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DEA 2000-2001


Homotopie des CW-complexes et structure cellulaire sur les variétés.- cours du 1er semestre.
François Apéry


L’objectif du cours est de donner les bases de calcul des groupes
d’homotopie des CW-complexes, et d’aborder
la question de l’existence de structures cellulaires sur les variétés
topologiques compactes. Toute variété

topologique compacte de dimension suffisamment grande admet une
décomposition en anses dont on peut déduire
une structure de CW-complexe, alors qu’il n’y a pas nécessairement de
triangulation.
Il s’agit d’un cours de premier niveau dans lequel seront étudiés les
points suivants :


- CW-complexes,

- Groupe fondamental d’un CW-complexe,

- Construction d’un 2-complexe de groupe fondamental donné,

- Structure cellulaire sur les grassmanniennes,

- Homotopie supérieure, théorème de Whitehead,

- Décomposition en anses,

- Structure cellulaire sur un corps à anses.


Références :

Lundell, Weingram, "The Topology of CW Complexes", Van Nostrand, 1969.
Spanier, "Algebraic Topology", 1966.

Cooke, Finney, "Homology of cell complexes", Princeton University Press, 1967.
Kirby, Siebenmann, "Foundational essays on topological manifolds, smoothing, and triangulations",
Annals of Mathematics Studies, Study 58, Princeton University Press, 1977.


Approximation par des nombres algébriques. - cours du 2nd semestre.Yann Bugeaud


1. La classification de Mahler des nombres réels.


2. Approximation effective des nombres algébriques par des rationnels.


Le pré-requis se limitent aux bases de la théorie de la mesure et
de la théorie algébrique des nombres.


Quelques références bibliographiques :


[1] A. Baker, "Transcendental Number Theory", Cambridge Univ. Press, 1975.
[2] V. Beresnevich, "On approximation of real numbers by real algebraic numbers", Acta Arith. 90 (1999), 97-112.
[3] V. I. Bernik et M. M. Dodson, "Metric Diophantine Approximation on Manifolds", Cambridge Tracts in Math., 1999.
[4] N. I. Feldman et Y. V. Nesterenko, "Number Theory IV, Transcendental Numbers". Encyclopedia of Mathematical Sciences, 44. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[5] W. M. Schmidt, "Approximation to algebraic numbers", Monographie de l’Enseignement Mathématique 19, Genève, 1971.
[6] T. Schneider, "Introduction aux nombres transcendants", Paris, Gauthier-Villars, 1959.
[7] V. G. Sprindzuk, "Mahler’s problem in metric number theory", Amer. Math. Soc., Transl. math. monogr. 25, Providence, R. I., 1969.


Plans d’expérience. - cours du 1er semestre. Dominique Collombier


On appelle "Méthodologie des plans d’expérience" la conception, l’analyse et les applications des
outils statistiques qui servent à étudier le comportement d’un aléa observable dans des conditions
fixées à priori dans un domaine expérimental donné.


Les essais qui servent à ce type d’étude sont en général très
onéreux, aussi leur nombre est-il
limité et les modèles décrivant le comportement de l’aléa
observable sont donc assez sommaires. C’est
essentiellement par un choix judicieux des conditions de ces essais - i.e.
des "points du plan" dans le domaine
expérimental - qu’on peut rendre l’analyse efficace.
Pour y parvenir il faut donc passer progressivement de la Statistique à la Combinatoire.
Ce cours a pour objet de préciser cette démarche dans un cas
particulier mais aux applications nombreuses, notamment dans le domaine industriel.


Nous nous intéressons ici au cas où le domaine expérimental est une
partie compacte et connexe d’un espace
euclidien (e.g. une sphère, une boule, un pavé ou un simplexe).
L’aléa observable est supposé réel de
carré sommable, homoscédastique et d’espérance décrite par une
fonction polynomiale de degré fixé

sur le domaine expérimental.
Une fois introduit un modèle, on précise l’efficacité statistique au
moyen de conditions (régularité,
invariance...) ou de critères (admissibilité, optimalité ...)
concernant des moments de la distribution
des points du plan. On en déduit ensuite des conditions géométriques
portant sur cette distribution elle-même.
Le recours à la Combinatoire (plans sphériques, mesures euclidiennes de
force donnée, tableaux orthogonaux..)
permet enfin de s’assurer de l’existence et de construire si possible des
plans respectant ces conditions.


