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Introduction à la théorie ergodique

Michel Weber

Ce cours propose d’acquérir quelques méthodes et outils issus de cette théorie, de l’analyse de Fourier ou de la théorie des probabilités, dont l’usage s’avère indispensable non seulement pour l’étude des itérés d’une transformation $f: X\to X$ , et notamment de leur comportement en moyenne, mais aussi dans d’autres problèmes classiques d’analyse (sommes de Riemann, séries de contractions, valeurs moyennes de polynômes trigonométriques, polynômes de Dirichlet).

Exemples

Soit $\tau x= x+\theta$ , mod(1), une rotation du cercle $\T=[0,1)=\R/\Z$ . Soit $f:\T\to\R$ integrable. Les moyennes suivantes ${1\over N}\sum_{n=0}^{N-1} f(\tau^{n } x)$ , ${1\over N}\sum_{n=0}^{N-1} f(\tau^{n^2} x)$ , $N=1,2,\ldots$ convergent-elles pour presque tout $x\in \T$ ? (résolu).

Soit $R_nf(x)= {1\over n}\sum_{j=0}^{n-1} f(x+{j\over n})$ la somme de Riemann d’ordre de . Les moyennes
${1\over N}\sum_{n=1}^{N } R_nf(x)$ , $N=1,2,\ldots$ convergent-elles pour presque tout ? (non résolu).

Partie I (Convergence en moyenne et équidistribution, étude spectrale, théorèmes ergodiques ponctuels)

Théorème de Von Neumann et régularisation spectrale, convergence en moyenne et équidistribution.
Représentation spectrale des suites faiblement stationnaires.
Systèmes dynamiques–Ergodicité et mélange.
Théorèmes ergodiques ponctuels.

Partie II (Opérateurs maximaux, principe de continuité, éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des processus. Critères métriques de convergence)

Principe de Banach et lemme de conjugaison.
Principe de continuité – Applications en analyse.
Opérateurs maximaux et théorèmes de liaison gaussiens.
Critères métriques de convergence.

Bibliographie

Garsia A. [1970] Topics in almost sure convergence, Markham Pub. Company.
Krengel U. [1989] Ergodic Theorems, W. de Gruyter Ed.
Weber M. [1998] Entropie métrique et convergence presque partout, Travaux en Cours 58, Herman, Paris.
Weber M. [2009] Dynamical Systems and Processes, European Mathematical Society Pub- lishing House, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 14, xiii+761p.

Dernière mise à jour le 8-03-2010

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