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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > DEA 2002-2003

DEA 2002-2003


Algèbre


Groupes et algèbres de Lie
Benjamin Enriquez


Résumé : Il s’agit d’un cours de base sur les groupes et
algèbres de Lie.

Plan du cours


1) Algèbre tensorielle. Algèbres symétriques et extérieures.


2) Groupes et algèbres de Lie. Théorèmes de base sur les algèbres de
Lie (Ado, Engel).


3) Opérateurs différentiels sur les groupes de Lie, algèbres
enveloppantes.


4) Algèbres de Lie semisimples, systèmes de racines, classification.


5) Le groupe de Weyl, présentations.


6) Théorie des représentation des algèbres de Lie semisimples.


7) Groupes compacts, théorème de Peter—Weyl.


8) Groupes algébriques, groupes formels, algèbres de Hopf commutatives.


9) Déformations, bigèbres de Lie, triples de Manin.

Bibliographie


[1] Introduction to Lie algebras and representation theory. Second printing,
revised. Graduate Texts in Mathematics 9. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1978.


[2] A. Kirillov. Elements of the theory of representations. Translated from
the Russian by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften,
220. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.


Groupes quantiques

Benjamin Enriquez


Résumé : Dans ce cours, on introduit les déformations des
algèbres enveloppantes des algèbres de Lie, connues sous le nom de
``groupes quantiques’’. On décrit les objets classiques correspondants
(bigèbres de Lie, groupes de Lie—Poisson) et des exemples (algèbres de
Kac—Moody quantiques, Yangiens, algèbres elliptiques).


On étudiera la théorie des représentations de ces objets et son lien
avec :


(a) des problèmes de mécanique statistique,


(b) la théorie des représentations des groupes de tresses.


Si on a le temps, on pourra terminer le cours avec une introduction aux
foncteurs de quantification (foncteurs permettant d’associer un groupe
quantique à toute bigèbre de Lie).

Plan du cours


1) Algèbres de Hopf, algèbres enveloppantes, algèbres de Lie
semisimples et de Kac—Moody, théorie des représentations.


2) Groupes quantiques, opérations sur les groupes quantiques, leurs
présentations dans divers cas. Théorèmes de Poincaré—Birkhoff—Witt.


3) Représentations, liens avec des modèles de mécanique statistique et
de théorie des noeuds.

Bibliographie


[1] V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups. Cambridge University
Press, Cambridge, 1995.


[2] P. Etingof, I. Frenkel, A. Kirillov, Jr. Lectures on representation
theory and Knizhnik—Zamolodchikov equations. Mathematical Surveys and
Monographs 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.


[3] C. Kassel, Quantum groups. Graduate Texts in Mathematics 155,
Springer-Verlag, New York, 1995.


[4] G. Lusztig, Introduction to quantum groups. Progress in Mathematics
110
, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1993.


Les groupes de tresses

Christian Kassel


Résumé : Les groupes de tresses, introduits par E. Artin au
début des années 1920, occupent une place centrale dans de nombreux
domaines des mathématiques, comme l’algèbre, la topologie, la
géométrie algébrique, la théorie des groupes, la théorie des
représentations, les groupes quantiques, etc. Deux développements
importants ont eu lieu ces dernières années, à savoir la construction
par Dehornoy d’un ordre total invariant sur les tresses et la démonstration
par Krammer et Bigelow de la linéarité des groupes de tresses.


Le but du cours est de donner une introduction aux groupes de tresses et de
présenter quelques développements récents. Les connaissances acquises
dans le cours seront utiles à ceux qui suivront le cours que B. Enriquez
donnera sur les groupes quantiques au second semestre.

Plan du cours


1) Définitions équivalentes des groupes de tresses (algébrique,
topologique, géométrique).


2) Propriétés algébriques et résolution du problème des mots.


3) Construction d’un ordre total invariant.


4) Rapport avec les groupes quantiques : R-matrices, catégories
tressées.


