Partenaires

Logo IRMA
Logo CNRS
Logo UDS


Rechercher

Sur ce site

 
 IRMA, UMR 7501
 7 rue René-Descartes
 67084 Strasbourg Cedex
 Tél. 33 (0)3 68 85 01 29
 Fax. 33 (0)3 68 85 03 28

Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Master Recherche 2007-2008

Master Recherche 2007-2008

Présentation du programme :

Les cours indiqués par dans la liste ci-dessous sont les cours fondamentaux, donc accompagnés par un groupe de travail.

Cycle mathématiques pures : interactions entre algèbre et géométrie

Géométrie algébrique

Cette formation propose un cours fondamental d’introduction à la géométrie algébrique et trois cours plus spécialisés consacrés respectivement à la géométrie algébrique sur un corps fini, réel et non-archimédien (géométrie tropicale).

O. Debarre : "Introduction à la géométrie algébrique".

C. Noot-Huyghe : "Points rationnels d’une courbe hyperelliptique sur un corps fini".

V. Kharlamov : "Techniques de la géométrie algébrique réelle".

I. Itenberg : "Aspects énumératifs des géométries réelle et tropicale".

Géométrie et théorie des groupes

Cette formation propose deux cours fondamentaux et deux cours spécialisés. L’objet principal des deux cours fondamentaux sera l’étude de certaines structures géométriques sur les surfaces. Dans les deux cours spécialisés, on étudiera ces structures géométriques à travers l’espace des représentations du groupe fondamental de la surface dans des groupes de Lie.

M. Coornaert et A. Papadopoulos : "Structures hyperboliques et structures de Finsler sur les surfaces".

P. Foulon : "Géométrie de Riemann et de Hilbert des surfaces compactes".

V. Fock : "Espaces de Teichmuller et la géométrie de Poisson".

M. Burger (ETH, Zurich) : "Introduction à la cohomologie bornée et applications à l’étude des structures géométriques sur les surfaces".

A ces deux groupes de cours coordonnés s’ajoute le cours suivant :

N. Makhlouff (UHA, Mulhouse) : "Déformations de structures algébriques".

Cycle mathématiques appliquées : interactions entre analyse numérique et équations aux dérivées partielles

Analyse numérique et modélisation

Cette formation comporte deux cours fondamentaux en commun avec le Master "Calcul Scientifique et Visualisation" et deux cours spécialisés.
Les cours fondamentaux auront pour objectif de présenter les principales méthodes numériques utilisées pour les équations hyperboliques non linéaires et les équations de Maxwell.
Les cours spécialisés sont plus spécifiquement orientés vers la modélisation et la simulation numérique de plasmas, avec un intérêt particulier pour la fusion thermonucléaire.

B. Rao : "Théorie et approximation des systèmes de lois de conservation".

S. Salmon : "Méthodes numériques en électromagnétisme".

P. Helluy : "Modèles fluides pour la fusion".

E. Sonnendrücker : "Modèles cinétiques pour la fusion".

A ce groupe de cours coordonnés s’ajoute le cours suivant :

B. Brighi (UHA, Mulhouse) : "Symétries des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles".

Une semaine spéciale s’est tenue également, du 28 avril au 3 mai, sur le thème : Géométrie et théorie des groupes.

Programme détaillé :

Techniques de la géométrie algébrique réelle (Viatcheslav Kharlamov)

Le but du cours est d’introduire des méthodes contemporaines
d’étude d’objets réels à l’aide de techniques de géométrie
algébrique (théorèmes de Bezout et de Riemann-Roch), de topologie
(théories de Morse et de Lefschetz, cohomologie équivariante) et
d’analyse complexe (théorie de Hodge, périodes d’intégrales,
convexité logarithmique). L’accent sera mis sur l’étude de courbes
et de surfaces (en particulier, dans des variétés toriques). On
parlera aussi du patchwork de variétés algébriques réelles qui est
a l’origine de la géométrie tropicale (l’objet du cours de
I. Itenberg "Aspects énumératifs des géométries réelle et
tropicale") et de la recherche des bornes sur des nombres de Betti
des variétés algébriques réelles et complexes.

