_{n}}^{(0)}. On obtient ainsi un système projectif d’anneaux (Θ_{S_{n}}^{(0)})_{n∈ℕ} et on pose

Θ̂_{𝒮}^{(0)} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}Θ_{S_{n}}^{(0)}
Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} = Θ̂_{𝒮}^{(0)} ⊗_{ℤ} ℚ

L’anneau Θ̂_{𝒮}^{(0)} (resp. Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}) est de façon naturelle une algèbre sur D̂_{𝒮}^{(0)} (resp. D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}). On munit Θ̂_{𝒮}^{(0)} de la topologie p-adique, i.e. de la topologie limite projective des topologies discrète, et Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} = ⋃_{n∈ℕ} Θ̂_{𝒮}^{(0)}[\frac{1}{p^{n}}] de la topologie de la limite inductive.

Proposition 4.4.8. Les groupes additives de Θ̂_{𝒮}^{(0)} et Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} s’identifient aux groupes de séries suivant :

Θ̂_{𝒮}^{(0)} = {∑_{i∈ℤ}a_{i}ξ^{i}| a_{i} ∈ O_{C}⟦T ⟧, lim_{i→±∞} ∥a_{i}∥_{1} = 0}

Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} = {∑_{i∈ℤ}a_{i}ξ^{i}| a_{i} ∈ C⟦T ⟧^{b}, lim_{i→±∞} ∥a_{i}∥_{1} = 0}

Les topologies de Θ̂_{𝒮}^{(0)} et Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} sont données par la norme définie, pour ∑_{i∈ℤ}a_{i}ξ^{i} ∈ Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}, par

∥∑_{i∈ℤ}a_{i}ξ^{i}∥ = max_{i∈ℤ}∥a_{i}∥_{1}. (4.4.8.1)

La multiplication de F, G ∈ Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} est donnée par la formule (4.4.2.1)

(4.4.8.2)  F · G = ∑_{r≥0} ∂_{ξ}^{r}(F) ∗ ∂_{T}^{[r]}(G)

où la série ci-dessus est convergente.

Dém. Les identifications des groupes sont évidentes car Θ_{S_{n}}^{(0)} est un A_{n}⟦T ⟧-module libre de base (ξ^{i})_{i∈ℤ}; les topologies sont clairement données par la norme (4.4.8.1). Pour tout F, G ∈ Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} on a ∥∂_{ξ}^{i}(F) ∗ ∂_{T}^{[i]}(G)∥ ≤ ∥i!∥∥F ∥∥G∥. On en déduit que la formule (4.4.8.2) est bien définie. Pour tout F, G ∈ Θ̂_{𝒮}^{(0)}, la formule (4.4.8.2) se réduit pour tout n ∈ ℕ, à (4.4.2.1) dans Θ_{S_{n}}^{(0)} ; donc elle détermine la multiplication dans Θ̂_{𝒮}^{(0)}, et aussi dans Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}. □

Définition 4.4.9. Pour tout entiers n, m ≥ 0, on note Θ_{S_{n}}^{(m)} le quotient de l’anneau des polynômes non-commutatifs D_{S_{n}}^{(m)}[Y] par l’idéal bilatère engendré par ∂^{⟨p^{m}⟩}Y − 1 et Y ∂^{⟨p^{m}⟩} − 1. On appelle Θ_{S_{n}}^{(m)} l’anneau des opérateurs microdifférentiels de niveau m sur S_{n}. L’application naturelle D_{S_{n}}^{(m)} → Θ_{S_{n}}^{(m)} définit une structure de D_{S_{n}}^{(m)}-algèbre sur Θ_{S_{n}}^{(m)}.

Remarque 4.4.10. i) Par (4.4.6), (4.4.9) coïncide avec (4.4.4) si m = 0. Pour tout m > 0, on s’attend à ce que Θ_{S_{n}}^{(m)} soit libre sur A_{n}⟦T ⟧, isomorphe à A_{n}⟦T ⟧^{(ℤ)}. On aurait ainsi une bonne description de la limite projective Θ̂_{𝒮}^{(m)} de Θ_{S_{n}}^{(m)} sur n ∈ ℕ.

ii) Il n’y a pas d’anneau des opérateurs microdifférentiels continus Θ_{S_{n}} sur S_{n}, car pour tout entier positif i, ∂^{[p^{i}]} est nilpotent dans D_{S_{n}}.

4.5. Microlocalisation au niveau 0 4.5.1. On supposera désormais que C contienne une racine de l’équation X^{p−1}+p = 0,

qu’on note π, appelée d’habitude ”π” de Dwork. On pose η_{0} = ∥π∥ = ∥p∥^{\frac{1}{p−1}} .

4.5.2. Pour tout nombre rationnel 0 ≤ η < 1, on pose (3.1.3)

E_{η}^{†} = A([η, 1[) ∩ E^{†}

Proposition 4.5.3. (1) On a un homomorphisme d’anneaux

ϕ^{(0,∞′)} : E_{η_{0}}^{†} ⟶ Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}

envoyant s(T) sur s(−πξ^{−1}).

(2) Pour tout s(T) ∈ E_{η_{0}}^{†}, on a

−\frac{1}{π} ξ^{2}T (ϕ^{(0,∞′)}(s(T))) = ϕ^{(0,∞′)}(\frac{d}{dT} s(T)) − ϕ^{(0,∞′)}(s(T))\frac{1}{π} ξ^{2}T

Dém. (1) Pour toute série s(T) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} dans E_{η_{0}}^{†}, la série

s(−πξ^{−1}) = ∑_{n∈ℤ}(−1)^{n}a_{n}π^{n}ξ^{−n}

appartient à Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}. En effet, on écrit s(−πξ^{−1}) = ∑_{n∈ℤ} b_{n}ξ^{n} où on pose b_{n} = (−1)^{n}a_{−n}π^{−n}. Montrons que lim_{n→±∞} b_{n} = 0. C’est évident pour n ↦ −∞; pour n ↦ +∞ c’est équivalent à

la condition de convergence en η_{0} de s(T). Par construction ϕ^{(0,∞′)} est un homomorphisme

continu de groupes additifs E_{η_{0}}^{†} → Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}. Il clairement un homomorphisme d’anneaux.

(2) Comme cette relation est C-linéaire, on peut supposer s(T) = T^{j}, avec j ∈ ℤ; il faut montrer que

(−1)π^{j−1}ξ^{2}T ξ^{−j} = j(−1)π^{j−1}ξ^{−(j−1)} + (−1)π^{j−1}ξ^{−j+2}T,

ou, en multipliant à gauche par (−1)π^{1−j}ξ^{j−2} et à droite par ξ^{j}, que

ξ^{j}T = jξ^{j−1} + T ξ^{j}.

C’est un cas particulier de (4.4.8.2), cf. (4.4.3). □

4.5.4. Dans la suite, sauf mention explicite du contraire, on munit Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} de la structure de E_{η_{0}}^{†}-module à gauche.

Définition 4.5.5. Soit M un D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module. On définit le microlocalisé de M par

Φ^{(0,∞′)}(M) = Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} ⊗D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} M,

où Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)} est muni de sa structure de D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module à droite. On considère Φ^{(0,∞′)}(M)

comme Θ̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module par multiplication à gauche ; en particulier on le regardera comme E_{η_{0}}^{†}-module.

