Projet A.N.R. Iso-Galois
 
              
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Projet A.N.R. Iso-Galois






Il s'agit d'un projet en mathématiques pures, situé à l'intersection de la dynamique holomorphe et la géométrie différentielle, plus précisément dans l'étude géométrique de feuilletages. Nous cherchons à développer la théorie des feuilletages holomorphes dans la direction de la géométrie algébrique et arithmétique, notamment vers les théories de Galois différentielle et aux différences. L'axe central de ce projet est l'étude de déformations isomonodromiques via le concept récent du groupe de Galois différentiel à paramètre et la généralisation de cette étude au contexte non-linéaire (concernant les déformations isoholonomiques) dans le cadre du pseudogroupe de Galois d'un feuilletage.

Nous allons étudier de telles déformations isogaloisiennes avec un intérêt particulier pour leurs premiers exemples non triviaux, donnés par les équations de Painlevé. Ces équations sont les seules E.D.O. du second ordre satisfaisant à la propriété de Painlevé. L'étude de ces équations se nourrit d'un deuxième trait caractéristique : elles décrivent précisément les déformations d'équations différentielles linéaires qui préservent le comportement dynamique qualitatif des solutions.

Dans notre projet, nous comptons développer une approche (globale) isogaloisienne de l'espace de modules des équations de Painlevé. Plus généralement, nous allons étudier la famille d'équations différentielles non linéaires données par les formes normales de Clarkson-Mansfield-Webster et décrire les trajectoires dans l'espace des paramètres le long desquelles la famille est isoholonomique.

Ce côté abstrait sera accompagné du développement d'outils informatiques nouveaux permettant d'effectuer des calculs effectifs par ordinateur. Ces nouveaux outils nous permettront de produire un film illustrant des propriétés diverses de feuilletages holomorphes en dimension 2.