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Introduction aux conjectures de Weil sur la fonction Zêta d’une variété algébrique
Adriano Marmora - Nathalie Wach
Les conjectures de Weil sur la
fonction Zêta d’une variété algébrique ont été
annoncées par André Weil en 1949 et ont été démontrées en plusieurs
étapes : rationalité, équation fonctionnelle,
jusqu’à la preuve de l’hypothèse de Riemann par Deligne en
1973. L’idée de ce cours est d’énoncer ces conjectures et d’en
présenter la démonstration dans certains cas particuliers, afin
d’introduire le vocabulaire de la géométrie algébrique et les
techniques de géométrie arithmétique. Il s’agit de la démonstration
par Dwork de la rationalité de la fonction Zêta dans le cas d’une
hypersurface et la démonstration de l’hypothèse de Riemann pour
les courbes elliptiques.
Programme (à titre indicatif)
Nombres p-adiques, extensions. Schémas affines, schémas projectives (exemples : hypersurfaces, courbes
elliptiques). Géométrie sur un corps fini : Frobenius, fonction zeta. Courbes elliptiques, invariant de Hasse.
Bibliographie
Dwork, Bernard : On the Zeta function of a hypersurface (Publ Math IHES
12, 1962 et Proc Int Cong 1962 Stockholm) Hartshorne, Robin : Algebraic geometry (GTM, Springer) Koblitz, Neal : p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions
(GTM, Springer) Katz, Nicholas : Travaux de Dwork (Séminaire Bourbaki 409) Silverman, Joseph H : The arithmetic of elliptic curves (GTM, Springer)
Dernière mise à jour le 31-03-2008
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