4.5.6. Soit M un D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module. On pose ϑ: Φ^{(0,∞′)}(M) → Φ^{(0,∞′)}(M) l’homomorphisme induit par la multiplication à gauche par −\frac{1}{π} ξ^{2}T. L’application ϑ est une \frac{d}{dT} - dérivation de Φ^{(0,∞′)}(M). En effet, ϑ est clairement additif et pour tout α ∈ E_{η_{0}}^{†}, m ∈ Φ^{(0,∞′)}(M), on a par (4.5.3)-(2)

ϑ(ϕ^{(0,∞′)}(α)m) = ϕ^{(0,∞′)}(\frac{d}{dT} α)m + ϕ^{(0,∞′)}(α)ϑ(m).

On peut définir ainsi un module à connexion sur E^{†} :

∇: E^{†} ⊗_{E_{η_{0}}^{†}} Φ^{(0,∞′)}(M) ⟶ (E^{†} ⊗_{E_{η_{0}}^{†}} Φ^{(0,∞′)}(M)) ⊗_{E^{†}} Ω̂_{E^{†}/C}^{1}
α ⊗ m ⟼ \frac{d}{dT} α ⊗ m ⊗ dT + αϑ(m) ⊗ dT

4.5.7. Comme la structure de l’anneau des parties principales est la même que dans le cas lisse (4.2.4), le théorème de descente [Bert00, 4.5.4 et 4.5.6] s’applique aux F D_{𝒮 ,ℚ}^{†}- modules (resp. F D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0)-modules) de présentation finie. Donc pour tout F D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0)-module

de présentation finie M, il existe un D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m_{0})}(0)-module M^{(m_{0})} tel que

M ≅ D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0) ⊗_{D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m_{0})}(0)} M^{(m_{0})},

où m_{0} est l’entier défini dans (4.3.1). De plus, comme me l’a signalé P.Berthelot, on peut toujours descendre au niveau m = 0, en se ramenant au cas où Λ est non-ramifié. En effet, soient C_{0} = Fr W(k), 𝒮 _{0} = Spf(O_{C_{0}}⟦T ⟧), u une uniformisante de Λ, racine d’un polynôme d’Eisenstein E à coefficients dans W(𝔽). Comme D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0) = D_{𝒮 _{0},ℚ}^{†}(0) ⊗_{C_{0}} C, la catégorie des F D_{𝒮 ,ℚ}^{†}(0)-modules de présentation finie (resp. holonomes) est équivalente à celle des F D_{𝒮 _{0},ℚ}^{†}(0)-modules de présentation finie (resp. holonomes) munis d’un endomorphisme Π

tel que E(Π) = 0. On considère le couple (M^{(m_{0})}, Π) correspondant au D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(m_{0})}(0)-module M^{(m_{0})} par cette équivalence, et on lui applique le théorème de descente loc. cit..

Conjecture 4.5.8 (Phase Stationnaire locale). Soit M ∈ ΦM(E^{†}). On note encore M le F D^{†}(0)-module holonome associé à M par (4.3.4). Soit M^{(0)} un D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}(0)-module holonome tel que M ≅ D^{†}(0) ⊗_{D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}(0)} M^{(0)}, cf. (4.5.7). Alors, on a

dim_{E^{†}} (E^{†} ⊗_{E_{η_{0}}^{†}} Φ^{(0,∞′)}(j_{+}M^{(0)})) = rg(M) + irr(M)

où on a noté j_{+}M^{(0)}, le D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}-module M^{(0)} obtenu par restriction des scalaires de D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}(0)

à D̂_{𝒮 ,ℚ}^{(0)}, et irr(M) désigne l’irrégularité de M (3.6.6.1).

CHAPITRE 5 Formule du produit

5.1. Rappels sur les F -isocristaux

5.1.1. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, Λ une extension finie totalement ramifiée de ℚ_{p}, C = Λ ⊗_{ℤ_{p}} W(k) qui est un corps de valuation discrète complet de corps résiduel k. On note O_{C} (resp. 𝔪_{C}) l’anneau des entiers de C (resp. l’idéal maximal de O_{C}). On munit C de l’endomorphisme σ_{C} = Id_{Λ} ⊗ σ, où σ est l’endomorphisme de Frobenius de W(k). À partir de la section 5.2, on supposera k fini de cardinal q = p^{f}.

5.1.2. Soient X un k-schéma séparé de type fini, Z un sous-schéma fermé, U l’ouvert complémentaire de Z dans X qu’on suppose non vide. On note F -Isoc^{†}(U, X|C) la catégorie des F -isocristaux sur U|C surconvergents le long de Z, cf. [Bert96a, 2.3.2]. Si U = X, on note cette catégorie F -Isoc(X|C), et on l’appelle la catégorie des F -isocristaux convergents sur X|C.

Soient f: Y → X un morphisme séparé de type fini, V = f^{−1}(U). On a un foncteur image inverse, (cf. loc. cit. (2.3.2-iv))

f^{∗}: F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc^{†}(V, Y |C)

Si f est une immersion ouverte on notera M_{|Y} ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C) l’image d’un objet M de F -Isoc^{†}(U, X|C) par f^{∗}.

Exemple 5.1.3. La catégorie F -Isoc(Spec k|C) est équivalente à la catégorie ΦM(C), cf. [Bert96a, 2.5.8].

5.1.4. Dans la suite de ce chapitre, on supposera désormais que X soit une courbe projective, lisse et géométriquement connexe sur k. On note η son point générique, η̄ un point géométrique au dessus de η. On désigne par |X| l’ensemble des points fermés de X. Pour U un ouvert non vide de X et Z un fermé de X tel que X = V ∪ Z, on appelle F -isocristal surconvergent sur U|C, tout F -isocristal sur U|C surconvergent le long de Z. Pour un tel F -isocristal M, on note H_{rig}^{i}(U, M) (resp. H_{rig,c}^{i}(U, M) ) la cohomologie rigide (resp. rigide à support propre) de M.

Théorème 5.1.5. [Cr98, 9.5] Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C) et M^{∨} son dual. Alors les C-espaces vectoriels H_{rig}^{i}(U, M), H_{rig,c}^{i}(U, M) sont de dimension finie, nuls pour i ≠ 0, 1, 2, et on a un accouplement parfait canonique

H_{rig,c}^{i}(U, M) × H_{rig}^{2−i}(U, M^{∨}) ⟶ C(−1)

de φ-modules sur C.

5.1.6. Soit x un point fermé de X. On pose O_{X,x} l’anneau local de X en x, 𝔪_{x} son idéal maximal, k(x) son corps résiduel, i_{x}: Spec k(x) → X l’injection canonique. On note Ô_{X,x} le séparé complété de O_{X,x} pour la topologie 𝔪_{x}-adique, K_{x} le corps des fractions de Ô_{X,x}, X̂_{(x)} = Spec Ô_{X,x}, η_{x} = Spec(K_{x}) le point générique de X̂_{(x)}, \overline{η}_{x} (resp. x̄) un point géométrique au dessus de η_{x} (resp. x). On fixe une uniformisante de Ô_{X,x}, ce qui détermine un isomorphisme Ô_{X,x} ≅ k(x)⟦t⟧. On note k(η) le corps des fonctions méromorphes sur X.

