M2 Recherche
EDP et Apprentissage

Pré-requis

Analyse fonctionnelle. Bases méthodes numériques de résolution EDO-EDP.

Résumé

Ce stage a pour objectif d'introduire les EDP linéaires classiques (équation de Laplace, de la chaleur et de transport) d'un point de vue théorique et des méthodes numériques standard.
On en profitera pour faire des rappels sur les méthodes de bases en optimisation en dimension finie qui interviendront dans les autres cours.

Programme

• 1ère partie: Théorie des EDP
1. EDP elliptiques et formulation variationnelle
2. Estimée de régularité
3. Existence et unicité pour l'équation de la chaleur
4. Existence et unicité pour l'équation de transport


• 2ème partie: Méthodes numériques
1. Elément finis pour les EDP elliptiques et paraboliques
2. Intégration en temps, stabilité et condition CFL
3. Différences finies pour l'équation de transport


• 3ème partie: Optimisation
1. Rappels théoriques (existence, convexité, unicité)
2. Algorithmes d'optimisation standards pour les problèmes avec et sans contrainte(s) (gradient, gradient conjugué, pénalisation, Uzawa)

Pré-requis

Analyse fonctionnelle, bases en EDO et EDP.

Résumé

Ce cours a pour but d'étudier certaines EDP d'évolution non linéaires et de se familiariser avec les outils et techniques qui leur sont propres. Nous étudierons plusieurs classes d'EDP, issues de la mécanique des fluides ou de la mécanique quantique.

Nous aborderons tout d'abord l'existence des solutions de telles EDP. Nous utiliserons des méthodes de compacité pour construire des solutions faibles, par exemple pour l'équation de Navier-Stokes.
Nous introduirons la formule de Duhamel et la formulation intégrale des solutions. Dans le cadre de l'équation des ondes nonlinéaires, nous construirons des solutions dites mild de cette formulation intégrale (définies localement en temps) par point fixe de Banach, en utilisant des estimations d'énergie.
Nous nous intéresserons ensuite à des estimées dispersives linéaire raffinées de type Strichartz, que nous utiliserons pour construire des solutions mild de l'équation de Schrödinger non linéaire.

Nous étudierons enfin certains aspects de la dynamique en temps long. Pour des données petites, nous montrerons que les solutions sont définies globalement en temps et se comportent comme des solutions linéaire (scattering linéaire). Nous montrerons que des données grandes peuvent donner lieu à des solutions qui explosent en temps fini, par un argument de type viriel. Nous nous intéresserons enfin à l'existence d'ondes progressives, et à leur stabilité.

Programme

1. Rappels: Transformée de Fourier, espaces de Sobolev, EDO
2. Systèmes symétriques et estimées d'énergie
3. Système de Navier-Stokes
4. Estimées de Strichartz et équation de Schrödinger non linéaire
5. Stabilité des solitons

Références

• Thierry Cazenave et Alain Haraux. An Introduction to Semilinear Evolution, Oxford lecture series 13, 1998.
• Jean Leray. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Mathematica 63 (1934), 193-248.
• Yvonne Choquet-Bruhat. Théorème d’existence pour certains systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Acta Mathematica 88 (1952), 141-225.
• Marcus Keel et Terence Tao. Endpoint Strichartz estimates. American Journal of Mathematics 120 (1998), 955-980.
• Manoussos Grillakis, Jalal Shatah, et Walter Strauss. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry, I. Journal of Functional Analysis 4 no. 1, (1987), 60-197.

Pré-requis

EDO, EDP linéaires, optimisation en dimension finie, probabilités discrètes.

Résumé

Ce cours constitue une introduction aux problèmes d'optimisation en dimension infinie, mettant l'accent sur la résolution de problèmes de contrôle optimal et de planification. Il sera composé de deux parties.
Dans la première, nous donnerons des éléments d’analyse de problèmes d’optimisation en dimension infinie (existence, recherche de conditions d’optimalité) mettant en jeu les solutions de système différentiels ou d’équations aux dérivées partielles.
Dans une seconde partie, nous étudierons plus particulièrement les problèmes de contrôle optimal en mettant notamment l'accent sur les problèmes de programmation dynamique.
Nous introduirons en particulier des méthodes d’apprentissage basées sur ces outils à des fins de planification de trajectoires.

Programme

• 1ère partie: analyse variationnelle, optimisation en dimension infinie
1. Principe variationnel et résolution d'EDPs.
2. Minimisation de fonctions convexes


• 2ème partie: contrôle optimal, programmation dynamique
1. Contrôle optimal. Conditions d'optimalité et introduction aux équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. Résultats principaux et exemples.
2. Le principe du maximum de Pontryagin
3. Politique et contrôle. Equation de Bellman discrète en temps
4. Introduction à l'apprentissage par renforcement (contrôle sans modèle): Q-learning et Q-learning approché par méthode de gradient.
5. Problèmes de contrôle mettant en jeu des équations aux dérivées partielles

Références

• Analyse fonctionnelle. H. Brezis, théorie et applications, Masson, Paris, 1983.
• Foundations of optimal control theory. E. B. Lee, L. Markus, John Wiley, New York, 1967
• Contrôle optimal : théorie & applications. E. Trélat, Vuibert, Collection “Mathématiques Concrètes”, 2005.
• Reinforcement Learning: An Introduction. Richard S. Sutton and Andrew G. Barto, Second Edition.

