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Master Recherche 2005-2006

Introduction à
l’étude des systèmes dynamiques mesurés

Michel WEBER

( trimestre I )

Description du cours

Ce cours propose d’acquérir des méthodes
issues de la théorie ergodique, de l’analyse harmonique, de la
théorie des processus stochastiques ou encore de la théorie
des séries orthogonales et de la théorie spectrale,
pour étudier les propriétés des itérés
d’un point, sous l’action d’une transformation préservant une
mesure donnée, comme par exemple le développement en
fraction continue d’un irrationnel, l’action d’une rotation du tore,
les shifts de Bernouilli ou les suites uniformément
distribuées. Les méthodes issues de la théorie
ergodique permettent d’étudier efficacement le comportement en
moyenne de la suite des itérés. On passera en revue
successivement le théorème de Von Neumann, le théorème
de Birkhoff et les outils standards qui les accompagnent : le
principe de Van der Corput, les principes de Banach et de continuité,
et quelques critères d’entropie métrique. Les outils

élaborés pour étudier la convergence presque
partout des séries à termes orthogonaux ont un champ
d’application qui dépasse largement le cadre de cette théorie.
Combinés à des techniques probabilistes et des outils
d’analyse harmonique, ils révèlent notamment être
des outils efficaces dans l’étude de théorèmes
ergodiques pour des transformations à paramètre
aléatoire, ou de problèmes classiques de convergence
presque partout (sommes de Riemann, de Khintchine). On étudiera
diverses extensions du théorème de Rademacher-Menchov :
théorèmes de Tandori et Steckin et les inégalités
de type Gal-Koskma. Nous établirons ces outils de façon
simple et dans un cadre unifié : celui de la méthode
d’entropie métrique. Les sommes de Riemann ou de Khintchine,
la discrépance de suites de réels, serviront entre
autres d’illustration à ce cours.

Bibliographie

Garsia A. [1970] Topics in almost sure convergence, Lectures in Adv. Math. Markham Pub. Company.
Krengel U. [1989] Ergodic Theorems, W. de Gruyter Ed.
Kuipers L., Niederreiter, H [1971] Uniform Distribution of sequences, J. Wiley Ed.
Petersen K. [1983] Ergodic Theory , Cambridge studies in advanced mathematics 2.
Kashin B.S., Saakyan A.A. [1989] Orthogonal Series}, Translations of Mathematical Monographs 75, American Math. Soc.
Weber M. [1998] Entropie métrique et convergence presque partout, Coll. Travaux en Cours 58, Herman Paris.

Représentation de plus haut poids
des algèbre de Lie admettant une décomposition
triangulaire.

Hubert Rubenthaler

Ce cours se veut une introduction à la théorie des modules de
plus haut poids des algèbres de Lie. Cette théorie qui existe
depuis longtemps pour
les algèbres de Lie semi-simples est en plein développement par
la considération de nouvelles algèbres intéressant aussi bien
les mathématiciens
que les physiciens. Récemment Moody et Pianzola ont décrit un
formalisme, celui des algèbres de Lie ayant une décomposition
triangulaire, permettant
de développer la théorie des modules de plus haut poids de
manière unifiée (du moins jusqu’à un certain point) pour ces
algèbres. Nous adopterons ce
point de vue.

Voici un programme prévisionnel :

trimestre I :

Algèbres de Lie, algèbres enveloppantes, systèmes de racines, algèbres de Lie semi-simples, algèbres de Kac-Moody.
Représentation des algèbres de Lie.

trimestre II (cours commun avec G. Halbout) :

Algèbres de Lie à décomposition triangulaire. Exemples : algèbres d’Heisenberg, algèbres de Lie semi-simples, algèbres de Kac-Moody, algèbre de Virasoro.
Modules de plus haut poids, modules de Verma, caractères, catégorie ${\mathcal O}$ .

Si le temps le permet de nombreux développements sont
possibles, par exemple l’étude de certaines correspondances de Howe.

Bibliographie :

Moody, Pianzola : Lie Algebras with Triangular Decompositions (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, Wiley-Interscience, 1995)
Kac : infinite dimensional Lie Algebras (Cambridge University Press, third edition)
Kac, Raina : Bombay lectures on highest weight representations, World Science
Wakimoto : infinite dimensional Lie Algebras, Translations of Mathematical Monographs, AMS, volume 195, 2001.
Goodman, Wallach : representations and invariants of the classical groups, Cambridge University press 1998, Re-edition 2002 ?)