On pose C(x) = C ⊗_{W(k)} W(k(x)), R(η_{x}) (resp. E^{†}(η_{x}) ) l’anneau de Robba (resp. l’anneaux des fonctions surcovergentes bornées) relativement à K_{x}, cf. (3.1.3) et (3.1.4). On note F -Isoc^{†}(η_{x}|C(x)) la catégorie de (φ, ∇)-modules sur E^{†}(η_{x}) et F -Isoc_{an}^{†}(η_{x}|C(x)) la catégorie de (φ, ∇)-modules sur R(η_{x}).

5.1.7. Soient U un ouvert non vide de X, x un point fermé de U. On a un foncteur

i_{x}^{∗}: F -Isoc^{†}(U, X|C) ⟶ F -Isoc(Spec k(x)|C) ≅ ΦM(C(x))

On note (M_{x}, φ_{x}) l’image par ce foncteur d’un objet M de F -Isoc^{†}(U, X|C).

5.1.8. Soient U un ouvert non vide de X, x un point fermé de X. On pose U\{x} = U ∩ (X\{x}), de sorte qu’on ait le diagramme cartésien

[figure: η_{x}; □; U\{x}; X̂_{(x)}; X]

On a un foncteur de localisation [Cr98, 7.2]

(5.1.8.1)  F -Isoc^{†}(U|C) ⟶ F -Isoc^{†}(η_{x}|C)

On en déduit, par composition avec le foncteur d’analityfication (3.3.23), un foncteur de localisation

(5.1.8.2)  F -Isoc^{†}(U|C) ⟶ F -Isoc_{an}^{†}(η_{x}|C)

On note (M_{η_{x}}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) (resp. (M_{η_{x}}^{†}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) ) l’image d’un objet M de F -Isoc^{†}(U|C) par (5.1.8.2) (resp. (5.1.8.1) ).

Définition 5.1.9. [Cr87, 1.9] Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C. On dit que M est unité si pour tout morphisme i: Spec Ω → U, où Ω est un corps parfait, le φ-module i^{∗}M est unité. On note F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} la catégorie des F -isocristaux surconvergents unité sur U|C.

5.1.10. Soient U un ouvert non vide de X, V un Λ-espace vectoriel de dimension finie, θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V ) une représentation continue de π_{1}(U, η̄), et x un point de X\U. On dit que θ a monodromie géométrique finie en x si le composé

π_{1}(η_{x}, η̄_{x}) ⟶ π_{1}(U, η̄_{x}) ≅ π_{1}(U, η̄) ⟶^{θ} Aut_{Λ}(V )

a monodromie géométrique finie, c’est-à-dire que sa restriction à l’inertie de π(η_{x}, η̄_{x}) a une image finie. On dit que θ a monodromie géométrique locale finie si pour tout point

5.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS L DES F -ISOCRISTAUX 103

x de X\U, θ a monodromie géométrique finie en x. On note Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) la catégorie des Λ-représentations continues de dimension finie de π_{1}(U, η̄), à monodromie géométrique locale finie.

Théorème 5.1.11. [Tsu98a, 7.2.2-7.2.3] Soit U un ouvert non vide de X. Il existe une équivalence de catégories canonique

G: Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) ⟶ F -Isoc^{†}(U|C)^{u}

telle que pour tout x ∈ X\U, on a un diagramme commutatif de foncteurs

\xymatrix{Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)) \ar[d] \ar[r]^{G} & F -Isoc^{†}(U|C)^{u} \ar[d] \\ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(η_{x}, η̄_{x})) \ar[r]^{D_{x}^{†}} & F -Isoc^{†}(η_{x}|C(x))^{u}}

où les flèches verticales sont la restriction et la localisation respectivement, et D_{x}^{†} est l’équivalence de (3.4.3) relativement au corps K_{x}.

Définition 5.1.12. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U|C)^{u}. On dit que M est fini si la représentation de π_{1}(U, η̄) associée à M par le théorème 5.1.11 se factorise par un quotient fini.

5.1.13. Soient U un ouvert non-vide de X, f: V → U un morphisme étale fini. On note Y la compactification lisse de V, f̄: Y → X la compactification de f, de sorte qu’on ait le diagramme cartésien

[figure: V; f; □; Y; f̄; U; X]

On a un foncteur exact [Cr98, 8.3]

(5.1.13.1)  f_{∗}: F -Isoc^{†}(V, Y |C) ⟶ F -Isoc^{†}(U, X|C)

On note η_{Y} le point générique de Y, η̄_{Y} un point géométrique générique de Y. Soient M ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C)^{u} et W ∈ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(V, η̄_{Y})), tels que M = G(W). En vertu de [Cr00, 4.2], on a

(5.1.13.2)  f_{∗}M = G(Ind_{π_{1}(V,η̄_{Y} )}^{π_{1}(U,η̄_{Y} )} W )

5.2. Rappels sur les fonctions L des F -isocristaux

5.2.1. On suppose désormais k fini de cardinal q = p^{f}. Soit X une courbe projective, lisse et géométriquement connexe sur k. Pour tout x ∈ |X|, on note deg x = |k(x) : k| son degré.

Lemme 5.2.2. [Et04, Lemma 3.1] Soient U un ouvert non vide de X, M un F -isocristal surconvergent sur U|C. On a det_{C(x)}(1 − tφ_{x}^{f deg x}|M_{x}) ∈ 1 + tC⟦t⟧.

Définition 5.2.3. [Kat72, 6.0][EtLS93, 2.3] Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On pose

L(M, t) = ∏_{x∈|U|} det_{C(x)}(1 − t^{deg x}φ_{x}^{f deg x}|M_{x})^{−1}.

Ce produit converge formellement dans 1 + tC⟦t⟧ car il n’y a qu’on nombre fini de points fermés de U de degré donné.

Remarque 5.2.4. On peut considérer M_{x} comme un C-espace vectoriel de dimension finie. On calcule

det_{C}(1 − t^{deg x}φ_{x}^{f deg x}|M_{x}) = N_{C(x)/C}(det_{C(x)}(1 − t^{deg x}φ_{x}^{f deg x}|M_{x}))

qui est égal à det_{C(x)}(1 − t^{deg x}φ_{x}^{f deg x}|M_{x})^{deg x} par (5.2.2). Donc par abus de langage on trouve dans la littérature l’expression

L(M, t) = ∏_{x∈|U|} det_{C}(1 − t^{deg x}φ_{x}^{f deg x}|M_{x})^{− \frac{1}{deg x}} .

Théorème 5.2.5 (Interprétation cohomologique). [EtLS93, Th. 6.3 I] Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On a

L(M, t) = ∏_{i} det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}}

Corollaire 5.2.6 (Équation fonctionnelle). Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), M^{∨} son dual. On a

L(M, t) = ε(U, M)t^{−χ_{c}(U,M)}L_{∘}(M^{∨}, q^{−1}t^{−1}),

où

ε(U, M) = det_{C}(− F^{∗}, H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = ∏_{i=0}^{2} det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}},

χ_{c}(U, M) = ∑_{i=0}^{2} (−1)^{i}dim_{C} H_{rig,c}^{i}(U, M),

L_{∘}(M, t) = ∏_{i=0}^{2} det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}}.