Bibliographie :

- Degtyarev, A. I. ; Kharlamov, V. M. Topological properties of real
algebraic varieties : Rokhlin’s way. Russian Math. Surveys 55
(2000), no. 4, 735—814
- Degtyarev, A. ; Itenberg, I. ; Kharlamov, V. Real Enriques surfaces.
Lecture Notes in Mathematics, 1746. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
xvi+259 pp.

- Viro, Oleg Dequantization of real algebraic geometry on
logarithmic paper. European Congress of Mathematics, Vol. I
(Barcelona, 2000), 135—146, Progr. Math., 201, Birkhäuser,
Basel, 2001.
- Kalinin, I. O. On the cohomology of real algebraic varieties.
(Russian) Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst.
Steklov. (POMI) 299 (2003), Geom. i Topol. 8, 112—151,
328—329 ; translation in J. Math. Sci. (N. Y.) 131 (2005), no.
1, 5323—5344
- Laszlo, Yves ; Viterbo, Claude Estimates of characteristic numbers
of real algebraic varieties. Topology 45 (2006), no. 2,
261—280.

Déformations de structures algébriques (Nacer Makhlouf, UHA)

La théorie la plus populaire des déformations de structures
algébriques est celle introduite par Gestenhaber pour les algèbres
associatives puis généralisée à d’autres structures par la suite, le
corps de base étant remplacé par l’anneau des séries formelles sur ce
corps. Cette théorie établit un lien étroit entre les déformations de
l’algèbre et sa cohomologie. L’intérêt pour les déformations a été
relancé par la découverte des groupes quantiques. Dans ce cours, on
présente d’abord un rappel d’algèbre homologique et la théorie des
déformations formelles. Ensuite, on considère sa généralisation au cas
où l’anneau des séries formelles est remplacé par une algèbre
commutative quelconque. Cette approche a été développé par Laudal et
Fialowski et ses collaborateurs. Elle permet de caractériser, dans
certains cas, les déformations universelles ou verselles, celles qui
engendrent toutes les autres.

Bibliographie :

- Guichardet, groupus quantiques
- Kassel, quantum groups, Springer
- Gerstenhaber, série d’articles dans Annals of math 1963, 64,66, 90.
- Laudal, Formal Moduli of algebraic structures LNM 754
- Fialowski et Fuchs, Miniversal deformations
- Keller et al. Déformations, quantification et théorie de Lie, EDP

Symétries des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles (Bernard Brighi, UHA)

On montrera sur de nombreux exemples, comment les symétries
des équations différentielles ordinaires permettent d’en étudier les
solutions et leur comportement asymptotique, et comment les symétries
des équations dérivées partielles permettent d’en obtenir des solutions
particulières dites solutions similaires (obtenues comme solutions
d’équations différentielles ordinaires).

Bibliographie :

- G.I. Barenblatt, Scaling, self-similarity and intermediate
asymptotics, Cambridge University Press 1994.
- L. Dresner, Applications of Lie’s Theory of ordinary and partial
differential equations, 1999.

Aspects énumératifs des géométries réelle et tropicale (Ilia Itenberg)

Le but du cours est de faire une introduction
à la géométrie tropicale, présenter le développement récent de la
géométrie tropicale énumérative, et discuter plusieurs applications de la
géométrie tropicale en géométrie énumérative réelle et complexe.

La géométrie tropicale est un domaine relativement nouveau de mathématiques
qui a connu un progrès spectaculaire durant les six dernières années.
Elle a des liens multiples et profonds avec des nombreuses branches
de mathématiques.
On peut citer, par exemple, la géométrie algébrique,
la géométrie symplectique, l’analyse complexe,
les systèmes dynamiques, la logique, la combinatoire, le calcul formel
et les modèles statistiques. Des objets tropicaux apparaissent aussi dans
la crystallographie et la biologie quantitative.

Une relation importante entre le monde algébrique complexe et le monde
tropical est donnée par le théorème de correspondance de G. Mikhalkin.
Ce théorème et la découverte faite par J.-Y. Welschinger d’un analogue réel
d’invariants de Gromov-Witten produisent des
nouveaux résultats concernant le dénombrement de courbes
rationnelles réelles.

Dans le cours, l’accent sera mis sur l’étude des invariants de Welschinger,
leur interprétation tropicale, leur calcul et leur comparaison avec
les invariants de Gromov-Witten.