Théorie
analytique des équations différentielles ordinaires
singulièrement perturbées

A. Fruchard

(trimestre I)

Description du cours

Le but du cours est d’exposer les récentes
méthodes d’analyse complexe dans la résolution de
problèmes réels d’e.d.o. singulièrement
perturbées. Dans un premier temps nous présenterons le problème
de la résonance d’Ackerberg-O’Malley, les canards de
l’équation de van der Pol forcée et la conjecture de Wasow,
puis nous développerons les outils de perturbation singulière
complexe et d’asymptotique Gevrey qui permettent de résoudre
ces problèmes.

Plan du cours

Quelques problèmes réels de perturbation singulière
Champs lents-rapides complexes
Développements asymptotiques Gevrey et resommation de Borel-Laplace
Sommation au plus petit terme et sommabilité des solutions formelles
Application au problème de la résonance, aux canards et à la conjecture de Wasow.

Bibliographie

W. Balser, Formal power series and linear systems of meromorphic differential equations, Universitext, Springer (2000)
M. Canalis-Durand, J.-P. Ramis, R. Schäfke, Y. Sibuya, Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations, J. Reine Angew. Math. 518 (2000), 95—129.
J.-L. Callot, Champs lents-rapides complexes à une dimension lente, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 4e Série, t. 26 (1993) 149-173.
A. Fruchard, R. Schäfke, Exceptional complex solutions of the forced van der Pol equation, Funkcialaj Ekvacioj, 42, no 2 (1999).
A. Fruchard, R. Schäfke, Overstability and resonance, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 53, 1 (2003) 227-264.
C. Stenger, Points tournants de systèmes d’équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées, thèse, prépublication IRMA (1999).
W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, New York (1965).

Groupes quantiques et foncteurs de quantification Quantification des variétés de Poisson
Associateurs et valeurs spéciales de polylogarithmes

Benjamin Enriquez et Gilles Halbout

( trimestres I et II )

Description du cours

Cours Enriquez (trimestre I) :

Ce cours est une présentation de la théorie des
groupes quantiques. Il s’agit là d’une partie du programme de
la géometrie non-commutative : on s’intéresse aux
déformations des groupes de Lie dans la catégorie des
"espaces non-commutatifs". On commencera par présenter la
théorie générale de la déformation des
variétés, et on montrera comment la déformation d’un
groupe de Lie est codée dans un objet infinitésimal,
sa bigèbre de Lie. On montrera plusieurs exemples
de déformations de groupes de Lie (algèbres de
Kac-Moody), parallèlement `a leur introduction dans le cours
de H. Rubenthaler. On s’intéressera ensuite au problème
général de quantification des bigèbres de Lie. Ce
problème a été résolu en 1994 par Etingof
et Kazhdan, en utilisant des objets introduits en 1991 par Drinfeld,
les associateurs. On exposera ces deux groupes de travaux.

La théorie des associateurs a des liens étroits avec
l’étude arithmétique des MZV (valeurs spéciales
des fonctions zéta multiples), ce qui pourra faire
l’objet d’un mémoire de DEA. Le théorème
d’Etingof-Kazhdan joue aussi un role essentiel dans l’approche de
Tamarkin au théorème de formalité (exposé
au 2eme trimestre par G. Halbout).

Cours Halbout (trimestre II commun avec H. Rubenthaler) :

variétés de Poisson, star-produits
cas des variétés symplectiques (théorie de Fedosov)
théorème de formalité de Kontsevich
théorème de formalité de Tamarkin
méthodes de globalisation

Références

Cattaneo, A., Felder, G., Tomassini, L. : From local to global deformation quantization of Poisson manifolds. Duke Math. Journal 115 (2002), 329-352.
Dolgushev, V. : Covariant and Equivariant Formality Theorems. Adv. Math. 191 (2005), 147-177.
Fedosov, B. : Deformation Quantization and Index Theory. Akademie Verlag, Berlin, 1996
Kontsevich, M. : Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys. 66 (2003), no. 3, 157—216.
Tamarkin, D. : Another proof of M. Kontsevich formality theorem, Preprint math.QA/9803025 (1998).