Dém. Soit h_{i} = dim H_{rig,c}^{i}(U, M) = dim H_{rig}^{2−i}(U, M^{∨}). Appliquant un lemme classique d’algèbre linéaire [Har77, 4.3 Appendix C] à l’accouplement du théorème 5.1.5, on obtient, pour tout i,

det_{C}(1−t F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M)) = t^{h_{i}} det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M)) det_{C}(1−q^{−1}t^{−1} F^{∗} |H_{rig}^{2−i}(U, M^{∨})).

En passant au produit alternée sur i, on obtient

L(M, t) = t^{−χ_{c}(U,M)} ∏_{i=0}^{2} det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{i}(U, M))^{(−1)^{i+1}}L_{∘}(M^{∨}, q^{−1}t^{−1}).

□

5.3. Formule du produit : conjecture

5.3.1. Soient k un corps fini et X une courbe projective, lisse et géométriquement connexe sur k. On note g le genre de X.

5.3.2. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), x ∈ |X|. On note I_{η_{x}} le groupe d’inertie de π_{1}(η_{x}, η̄_{x}) et F_{x}^{∗} le Frobenius géométrique de π_{1}(x, x̄). Pour alléger les notations, on désignera le triplet (M_{η_{x}}, φ_{η_{x}}, ∇_{x}) simplement par M_{η_{x}}, cf. (5.1.8.2). On pose

WD(M_{η_{x}}) = (S(M_{η_{x}}), ρ_{η_{x}}, N_{η_{x}})

la C^{nr}-représentation de Weil-Deligne associée à M_{η_{x}}, cf. (3.6.2). On pose (3.6.6.3)

(5.3.2.1)  t_{M}(x) = tr_{C^{nr}}(ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗})|(Ker N_{η_{x}})^{I_{ηx}} ) = tr_{C(x)}(−φ_{η_{x}}^{f deg x}|M_{η_{x}}^{∇_{x}})
(5.3.2.2)  det_{M}(x) = det_{C^{nr}}(ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗})|(Ker N_{η_{x}})^{I_{ηx}} ) = det_{C(x)}(−φ_{η_{x}}^{f deg x}|M_{η_{x}}^{∇_{x}}).

Lemme 5.3.3. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U|C) et x ∈ |U|. Alors :

(1) M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble (3.3.9) et M_{η_{x}}^{∇_{x}} = M_{x}.

(2) La C^{nr}-représentation de Weil-deligne WD(M_{η_{x}}) de K_{x} a monodromie géométrique triviale, i.e. N_{η_{x}} = 0 et ρ_{η_{x}}: π_{1}(η_{x}, \overline{η}_{x}) → Aut_{C^{nr}}(S(M_{η_{x}})) est non-ramifiée.

(3) t_{M}(x) et det_{M}(x) appartiennent à C.

Dém. Comme M est convergent sur U, pour tout x ∈ |U|, le (φ, ∇)-module M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble (par [Kat72, 3.1]), donc M_{η_{x}}^{∇_{x}} = M_{x}. L’assertion (2) résulte de (1) et l’assertion (3) s’en déduit par (5.2.2). □

5.3.4. Supposons désormais que C^{nr} contienne une racine primitive p-ième de l’unité. Le choix d’une telle racine ξ détermine l’isomorphisme ψ_{𝔽_{p}}: 𝔽_{p} → μ_{p}(C^{nr}) envoyant 1 sur ξ. On note Ω_{k(η)/k}^{1} le module des formes différentielles méromorphes sur X. Pour tout ω ∈ Ω_{k(η)/k}^{1} différent de zéro et x ∈ |X|, on note ω_{x} ∈ Ω_{η_{x}/k(x)}^{1} le germe de ω en x, et par ψ(ω_{x}): K_{x} → C^{nr}^{∗} le caractère additif donné par α ↦ ψ_{𝔽_{p}}(Tr_{k(x)/𝔽_{p}}(Res(αω_{x}))), cf. (1.1.11). On note μ_{x} l’unique mesure de Haar sur K_{x} telle que μ_{x}(Ô_{X,x}) = 1. Si U est un ouvert non-vide de X et M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), on note simplement ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) au lieu de ε(M_{η_{x}}, ψ(ω_{x}), μ_{x}), et de même pour ε_{0}, cf. (3.6.4).

5.3.5. On note 𝔸_{k(η)} l’anneau des adèles de k(η). Le choix de la différentielle ω détermine un caractère additif non-trivial ψ(ω): 𝔸_{k(η)}/k(η) → C^{nr}^{∗}, tel que pour tout x ∈ |X|, le composé de ψ(ω) et K_{x} ↪ 𝔸_{k(η)}/k(η) soit égal à ψ(ω_{x}).

Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}, θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V ) la représentation à monodromie géométrique locale finie associée à M par (5.1.11). On considère l’homomorphisme π_{1}(η, \overline{η}) → π(U, \overline{η}) → Aut_{Λ}(V ). Si rg(M) = 1, alors cet homomorphisme se factorise par π(η, \overline{η})^{ab} → Λ^{∗}. Par composition avec l’homomorphisme de réciprocité globale 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → π_{1}(η, \overline{η})^{ab}, on obtient un homomorphisme 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → Λ^{∗}, qu’on note χ(M) et qu’on appelle quasi-caractère global associé à M.

5.3.6. Soient U un ouvert non-vide de X et M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On définit un homomorphisme

d(M): k(η)^{∗} ⟶ C^{nr}^{∗}

de la façon suivante. Soient x ∈ |X|, α ∈ k(η)^{∗}. On note α_{x} l’image de α par l’homomorphisme composé k(η)^{∗} ↪ K_{x}^{∗} → W_{K_{x}}^{ab}, où la seconde flèche est l’isomomorphisme de réciprocité locale. Alors le produit

(5.3.6.1)  d(M)(α) = ∏_{x∈|X|} det ρ_{η_{x}}(α_{x}) ∈ C^{nr}^{∗}

est bien défini. Il est clair que d(M) est un homomorphisme.

Proposition 5.3.7. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C).

(1) Si det M est unité, alors d(M) = 1 ;

(2) Si d(M) = 1, alors, pour tout n ∈ ℤ, d(M(n)) = 1.

Dém. (1) Pour tout α ∈ k(η), on a d(M)(α) = χ(det(M))(α) = 1, cf. (5.3.5).

(2) Pour tout α ∈ k(η), on a d(M(n))(α) = ∏_{x∈|X|} d(M)(α)q^{−n rg(M)v_{x}(α)} = 1 car ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(α) = 0 et d(M)(α) = 1. □

5.3.8. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). Si d(M) = 1, on définit un quasi-caractère global

χ̃(det M): 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} ⟶ C^{nr}^{∗}

en posant pour tout z ∈ 𝔸_{k(η)}^{∗}, χ̃(det M)(z) = ∏_{x∈|X|} det ρ_{η_{x}}(z_{x}). On appelle χ̃(det M) le caractère central de M.