5) Représentations algébriques : algèbres de Hecke et de
Temperley—Lieb.


6) Représentations homologiques et linéarité du groupe : Burau, etc.

Bibliographie


[1] J. Birman, Braids, links and mapping class groups, Ann. of Math. Studies,
vol. 82, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.


[2] P. Dehornoy, Braids and self-distributivity, Progr. in Math. 195,
Birkhäuser, 2000.


[3] C. Kassel, Quantum Groups, Graduate Texts in Math., 155,
Springer-Verlag, New York, 1995.


[4] C. Kassel, L’ordre de Dehornoy sur les tresses, Séminaire Bourbaki
n 865, Astérisque 276, Soc. Math. France, Paris 2002,
7—28.


[5] V. Turaev, Faithful linear representations of the braid groups,
Séminaire Bourbaki n 878, Astérisque 276, Soc. Math.
France, Paris 2002.


Les algèbres d’opérateurs et leurs représentations


Leonid Vainerman


Résumé : L’objectif de ce cours est de présenter des
résultats classiques de la théorie des algèbres d’opérateurs et leurs
applications récentes.


Les algèbres d’opérateurs (les C*-algèbres et les algèbres de von
Neumann) forment le fondement mathématique de la mécanique quantique
moderne, de la théorie des champs quantiques, etc. C’est la raison pour
laquelle on donnera les éléments principaux de la théorie des
C*-algèbres et de leurs représentations dans un espace de Hilbert et
un résumé sur les W*-algèbres (les algèbres de von Neumann).


Une des applications récentes les plus importantes et intéressantes des
algèbres d’opérateurs est la théorie des groupes quantiques continus.
On donnera une introduction
élémentaire à cette théorie et on présentera l’exemple du groupe
quantique SUq(2).

Plan du cours


1) Préliminaires.


2) Définition d’une C*-algèbre, exemples ; C*-algèbres
commutatives (transformation de Gelfand).


3) Formes positives et représentations. La construction de
Gelfand-Naimark-Segal. Réalisation d’une C*-algèbre comme
algèbre d’opérateurs.


4) Résumé sur les W*-algèbres (algèbres de von Neumann).


5) Applications aux représentations des groupes. La mesure de Haar,
l’algèbre de groupe, C*-algèbres de groupe. La théorie de
Peter-Weyl pour les groupes compacts. Les groupes discrets. Groupes
commutatifs, la dualité de Pontriaguine, la transformation de Fourier.


6) La dualité pour les groupes finis et les algèbres de Hopf.
Représentations, co-représentations et mesure de Haar pour les
algèbres de Hopf. Les algèbres de Kac de dimension finie.


7) C*-algèbres de Hopf et groupes quantiques compacts au sens de
Woronowicz (éléments de la théorie).


8) Le groupe quantique SUq(2).

Bibliographie


[1] O. Bratteli, D.W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical
Mechanics 1, Springer-Verlag, Berlin, 1979.


[2] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations,
Gauthier-Villars, Paris, 1964.


[3] C. Kassel, Quantum Groups, Springer-Verlag, 1995.


[4] A. Klimyk, K. Schmüdgen, Quantum Groups and Their Representations,
Springer-Verlag, 1997.


[5] S.L. Woronowicz, Compact quantum pseudogroups, Communications in
Math. Phys. 111 (1987), 613-665.


Analyse numérique et équations fonctionnelles



Equations aux dérivées partielles

Vilmos Komornik


Résumé : L’objet de ce cours de base est de fournir des
compléments aux cours d’équations aux dérivées partielles de maîtrise de mathématiques pour préparer les participants aux deux cours
avancés sur les systèmes hyperboliques proposés au second semestre par

E. Sonnendrücker et B. Rao.

Plan du cours


1) Rappels et compléments sur les espaces de Sobolev et les distributions.


2) Théorie des semigroupes, problèmes d’évolution.


3) Compléments sur la méthode de Fourier.


