La suite 1, 1, 3, 8, 25, 75, 245, …
Voici les premiers termes : 1, 1, 3, 8, 25, 75, 245, 800, 2700, 9225, 32065, 112632, 400023, 1432613, 5170575, 18783360, 68635477, 252085716, 930138521, 3446158600, 12815663595, 47820414961, 178987624513, 671825020128, 2528212128750, 9536894664375, …
On a une formule a(n)=1/2n Σd|n μ(n/d) binomial(2d,d).
On considère l'algèbre de Lie libre sur deux générateurs x et y. On pose deg(x)=-1 et deg(y)=1. Alors les éléments de degré nul forment une sous algèbre de Lie.
La suite ci-dessus est la suite des dimensions de cette algèbre de Lie. C'est donc aussi le nombre de mots de Lyndon en {x,y} avec autant de x que de y.
Cette sous algèbre de Lie est libre sur des générateurs ayant comme dimensions les nombres de Catalan 1, 1, 2, 5, 14, …. Son algèbre enveloppante a pour dimensions les nombres de Catalan 1, 2, 5, 14, ….
Références :
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Suite A022553
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F. Chapoton, "Le module dendriforme sur le groupe cyclique"
-
J.-C. Novelli et J.-Y. Thibon, "Hopf algebras and dendriform structures arising from parking functions"
-
H. Munthe-Kaas et S. Krogstad, "On enumeration problems in Lie–Butcher theory"
-
A. Iserles, "On the Discretization of Double-Bracket Flows"
-
F. Casas, "Numerical integration methods for the double-bracket flow"
-
H. Berland and B. Owren, "Algebraic Structures on Ordered Rooted Trees
and Their Significance to Lie Group Integrators"
-
D. Broadhurst, "On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory"
-
Y. Puri and T. Ward, "Arithmetic and growth of periodic orbits"
-
J. Jonsson, "Hard Squares on Grids With Diagonal Boundary Conditions"
Mots de Lyndon.
-
A. Elashvili, M. Jibladze et D. Pataraia, "Combinatorics of Necklaces and “Hermite Reciprocity”"
Mots de Lyndon.
-
S.-J. Kang and D. J. Melville, "Rank 2 symmetric hyperbolic Kac-Moody algebras"
Partie de poids nul dans FLie(ℂ+ℂ)
-
H. Gaudier, "Relevement des coefficients binomiaux
dans les vecteurs de Witt"
Une suite différente ayant des termes en commun apparaît. Expression comme produit de la série génératrice des nombres de Catalan.
-
K. Hori and D. Tong, "Aspects of Non-Abelian Gauge Dynamics
in Two-Dimensional N = (2, 2) Theories"
Indice de Witten pour la SQCD de type SU(k) avec N saveurs massives.
-
S.-C. Chang, J. L. Jacobsen, J. Salas, and
R. Shrock, "Exact Potts Model Partition Functions for Strips of
the Triangular Lattice"
-
F. Bergeron, G. Labelle and P. Leroux, "Combinatorial Species and Tree-Like Structures", Cambridge, 1998, p. 336 (4.4.64)
La suite 1, 1, 1, 2, 5, 13, 35, 100, 300, 925, …
La suite précédente possède une variante également intéressante définie par la formule a(n)=(-1)n/2n Σd|n μ(n/d) (-1)dbinomial(2d,d).
Elle commence par 1, 2, 3, 8, 25, 78, 245, 800, 2700, 9250, 32065, 112632, 400023, 1432858, 5170575, 18783360, …
Il se trouve alors que le nieme terme est divisible par n : on trouve une suite qui commence par
1, 1, 1, 2, 5, 13, 35, 100, 300, 925, 2915, 9386, 30771, 102347, 344705, 1173960
Ces nombres sont des invariants de Donaldson-Thomas.
Références