Bibliographie :

- A. Gathmann et H. Markwig, The numbers of tropical plane curves
through points in general position,
J. reine angew. Math. 602 (2007), 155—177.
- I. Itenberg, V. Kharlamov et E. Shustin, Welschinger invariant and
enumeration of real rational curves. International Math. Research
Notices 49 (2003), 2639—2653.
- I. Itenberg, G. Mikhalkin et E. Shustin, Tropical algebraic geometry,
Oberwolfach Seminars, Volume 35, Birkhäuser, 2007.
- G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in R^2.
J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), 313—377.
- E. Shustin, A tropical approach to enumerative geometry.
Algebra i Analiz 17 (2005), no. 2, 170—214.
- J.-Y. Welschinger, Invariants of real symplectic 4-manifolds and
lower bounds in real enumerative geometry. Invent. Math. 162
(2005), no. 1, 195—234.

Points rationnels d’une courbe hyperelliptique sur un corps fini (Christine Noot-Huyghe)

Soit p un nombre premier, P_1,\ldots,P_n un système d’équations polynomiales (P_s\in \mathbb{F}_p[T_1,\ldots,T_r]). Un problème classique en géométrie arithmétique consiste à estimer le
nombre n(i) de solutions de ce système à valeurs dans \mathbb{F}_{p^i}.
Nous expliquerons dans ce cours comment aborder cette question avec des méthodes de géométrie algébrique. Aux équations polynomiales comme précédemment, on peut associer une variété algébrique X sur \mathbb{F}_p. On introduit alors la fonction Zêta de Weil de la variété

Z(X,t)=exp\left(\sum_{i=1}^{+\inft}\frac{n(i)}{i}t^i\right).

On sait, depuis les années 60, grâce au travail de Dwork, que cette série entière est une fonction rationnelle en t.

Le calcul de la fonction Zêta d’une variété sur un corps fini est intéressante dans d’autres domaines des mathématiques : ce calcul a des applications à la fois en théorie des codes et en théorie des nombres, et certaines méthodes récentes de cryptographie
reposent de façon essentielle sur la connaissance de la fonction Zêta de courbes particulières : les courbes elliptiques.
L’objet de ce cours est d’expliquer comment calculer la fonction Zêta d’une courbe hyperelliptique d’équation y^2=Q(x) (dont les courbes elliptiques sont un cas particulier), en utilisant un résultat récent de Kedlaya datant de 2001. Les techniques en jeu sont fondamentales en géométrie arithmétique et ce cours sera l’occasion de les introduire, tout en en donnant une illustration intéressante. De façon plus détaillée, la méthode de Kedlaya consiste à utiliser une interprétation géométrique “p-adique” de la fonction Zêta, fournie par la formule des traces de Lefschetz. Remarquablement, le calcul de Kedlaya est tout à fait explicite et fournit un algorithme polynomial en le genre de la courbe, ce qui est important pour les éventuelles applications en cryptographie.
Explicitons maintenant les objets arithmétiques et géométriques utilisés par Kedlaya.

Pour une variété X sur \mathbb{F}_p, on dispose d’un endomorphisme privilégié, le Frobenius, et de la formule des traces de Lefschetz pour cet endomorphisme, qui exprime Z(X,t) en fonction du déterminant du Frobenius agissant sur certains groupes de cohomologie associés X. Ces groupes sont des \mathbb{Q}_p-espaces vectoriels de dimension finie où \mathbb{Q}_p est le complété de \mathbb{Q} pour la valuation p-adique, qui se calculent comme groupes de cohomologie d’un complexe de formes diérentielles p-adiques (une variante p-adique d’un complexe de de Rham).

Le cours consistera à introduire les objets permettant de comprendre ce résultat.

Nous commencerons par une introduction à la théorie des schémas (classiques et faiblement formels). Nous aborderons la lissité dans ce cadre. Nous introduirons quelques méthodes p-adiques de base et enfin expliquerons comment on peut définir une variante p-adique de la cohomologie de Rham pour des variétés affines et lisses sur \mathbb{F}_p. On donnera alors la formule des traces de Lefschetz pour le Frobenius (avec démonstration selon le temps qui reste). Pour suivre ce cours, il sera nécessaire d’avoir suivi le cours de O. Debarre “Introduction à la géométrie algébrique”. On s’attachera, quand c’est possible, à comparer la situation avec le cas des variétés algébriques complexes. En particulier, on rappellera la définition de la cohomologie de de Rham dans le cas complexe.

