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Introduction à
l’étude des systèmes dynamiques mesurés
Michel WEBER
( trimestre I )
Description du cours
Ce cours propose d’acquérir des méthodes
issues de la théorie ergodique, de l’analyse harmonique, de la
théorie des processus stochastiques ou encore de la théorie
des séries orthogonales et de la théorie spectrale,
pour étudier les propriétés des itérés
d’un point, sous l’action d’une transformation préservant une
mesure donnée, comme par exemple le développement en
fraction continue d’un irrationnel, l’action d’une rotation du tore,
les shifts de Bernouilli ou les suites uniformément
distribuées. Les méthodes issues de la théorie
ergodique permettent d’étudier efficacement le comportement en
moyenne de la suite des itérés. On passera en revue
successivement le théorème de Von Neumann, le théorème
de Birkhoff et les outils standards qui les accompagnent : le
principe de Van der Corput, les principes de Banach et de continuité,
et quelques critères d’entropie métrique. Les outils
élaborés pour étudier la convergence presque
partout des séries à termes orthogonaux ont un champ
d’application qui dépasse largement le cadre de cette théorie.
Combinés à des techniques probabilistes et des outils
d’analyse harmonique, ils révèlent notamment être
des outils efficaces dans l’étude de théorèmes
ergodiques pour des transformations à paramètre
aléatoire, ou de problèmes classiques de convergence
presque partout (sommes de Riemann, de Khintchine). On étudiera
diverses extensions du théorème de Rademacher-Menchov :
théorèmes de Tandori et Steckin et les inégalités
de type Gal-Koskma. Nous établirons ces outils de façon
simple et dans un cadre unifié : celui de la méthode
d’entropie métrique. Les sommes de Riemann ou de Khintchine,
la discrépance de suites de réels, serviront entre
autres d’illustration à ce cours.
Bibliographie
Représentation de plus haut poids
des algèbre de Lie admettant une décomposition
triangulaire.
Hubert Rubenthaler
Ce cours se veut une introduction à la théorie des modules de
plus haut poids des algèbres de Lie. Cette théorie qui existe
depuis longtemps pour
les algèbres de Lie semi-simples est en plein développement par
la considération de nouvelles algèbres intéressant aussi bien
les mathématiciens
que les physiciens. Récemment Moody et Pianzola ont décrit un
formalisme, celui des algèbres de Lie ayant une décomposition
triangulaire, permettant
de développer la théorie des modules de plus haut poids de
manière unifiée (du moins jusqu’à un certain point) pour ces
algèbres. Nous adopterons ce
point de vue.
Voici un programme prévisionnel :
trimestre I :
trimestre II (cours commun avec G. Halbout) :
Si le temps le permet de nombreux développements sont
possibles, par exemple l’étude de certaines correspondances de Howe.
Bibliographie :
Théorie
analytique des équations différentielles ordinaires
singulièrement perturbées
A. Fruchard
(trimestre I)
Description du cours
Le but du cours est d’exposer les récentes
méthodes d’analyse complexe dans la résolution de
problèmes réels d’e.d.o. singulièrement
perturbées. Dans un premier temps nous présenterons le problème
de la résonance d’Ackerberg-O’Malley, les canards de
l’équation de van der Pol forcée et la conjecture de Wasow,
puis nous développerons les outils de perturbation singulière
complexe et d’asymptotique Gevrey qui permettent de résoudre
ces problèmes.
Plan du cours
Bibliographie
Groupes quantiques et foncteurs de quantification Quantification des variétés de Poisson
Associateurs et valeurs spéciales de polylogarithmes
Benjamin Enriquez et Gilles Halbout
( trimestres I et II )
Description du cours
Cours Enriquez (trimestre I) :
Ce cours est une présentation de la théorie des
groupes quantiques. Il s’agit là d’une partie du programme de
la géometrie non-commutative : on s’intéresse aux
déformations des groupes de Lie dans la catégorie des
"espaces non-commutatifs". On commencera par présenter la
théorie générale de la déformation des
variétés, et on montrera comment la déformation d’un
groupe de Lie est codée dans un objet infinitésimal,
sa bigèbre de Lie. On montrera plusieurs exemples
de déformations de groupes de Lie (algèbres de
Kac-Moody), parallèlement `a leur introduction dans le cours
de H. Rubenthaler. On s’intéressera ensuite au problème
général de quantification des bigèbres de Lie. Ce
problème a été résolu en 1994 par Etingof
et Kazhdan, en utilisant des objets introduits en 1991 par Drinfeld,
les associateurs. On exposera ces deux groupes de travaux.
