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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2012-2013 > Théorie de Hodge.

Théorie de Hodge.

Claude Sabbah

Plan du cours :

0. Introduction.

0.1. Le théorème de Lefschetz « diffcile ».

0.2. Le théorème de Hodge.

1. Structures de Hodge-Lefschetz.

1.2. Algèbre multi-linéaire hermitienne.

1.2.a. Les opérateurs fondamentaux et leurs relations.

1.3. Décomposition de Lefschetz et éléments primitifs.

1.3.a. Décomposition de Lefschetz associée à un $\mathfraksl_2$-triplet.

1.3.b. Structures de Hodge-Lefschetz.

2. Théorie de Hodge sur les variétés kählériennes complexes compactes

2.1. Variétés complexes hermitiennes.

2.1.a. Variétés presque complexes hermitiennes.

2.1.b. Les opérateurs $d’$ et $d’’$.

2.1.c. Cohomologie de Dolbeault.

2.1.d. Les théorèmes de Hodge pour les variétés compactes complexes
hermitiennes.

2.1.e. Relations entre les espaces $H^p,q_d’’(X)$ et $H^p+q_DR (X, C)$.

2.1.f. Théorie de Hodge pour les fibrés hermitiens.

2.2. Variétés kählériennes.

2.2.a. Identités locales de la géométrie kählérienne.

2.2.b. Le théorème de Hodge en géométrie kählérienne.

2.2.c. Le théorème de Lefschetz difficile.

2.2.d. Les théorèmes de Hodge et de Lefschetz pour les fibrés hermitiens plats.

2.3. Exemples et applications.

2.3.a. Surfaces de Riemann compactes.

2.3.b. Surfaces algébriques complexes.

2.3.c. Tores complexes.

2.3.d. Le théorème de Lefschetz « faible » pour les coefficients rationnels.

2.3.e. Le théorème de Lefschetz pour les classes de type (1, 1).

3. Le théorème de Lefschetz « difficile ».

3.1. Cohomologie des variétés algébriques projectives lisses.

3.1.a. La dualité de Kronecker et la dualité de Poincaré.

3.1.b. Le théorème de Lefschetz sur les sections hyperplanes.

3.2. Le théorème de Lefschetz difficile.

3.3. Semi-simplicité de la représentation de monodromie.

3.3.a. Les pinceaux de Lefschetz.

3.3.b. La représentation de monodromie.

3.3.c. Le théorème de la monodromie.

Dernière mise à jour le 9-07-2012

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