Plan du cours

Les objets géométriques
- Espaces annelés.
- Introduction aux schémas. Endomorphisme de Frobenius d’un schéma sur un corps fini.
- Introduction aux schémas faiblement formels de Meredith.
- Théorèmes d’annulation de la cohomologie des faisceaux cohérents pour les schémas affines faiblement formels.
- Lissité : le cas des courbes.
- Exemples. Rappels sur les courbes. Lien avec les variétés algébriques complexes.

Prérequis p-adiques
- Les nombres p-adiques, sorites (lemme de Hensel).
- Théorème de relèvement d’Elkik (admis).
- Révisions d’analyse fonctionnelle sur les espaces de Banach p-adiques. Problèmes
de convergence.

Calcul de Kedlaya
- Cohomologie de de Rham. Le cas complexe.
- Cohomologie de Monsky-Washnitzer d’un schéma faiblement formel affine et lisse sur l’anneau des entiers p-adiques.
- La formule des traces de Lefschetz en cohomologie de Monsky-Washnitzer. Application au calcul de la fonction Zêta d’une variété affine et lisse sur un corps fini.
- Cas particulier des courbes hyperelliptiques.

Bibliographie :

- Yvette Amice. Les nombres p-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975. Préface de Ch. Pisot, Collection SUP : Le Mathématicien, No. 14.
- Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.
- Kiran S. Kedlaya. Counting points on hyperelliptic curves using Monsky-Washnitzer cohomology. J. Ramanujan Math. Soc., 16(4) :323-338, 2001.
- D. Meredith. Weak formal schemes. Nagoya Math. J., 45, p. 1-38, 1971.
- P. Monsky and G. Washnitzer. Formal cohomology. I. Ann. of Math. (2), 88 :181-217, 1968.

Introduction à la géométrie algébrique (Olivier Debarre)

Etant donnés un corps K et des polynômes en n variables à coefficients dans K, on étudie le lieu de leurs zéros communs dans Kn, ce que l’on appelle une variété affine. On peut aussi travailler dans l’espace projectif, avec des polynômes homogènes les objets obtenus sont appelés variétés projectives. La géométrie algébrique est l’étude de ces variétés.

On présentera dans ce cours les outils et techniques de base de la
géométrie algébrique classique sur un corps K algébriquement clos, le but étant d’abord de donner une idée de ce qu’est la théorie, des objets étudiés, des questions que l’on se pose et des réponses que l’on peut y apporter.

Le plan sera grosso modo le suivant :

Introduction

Variétés affines

- Sous-variétés affines
- Idéal d’une sous-variété affine
- Irréductibilité
- Le Nullstellensatz
- Applications régulières
- Exercices

Variétés projectives

- L’espace projectif
- Variétés projectives
- Idéal d’une variété projective
- Le Nullstellensatz projectif
- Applications régulières
- Applications rationnelles
- Produits de variétés
- Eclatements
- Image d’une application régulière

Dimension

- Définition de la dimension
- Dimension des variétés algébriques
- Dimension et nombre d’équations
- Applications génériquement finies
- Applications régulières et dimension
- Cas des applications fermées
- Applications
- Applications finies

Points et applications régulières lisses
- Espace tangent de Zariski
- Points lisses et points singuliers
- Le théorème principal de Zariski
- Application tangente
- Théorèmes de Bertini

Diviseurs sur une variété algébrique

- Fibrés en droites
- Diviseurs

Faisceaux cohérents et cohomologie

- Faisceaux
- Cohomologie des faisceaux
- Faisceaux cohérents
- Cohomologie des faisceaux cohérents sur une variété projective
- Faisceaux inversibles amples et très amples

Nombres d’intersection

- Définition
- Cône des courbes
- Caractérisation des faisceaux amples par leurs nombres d’intersection

Caractérisations numériques des faisceaux inversibles nefs et amples

- Faisceaux inversibles nefs
- Etre nef est une propriété numérique
- Une caractérisation numérique de l’amplitude
- Une forme faible du théorème de Riemann-Roch

Bibliographie

- J. Harris, Algebraic Geometry, A First Course, Graduate Text in
Mathematics 133, Springer Verlag, 1992.

- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics
52, Springer Verlag, 1977.

- D. Mumford, Algebraic Geometry I, Complex Projective
Varieties, 2ème édition, Classics in Mathematics, Springer Verlag,
Berlin, 1995.

- D. Perrin, Géométrie Algébrique, Une introduction, Savoirs
Actuels, Interéditions-CNRS Editions, Paris, 1995.

- M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc.
Student Texts 12, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

- I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I, 2ème
édition, Springer Verlag, Berlin, 1994.

Espaces de Teichmüller et géométrie de Poisson (Vladimir Fock)

Cours coordonné avec ceux de Papadopoulos, Foulon, Coornaert et Burger.

Le sujet du cours est la structure de Poisson, avec comme exemples principaux l’espace de Teichmüller d’une surface et l’espace des structures projectives réelles.

Plan du cours
 :

- Structure symplectique
- Equations de Hamilton
- Théorème de Darboux
- Structure de Poisson
- Crochet de Schouten
- Applications de Poisson
- Feuilles symplectiques
- Fonctions de Casimir
- Fonction génératrice d’un symplectomorphisme
- Equations de Hamilton-Jacobi
- Structure de Poisson de Weil-Petersson sur l’espace de Teichmüller
- Algèbre de Poisson des lacets sur une surface de Riemann
- Coordonnées canoniques
- Action du groupe modulaire ( groupe des classes de diffeomorphismes)
- Crochet canonique sur l’espace des structures projectives réelles
- Coordonnées canoniques
- Dilogarithme
- Introduction à la quantification des structure de Poisson
- Dilogarithme quantique.

Bibliographie :

- V. I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, (Graduate texts in
mathematics) Springer-Verlag.
- B. A. Dubrovin, S. P. Novikov & A. T. Fomenko, Modern Geometry - Methods and
Applications. Springer-Verlag.
- V. V. Fock & A. B. Goncharov, Dual Teichmuller and lamination spaces, Handbook
of Teichmüller theory, European Mathematical Society, 2007.
- V. V. Fock, A. B. Goncharov, Moduli spaces of convex real projective structures
on surfaces., Adv. Math. in press.
- L. O. Chekhov & V. V. Fock, Quantum Teichmüller space, Teor.Mat.Fiz. 120 (1999) 3, 511.

Introduction à la cohomologie bornée et applications à l’étude des structures géométriques sur les surfaces (Marc Burger, ETH Zurich)

Le but premier de ce cours est de se familiariser avec les concepts de bases de la cohomologie continue bornee des groupes localement compacts telle qu’elle a ete developpee dans (1) et exposee dans (2). Un role fondamental revient a la theorie des actions moyennables de Zimmer (3, chap.4) dont les elements seront egalement traites.

On passera ensuite a l’etude des proprietes geometriques elementaires des espaces hermitiens symmetriques et on exposera le role particulier joue par la classe de cohomologie bornee de leur groupes d’isometries deduite de la structure de Kaehler. Une introduction tres efficace a la geometrie de ces espaces peux se lire dans (4), Chap. I, II, III.

Ceci fait on appliquera ces outils a l’etude des actions par sometries
du groupe fondamental d’une surface sur de tels espaces et en particulier a l’etude des representations maximales de tels groupes dont les resultats principaux se trouvent dans l’article d’exposition (5) et dans (6).

Comme presupose il serait utile d’avoir bien compris le lien entre
structures hyperboliques sur une surface compacte et representations de son groupe fondamental dans SL(2,R), ainsi que la formule de Gauss-Bonnet.

Bibliographie :

(1) N.Monod : Continuous bounded cohomology of locally compact groups,
Lecture Notes in Mathematics 1758.

(2) M.Burger, A.Iozzi : A useful formula in bounded cohomology,

(3) R.J.Zimmer : Ergodic Theory and Semisimple Groups, Monographs in
Mathematics Vol. 81, Birkhauser.

(4) A.Koranyi : Function spaces on bounded symmetric domains, in :
Analysis and Geometry on Complex Homogeneous Domains, J.Faraut et al. (eds.) Progress in Mathematics vol.185, Birkhauser.