Bibliographie :


- Draper, N.R., Gaffke, N., Rukelsheim, F. (1991), "First and second order rotatibility of experimental designs,
moment matrices, and information surfaces."
Metrika 38 : 129-161.
- Neumaier, A., Seidel, J.-J. (1992), "Measures of strength 2e
and optimal designs of degree e."
Sankhy tex2html_wrap_inline1050 .
Special volume 54 : 299-309.


Le bord d’un groupe hyperbolique. - cours du 2nd semestre.Thomas Delzant


Le but de ce cours est d’introduire aux travaux récents sur les propriétés
topologiques du bord des groupes hyperboliques et leurs conséquences sur la
structure algébriques de ces groupes.


Espace et groupes hyperboliques.
Propriétés dynamiques de l’action sur le bord.
Propriétés de Markov et fonction zeta d’un groupe hyperbolique.

Points de coupure locaux et globaux dans le bord.


Bibliographie :


B.H.Bowditch, "Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups". Acta. Math. 180 (1998) 145-186.
M. Bridson, A. Haefliger, "Metric spaces of non positive curvature", Springer 1999.


E.Ghys, P.de la Harpe, "Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov",
Progress in Mathematics, Vol. 83, Birkhäuser (1990).


Méthodes séquentielles en Statistiques. - cours du 1er
semestre. Leonid Galtchouk
1) Problèmes d’arrêt optimal pour les fonctions des martingales.
L’enveloppe de Snell. Caractérisation sousharmonique de la fonction de gain.

2) Test séquentiel d’hypothèses. Test sequentiel du rapport de vraisemblance
pour deux hypothèses simples (test de Wald). Optimalité du test de Wald dans le cas
i.i.d. et pour les processus stochastiques. Extension du domaine d’optimalité. Test
séquentiel d’hypothèses composites.

3) Estimation séquentielle. Estimation de moindre-carrés et du maximum de
vraisemblance pour les processus stochastiques. Estimation séquentielle des paramètres des processus
de diffusion, de la régression stochastique et l’autorégression de garantie fixe.


Références.


1) (i)I. Karatzas, S. Shreve (1998), "Methods of mathematical
finance"
(Appendix)
(ii) L. Galtchouk (2000), "Optimalite du test de Wald pour les
processus stochastiques"
. Annales of Statistics,
à para

2) E. Lehmann (1959), "Statistical testing hypotheses".
3) L. Galtchouk, V. Konev (2000), "On sequential estimation of
parameters in semimartingale regression
models with continuous time parameter"
. Annals of Statistics, à para.


Aspects géométriques et aspects statistiques de la loi
des grands nombres.
- cours du 2nd semestre. Bernard Heinkel


Plan du cours :


1) Loi forte des grands nombres scalaire ; loi du logarithme itéré.
2) Loi forte des grands nombres et géométrie des espaces de Banach.
a) Convergence des martingales généralisées.

b) Quasimartingale de Kolmogorov et loi forte des grands nombres dans
les espaces de dimension finie.
c) Loi forte des grands nombres et type des espaces de Banach.
3) La loi forte des grands nombres pour les processus linéaires.
4) Introduction à la loi forte des grands nombres pour les processus
faiblement dépendants.


Bibliographie sommaire :


P. Brockwell, R. Davis, "Time series : Theory and Methods"

(Springer 1987)


G.A. Edgar, L. Sucheston, "Stopping times and directed processes"
(Cambridge University Press 1992)
C. Gourieroux, A. Monfort, "Séries temporelles et modèles dynamiques" (Economica 1990)
M. Ledoux, M. Talagrand, "Probability in Banach spaces" (Springer 1991)

F. Merlevede, "Processus linéaires hilbertiens" (Thèse Paris 6, 1996)
E. Rio : "Théorie asymptotique des processus aléatoires faiblement
dépendants"
(Springer 2000)


Ce cours s’adresse à un public probabiliste ou (et) statisticien. Le
chapitre 1 est destiné à tout le monde. Le chapitre 2 est plutôt
probabiliste. Les chapitres 3 et 4 s’adressent plutôt à des statisticiens,
mais ne réclament aucun prérequis statistique.


Théorie des schémas.- cours du 1er semestre. Jean-Pierre Jouanolou.


1) Faisceaux abéliens, faisceaux de modules, cohomologie des faisceaux.
2) Espaces géométriques, sommes et produits fibrés.