Si det M est unité, d(M) = 1 et χ̃(det M) = χ(det M).

L’auteur se demande s’il existe des F -isocristaux M tels que d(M) ≠ 1.

Conjecture 5.3.9. Soient U un ouvert non vide de X, M un objet de F -Isoc^{†}(U, X|C) et ω un élément non-nul de Ω_{k(η)/k}^{1}. Si d(M) = 1, alors on a

(5.3.9.1) det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} =

= q^{(g−1) rg(M)} ∏_{x∈|U|} det_{M}(x)^{v_{x}(ω)} ∏_{x∈X\U} (q^{− deg(x)v_{x}(ω) rg(M)}ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x})) .

Remarque 5.3.10. (1) Pour tout ω une 1-forme différentielle méromorphe non nulle sur X, on a ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(ω) = 2g − 2. Donc le deuxième membre de (5.3.9.1) est égale à

(5.3.10.1)  q^{(1−g) rg(M)} ∏_{x∈|U|} (q^{deg(x)v_{x}(ω) rg(M)}det_{M}(x)^{v_{x}(ω)}) ∏_{x∈X\U} ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x}).

(2) Le deuxième membre de (5.3.9.1) ne dépend pas du choix de ω. En effet, si on remplace ω par αω, avec α ∈ k(η)^{∗}, alors en appliquant 1.3.4-(1), on voit que le deuxième membre est multiplié par d(M)(α), qui est égal à 1 par hypothèse.

(3) Si la conjecture (5.3.9) est vérifiée pour M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C), alors elle l’est aussi pour M(n). En effet, par 1.3.4-(2), cela résulte de la formule de Grothendieck-Ogg-Chafarevitch :

χ_{c}(U, M) = χ_{c}(U) rg(M) − ∑_{x∈Z} irr(M_{η_{x}}).

(4) La conjecture (5.3.9) est reliée à la question [Cr00, Remark - 4.7].

5.3.11. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On pose

(5.3.11.1)  L_{WD}(X, M, t) = ∏_{x∈|X|} L(M_{η_{x}}, t^{deg x})

Ce produit converge formellement dans 1 + tC^{nr}⟦t⟧ car X est de type fini et

L(M_{η_{x}}, t^{deg x}) = L(WD(M_{η_{x}}), t^{deg x}) = det_{C(x)}(1 − t^{deg(x)}φ^{f deg(x)}, M_{η_{x}}^{∇})

appartient à 1 + t^{deg(x)}C(x)⟦t⟧.

Théorème 5.3.12 (Tate). Soient U un ouvert non-vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} de rang 1, et ω ∈ Ω_{k(η)/k}^{1}\{0}. Alors

L_{WD}(X, M, t) = q^{(1−g)}t^{−χ_{c}(X,M)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) L_{WD}(X, M^{∨}, q^{−1}t^{−1})

Dém. Soient ψ(ω): 𝔸_{k(η)}/k(η) → C^{nr}^{∗} le caractère additif non-trivial associé à ω, et χ(M): 𝔸_{k(η)}^{∗}/k(η)^{∗} → Λ^{∗} le quasi-caractère globale associée à M, cf. (5.3.5). Par la définition de L_{WD}(X, M, t) et ε(M_{η_{x}}, ω_{x}), l’équation fonctionnelle recherchée est l’équation fonctionnelle globale de Tate relative à χ(M) et ψ(ω), cf. [Lau87, (3.1.2.4)-(3.1.3.5)]. □

Lemme 5.3.13. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} de rang 1. Supposons que X\U soit non vide et, pour tout x dans X\U, M_{η_{x}} ne soit pas R(η_{x})- soluble. Alors H_{rig}^{0}(U, M) = 0 = H_{rig,c}^{2}(U, M) et H_{rig,c}^{1}(U, M) ≅ H_{rig}^{1}(U, M). En particulier L_{∘}(U, M, t) = L(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{1}(U, M)).

Dém. Comme U est une courbe affine, on a par (5.2.5)

L(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{1}(U, M))det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig,c}^{2}(U, M))^{−1}

et par définition

L_{∘}(U, M, t) = det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{1}(U, M))det_{C}(1 − t F^{∗} |H_{rig}^{0}(U, M))^{−1}.

On considère la suite exacte [Cr00, (3.1.4)],

0 → H_{rig}^{0}(U, M) → H_{rig}^{0}(X\U, Rj_{∗}M) → H_{rig,c}^{1}(U, M) →

→ H_{rig}^{1}(U, M) → H_{rig}^{1}(X\U, Rj_{∗}M) → H_{rig,c}^{2}(U, M) → 0,

où par définition H_{rig}^{i}(X\U, Rj_{∗}M) = ⊕_{x∈X\U}H_{rig}^{i}(x, Rj_{∗}M), H_{rig}^{0}(x, Rj_{∗}M) = Ker ∇_{x} et H_{rig}^{1}(x, Rj_{∗}M) = Coker ∇_{x}. Comme M est unité, on a [Cr00, (3.2.10)]

dim_{C} H_{rig}^{0}(x, Rj_{∗}M) = dim_{C} H_{rig}^{1}(x, Rj_{∗}M)

Par hypothèse, pour tout x ∈ X\U, M_{η_{x}} est non-trivial de rang 1. Donc Ker ∇_{x} = 0. □

Lemme 5.3.14. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}. Si pour un x ∈ X\U, M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble, alors il existe M̃ ∈ F -Isoc^{†}(U ∪ {x}, X|C)^{u} tel que M̃_{|U} = M.

Dém. On peut supposer X\U non-vide. Soient x ∈ X\U, Y = U ∪ {x} et

θ: π_{1}(U, η̄) → Aut_{Λ}(V )

la représentation associée à M par (5.1.11). On a un homomorphisme surjectif

Gal(k(η̄)/k(η)) → π_{1}(U, η̄)

dont le noyau est le sous-groupe de Gal(k(η̄)/k(η)) correspondant à la sous-extension de k(η̄)/k(η) maximale non-ramifiée sur U, cf. [SGA1, 8.2]. Donc on déduit du diagramme cartésien

[figure: η_{x}; j_{x}; □; U; Y_{(x)}; Y]

le diagramme cocartésien,

[figure: π_{1}(η_{x}, η̄_{x}); π_{1}(j_{x}); □; π_{1}(U, η̄_{x}); π_{1}(x, x̄); π_{1}(Y, η̄_{x})]

Par hypothèse M_{η_{x}} est R(η_{x})-soluble et unité, donc M_{η_{x}}^{†} est E^{†}(η_{x})-soluble et la représentation θ∘π_{1}(j_{x}) se factorise par π_{1}(x, x̄), cf. (3.4.6). Comme le carré est cocartésien en déduit une représentation continue θ̃: π_{1}(Y, η̄_{x}) → Aut_{Λ}(V ) qui fait commuter le diagramme

[figure: π_{1}(η_{x}, η̄_{x}); π_{1}(j_{x}); □; π_{1}(U, η̄_{x}); θ; Aut_{Λ}(V ); π_{1}(x, x̄); π_{1}(Y, η̄_{x}); θ̃]

Le F -isocristal M̃ ∈ F -Isoc^{†}(Y, X|C)^{u}, correspondant à θ̃: π_{1}(Y, η̄_{x}) → Aut_{Λ}(V ) par (5.1.11), répond à la question. □

Théorème 5.3.15. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} de rang 1. Alors M satisfait la conjecture (5.3.9).