(5) M.Burger, A.Iozzi, F.Labourie, A.Wienhard : Maximal representations
of surface groups : symplectic Anosov structures, Arxiv DG/0506079.

(6) M.Burger, A.Iozzi, A.Wienhard : Surface group representations with
maximal Toledo invariant, Arxiv DG/0605656.

Structures hyperboliques et structures de Finsler (Michel Coornaert et Athanase Papadopoulos)

Le cours est coordonné avec ceux de P. Foulon et V. Fock, les trois cours formant un bloc sur les structures géométriques sur les surfaces, qui traiereta de structures métriques, d’espaces de représentations du groupe fondamental et de quantification.

Première partie : Géométrie hyperbolique.

Cette partie donne une exposition détaillée des notions fondamentales de la géométrie hyperbolique et une introduction à la géométrie hyperbolique au sens de Gromov.

- modèles de Minkowski, de Klein et de Poincaré de l’espace hyperbolique,
- relations dans le triangle hyperbolique,
- convexité de la fonction distance,
- la sphère à l’infini,
- classification des isométries,
- groupes discrets d’isométries,
- introduction aux espaces hyperboliques et aux groupes hyperboliques au sens de Gromov

Seconde partie : Géométrie de Finsler.

Le sujet est le géométrie de Finsler au sens métrique (sans différentiabilité). On exposera les méthodes classiques de Busmeann, ainsi que et des méthodes plus récentes. On étudiera une série d’exemples, venant de la géométrie des corps convexes, de la géométrie de Hilbert, de la géométrie complexe (hyperbolicité de Kobayashi) et de la théorie des surfaces de Riemann (structures Finlériennes pour l’espace de Teichmüller).

On abordera les questions suivantes :
- géométrie des convexes,
- espaces métriques de Finsler,
- géodésiques, géométrie de Minkowski,
- convexité, sphères,
- perpendicularité,
- caractérisation des plans de Minkowski,
- isométries, espaces homogènes,
- géométrie des convexes,
- \delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert, - métriques de Carathéodory et de Kobayashi,
- structure Finslérienne de la métrique de Teichmüller sur l’espace de Teichmüller,
- structure Finslérienne de la métrique de Thurston sur ce même espace.

Bibliographie :

- A. F. Beardon, "The geometry of discrete groups", Graduate Texts in Mathematics, Vol. 91, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
- R. Benedetti & C. Petronio, "Lectures on hyperbolic geometry".
Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992.
- H. Busemann, "Geometry of Geodesics", Academic Press, New York, 1955.
- H. Busemann, "Recent synthetic differential geometry", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 54, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1970.
- S. Kobayashi, "Hyperbolic Complex Spaces", Springer-Verlag, New York,. 1998.
- A. Papadopoulos, "Metric spaces, convexity, and nonpositive curvature", European Math. Soc. 2005
- J. G. Ratcliffe, "Foundations of hyperbolic manifolds",
Graduate Texts in Mathematics, Vol. 149, Springer-Verlag,
New-York, 1994.
- W. P. Thurston, "Three-dimensional geometry and topology",
Ed. Silvio Levy, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.
- E. Socié, "Comportements asymptotiques et rigidités en géométries de Hilbert.", thèse (Strasbourg).
- C. Vernicos, "Introduction aux géométries de Hilbert", Sém. Th. Spe. et Geo. de Grenoble, 23, p. 145-168 (2005).

Géométrie de Riemann et de Hilbert des surfaces compactes (Patrick Foulon)

Topologie - Géométrie

- Théorie de Morse
- Classification
- Groupe fondamental
- Classe d’Euler
Un cours classique de topologie et géométrie différentielle.

Géométrie de Finsler sur les surfaces
- Longueur et géodésiques
- Forme de Hilbert , volume et angle
- Équation de structure de Cartan et courbure
- Exemples métriques de Riemann , Minkowski, Bryant , Katok-Ziller , Hilbert
- Gauss-Bonnet et violation

L’étude sur les surfaces permet d’aborder sans complication les principaux outils locaux. Certains des exemples sont déjà traités dans d’autres propositions de cours. En complément, nous mettrons l’accent sur ceux qui ne le sont pas.
Il y a des exemples algébriques (quadriques de \C P_2), symplectiques, mais aussi seulement topologiques.

