Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501

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Ce cours introduit les notions de base d’algèbre commutative avec des rudiments d’algèbre homologique. Les notions seront illustrées par des exemples géométriques et arithmétiques. Le cours sera accompagné de travaux dirigés.

Horaire : le mardi de 9h00 à 12h00.

Contenu du cours :

Anneaux commutatifs et modules

 Idéaux, anneaux quotients et localisation ;
 Produit tensoriel, limites inductives et projectives ;
 Modules de type fini, libres et plats ;
 Conditions de finitude : anneaux noethériens et artiniens ;
 Anneaux locaux, lemme de Nakayama ;
 Anneaux de valuation et anneaux des entiers ;
 Filtrations, anneaux gradués ;
 Complétion, anneaux locaux henséliens ;
 Dimension.

Géométrie : schémas affines

 Spectre d’un anneau, ensembles algébriques, topologie de Zariski ;
 Théorème des zéros de Hilbert.

Notions d’algèbre homologique

 Catégories et foncteurs ;
 Lemme de Yoneda, foncteurs représentables, propriétés universelles, foncteurs adjoints ;
 Catégories abéliennes ;
 Complexes et résolutions acycliques, modules projectifs et injectifs , foncteurs Ext et Tor (dans la catégorie des modules sur un anneau).

Bibliographie

 Atiyah, M. F. ; Macdonald, I. G. : "Introduction to commutative algebra" - Addison-Wesley Publishing Co.
 Eisenbud, D. : "Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry" -
Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995.
 Hartshorne, R. : "Algebraic geometry" - Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York, 1977.
 Hilton, P. J. ; Stammbach, U. : "A course in homological algebra" - Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997.
 Lafon, J.-P. : "Les formalismes fondamentaux de l’algèbre commutative" - Enseignement des sciences, 20. Hermann, 1974.
 Qing Liu : "Algebraic geometry and Arithmetic Curves" - Oxford university Press, 2002. Oxford Graduate Texts in Mathematics, No. 6.

Dernière mise à jour le 26-09-2011