4) Illustrations sur l’équation des ondes : réversibilité, conservation
d’énergie, vitesse de propagation.

Bibliographie


[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson,
Paris, 1983.


[2] I. G. Petrovsky, Lectures on Partial Differential Equations, Dover, New
York, 1991.

[3] P.-A. Raviart et J.-M. Thomas, Introduction à l’analyse numérique des
équations aux dérivées partielles, Masson, Paris, 1983.


[4] L. Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques,
Hermann, Paris, 1961.


[5] S. L. Sobolev, Partial Differential Equations of Mathematical Physics,
Dover, New York, 1989.


[6] A. N. Tikhonov, A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics,
Dover, New York, 1990.


Equations aux différences à petit pas de
discrétisation

Reinhard Schäfke


Résumé : Ces équations apparaissent d’une part par
discrétisation d’équations différentielles ordinaires, d’autre
part dans l’étude des courbes ou variétés invariantes de
difféomorphismes proches de l’identité.


Toute telle équation a comme première approximation une équation
différentielle et peut être vue comme perturbation de celle-ci. Un sujet
important est donc la comparaison des courbes invariantes correspondantes. En
particulier, l’étude perturbative de séparatrices ou d’autres orbites
homocliniques est intéressante.

Plan du cours


1) Introduction aux équations aux différences, en particulier à celles

à petit pas de discrétisation. Sources, solutions formelles et
introduction aux développements asymptotiques.


2) Solutions de l’équation y(x+1)-y(x)=f(x) sur des domaines
finis et infinis, inverses à droite de l’opérateur aux différences.


3) Solutions analytiques d’équations aux différences à petit pas sur des
domaines finis et infinis.


4) Applications à la résolution numérique d’équations
différentielles, au problème de suspension analytique d’un
difféomorphisme proche de l’identité, à la scission de séparatrices
et à la séparation de variables lentes et rapides.


5) Théorie Gevrey des solutions formelles et applications à la scission de
séparatrices. La solution du problème des isocordes.


6) Equations aux différences à petit pas singulièrement perturbées
et applications au retard à la bifurcation, cas discret, et aux canards
discrets.


7) Sommabilité et résurgence des solutions formelles, introduction (s’il
reste du temps).

Bibliographie


[1] Baesens, Gevrey series and dynamic bifurcations for analytic
slow-fast mappings
, Nonlinearity 8 (1995), 179-201.


[2] Fruchard, The sum of a function, Analysis 16 (1996), 65-88.


[3] Fruchard, Schäfke, Exponentially small splitting of separatrices
for difference equations with small step size
, J. Dynam. Control Systems
2 (1996), 193-238.


[4] Fruchard, Schäfke, Solutions analytiques complexes d’équations
aux différences à petit pas
, J. Difference equations and applications,
2001.


[5] Fruchard, Schäfke, Retard à la bifurcation des systèmes
dynamiques discrets et équations aux différences
, preprint IRMA.


[6] Ramis, Shäfke, Gevrey Separation of fast and slow variables,
Nonlinearity 9 (1996), 353-384.


[7] Hairer, Lubich, Asymptotic expansions of the global error of
fixed-stepsize methods
, Numer. Math. 45 (1984), 345-360.


[8] Kuksin, Pöschel, On the inclusion of analytic symplectic maps in
analytic hamiltonian flows and its applications, Seminar on Dynamical Systems
(St. Petersburg, 1991), 96-116, Birkhäuser, Basel, 1994.


[9] Lazutkin, Exponentially small splitting of separatrices and an analytic
integral for the semistandard map, Prépublication de l’Université de
Paris 7 (7) (1991).


[10] Nörlund, Vorlesungen über Differenzenrechnung, Chelsea, New York
(1954).


[11] Schäfke, Volkmer, Asymptotic analysis of the equichordal
problem
, J. reine Angew. Math. 425 (1992), 9-60.