Structures projectives réelles sur les surfaces compactes et Rigidité des métriques é courbure constante.
- Théorèmes de Bryant et de Lebrun-Masson en courbure positive
- Métriques hyperboliques et structure projectives réelles convexes
- Dynamique des métriques de Hilbert suivant Y. Benoist, propriété d’Anosov, mesure d’entropie maximale.

La géométrie de Finsler est localement très flexible , violation de l’aire des triangles etc... Mais globalement la situation est tout autre.

Classification des Structures Projectives Réelles
- L’espace de Goldman des \textbf{R} P_2 structures sur une surface de genre g
- Le sous espace de Teichmuller des structures riemannienes.
- Spectre marqué et isométrie.

Cette partie conduit à l’étude des représentations du groupe fondamental d’une surface S dans SL(3,\textbf{R}) (dans SL(2,\textbf{R}) pour les métriques de riemanniennes)
On y découvre suivant Goldman et Choi que l’espace des représentations est une réunion dénombrable de cellules ouvertes de dimension de dimension -8 \chi ( S)  , nombre à raprocher de la dimension de l’espace de Teichmuller -3 \chi ( S) .

Bibliographie

- Benoist, Yves Convexes divisibles. I. (French) [Divisible convex subsets. I] Algebraic groups and arithmetic, 339—374, Tata Inst. Fund. Res., Mumbai, 2004.
- Bryant, Robert L. Some remarks on Finsler manifolds with constant flag curvature. Special issue for S. S. Chern. Houston J. Math. 28 (2002), no. 2, 221—262.
- Bryant, Robert L. Projectively flat Finsler $2$-spheres of constant curvature. Selecta Math. (N.S.) 3 (1997), no. 2, 161—203.
- Choi, Suhyoung ; Goldman, William M. The classification of real projective structures on compact surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1997), no. 2, 161—171.
- Choi, Suhyoung ; Goldman, William M. Convex real projective structures on closed surfaces are closed. Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), no. 2, 657—661.
- Goldman, William M. Convex real projective structures on compact surfaces. J. Differential Geom. 31 (1990), no. 3, 791—845.
- Hirsch, Morris W. Differential topology. Corrected reprint of the 1976 original. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer-Verlag, New York, 1994. x+222 pp. ISBN : 0-387-90148-5 57-01 (58-01)
- Kim, Inkang Compactification of strictly convex real projective structures. Geom. Dedicata 113 (2005), 185—195.
- Kim, Inkang Rigidity and deformation spaces of strictly convex real projective structures on compact manifolds. J. Differential Geom. 58 (2001), no. 2, 189—218.
- Lebrun, Claude ; Mason, L. J. Zoll manifolds and complex surfaces. J. Differential Geom. 61 (2002), no. 3, 453—535.
- Margulis, Grigoriy A. On some aspects of the theory of Anosov systems. With a survey by Richard Sharp : Periodic orbits of hyperbolic flows. Translated from the Russian by Valentina Vladimirovna Szulikowska. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2004. vi+139 pp. ISBN : 3-540-40121-0
- Thurston, William P. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN : 0-691-08304-5
- Ziller, Wolfgang Geometry of the Katok examples. Ergodic Theory Dynam. Systems 3 (1983), no. 1, 135—157.

Modèles cinétiques pour la fusion (Eric Sonnendrücker)

Dans ce cours nous nous intéresserons à l’équation de Vlasov qui couplée aux équations de Maxwell ou à l’équation de Poisson décrivent l’évolution d’un ensemble de particules chargées sous l’effet de leur champ électromagnétique auto-consistant et du champ extérieur. Ce modèle est très utilisé en physique des plasmas en particulier pour la modélisation de la fusion thermonucléaire et également en physique des accélérateurs.

Nous présenterons d’une part les résultats d’existence et d’unicité disponibles pour ces modèles et d’autre part des modèles approchés valables dans certaines situations physiques où certains paramètres sont très petits.

Dans une deuxième partie, nous présenterons les principales méthodes numériques utilésées`powr la résolution de l’équation de Vlasov, en particulier les méthodes particulaires, les méthodes spectrales et les méthodes semi-Lagrangiennes.

Nous insisterons en particulier sur le problème du couplage avec les équations de Maxwell.

