Contrôle de systèmes non linéaires
Jean-Michel Coron
Professeur à l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI)
Un système de contrôle est un système dynamique sur lequel on peut agir grâce à ce qu'on appelle le contrôle. Par exemple, dans une voiture, on peut tourner le volant, appuyer sur la pédale d'accélérateur, etc. Pour un satellite, des propulseurs ou des roues d'inertie peuvent être utilisés.
L'un des principaux problèmes dans la théorie du contrôle est le problème de la contrôlabilité. Il s'agit du problème suivant. On part d'une situation donnée et il y a une cible que l'on cherche à atteindre. Le problème de contrôlabilité est de voir si, en utilisant des contrôles appropriés fonction du temps, on peut passer de la situation donnée à la cible désirée. Nous rappelons d'abord certains résultats classiques sur ce problème pour les systèmes de contrôle en dimension finie. Nous expliquons ensuite pourquoi l'outil principal utilisé pour ce problème en dimension finie, c'est-à-dire les crochets de Lie itérés, est difficile à utiliser pour de nombreux systèmes de contrôle importants modélisés par des équations aux dérivées partielles. Nous présentons des méthodes pour éviter l'utilisation de ces crochets de Lie itérés. Nous donnons des applications de ces méthodes à différents systèmes de contrôle physique modélisés par des équations aux dérivées partielles (équations d'Euler et Navier-Stokes de fluides incompressibles, équations de Saint-Venant, équations de Korteweg-de-Vries ...).
Un autre problème important dans la théorie du contrôle est celui de la stabilisation. On peut le comprendre avec l'expérience classique du balai que l'on fait tenir sur le bout du doigt. En principe, si le balai est vertical avec une vitesse nulle, il doit rester à la verticale (avec une vitesse nulle). Comme on le voit expérimentalement, ce n'est pas le cas en pratique : si nous ne faisons rien, le balai va tomber. C'est parce que l'équilibre est instable. Afin d'éviter la chute, on déplace le doigt de manière appropriée afin de stabiliser cet équilibre instable. Ce mouvement du doigt est une rétroaction (feedback) : elle dépend de la position (et de la vitesse) du balai. Les lois de rétroaction sont maintenant utilisées dans de nombreuses industries et même dans la vie quotidienne (par exemple, des robinets thermostatiques). Nous considérons le lien entre la contrôlabilité et la stabilisabilité, et montrons l'utilité des lois de rétroaction dépendant du temps de façon périodique. Des applications sont présentées aux systèmes de contrôle en dimension finie et aux systèmes modélisés au moyen d'équations aux dérivées partielles.