Dém. Comme M est unité, quitte à agrandir U, on peut supposer par (5.3.14) que pour tout x ∈ X\U, M_{η_{x}} ne soit pas R(η_{x})-soluble, et puisque M est de rang 1, M_{η_{x}}^{∇_{x}} = 0. On en déduit facilement que pour tout x ∈ X\U, on a (M_{η_{x}}^{∨})^{∇} = 0. D’où L_{WD}(X, M, t) = L(X, M, t) et de même pour M^{∨}. L’équation fonctionnelle 5.2.6 s’écrit

L(M, t) = det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1}t^{−χ_{c}(U,M)}L(M^{∨}, q^{−1}t^{−1}).

En effet, il n’y a rien à montrer si U = X, et si U ≠ X, c’est une conséquence de (5.3.13). En comparant avec l’équation fonctionnelle de Tate (5.3.12)

L_{WD}(X, M, t) = q^{(1−g)}t^{−χ_{c}(X,M)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) L_{WD}(X, M^{∨}, q^{−1}t^{−1}),

on obtient,

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = q^{(1−g)} ∏_{x∈|X|} ε(M_{η_{x}}, ω_{x}).

Pour x ∈ X\U, on a M_{η_{x}}^{∇_{x}} = 0, d’où ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) = ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x}), cf. (3.6.6.4). Pour x ∈ |U|, par (5.3.3) et 1.3.4-(2), on a

ε(M_{η_{x}}, ω_{x}) = q^{deg(x)v_{x}(ω)} det ρ_{η_{x}}(F_{x}^{∗v_{x}(ω)})
= q^{deg(x)v_{x}(ω)} det_{M}(x)^{v_{x}(ω)}

Or ∑_{x∈|X|} deg(x)v_{x}(ω) = 2g − 2, ce qui achève la preuve. □

Théorème 5.3.16. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}. Si M est fini (5.1.12), alors il satisfait la conjecture (5.3.9).

Dém. D’après (5.1.11), on a un isomorphisme canonique de groupes de Grothendieck

(5.3.16.1)  Gr (F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}) ⟶ Gr (Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(U, η̄)))

La relation (5.3.9.1) est une équation sur le groupe de gauche. En vertu de (5.3.15), elle est vérifiée pour les F -isocristaux de rang 1. On en déduit qu’elle est vérifiée pour M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} si et seulement si elle est vérifiée pour [M] − rg(M)[C], où [C] est la classe de l’isocristal trivial. Soient M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u} fini, θ: π_{1}(U, \overline{η}) → Aut_{Λ}(W ) son image par (5.1.11) ; donc θ se factorise par un quotient fini G de π_{1}(U, \overline{η}). On sait d’après le théorème d’induction de Brauer [De73, Prop.1.5], que

[W] − (dim_{Λ} W)[Λ] = ∑_{H,W_{H}} n_{W_{H}} Ind_{H}^{G}([W_{H}] − [Λ])

où H varie parmi les sous-groupes de G, W_{H} est une représentation de rang 1 de H, n_{W_{H}} est un entier, et [Λ] désigne la classe de la représentation triviale. Transposant cette relation par (5.3.16.1) sur le groupe de Grothendieck de F -Isoc^{†}(U, X|C)^{u}, il suffit de montrer l’assertion suivante. Soient

[figure: V; f; □; Y; f̄; U; X]

un diagramme cartésien, avec f étale, Y lisse, f̄ fini, et P ∈ F -Isoc^{†}(V, Y |C)^{u} de rang 1. Alors la conjecture (5.3.9.1) est verifiée pour f_{∗}([P] − [C]) = [f_{∗}P] − [f_{∗}C].

Soient y ∈ Y \V, x = f̄(y), et W_{η_{y}} ∈ Rep_{Λ}^{gf}(π_{1}(η_{y}, η̄_{y})) tel que D_{y}^{†}(W_{η_{y}}) = P_{η_{y}}^{†}. Par (5.1.13) et (5.1.11), on a pour tout x ∈ |X|,

(f_{∗}P)_{η_{x}}^{†} = ⨁_{y↦x} D_{x}^{†}(Ind_{π_{1}(η_{y},η̄_{y})}^{π_{1}(η_{x},η̄_{y})} W_{η_{y}})

On en déduit que :

(i) pour tout y ∈ V,

(5.3.16.2)  det_{f_{∗}P} (x)^{v_{x}(ω)} = ∏_{y↦x} det_{P} (y)^{v_{y}(f^{∗}ω)} ;

(ii) pour tout y ∈ Y \V, on a

det_{f_{∗}P} (x) = ∏_{y↦x} det_{P} (y)^{e_{Ky/Kx}} ;

et, par 1.2.5-(2),

ε([(f_{∗}P)_{η_{x}}] − [(f_{∗}C)_{η_{x}}], ω_{x}) = ∏_{y↦x} ε([P_{η_{y}}] − [C_{η_{y}}], (f^{∗}ω)_{y}).

Comme P est unité, N_{η_{x}} = 0 ; donc ε_{0}(P_{η_{x}}, ω) = ε(P_{η_{x}}, ω) det_{P} (x). Par (ii) ci-dessus, on a alors

(5.3.16.3)  ε_{0}([(f_{∗}P)_{η_{x}}] − [(f_{∗}C)_{η_{x}}], ω_{x}) = ∏_{y↦x} ε_{0}([P_{η_{y}}] − [C_{η_{y}}], (f^{∗}ω)_{y}).

Pour tout i, on a H_{rig,c}^{i}(U, f_{∗}P) = H_{rig,c}^{i}(V, P) [Cr00, 4.2] ; donc

det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, [f_{∗}P] − [f_{∗}C]))^{−1} = det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(V, [P] − [C]))^{−1}

qui est égale, par (5.3.15), à

∏_{y∈|V |} det_{P} (y)^{v_{y}(f^{∗}ω)} ∏_{y∈Y \V} ε_{0}([P_{η_{y}}] − [C], (f^{∗}ω)_{y}).

Par (5.3.16.2) et (5.3.16.3), ce dernier est égal à

∏_{x∈|U|} det_{f_{∗}P} (x)^{v_{x}(ω)} ∏_{x∈X\U} ε_{0}([f_{∗}P_{η_{x}}] − [f_{∗}C], ω_{x})

ce qui termine la démonstration. □

Remarque 5.3.17. Soient U un ouvert non vide de X, M ∈ F -Isoc^{†}(U, X|C). On choisit pour tout x ∈ X\U une uniformisante u(x) de K_{x} et on écrit ω_{x} = a_{x}du(x), avec a_{x} ∈ K_{x}. Par 1.3.4-(1), on a

q^{− deg(x)v_{x}(ω) rg(M)}ε_{0}(M_{η_{x}}, ω_{x}) = det ρ_{η_{x}}(a_{x})ε_{0}(M_{η_{x}}, du(x)),

où det ρ_{η_{x}}(a_{x}) désigne la valeur en a_{x} du caractère de K_{x}^{∗} associé par la théorie du corps de classes à la représentation de Weil det ρ_{η_{x}}. L’équation (5.3.9.1) est équivalent à (5.3.17.1)

det(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = q^{(g−1) rg(M)}A ∏_{x∈|U|} det_{M}(x)^{v_{x}(ω)} ∏_{x∈X\U} ε_{0}(M_{η_{x}}, du(x)),

où A = ∏_{x∈X\U} det ρ_{η_{x}}(a_{x}).