Bibliographie :
- R.T. Glassey, "The Cauchy problem in kinetic theory " (SIAM).
- F. Bouchut in "Kinetic equations and asymptotic theory", B. Perthame, L. Desvillettes ed. (North-Holland, 2000).
- C.K. Birdsall, A.B. Landon, "Plasma physics via computer stimulaton" (Mc Graw-Hill, 1992).

Modèles fluides pour la fusion (Philippe Helluy)

Ce cours spécialise aux équations de la MHD les outils développés dans le cours précédent :

- équations d’Euler, équations de Maxwell, établissement des équations de la MHD (idéale et résistive) ;
- étude de quelques modèles de la MHD en une dimension ;
- problème de Riemann, applications numériques ;
- approximation de la MHD en dimension supérieure, méthode de "divergence cleaning".

Bibliographie :

- P.-A. Davidson - An introduction to magnetohydrodynamics : Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
- A. Dedner, F. Kemm, D. Kröner, C.-D. Munz, T. Schnitzer, and M. Wesenberg - Hyperbolic divergence cleaning for the MHD equations. J. Comput. Phys., 75 (2) : 645—673, 2002.
- Gérard Gallice - Positive and entropy stable Godunov-type schemes for gas dynamics and MHD equations in Lagrangian or Eulerian coordinates. : Numer. Math., 94 (4) : 673—713, 2003.
- L. Landau and E. Lifchitz - Physique théorique ("Landau-Lifshits"). Tome 8 ; Traduit du Russe. [Translations of Russian Works]. "Mir", Moscow, 1990.
Électrodynamique des milieux continus. [Electrodynamics of
continuous media], Second Russian edition revised by Lifchitz [Lifshits] and
L. Pitayevski, Translated from the second Russian edition by Anne Sokova.
- R. Moreau - Magnetohydrodynamics, volume 3 of Fluid Mechanics and its Applications ; Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1990. Translated from the French by A. F. Wright.

Méthodes numériques en électromagnétisme (Stéphanie Salmon)

Ce cours a pour objectif de passer en revue différentes méthodes numériques utilisées pour la résolution numérique des équations de Maxwell. Il constitue également une introduction aux méthodes numériques avancées pour la résolution numériques d’EDP en général. On présentera notamment la méthode des différences finies, des éléments finis, des volumes finis et les méthodes de Galerkin Discontinues. Le plan du cours est le suivant :

- Théorèmes d’existence et d’unicité de solution pour les équations de Maxwell.
- Géométrie des équations de Maxwell.
- Méthodes de discrétisation respectant les propriétés géométriques : méthode de Yee ; méthode de différences finies généralisée : les élements finis de Whitney.
- Les méthodes basées sur une formulation généralisée des équations de Maxwell : Méthode d’éléments finis de Taylor-Hood ; méthode de Galerkin Discontinue

Bibliographie :
- A. Bossavit, Electromagnétisme en vue de la modélisation, Mathematiques etApplications 14, Springer-Verlag, Paris, 1993.
- R. Hipmair, Finite elements in computational electromagnetism, Acta Numerica 11, 237-339 (2002).
- R. Dautray, J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques", Chapitre IX, Masson, 1985.

Théorie et approximation des systèmes de lois de conservation (Bopeng Rao)

Ce cours est une introduction à la théorie et à l’approximation des
lois de conservation :
- exemples de lois de conservation, solution faible, hyperbolicité, critère caractéristique de Lax, critère d’entropie de Lax, théorème de Mock ;
- théorie d’existence et d’unicité de Krushkov dans le cas scalaire ;
- problème de Riemann : cas général et applications ;
- Quelques schémas d’approximation : Godunov, Roe, Harten-Lax-van Leer, Osher, schémas cinétiques. Montée en ordre MUSCL.

Bibliographie :

- P.D. Lax A. Harten and B. Van Leer - On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws : SIAM Review, vol. 25 : 35—61, 1983.
- Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart - Hyperbolic systems of conservation laws, volume 3/4 of Mathématiques & Applications (Paris) [Mathematics and Applications] ; Ellipses, Paris, 1991.
- Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart - Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws, volume 118 of Applied Mathematical Sciences ; Springer-Verlag, New York, 1996.

Dernière mise à jour le 3-11-2011