Stabilisation et contrôle de systèmes hyperboliques

Bopeng Rao


Résumé : L’objet de ce cours est une introduction à la théorie
de la stabilisation et de la controlabilité exacte de systèmes
hyperboliques. Le contenu du cours est organisé sous forme rapidement
accessible pour les étudiants ayant de bonnes connaissances en analyse
fonctionnelle et en théorie des espaces de Sobolev.

Plan du cours


1) Systèmes hybrides : stabilisation et controlabilité exacte des
systèmes d’élasticité linéaire par des contrôles dynamiques et
intégrales, solutions faibles, principe d’invariance de LaSalle, méthode
des multiplicateurs, méthode hilbertienne d’unicité (HUM).


2) Systèmes non-dissipatifs et systèmes faiblement couplés : solutions
faibles, taux de décroissance de l’énergie via la théorie de base de
Riesz, analyse fréquentielle de systèmes distribués.


3) Systèmes hyperboliques semi-linéaires et quasi-linéaires :
méthodes de caractéristiques, solution globale, solution C*
semi-globale, controlabilité exacte non linéaire.

Bibliographie


[1] Li Ta-tsien, Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic
Systems, Research in Applied Mathematics, Masson/John Wiley, 1994.


[2] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de
systèmes distribués, Vol. I, Masson, Paris, 1988.


[3] Z. Liu, S. Zheng, Semigroups associated with dissipative systems, Chapman
& Hall/CRC, 1999.


[4] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial
differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.


Lois de conservation

Eric Sonnendrücker


Résumé : Les systèmes hyperboliques en général et les lois de
conservation en particulier jouent un rôle très important dans beaucoup
de problèmes physiques. On peut citer entre autres le système d’Euler de
la dynamique des gaz, les équations de la MHD ou les équations de
Maxwell. Nous allons dans ce cours donner une introduction à la théorie
mathématique des systèmes hyperboliques : résultats d’existence de
solutions faibles, non unicité des solutions faibles, solutions
entropiques. Nous allons ensuite étudier des schémas numériques
utilisés en pratique et donner des preuves de convergence. Nous nous
intéresserons plus particulièrement à la méthode des volumes finis.

Plan du cours


1) Exemples de systèmes hyperboliques et de lois de conservation.


2) Equations hyperboliques scalaires : solutions classiques, méthode de
caractéristiques, solutions faibles, solutions entropiques, conditions de
saut de Rankine-Hugoniot.


3) Systèmes hyperboliques : hyperbolicité, variables caractéristiques,
entropies, problème de Riemann.


4) Méthodes numériques : volumes finis, méthode de Godunov, méthode
de Roe, méthodes d’ordre élevé de type MUSL et ENO.

Bibliographie


[1] D. Serre, Systèmes de lois de conservation vol I et II, Diderot 1996.


[2] E. Godlewski, P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic
systems of conservation laws, Springer-Verlag, 1996.


[3] D. Kroener, Numerical Schemes for conservation laws, Wiley, Teubner 1997.


Théorie des nombres et théorie ergodique


Ensembles exceptionnels en théorie des nombres
Yann Bugeaud


Résumé : Dans ce cours, nous abordons l’aspect métrique de
plusieurs problèmes de théorie des nombres, qui, typiquement, conduisent
à des propriétés valables pour presque tout (au sens de la mesure de
Lebesgue) nombre réel. Le ``presque tout’’ est ici important, car, le plus
souvent, il existe un ensemble exceptionnel de nombres réels pour lesquels
la propriété n’est pas vérifiée. Nous étudions tout
particulièrement de tels ensembles en cherchant, d’une part, à expliciter
autant que faire se peut leurs éléments et, d’autre part, à les
mesurer. À cet effet, une notion plus fine que la mesure de Lebesgue
s’avère très utile : la dimension de Hausdorff.