Proposition 5.3.18. Soient U un ouvert non-vide de ℙ_{k}^{1}, et M ∈ F -Isoc^{†}(U, ℙ_{k}^{1}|C). On pose Z = ℙ_{k}^{1}\U, et on suppose que Z ⊂ 𝔸_{k}^{1}(k). On note T la coordonnée de 𝔸_{k}^{1}. Alors, si la conjecture (5.3.9) est vrai, on a

(5.3.18.1)  det_{C}(− F^{∗} |H_{rig,c}^{∗}(U, M))^{−1} = q^{− rg(M)}det_{M}(∞)^{−2} ∏_{x∈Z} ε_{0}(M_{η_{x}}, dT).

Dém. On choisit ω = dT. Pour tout x ∈ |𝔸_{k}^{1}|, v_{x}(ω) = 0 et v_{∞}(ω) = −2. Comme Z ⊂ 𝔸_{k}^{1}(k), u(x) = T − x est une uniformisante en x (par abus on a noté x la coordonnée du point x). Pour tout x ∈ Z, du(x) = dT, d’où a_{x} = 1. On termine par la remarque 5.3.17. □

Remarque 5.3.19. De façon analogue au cas ℓ-adique, il est probable que (5.3.18.1) soit équivalente à (5.3.9.1).

Bibliographie

[An02a] André, Y. : Filtrations de type Hasse-Arf et monodromie p-adique, Invent. Math. 148 (2002), 285–317.

[An02b] André, Y. : Représentations galoisiennes et opérateurs de Bessel p-adiques, Ann. Inst. Fourier 52(3) (2002), 779–808.

[Berg02] Berger, L. : Représentations p-adiques et équations différentielles, Invent. Math. 148 (2002), 219–284.

[Berg04] Berger, L. : An introduction to the theory of p-adic representations, dans :Geometric Aspects of Dwork’s Theory, A volume in memory of Bernard Dwork, Volume I, Walter de Gruyter, Berlin (2004), 255–292.

[Bert90] Berthelot, P. : Cohomologie rigide et théorie des D-modules, dans p-adic Analysis, Lect. Not. Math. 1454 (1990), 80–124.

[Bert96a] Berthelot, P. : Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres. Première partie (version provisoire 1991), Prépublication IRMR 96-03 (1996).

[Bert96b] Berthelot, P. : D-modules arithmétiques I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. de l’E.N.S. 4ème série 29 (1996), 185–272.

[Bert00] Berthelot, P. : D-modules arithmétiques II. Descente par Frobenius, Mém. S.M.F. 81 (2000).

[Bert02] Berthelot, P. : Introduction à la théorie arithmétique des D-modules, Astérisque 279 (2002), 1–80.

[BeMe90] Berthelot, P. et Messing, W. : Théorie de Dieudonné cristalline III, Dans : The Grothendieck Festschrift, Volume I, Prog. Math., Birkhäuser, Basel, (1990), 173–247.

[ChCo98] Cherbonnier, F. et Colmez, P. : Représentations p-adiques surconvergentes, Invent. Math. 133 (1998), 581–611.

[Col03] Colmez, P. : Conducteur d’Artin d’une représentation de de Rham, Prépublication (2003), 1–25.

[ChMe01] Christol, G. et Mebkhout, Z. : Sur le théorème de l’indice des équations différentielles p-adiques IV, Invent. Math. 143 (2001), 629–672.

[ChMe02] Christol, G. et Mebkhout, Z. : Équations différentielles p-adiqueset coefficients p-adiques sur les courbes, Astérisque 279 (2002), 125–183.

[Cr87] Crew, R. : F -isocrystals and p-adic Representations, Proc. Symp. Pure Math. tome 46 (1987), 111–138.

[Cr98] Crew, R. : Finiteness theorems for the cohomology of an overconvergent isocrystal on a curve, Ann. Sci. de l’E.N.S. 4ème série, tome 31 n°6 (1998), 717–763.

[Cr00] Crew, R. : Canonical extensions, irregularities, and the Swan conductor, Math. Ann. 316 (2000), 19–37.

[Cr04a] Crew, R. : Arithmetic D-modules on the unit disk, http ://www.math.ufl.edu/∼crew/papers.html, incomplete version, 7 Decembre 2004, 1–29.

[Cr04b] Crew, R. : The holonomy of Extraordinary Inverse Image in the One-Dimensional Case, http ://www. math.ufl.edu/∼crew/papers.html, 17 Decembre 2004, 1–9.

[Cr04b’] Crew, R. : Arithmetic D-modules on formal curve, http ://www.math.ufl.edu/∼crew/pa-

pers.html, 27 Septembre 2005, 1–10.

[De73] Deligne, P. : Les constantes locales des équations fonctionnelles des fonctions L, in : Modular fonctions of one variable II, Lect. Notes in Math. 349 (1973), 501–597.

[DH81] Deligne, P. et Henniart, G. : Sur la variation, par torsion, des constantes locales d’équations fonctionnelles de fonctions L, Invent. Math. 64 (1981),89–118.

[Et04] Etesse, J.-Y. : Introduction to L-functions of F -isocrystals. Dans : Geometric aspects of Dwork theory. Volume I,II, Walter de Gruyter GmbH & CO. KG, Berlin (2004), 701–710.

[EtLS93] Etesse, J.-Y. et Le Stum, B. : Fonctions L associées aux F -isocristaux surconvergent I. Interprétation cohomologique, Math. Ann. 296 (1993), 557–576.

[Fon79] Fontaine, J.-M. : Modules galoisiens, modules filtré et anneaux de Barsotti-Tate. Dans : Journées de Géométrie algébriques de Rennes (III), Astérisque 65 (1979), 3–80.

[Fon90] Fontaine, J.-M. : Représentations p-adiques des corps locaux. Dans :The Grothendieck Festschrift, Volume II, Prog. Math., Birkhäuser, Basel, (1990), 249–309.

[Fon94a] Fontaine, J.-M. : Le corps de périodes p-adiques, avec une appendice par Pierre Colmez. Dans : Périodes p-adiques, Astérisque 223 (1994), 59–111.

[Fon94b] Fontaine, J.-M. : Représentations p-adiques semi-stables. Dans : Périodes p-adiques, Astérisque 223 (1994), 113–184.

[Fon94c] Fontaine, J.-M. : Représentations ℓ-adiques potentiellement semi-stables. Dans : Périodes p-adiques, Astérisque 223 (1994), 321–347.

[Fon04] Fontaine, J.-M. : Arithmétique des représentations galoisiennes p-adiques. Dans : Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques (III), Asterisque, 295 (2004).

