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Mini-cours

Gitlab répertoire

Régine Marchand

Introduction au principe de grandes déviations

L'étude de la somme de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées apparaît naturellement quand on veut modéliser la répétition d'un expérience aléatoire comme un lancer de pile ou face par exemple.

Considérons une suite \( (X_i)_{i \in \mathbb{N}}\) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). La loi des grands nombres nous dit que la moyenne empirique converge vers l'espérance:

\[\text{ si } S_n=\sum_{i=1}^n X_i, \text{ alors } \frac{S_n}n {\longrightarrow} m,\]

et le théorème central limite nous donne le comportement asymptotique de la probabilité d'observer pour \(S_n\) des déviations de l'ordre de l'écart-type \(\sqrt{\text{Var}(S_n)}=\sigma \sqrt n\) par rapport à son espérance \(\mathbb{E}(S_n)=nm\):

\[\mathbb{P} \left( S_n -nm \in \left[a\sigma \sqrt{n}, b\sigma \sqrt n \right] \right) \longrightarrow \mathbb{P}(Z \in [a,b]), \]

où \(Z\) suit la loi normale centrée réduite. On s'attend donc à ce que la probabilité d'observer pour \(S_n\) une grande déviation par rapport à son espérance, c'est-à-dire une déviation de l'ordre de \(n\), tende vers \(0\):

\[\text{ si $x>m$, alors } \mathbb{P}(S_n \ge nx) \longrightarrow 0,\]

et on aimerait alors déterminer la vitesse de cette convergence vers \(0\) de la façon la plus générale possible: c'est l'objectif de l'étude des grandes déviations.

Nous commencerons par forger notre intuition sur des exemples où des calculs relativement explicites sont possibles, puis nous étudierons le théorème de Cramér, qui répond de façon étonnamment complète à cette question, et nous donnera un premier exemple de principe de grandes déviations. Enfin, si le temps le permet, nous aborderons d'autres principes de grandes déviations: théorème de Sanov, théorème de Gärtner-Ellis...

Sébastien Martineau

Percolation sur les groupes

Effacez au hasard certaines arêtes d’un quadrillage, regardez les îlots qui se dessinent et voilà : vous venez d’inventer la percolation sur \(\mathbb{Z}^2\) ! La percolation sur \(\mathbb{Z}^2\) et en dimension supérieure a initialement été introduite pour modéliser les phénomènes de propagation en milieu poreux, mais c’est surtout une source de problèmes probabilistes fascinants. Dans un premier cours, on étudiera cette question. Lors de la deuxième séance, se rendant compte que \(\mathbb{Z}^2\) est à la fois un groupe (on peut additionner les couples d’entiers) et un objet géométrique (le réseau carré), on essaiera de définir une procédure systématique pour se représenter visuellement les groupes. On verra que non seulement cela est possible mais que c’est également fécond : on découvrira la théorie géométrique des groupes. Enfin, lors du troisième cours, on fera se rencontrer ces deux mondes en considérant la percolation non plus sur le réseau carré ou le réseau cubique mais sur des groupes quelconques : de nombreux théorèmes et conjectures mettent alors en lien les aspects algébriques, géométriques et probabilistes de la situation.

Marielle Simon

Marches aléatoires sur \(\mathbb{Z}\)

Les marches aléatoires sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes en physique, chimie, biologie, et au-delà. Une marche (simple) sur \(\mathbb{Z}\) est un processus aléatoire prenant des valeurs entières, tel que, à chaque pas, la valeur suivante est choisie uniformément parmi les deux valeurs immédiatement voisines de la valeur courante, de manière indépendante à chaque pas. Nous analyserons en particulier le cas symétrique, lorsque la nouvelle valeur est choisie de manière équiprobable à chaque pas. Nous verrons que cette marche aléatoire visite chaque entier un nombre infini de fois ! Notre objectif final sera d'introduire un modèle très simplifié de système de particules en interaction (ce domaine faisant l'objet d'une intense activité de recherche), à savoir le cas d'un système constitué d'un très grand nombre de marches aléatoires indépendantes.

Dario Trevisan

Random Euclidean Bipartite Matching Problems

Bipartite matching problems are widely studied combinatorial optimization problems that can be seen as special instances of optimal transport, with discrete source and target measures. Variants with random transportation costs (or measures) have been considered by many authors, with applications in statistics, e.g. by providing quantitative laws of large numbers. The random Euclidean bipartite matching problem deals with measures induced by a large number of i.i.d.\ uniform random variables on a domain in $d$ dimensions (e.g., a cube), with natural transportation cost given by a power of the Euclidean distance.

Aim of this master class is to introduce the audience to random Euclidean bipartite matching problems, from older results to the challenging conjectures put forward in [2] and partially proved in a joint work with L.~Ambrosio and F.~Stra [1].

In the first part we introduce standard techniques in random combinatorial optimization such as sub-additivity arguments and concentration of measure, and show how they may apply (or may not), highlighting the role of the dimension $d$ of the domain. In the second part, we focus on the one-dimensional case, that can be studied separately using convergence results for order statistics. In the third part, we describe the predictions from [1] together with their (non-rigorous) supporting arguments, and how one can partially put these into a mathematical framework, in the two-dimensional case.

References:

[1] L. Ambrosio, F. Stra, and D. Trevisan, A PDE approach to a 2-dimensional matching problem. Probab. Theory Relat. Fields (2019) 173: 433.

[2] S. Caracciolo, C. Lucibello, G. Parisi, and G. Sicuro, Scaling hypothesis for the Euclidean bipartite matching problem. Phys. Rev. E 90, 012118 (2014)