Parmi les résultats que nous démontrons figure le théorème de
Jarník-Besicovitch, lequel affirme que, \lambda > 1 étant donné,
l’ensemble des nombres réels \epsilon pour lesquels il existe une infinité
de couples d’entiers (p,q) vérifiant |q \epsilon -p| < q^{1-2\lambda}

est de mesure de Lebesgue nulle, alors que sa dimension de Hausdorff est
égale à 1/\lambda. Nous examinons diverses généralisations de ce
résultat et étudions, notamment, les ensembles de nombres réels très
bien approchables par des nombres algébriques de degré borné.


Dans la seconde partie du cours, nous évoquons les nombres normaux, ainsi
que l’équirépartition modulo 1 de suites de nombres réels. Le
critère de Weyl permet de démontrer assez facilement que, pour tout
nombre réel irrationnel \epsilon, la suite (n\epsilon)_{n\geq1} est équirépartie modulo 1. De ce point de vue, cette suite est bien mieux comprise que la suite (\epsilon^n)_{n\geq1}, laquelle est équirépartie
modulo 1 pour presque tout nombre réel \epsilon>1. Outre les entiers,
l’ensemble exceptionnel contient les nombres de Pisot-Vijayaraghavan (i.e.,
les entiers algébriques supérieurs à 1 dont tous les conjugués se
trouvent dans le disque unité ouvert) et nos connaissances se limitent à

peu près à cela ! En particulier, nous ignorons si la suite ((3/2)^n)_{n\geq1} est équirépartie modulo 1, ou si 0 en est un point d’accumulation.

Bibliographie


[1] M. Drmota, R. F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications,
Lecture Notes in Mathematics 1651, Springer, 1997.


[2] K. Falconer, Fractal Geometry : Mathematical Foundations and
Applications, John Wiley & Sons, 1990.


[3] G. Harman, Metric Number Theory, LMS Monographs New Series, 18,
Clarendon Press, 1998.


[4] G. Rauzy, Propriétés statistiques de suites arithmétiques, P.U.F.,
Coll. Sup, 1976.


Théorie ergodique et approximations diophantiennes


N. Chevallier, UHA


Résumé : Lorsque x est un réel, la répartition de la suite
nx modulo 1 dans l’intervalle [0,1[, est intimement liée aux
approximations de x par des rationnels. De même, si (x_1,x_2) est un
couple de réels, la répartition de la suite (nx_1 modulo 1, nx_2 modulo 1) dans le carré [0,1[^2est liée aux approximations
simultanées de
x_1 et x_2 par des couples de rationnels qui ont le même
dénominateur. L’objectif du cours est l’étude des approximations d’un
n-uplet de réels par des n-uplets de rationnels de même
dénominateur. Le cours débutera par le cas d’un seul réel ; le
développement en fraction continue sera le principal outil. Nous ferons une
brève introduction à la théorie ergodique qui sera appliquée au
développement en fraction continue. Nous poursuivrons par les
approximations simultanées. Les théorèmes classiques sur les
approximations simultanées seront établis grâce aux résultats sur les
réseaux d’un espace vectoriel. Nous aborderons les généralisations
multidimensionnelles du développement en fraction continue. Finalement,
nous reviendrons à l’étude de la répartition des suites (nx_1 modulo 1, nx_2 modulo 1)

1, modulo 1).


Plan du cours


1) Enoncé du théorème de Birkoff, ergodicité et mélange.


2) Développement en fractions continues, approximations diophantiennes en
dimension 1.


3) Théorèmes métriques sur le développement en fraction continue.


4) Théorèmes classiques sur les approximations diophantiennes
simultanées (Dirichlet, Kronecker, Minkowski), lien avec la théorie des
réseaux. Théorèmes métriques.


5) Codage des applications, cas des rotations. Complexité, suite
sturmienne, etc.

Bibliographie


[1] P. Walters, An introduction to ergodic theory.


[2] J.W.S. Cassels, An introduction to diophantine approximation.


[3] W.M. Schmidt, Diophantine approximation, Lecture notes 785,
Springer-Verlag.