[Huy98] Noot-Huyghe, C. : D^{†}-affinité des schéma projectif, Ann. Inst. Four. 48(4) (1998), 913–956.

[Huy04] Noot-Huyghe, C. : Transformation de Fourier des D-modules arithmétiques I. Dans : Geometric aspects of Dwork theory. Volume I,II, Walter de Gruyter GmbH & CO. KG, Berlin (2004), 857–907.

[Har77] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, Springer-Verlag (1977).

[Ked04] Kedlaya, S.K. : A p-adic local monodromy theorem, Ann. of Math. 160 (2004), 93–184.

[Ked05] Kedlaya, S.K. : Fourier transforms and p-adic ”Weil II”, arXiv : math.NT/0210149v3 (2005).

[Kas83] Kashiwara, M. : Systems of Microdifferential Equations, Birkhäuser, Boston (1983).

[Kat72] Katz, N. : Travaux de Dwork, Sem. Bourb. 409 (1972).

[Kat88] Katz, N. : Gauss sums, Kloosterman sums and monodromy groups, Annals of mathematics studies 116, Priceton Univerity press, Princeton, New Jersey (1988).

[Isa94] Isaacs, I.M. : Character Theory of Finite Groups, Dover, New York (1994).

[Lau87] Laumon, G. : Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. de I.H.E.S. 65 (1987), 131–210.

[Lop04] Lopez, R.G. : Microlocalisation and Stationary Phase, Asian J. Math. 8 No.4 (2004), 747–768.

[Mal91] Malgrange, B. : Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Birkhäuser, Boston (1991).

[Mar04] Marmora, A. : Irrégularité et conducteur de Swan p-adiques, Documenta Math. 9 (2004), 413– 433.

[Mat95] Matsuda, S. : Local indeces of p-adic differential operators corresponding to Artin-Schreier-Witt coverings, Duke Mathematical Journal 77(3) (1995), 607–625.

[Mat02] Matsuda, S. : Katz Correspondence for quasi-Unipotent Overconvergent Isocrystals, Compositio Math. 134 (2002), 1–34.

[Meb02] Mebkhout, Z. : Analogue p-adique du théorème de Turrittin et le théorème de la monodromie p-adique, Invent. Math. 148 (2002), 319–351.

[Pon66] Pontryagin, : Topological Groups (seconded edition) Gordon & Breanch, Sci. Publ., New York (1966).

[PR95] Perrin-Riou, B. : Fonctions L p-adiques des représentations p-adiques, Astérisque 229, Soc. Math. de France, Paris (1995).

[Sab02] Sabbah, C. : Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, CNRS Ed., Paris (2002).

[Sen69] Sen, S. : On automorphisms of local fields, Ann. of Math. 90 (1969), 33–46.

[Ser61] Serre, J.-P. : Sur les corps locaux à corps résiduel algébriquement clos, Bull. S.M.F., 89 (1961), 105–154.

[Ser67] Serre, J.-P. : Représentations linéaires de groupes finis, Hermann, Paris (1967).

[Ser68] Serre, J.-P. : Abelian ℓ-adic représentations and elliptic curves, W.A.Benjamin, New York (1968).

[Ta67] Tate, J. : Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta-Functions, (Thesis, 1950), dans : Algebraic Number Theory, Edité par Cassels, J. et Fröhlich, A., Academic Press (1967), 305–347.

[Ta79] Tate, J. : Number Theoretic Background, dans : Proc. Symp. Pure Math. Volume 33, partie 2 (1979), 3–26.

[Tsu98a] Tsuzuki, N. : Finite local monodromy of overconvergent unit-root F-isocrystals on a curve, Amer. J. Math. 120 (1998), 1165–1190.

[Tsu98b] Tsuzuki, N. : The local index and Swan conductor, Compositio Math. 111 (1998), 245–288.

[Tsu98c] Tsuzuki, N. : Slope filtration of quasi-unipotent overconvergent F -isocrystals, Ann. Inst. Four. 48(2) (1998), 379–412.

[Wa96] Wach, N. : Représentations p-adiques potentiellement cristallines, Bull. Soc. Math. France 124 (1996), 375–400.

[Win83] Wintenberger, J.-P. : Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ;

applications, Ann. Sci. de l’E.N.S. 4ème série 16 (1983), 59–89.

\underline{Sigles} :

[CL] Serre, J.-P. : Corps Locaux, deuxième édition, Hermann, Paris (1968).

[EGA] Dieudonné, J. et Grothendieck, A. : EGA, Publ. Math. IHES.

[SGA1] Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Revêtements Étales et Groupe Fondamental, dirigé par A. Grothendieck, avec la collaboration de M. Raynaud. Soc. Math. France, Doc. Math. 3, édition recomposée de Lect. Notes in Math. 224 (1971).

RÉSUMÉ. Cette thèse est consacrée à l’étude du conducteur et du facteur epsilon d’un “système local” de coefficients p-adiques sur le spectre d’un corps de valuation discrète complet, à corps résiduel parfait de caractéristique p > 0. J’étudie ces invariants par déformation au corps des normes de Fontaine-Wintenberger, ce qui permet de ramener le cas d’inégales caractéristiques au cas d’égale caractéristique. Dans ce cas, le conducteur de Swan d’un F -isocristal surconvergent est égal à l’irrégularité (Matsuda-Tsuzuki). On ne dispose pas actuellement d’interprétation différentielle analogue pour le facteur epsilon. Pour ce faire, je propose une conjecture globale, la formule du produit p-adique, analogue à celle de Deligne, démontrée par Laumon, pour les faisceaux étales ℓ-adiques. Je démontre la conjecture pour les F -isocristaux surconvergents unités de rang 1 et unités finis. Enfin, j’ébauche une théorie de l’analyse microlocale arithmétique, qui devrait permettre de démontrer le cas général.

p-adic local constants

ABSTRACT. We study the conductor and the epsilon factor of a “local system” of p-adic coefficients over the spectrum of a complete discrete valuation field, with perfect residue field of characteristic p > 0. We consider the deformation of these invariants to the field of norms of Fontaine-Wintenberger; hence we reduce the mixed characteristic case to the equal characteristic case. In the latter case, Matsuda and Tsuzuki proved that the Swan conductor of an overconvergent F -isocrystal is equal to the irregularity. At present, we do not have such a differential interpretation for the epsilon factor. For this purpose, we propose a global conjecture, the p-adic product formula, analogous to Deligne’s formula, proved by Laumon, for étales ℓ-adic sheaves. We prove the conjecture for rank 1 unit-root overconvergent F -isocrystals and for finite unit-root overconvergent F -isocrystals. Finally, we initiate the arithmetic microlocal analysis that should lead to a proof in the general case.

DISCIPLINE : Mathématiques

MOTS-CLÉS : théorie de Hodge p-adique, F -isocristaux surconvergents, conducteur de Swan, facteur epsilon, formule du produit, D-modules arithmétiques, microdifférentiels arithmétiques. KEYWORDS : p-adic Hodge theory, overconvergent F -isocrystals, Swan conductor, epsilon factor, product formula, arithmetic D-modules, arithmetic microdifferentials.

Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, UMR 7539, Institut Galilée, Université PARIS 13, 99 avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse (France)