3) Spectre d’un anneau commutatif, schémas, schémas affines, caractérisation des schémas
affines dans la catégorie des espaces géométriques.
4) Faisceaux quasicohérents, critère d’affineté de Serre.
5) Modules localement libres sur un anneau commutatif, fibrés vectoriels, suites exactes.

6) Torseurs sous un fibré vectoriel, affinisations d’un schéma, critère d’affineté effectif.
7) Opérations d’un schéma en groupes diagonalisable, quotients.
Fibrés vectoriels équivariants. Projet
d’un anneau gradué par un monoabélien, schémas quasioprojectifs et projectifs.

8) Le théorème principal de l’élimination : tout morphisme projectif est universellement fermé.
9) Cohomologie des schémas projectifs.


Théorie de l’élimination.- cours du 2nd semestre. Jean-Pierre Jouanolou.


1) Formes d’inertie associées à un module gradué, cohomologie locale et lien avec la cohomologie
de Cech. Profondeur relativement à un idéal. Lemme d’inertie et applications. Relations avec la régularité
de Castelnuovo.
2) Idéaux résultants : calcul d’une résolution à l’aide des
complexes de Kirby-Eagon-Northcott.

3) Résultant, résultant anisotrope. Le formalisme du résultant.
4) Résultant cyclique, résultant déterminantiel et applications.
5) Formes de Chow :leur calcul à l’aide de résolutions
localement libres graduées et leur formalisme.

Opérades et algèbre homotopique. - cours du 1er semestre. Jean-Louis Loday


I. Algèbres et cohomologie.
Algèbres associatives, commutatives, de Lie, de Poisson. Algèbres
libres, extensions, représentations,
dérivations, extensions. (Co)homologie de Quillen, modèle minimal,
bar-résolution. Explicitation des
exemples (cohomologie de Hochschild, de Harrison, de Koszul, de Poisson).


II. Dualité de Koszul des algèbres associatives.
Algèbres quadratiques, dualité, complexe de Koszul. Algèbres de
Koszul, modèle minimal, relation avec Ext.


III. Opérades algébriques.

Foncteurs polynomiaux, opérades. Dualité de Koszul des opérades.
(Co)homologie d’une algèbre sur une opérade de Koszul.


IV. Algèbres à homotopie près.
Algèbre associative à homotopie près. Polytopes de Stasheff.
Algèbres à homotopie près pour une
opérade de Koszul. Exemples. Application à la conjecture de formalité

et à la conjecture de Deligne.


Références :
Ginzburg, Victor ; Kapranov, Mikhail, "Koszul duality for operads". Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.
Loday, Jean-Louis, "Cyclic homology". 2nd edition. Grund. der Math. Wiss., 301. Springer-Verlag,
Berlin, 1998. xx+513 pp.
Loday, Jean-Louis, "La renaissance des opérades". Séminaire
Bourbaki, Vol. 1994/95. Astérisque No. 237, (1996), Exp. No. 792, 3, 47-74.

Manin, Yu. I., "Quantum groups and noncommutative geometry".
Université de Montréal, Centre de
Recherches Mathématiques, Montreal, PQ, 1988. vi+91 pp.


Géométrie symplectique : lagrangiennes. - cours du 1er semestre. Michèle
Audin
(20 heures)


Les formes bilinéaires alternées et la géométrie qu’elles permettent de
faire sur R2n  :
sous-espaces isotropes, lagrangiens, la grassmannienne (ensemble de ces sous-espaces).
Les sous-variétés lagrangiennes, lagrangiennes spéciales de R2n.

Mais R2n = Cn
ce qu’on peut en faire. Plus globalement, étude des sous-variétés lagrangiennes
spéciales des variétés de Calabi-Yau et de leurs déformations.


Bibliographie :
Hitchin, "Lectures on special Lagrangian submanifolds".


Faisceaux et variétés. - cours du 1er semestre. Olivier Debarre, Mihai Paun


Le but de ce cours est de présenter les fondements nécessaires au cours
de C. Sabbah. Les thèmes abordés seront les suivants :


Variétés différentielles, variétés complexes (fonctions
holomorphes à plusieurs variables), variétés algébriques. Formes
différentielles, métriques, variétés hermitiennes et kählériennes.

Théories homologiques et cohomologiques : homologie singulière, cohomologie de Rham et de Dolbeault.
Faisceaux, cohomologie des faisceaux, cohomologie de Cech.