Pré-requis

Probabilité, Chaîne de Markov, EDP.

Résumé

Ce cours porte sur l'étude des systèmes de particules en interaction et à leurs dynamiques à grande échelle. Ces modèles sont très utilisés en physique statistique avec des applications tant en ferromagnétisme qu'en théorie cinétique des gaz ou en physique cellulaire.

La première partie sera consacrée à l'étude de modèles de particules avec interactions de type sphère dure. Nous présenterons tout d'abord formellement la limite champ-moyen par la hiérarchie BBGKY obtenant ainsi l'équation de Boltzmann satisfaite par la fonction de distribution des particules dans l'espace des phases. Nous présenterons ensuite la limite hydrodynamique dans le cas particulier d'un noyau d'interaction de type BGK obtenant ainsi les équations d'Euler. Nous verrons également comment étendre le domaine de validité de tels modèles à l'aide de méthode d'apprentissage par réseaux de neurones. Pour cela nous introduirons quelques méthodes numériques pour résoudre les équations de Boltzmann et d'Euler.

Dans une seconde partie, nous étudierons différents systèmes de particules décrits par des marches aléatoires en interactions. Après une première étude sur un modèle sans interaction, nous présenterons différents modèles avec interactions (processus d'exclusion, processus de contact, dynamique de Glauber pour le modèle d'Ising). Nous étudierons ensuite la limite hydrodynamique du processus type d'exclusion totalement asymétrique (TASEP) qui débouche une équation de type Hamilton-Jacobi.

Programme

1. Système de particules et interactions de type sphères dures
1. Limite champ-moyen et équation de Boltzmann
2. Limite hydrodynamique pour l'équation de transport BGK
3. Méthodes numériques pour les équations de Boltzmann et d'Euler
4. Fermeture par réseaux de neurones


2. Système de particules en interactions avec marches aléatoires
1. Chaines de Markov à temps continu et marche aléatoire sans interaction
2. Exemples de systèmes d'interactions
3. Limite hydrodynamique du modèle type TASEP et équation de Hamilton Jacobi

Références

• C. Cercignani, R. Illner, M. Pulvirenti, M., The mathematical theory of dilute gases, Vol. 106, Springer Science and Business Media, 2013
• P. Degond, Macroscopic limits of the Boltzmann equation: a review. Modeling and computational methods for kinetic equations, 3-57, 2004
• L.C. Evans, Partial differential equations, American Math Society, 2010
• C. Kipnis, C. Landim. Scaling limits of interacting particle systems. Vol. 320. Springer Science and Business Media, 1998
• A. De Masi, E. Presutti, Mathematical methods for hydrodynamic limits. Lecture Notes in Mathematics, 1991

Pré-requis

EDP linéaire, base d'élément finis, notion en base en statistique, base géométrie différentielle: variété, géodésique, distance Riemannienne

Résumé

L'enjeu de ce cours est d'introduire les méthodes de réduction de modèles pour les EDP. Dans un contexte d'optimisation ou de controle ou encore de quantification d'incertitudes, il est devenu critique pour de nombreuses applications (aéronautique, énergie, process industriels, santé, physique) de simuler modèles physiques en temps réel ou un très grand nombre de fois. La résolution d'une EDP complète est souvent incompatible avec cet objectif.

Pour cela on construit des modèles réduits reproduisant les principes caractéristiques du modèle d'origine. Ici on introduira un ensemble de méthodes pour construire ses réductions. Dans un premier temps on regardera les EDP elliptiques et paraboliques linéaires ou non linéaires. On introduira des méthodes issues de méthodes statistiques classiques et d'éléments finis. Pour ces méthodes, on donnera des résultats théoriques d'approximation et d'optimalité puis on s'interessera à corriger ces modèles réduits par des données mésurées sur le véritable système afin de créer un véritable jumeau numérique du système observé.

Dans un second temps on introduira les problèmes nonlinéaires de transport pour lesquels les méthodes précédentes sont insuffisantes. On commencera par introduire des corrections au méthodes classiques puis on introduira deux familles de méthodes plus récentes basées sur des outils de géométrie différentielle et d'apprentissage profond.