La théorie des associateurs a des liens étroits avec
l’étude arithmétique des MZV (valeurs spéciales
des fonctions zéta multiples), ce qui pourra faire
l’objet d’un mémoire de DEA. Le théorème
d’Etingof-Kazhdan joue aussi un role essentiel dans l’approche de
Tamarkin au théorème de formalité (exposé
au 2eme trimestre par G. Halbout).
Cours Halbout (trimestre II commun avec H. Rubenthaler) :
Références
Systèmes
dynamiques topologiques et mesurés
Nicolas Chevallier,
( trimestre II )
Description du cours
Soit X un ensemble et f une application de X dans X.
Suivant la structure de l’ensemble X, l’étude des itérés
de f peut faire appel à la topologie, à la théorie
de la mesure ou simultanément aux deux. Le point de vue de la
théorie de la mesure sera développé dans le
cours de Michel Weber. Nous nous concentrerons sur les propriétés
topologiques et sur les liens avec les propriétés
statistiques de la suite des itérés de f :
Le cours sera basé sur de nombreux exemples : rotations sur
le cercle, doublement de l’angle, transformations dilatantes,
décalages, substitutions, automorphismes linéaires du
tore.
Bibliographie
Géométrie riemannienne,
analyse sur les variétés métriques
d’Einstein
(trimestres I et II)
Description du cours
construction de métriques d’Einstein par chirurgie de Dehn
Modélisation et simulation
numérique de faisceaux de particules chargées.
Éric SONNENDRÜCKER
(trimestre II)
Description du cours
Les accélérateurs de particules sont
actuellement utilises dans de nombreuses applications allant de la
recherche en fusion nucléaire jusqu’au traitement de tumeurs
cancéreuses. La conception de tels accélérateurs
est complexe et est basée fortement sur la simulation
numérique L’objectif de ce cours est de d’introduire les
connaissances nécessaires pour développer des outils de
simulation. Dans ce but nous dériverons les modèles
spécifiques utilises pour les faisceaux de particules a partir
de l’équation de Vlasov, étudierons les propriétés
mathématiques de l’équation de Vlasov et les méthodes
numériques pour résoudre les approches obtenus.
Bibliographie
Introduction au
calcul stochastique
J. FRANCHI
(trimestre I)
But : Introduire à l’intégration stochastique
par rapport à une semi-martingale continue et au calcul d’Itô.
L’accent sera mis sur les aspects analytiques et géométriques
du mouvement brownien.
Prérequis : Un cours de base
sur les probabilités, de niveau maîtrise.
Contenu résumé :
uniforme, espérance conditionnelle, intégrale de
Stieltjes, variables gaussiennes, les théorèmes de
classe monotone et de Prokhorov.
Bibliographie
Théorie asymptotique d’estimation paramétrique
Leonid GALTCHOUK
<P ALIGN=CENTER(trimestre II)
Plan du cours
Bibliographie
Équirépartition modulo 1
et nombres algébriques
Yann BUGEAUD
(trimestre I)
Pour presque tout (au sens de la mesure de Lebesgue) nombre réel , les suites
et
sont équiréparties modulo 1, mais qu’en est-il de
et de
? Tout bloc (fini) de chiffres apparaît-il dans l’écriture
décimale de ? Quoique ces questions demeurent très loin d’être
résolues, des progrès significatifs ont été
effectués récemment [1,2].
Le début du cours sera consacré aux résultats
métriques d’équirépartition modulo 1 des suites
obtenus notamment par Weyl et Koksma. Puis nous nous intéresserons aux paires pour lesquelles
n’est pas équirépartie modulo 1. Nous montrerons, entre
autres, que l’ensemble des nombres réels
pour lesquels n’est pas équirépartie modulo 1 est de dimension de
Hausdorff égale à 1. Nous évoquerons également les nombres de Pisot, qui sont les seuls exemples explicites connus
de nombres réels pour lesquels
ne possède qu’un nombre fini de points adhérents modulo
1.
Nous terminerons le cours en énonçant et démontrant
les principaux résultats de [1,2]. Notant
la partie fractionnaire du nombre réel
nous établirons en particulier que l’on a (voir [2])
pour tout réel et tout nombre algébrique
qui n’est ni de Pisot, ni de Salem. Ici,
désigne la somme des valeurs absolues des coefficients du
polynôme minimal de sur
.
Enfin, nous montrerons, en suivant [1], que la suite des décimales
n’est pas une suite "trop simple".
Le cours ne demande aucune connaissance préalable
particulière. Il s’appuiera en partie sur certains chapitres
des ouvrages [3,4].
Dernière mise à jour le 2-03-2010
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