Systèmes
dynamiques topologiques et mesurés

Nicolas Chevallier,

( trimestre II )

Description du cours

Soit X un ensemble et f une application de X dans X.
Suivant la structure de l’ensemble X, l’étude des itérés
de f peut faire appel à la topologie, à la théorie
de la mesure ou simultanément aux deux. Le point de vue de la
théorie de la mesure sera développé dans le
cours de Michel Weber. Nous nous concentrerons sur les propriétés
topologiques et sur les liens avec les propriétés
statistiques de la suite des itérés de f :

transitivité, minimalité,entropie topologique...,
mesures invariantes, ergodicité, mélange, comportement de moyennes, entropie mesurée....

Le cours sera basé sur de nombreux exemples : rotations sur
le cercle, doublement de l’angle, transformations dilatantes,
décalages, substitutions, automorphismes linéaires du
tore.

Bibliographie

An Introduction to Infinite Ergodic Theory Jonathan S. B. AARONSON, American Mathematical Society, 1997
Introduction to the modern theory of dynamical systems, A. KATOK & B. HASSELBLATT, Cambridge University Press, 1995
An introduction to ergodic theory, P. WALTERS, Springer 1981
Ergodic theory, K. PETERSEN, Cambridge University Press, 1983

Géométrie riemannienne,
analyse sur les variétés métriques
d’Einstein

Olivier Biquard

(trimestres I et II)

Description du cours

bases de géométrie riemannienne
opérateurs elliptiques sur les variétés
métriques d’Einstein et leurs espaces de modules
théorèmes de compacité
construction de métriques d’Einstein par chirurgie de Dehn

Modélisation et simulation
numérique de faisceaux de particules chargées.

Éric SONNENDRÜCKER

(trimestre II)

Description du cours

Les accélérateurs de particules sont
actuellement utilises dans de nombreuses applications allant de la
recherche en fusion nucléaire jusqu’au traitement de tumeurs
cancéreuses. La conception de tels accélérateurs
est complexe et est basée fortement sur la simulation
numérique L’objectif de ce cours est de d’introduire les
connaissances nécessaires pour développer des outils de
simulation. Dans ce but nous dériverons les modèles
spécifiques utilises pour les faisceaux de particules a partir
de l’équation de Vlasov, étudierons les propriétés
mathématiques de l’équation de Vlasov et les méthodes
numériques pour résoudre les approches obtenus.

Bibliographie

[1] Davidson - Qin : Physics of intense charged particle beams in high energy accelerators
[2] Glassey : The Cauchy problem in kinetic theory

Introduction au
calcul stochastique

J. FRANCHI

(trimestre I)

But : Introduire à l’intégration stochastique
par rapport à une semi-martingale continue et au calcul d’Itô.
L’accent sera mis sur les aspects analytiques et géométriques
du mouvement brownien.

Prérequis : Un cours de base
sur les probabilités, de niveau maîtrise.

Contenu résumé :

Rappels et compléments : Intégrabilité
uniforme, espérance conditionnelle, intégrale de
Stieltjes, variables gaussiennes, les théorèmes de
classe monotone et de Prokhorov.
Martingales : Définitions, théorème d’arrêt, inégalités de Doob, théorème de convergence.
) Mouvement brownien réel : Théorème de Donsker, mesure de Wiener, temps d’atteinte, propriétés trajectorielles et autres.
Intégration stochastique : Variation quadratique, martingales locales, semimartingales, intégrale d’Itô.
Calcul stochastique élémentaire : Formule d’Itô, inégalités de B-D-G, une autre construction du brownien ; un exemple financier : la formule de Black-Scholes.
Mouvement brownien de $\, I\!\! R^d$ : définition, caractérisation, changement de temps, représentation des martingales, quelques propriétés du brownien plan ; lien du brownien avec les fonctions harmoniques.
Équations différentielles stochastiques, diffusions, générateurs : É. D. S., diffusions et générateurs, changement d’échelle et de vitesse en dimension 1, exemples de diffusions (Ornstein-Uhlenbeck, pont brownien, processus de Bessel).