[4] V.G. Sprindzuk, Metric theory of diophantine approximations, John Wiley
& Sons.


[5] F. Schweiger, Ergodic theory of fibred systems and metric number theory,
Oxford Science Publications.


Théorie de la dimension et systèmes dynamiques

Michel Coornaert

Résumé : Le cours est consacré aux applications de la notion de
dimension en topologie. On définira succesivement la dimension au sens de
Lebesgue d’un espace topologique, la dimension de Hausdorff d’un espace
métrique et la dimension topologique moyenne d’un système dynamique
discret, et on étudiera les propriétés et les méthodes de calcul de
ces dimensions. La dimension topologique moyenne est un invariant numérique
des sytèmes dynamiques qui a été intoduit récemment par Gromov. On
montrera comment l’utilisation de cet invariant a permis à Lindenstrauss et
Weiss d’établir l’existence de systèmes minimaux qui ne sont pas
topologiquement conjugués à un sous-décalage de , ce qui
prouve que le théorème de Beboutov sur les flots minimaux ne s’étend
pas au cadre discret.

Plan du cours


1) Dimension d’un espace topologique.


2) Plongements euclidiens des espaces topologiques de dimension finie.


3) Dimension de Hausdorff et fractals.


4) Systèmes dynamiques discrets.


5) Entropie toplogique.

6) Dimension topologique moyenne.


7) Exemples de Lindenstrauss-Weiss.

Bibliographie


[1] Engelking R., Dimension theory, North-Holland Publishing Company, 1978.


[2] Lindenstrauss E., Weiss B., Mean topological dimension, Israel J.
Math. 115 (2000), 1-24.


Systèmes dynamiques mesurés
Michel Weber


Résumé : Ce cours propose d’acquérir des méthodes issues de la
théorie ergodique ou de la théorie des séries orthogonales, pour

étudier les propriétés des itérés d’un point, sous l’action d’une
transformation préservant une mesure donnée, comme par exemple le
développement en fraction continue d’un irrationnel, l’action d’une
rotation du tore, les shifts de Bernouilli ou les suites uniformément
distribuées. Les méthodes issues de la théorie ergodique sont des
outils puissants pour étudier le comportement en moyenne de la suite des
itérés. Des théorèmes profonds ancrent cette théorie. On passera en
revue successivement le théorème de von Neumann, le théorème de
Birkhoff, le théorème de domination ergodique et les outils standards qui
les accompagnent : le principe de Van der Corput, les principes de Banach et
de continuité, et quelques critères d’entropie métrique. Les outils

élaborés pour étudier la convergence presque partout des séries à
termes orthogonaux ont un champ d’application qui dépasse largement le
cadre de cette théorie. Ils se révèlent être par exemple des outils
indispensables dans l’étude de l’approximation diophantienne ou de la
discrépance, mais dans l’étude de la distribution asymptotique des
moyennes. Les méthodes que ce cours proposent d’acquérir concernent les
récentes extensions du théorème de Rademacher-Menchov, Tandori ou
Steckin ou les diverses inégalités de type Gaal-Koskma. Nous

établirons ces outils de façon très simple et dans un cadre unifié :
celui de la méthode d’entropie métrique. Nous illustrerons ce cours par
quelques applications à la théorie des sommes riemanniennes notamment, et
quelques conjectures célèbres.

Bibliographie


[1] A. Garsia, Topics in almost sure convergence, Lectures in Adv. Math.
Markham Pub. Company, 1970.


[2] U. Krengel, Ergodic Theorems, W. de Gruyter, 1989.


[3] L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform Distribution of sequences, J. Wiley,
1971


[4] K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge studies in advanced mathematics
2, 1983


[5] B.S. Kashin, A.A. Saakyan, Orthogonal Series, Translations of
Mathematical Monographs 75, American Math. Soc., 1989.

Dernière mise à jour le 2-03-2010