Bibliographie :
R. Bott et L. Tu, "Differential forms in algebraic topology". Graduate
Texts in Mathematics, 82. Springer Verlag, New York - Berlin, 1982.
P. Griffiths et J. Harris, "Principles of algebraic geometry". Reprint of the
1978 original. Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994.
B. Iversen, "Cohomology of sheaves. Universitext". Springer Verlag, Berlin-New York, 1986.

D. Perrin, "Géométrie Algébrique, Une introduction", Savoirs
Actuels, InterÉditions/CNRS Editions, Paris, 1995.


Théorie de Hodge. - cours du 1er semestre. Claude Sabbah (CNRS, Ecole Polytechnique),
Mihai Paun

Prérequis :

- intégration et fonctions holomorphes d’une variable (maîtrise).

- variétés, faisceaux, rudiments de la théorie des fonctions
holomorphes de plusieurs variables, variétés analytiques
complexes, cohomologie de Rham et de Dolbeault.


Programme :
Fibrés vectoriels, connexions, opérateurs différentiels sur les
fibrés, opérateurs elliptiques, laplacien sur les variétés et
sur les fibrés hermitiens, formes harmoniques, théorie de Hodge
sur les variétés kählériennes, théorème de Lefschetz
difficile.


Bibliographie :
Griffiths-Harris : "Principles of algebraic geometry", chapitre 0, Wiley Interscience.
Demailly : "Théorie de Hodge tex2html_wrap_inline1064 et théorèmes d’annulation",
Panoramas et Synthèses numéro 3, Société Mathématique de France.


Géométrie symplectique (actions de groupes). Tilmann Wurzbacher


Plan du cours :
(I) Actions différentiables des groupes de Lie :
Groupes et algèbres de Lie, représentations linéaires des groupes,
actions de groupes de Lie sur les variétés différentiables,
mesure bi-invariante sur les groupes de Lie unimodulaires,
application exponentielle d’une variété riemannienne,
théorème de la tranche différentiable et applications


(II) Variétés symplectiques et champs hamiltoniens :
Variétés symplectiques et kähleriennes, champs de vecteurs symplectiques
et hamiltoniens, crochet de Poisson, systèmes dynamiques hamiltoniens,
actions symplectiques et hamiltoniennes, champs de vecteurs "linéaires"
sur des variétés complexes compactes


(III) Application moment :

Orbites coadjointes, application moment, réduction et déréduction
symplectique,
théorèmes de classification des actions hamiltoniennes (espaces
homogènes symplectiques, non-existence d’action hamiltonienne
des groupes résolubles sur les variétés compactes,
théorème de Borel et Remmert)


(IV) Formes normales locales K-équivariantes :
Théorème de Darboux-Moser-Weinstein K-équivariant,
théorème des plongements K-équivariants des variétés à

2-forme fermée de rang constant, forme normale de l’application moment
dans un voisinage d’une K-orbite


(V) Introduction à la quantification géométrique :
Connexions hermitiennes sur des fibrés en droites complexes,
rêvetements des
actions hamiltonniennes, préquantification géométrique,
polarisations d’une
variété symplectique, démi-densités, quantification géométrique,
exemples de représentations linéaires des groupes de Lie données par la
quantification géométrique


Références :
M. Audin : "Opérations hamiltoniennes de tores sur les
variétés symplectiques (quelques méthodes topologiques)"
,
Publications de l’IRMA, Strasbourg, 1989.
Version anglaise : The topology of torus actions on symplectic manifolds,
Birkhäuser Verlag, Basel, 1991.
G. Bredon : "Introduction to compact transformation groups",
Pure and Applied Mathematics, Vol. 46. Academic Press, New York-London, 1972.

R. Bryant : "An introduction to Lie groups and symplectic geometry", dans :
D. Freed et al. (Editors), Geometry and quantum field theory ; AMS, Providence RI 1995.
C. Godbillon : "Géométrie différentielle et mécanique
analytique"
, Hermann, Paris 1969.
V. Guillemin, S. Sternberg : "Symplectic techniques in physics", Cambridge University Press,
Cambridge, 1984.
J. Moser : "On the volume elements on a manifold", Trans. Amer. Math. Soc. 120 1965 286-294.

R. Sjamaar, E. Lerman : "Stratified symplectic spaces and reduction", Ann. of Math. (2) 134 (1991),
no. 2, 375-422.
J. Sniatycki : "Geometric quantization and quantum mechanics", Springer, Berlin 1987.
J.-M. Souriau : "Quantification géométrique", Comm. Math. Phys. 1 (1966), 374-398.
N.M.J. Woodhouse : "Geometric quantization", Oxford University Press, Oxford, 1992.