Bibliographie

En premier lieu :
D. Revuz, M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion (chapîtres I à IV). Springer 1991,1994,1999.
2 autres références :
O. Kallenberg : Foundations of Modern Probability (chapîtres 5, 6, 11, 15, 16, 20, (21)). Springer 1997.
D. Williams : Probability with Martingales. Cambridge university press 1991.

Théorie asymptotique d’estimation paramétrique

Leonid GALTCHOUK

<P ALIGN=CENTER(trimestre II)

Plan du cours

Concepts de base de la théorie de l’estimation : exhaustivité, minimamité, complétude ; estimateurs de risque minimal, estimateurs bayésiens ; Inégalité de Cramer-Rao, Inégalité de van Tree ;
Propriétés asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance : normalité asymptotique, optimalité.
Modèles localement asymptotiquement normaux (LAN), théorême de Hajek.
Estimateurs asymptotiquement optimaux.

Bibliographie

R.Iasnogorodski, H.Lhéritier (2003) "Théorie de l’estimation ponctuelle paramétrique." EDP Sciences, Les Ulis.
I.Ibragimov, R. Hasminskii (1981) "Statistical estimation. Asymptotical theory." Springer, New York.
L. Le Cam, G. Yang (1990) "Asymptotic in statistics. Some basic consepts." Serie in Statistics, Springer, New York.

Équirépartition modulo 1
et nombres algébriques

Yann BUGEAUD

(trimestre I)

Pour presque tout (au sens de la mesure de Lebesgue) nombre réel $\xi$ , les suites $U(\xi) = (\xi (3/2)^n)_{n \ge 0}$

et $V(\xi) = (\xi \, 10^n)_{n \ge 0}$

sont équiréparties modulo 1, mais qu’en est-il de
et de $V(\sqrt{2})$ ? Tout bloc (fini) de chiffres apparaît-il dans l’écriture
décimale de $\sqrt{2}$ ? Quoique ces questions demeurent très loin d’être
résolues, des progrès significatifs ont été
effectués récemment [1,2].

Le début du cours sera consacré aux résultats
métriques d’équirépartition modulo 1 des suites
$W(\xi, \alpha) = (\xi \alpha^n)_{n \ge 0}$

obtenus notamment par Weyl et Koksma. Puis nous nous intéresserons aux paires $(\xi, \alpha)$ pour lesquelles $W(\xi, \alpha)$
n’est pas équirépartie modulo 1. Nous montrerons, entre
autres, que l’ensemble des nombres réels $\xi$
pour lesquels $V(\xi)$ n’est pas équirépartie modulo 1 est de dimension de
Hausdorff égale à 1. Nous évoquerons également les nombres de Pisot, qui sont les seuls exemples explicites connus
de nombres réels $\alpha > 1$ pour lesquels $\alpha^n$
ne possède qu’un nombre fini de points adhérents modulo
1.

Nous terminerons le cours en énonçant et démontrant
les principaux résultats de [1,2]. Notant
$\{x\}$ la partie fractionnaire du nombre réel
nous établirons en particulier que l’on a (voir [2])

$\limsup_{n \to + \infty} \, \{ \xi \alpha^n\} - \liminf_{n \to + \infty} \, \{ \xi \alpha^n\} \ge {1 \over L(\alpha)}$

pour tout réel $\xi > 0$ et tout nombre algébrique $\alpha > 1$
qui n’est ni de Pisot, ni de Salem. Ici, $L(\alpha)$
désigne la somme des valeurs absolues des coefficients du
polynôme minimal de $\alpha$ sur ${\bf Z}$ .
Enfin, nous montrerons, en suivant [1], que la suite des décimales
$\sqrt{2}$
n’est pas une suite "trop simple".

Le cours ne demande aucune connaissance préalable
particulière. Il s’appuiera en partie sur certains chapitres
des ouvrages [3,4].

B. Adamczewski and Y. Bugeaud, On the complexity of algebraic numbers. Soumis.
A. Dubickas, Arithmetical properties of powers of algebraic numbers, Bull. London Math. Soc. À paraître.
G. Harman, Metric Number Theory, Oxford, 1998.
G. Rauzy, Propriétés statistiques de suites arithmétiques, P. U. F., 1976.

Dernière mise à jour le 2-03-2010

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