Programme

• 1ère partie: Réduction d'ordre pour des EDP elliptiques et paraboliques avec assimilation de données
1. Introduction du problème de réduction de dimension pour des EDP paramétriques
2. Méthodes de base réduite par Base Réduite et POD pour les équations elliptiques et paraboliques
3. Interpolation empirique d'opérateur pour permettre des méthodes efficaces et traiter les non-linéarités
4. Introduction à l'assimilation de données
5. Introduction aux méthodes de réduction d'ordre avec assimilation de données


• 2ème partie: EDP hyperboliques
1. Problèmes de transport et équation Burgers. Limite des méthodes de POD. Méthodes de fermetures et de transformations à priori.
2. Méthodes de réduction de dimension géométrique: ISOMAP et Eigenmaps.
3. Méthodes de réduction nonlinéaire et projection de modèle. Applications à Burgers
4. Introduction à l'apprentissage profond: réseaux de neurones MLP, RNN et Auto-encodeurs.
5. Réduction de modèle par auto-encodeur. Méthodes de projection et d'apprentissage du modèle.
6. Introduction au cas stochastique: Inférence variationnelle, Auto-encoder variationnelle et processus Gaussien. Application à la propagation d'incertitude dans Burgers.

Références

• Simultaneous Empirical Interpolation and Reduced Basis method for non-linear problems, Cécile Daversin, Christophe Prud'Homme, 2015
• PBDW method for state estimation: error analysis for noisy data and nonlinear formulation, Helin Gong, Yvon Maday, Olga Mula, Tommaso Taddei, 2019
• 3D-VAR for Parametrized Partial Differential Equations: A Certified Reduced Basis Approach, Nicole Aretz-Nellesen, Martin A. Grepl, Karen Veroy, 2019
• Model Order reduction for hyperbolic systems: A new framework. N Cagniart, R. Crivosan, Y. Maday, R. Abgrall.
• Model reduction of dynamical systems on nonlinear manifolds using deep convolutional autoencoders. Kookjin Lee, Kevin Carlberg.
• Reduced-order modeling of advection-dominated systems with recurrent neural networks and convolutional autoencoders. R. Maulik, B. Lusch, P. Balaprakash.
• Geometric Structure of High-Dimensional Data and Dimensionality Reduction. J. Wang
• Probabilistic Machine Learning. K. P. Murphy

Pré-requis

Calcul différentiel, notions de géométrie différentielle, notions d'EDPs linéaires

Résumé

Dans la construction de méthodes numériques pour des EDPs, il est souvent crucial de capturer les propriétés du modèle continu pour garantir une cohérence avec la physique et de bonnes propriétés numériques. Ces problématiques sont au coeur des schémas numériques de dernière génération dites \textit{structure-preserving}, faisant l'objet de recherches très actives.

La plupart de ces méthodes sont écrites, ou pensées, dans un formalisme géométri\-que plus abstrait que leurs aînées, qui souffrent quant à elles d'un cadre d'application plus restreint. Elles offrent ainsi une flexibilité bien plus importante vis à vis d'une ou plusieurs quantités d'interêt.
L'enjeu de ce cours est d'étudier un échantillon de ces méthodes pour certaines quantités d'interet cruciales en Physique comme l'énergie d'un système au cours du temps, la topologie et la dimension du domaine spatial, etc.

Après avoir introduit le cadre théorique et les outils de base de la géométrie différentielle, nous regarderons quelques exemples issus de travaux récents pour des problèmes venant de l'électromagnétisme et de la mécanique des fluides. Dans un premier temps, nous constaterons l'importance de la preservation d'un complexe de chaînes associée à un modèle.
Puis, nous nous pencherons sur le caractère temporel où l'on présentera les méthodes dites symplectiques, qui offrent une garantie de conservation de l'énergie d'un système au cours du temps au niveau discret. Si le temps nous le permet, nous regarderons comment cette problématique s'insère dans le cadre de l'apprentissage profond.

Programme

• 1ère partie: Géométrie différentielle et calcul extérieur (Alexandru Oancea)
1. Formes différentielles
2. Différentielle extérieure
3. Cohomologie de De Rham et applications


• 2ème partie: Discrétisation spatiale (Joubine Aghili)
1. Introduction des équations de Maxwell, diffusion et Shallow Water. Formulation en calcul extérieur.
2. Limite des différences finies (DF) classiques et notion de DF décalées.
3. Cohomologie de De Rham discrète en DF décalées
4. Application aux équations de Maxwell et Shallow Water


• 3ème partie: Intégrateurs symplectiques (Victor Michel-Dansac)
1. Systèmes Hamiltoniens. Propriétés et applications aux schémas précédents.
2. Limites de schémas classiques et schémas symplectiques.
3. Applications aux équations de Maxwell et diffusion. Schémas de splitting symplectique.
4. Application: Apprentissage profond hamiltonien (Maxwell).

Références

• D.N. Arnold, Finite element exterior calculus, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 93. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2018
• D.N. Arnold, R.S. Falk, R. Winther, Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 47 (2010), no. 2, 281–354
• W. Barham, P.J. Morrison, E. Sonnendrücker, Mimetic discretization of the macroscopic Maxwell equations in Hamiltonian form, arXiv:2108.07385
• A. Oancea, Notes de cours de géométrie différentielle
• E. Sonnendrücker, Lecture notes: Computational plasma physics
• E. Sonnendrücker, Lecture notes: Structure preserving methods on staggered grids