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Introduction à la géométrie arithmétique sur les corps des fonctions
C. Gasbarri
L’étude des équations diophantiennes est classique en mathématiques. Dans ce cours on va décrire l’étude des équations diophantiennes sur l’anneau des polynômes et sur ses généralisations. On verra comment la géométrie algébrique donne des outils très puissants pour étudier le problème. On expliquera les principaux théorèmes dans le sujet et, dans la dernière partie du cours, on essayera de montrer ce qu’on peut faire dans le cas, beaucoup plus ambitieux, des corps des nombres.
Arguments traités :
L’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions.
Variétés sur les corps des fonctions et leur modèles.
Variétés triviales et isotriviales : Classe de Kodaira et Spencer
Points rationnels, points entiers etc.
Hauteurs et leur interprétation géométrique, propriétés des hauteurs.
Ensembles limités de points rationnels et analogue du théorème de Northcott.
Géométrie arithmétique sur les courbes elliptiques et sur les variétés abéliennes (hauteurs de Neron Tate, Mordell Weil, etc)
(s’il y a le temps) La conjecture de Mordell sur les corps des fonctions.
(s’il y a le temps) aperçu de la théorie dans le cas des corps des nombres.
Bibliographie :
Hartshorne, Robin Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977 Lang, Serge Fundamentals of Diophantine geometry. Springer-Verlag, New York, 1983. Serre, Jean-Pierre Lectures on the Mordell-Weil theorem. Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt. With a foreword by Brown and Serre. Third edition. Aspects of Mathematics. Friedr. Vieweg Sohn, Braunschweig, 1997
Dernière mise à jour le 3-03-2010
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