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Equirépartition modulo 1 et approximation diophantienne

Yann Bugeaud

Ce cours présentera des théorèmes classiques d’équirépartition modulo 1 et des résultats récents sur la répartition modulo et des résultats récents sur la répartition modulo des suites $(x a^n)_{n \ge 0}$ , où et sont des nombres réels positifs, .

Pour presque tout (au sens de la mesure de Lebesgue) nombre réel , les suites $U(x) = (x (3/2)^n)_{n \ge 0}$ et $V(x) = (x \, 10^n)_{n \ge 0}$ sont équiréparties modulo , mais qu’en est-il de $U(1) = ((3/2)^n)_{n \ge 0}$ et de $V(\sqrt{2})$ ? Tout bloc (fini) de chiffres apparaît-il dans l’écriture décimale de $\sqrt{2}$ ? Quoique ces questions demeurent très loin d’être résolues, des progrès significatifs ont été effectués récemment.

Le début du cours sera consacré aux résultats métriques d’équirépartition modulo des suites $W(x, a) = (x a^n)_{n \ge 0}$ , obtenus notamment par Weyl et Koksma. Puis nous nous intéresserons aux paires pour lesquelles n’est pas équirépartie modulo . Nous évoquerons en particulier les nombres de Pisot, qui sont les seuls exemples explicites connus de nombres réels pour lesquels $(a^n)_{n \ge 0}$ ne possède qu’un nombre fini de points d’accumulation modulo . Nous présenterons la méthode développée par Peres et Schlag pour, à fixé, construire un réel positif tel que n’est pas équirépartie modulo . Nous continuerons le cours en démontrant deux autres résultats récents : nous établirons que, pour tout réel ,

$\limsup U(x) - \liminf U(x) \ge 1/3$

et que, pour tout nombre algébrique irrationnel , le nombre de blocs (différents) de chiffres apparaissant dans le développement décimal de n’est pas trop petit.

Bibliographie

Y. Bugeaud, Distribution modulo one and Diophantine approximation. Monographie en préparation.
A. Dubickas, Arithmetical properties of powers of algebraic numbers, Bull. London Math. Soc. 38 (2006), 70–80.
L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences. Wiley, 1974.
Yu. Peres and W. Schlag, Two Erdos problems on lacunary sequences : chromatic numbers and Diophantine approximations. Preprint.
G. Rauzy, Propri ́et ́es statistiques de suites arithm ́etiques. P. U. F., 1976.

Dernière mise à jour le 8-03-2010

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