T. Wurzbacher : "Introduction to differentiable manifolds and symplectic differential geometry",
Prépublication 2000,
http://www-irma.u-strasbg.fr/~wurzbach/teaching




Période spéciale 2000-2001 : APPLICATIONS DE LA THÉORIE
DE HODGE

Du lundi 26 au vendredi 30 mars 2001

(Ces cours intensifs ne constituent pas d’unités du DEA.)




Nous prévoyons 4 cours de 5 heures chacun. Les conférenciers prévus
(et qui ont accepté) sont :


Topologie des variétés Kählériennes. Frédéric Campana (Nancy)


Programme :
Structures de Hodge mixtes, monodromie, théorème de
semi-simplicité de Deligne, formalité des variétés kählériennes.

Variétés algébriques hyperboliques.Jean-Pierre
Demailly (Grenoble)

Différentes notions d’hyperbolicité (algébrique, analytique), espaces
de jets, théorème
d’annulation de Green-Griffiths-Siu-Yeung, surfaces algébriques
hyperboliques et conjecture de Kobayashi.


Prérequis :

- Variétés complexes, (p,q)-formes.

- Fibrés vectoriels, tenseur de courbure.

- Quelques connaissances sur les courbes algébriques (genre...).

- Quelques notions sur les faisceaux cohérents et la cohomologie,
les classes de Chern, la classe fondamentale d’un cycle...


Symplectic field theory Alexander Givental (Berkeley)


Program :
Developped recently by Ya. Eliashberg and H. Hofer, the theory of
holomorphic curves in contact manifolds
and in symplectic manifolds with contact boundaries gives rise to a functor
from a category of symplectic bordisms
to a category of Poisson super-algebras and their quantizations. In the
lecture course, we will outline the
construction, based on some properties of non-linear Cauchy-Riemann
equations and on combinatorics of Riemann surfaces
with marked points, and provide some examples illustrating the general theory.


Prerequisites :

- Elements of symplectic and contact geometry including Poisson brackets
and symplectization and contactization operations.

- Riemann surfaces, their Jacobians, their moduli, including some idea
about Deligne-Mumford compactification.

Variations infinitésimales de structures de Hodge Claire Voisin (CNRS, Paris)


Programme :

Je me propose d’expliquer la preuve du théorème de Nori,
qui permet d’améliorer radicalement le théorème de Lefschetz sur les sections hyperplanesà certaines conditions.


J’esquisserai aussi si le temps le permet
la preuve d’une application de ce résultat aux cycles algébriques.
Nori montre en effet l’existence de cycles annulés par l’application
d’Abel-Jacobi et qui ne sont pas de torsion dans le groupe de Griffiths
des cycles homologues à 0 modulo l’équivalence algébrique.

Prérequis :
Essentiels :

- Notions de variations de structure de Hodge, fibrés de Hodge,
connexion de Gauss-Manin, transversalité.

- Suite spectrale de Leray (pour un faisceau quelconque).
Souhaitables (mais je reviendrai sans doute dessus) :

- Structures de Hodge mixtes et leurs morphismes.

- Représentation de la cohomologie d’une hypersurface par des résidus.

- Application d’Abel-Jacobi.


Bibliographie :
M. Green, "Koszul cohomology and the geometry of
>projective varieties"
, J. Differential Geometry, 19, (1984), 125-171.
M. Green, "Koszul cohomology and the geometry of

>projective varieties II", J. Diff. Geom., 20, (1984) 279-289.
Ph. Griffiths : "On the periods of certain rational integrals I,
II"
, Ann. of Math., 90, (1969), 460-541.
M. Green, J. Murre, C. Voisin : "Algebraic cycles and Hodge
theory"
, CIME course, Lecture Notes in Math. 1594, Springer (1993).
J. Carlson, M. Green, Ph. Griffiths, J. Harris, "Infinitesimal
variations of Hodge structure (I)"
, Compositio Mathematica, 50, (1983),
109-205.
M. Nori, "Algebraic cycles and Hodge theoretic connectivity",
Invent. Math. 111 (1993) 349-373.

C. Voisin, "Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe
I et II"
. Notes de cours de DEA.

Dernière mise à jour le 2-03-2010