\magnification=1200
\voffset=.7cm
\hoffset=0cm


\font\tenpc=cmcsc10
\font\eightpc=cmcsc10 at 8pt

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
\font\eightrm=cmr8
\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8
\font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
\font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm7 at 8pt
\font\eightbboard=msbm7 at 8pt
\font\sevengoth=eufm7
\font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm5 at 6pt
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}

\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}


\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm}%
  \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}%
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt
  \belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \belowdisplayshortskip=7pt plus 3pt minus 4pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=12pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\tenrm \let\smallf@ntpc=\sevenrm
  \let\petcap=\tenpc
  \normalbaselines\rm}
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}

\let\bb=\bboard

\tenpoint

% dactylographie fran\c caise 

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

% fin de dactylographie francaise

\newif\ifpagetitre
\newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

\pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000
\newdimen\hmargehaute \hmargehaute=0cm

\newdimen\lpage \lpage=13.3cm
\newdimen\hpage 
\hpage=20.9cm 
\newdimen\lmargeext \lmargeext=1cm
%\hsize=12cm
%\vsize=19.15cm
\hsize=11.67cm
\vsize=18.90cm 
\parskip 0pt
\parindent=12pt

\def\margehaute{\vbox to \hmargehaute{\vss}}%
\def\margebasse{\vss}

\footline={}

\output{\shipout\vbox to \hpage{\margehaute\nointerlineskip
  \corpsdepage\margebasse}
  \advancepageno \global\pagetitrefalse
  \ifnum\outputpenalty>-20000 \else\dosupereject\fi}

%\titrecourant={\iftrue\botmark\fi}  

%\def\newsectionmark{}

%\def\shortsectionmark
%#1{\mark{\noexpand\eightrm\uppercase{#1}\noexpand\else\noexpand\eightrm
%\uppercase{#1}} 
%\def\newsectionmark {\noexpand\eightrm\uppercase{#1}}}

\titrecourant={\eightrm INVERSIONS DE M\"OBIUS}

\def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}}
\def\pagetexte{\vbox{\makeheadline\kern.4cm\pagebody\makefootline}}
\headline={\ifpagetitre\titleheadline \else
  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
\def\leftheadline{\eightpoint\rlap{\tenbf\folio}\hfil
{\eightrm\the\auteurcourant}\hfil}
\def\rightheadline{\eightpoint\hfil
{\eightrm\the\titrecourant}\hfil\llap{\tenbf\folio}}
\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }


\def\section #1|{\par\vskip .3cm \penalty -200
       \mark{\newsectionmark\noexpand\else \uppercase{#1}}
         {\bf #1}\shortsectionmark{#1}\unskip\pointir
            }


\def\sectiona #1|{\par\vskip .4cm \penalty -200
%\mark{\newsectionmark\noexpand\else\uppercase{#1}}
\centerline{\bf#1}%\shortsectionmark{#1}
\par\nobreak\vskip 5pt}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{%\par
\medskip{{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\medskip
             {{\it #1}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr\`es une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}
\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

%les differents retraits, voir aussi \item
\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}

% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 10000 }

\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1}
  \par\nobreak\vskip 2pt }

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen1=\ht1
            \advance\dimen1 by\dp1
            \divide\dimen1 by 2
            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen1{}\right.$}}

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

\def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}


% matrice justifi\'ee \`a droite : \hfil coef dans chaque ligne

\def\matrixd#1{\null \,\vcenter {\normalbaselines \m@th
\ialign {\hfil $##$&&\quad \hfil $##$\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\,}

\def\pmatrixd#1{\left(\matrixd{#1}\right)}


\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$     &\hfil$##$&$##$\hfil&&
       \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr
        #1\crcr}}\right.}

\def\lfq{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\langle\!\langle$}\thinspace}
\def\rfq{\leavevmode\thinspace\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\rangle\!\rangle$}}


\catcode`\@=12

%  guillements fran\c cais  

\def\og{\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$}}
\def\fg{\ignorespaces\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\,\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}




\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern
5pt } 
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern
5pt }

\def\smashtop#1{\setbox0=\hbox{#1}\ht0=0pt\box0}
\def\smashbot#1{\setbox0=\hbox{#1}\dp0=0pt\box0}


\def\notenmarge#1{\vadjust{\hskip
-2.66cm\smash{\vtop{\eightpoint \hfuzz 15pt
\noindent \hsize=1.66cm
#1}}}}



\ifnum\day<0 \advance\day by 160 \fi

\def\fdate{\number\day\space
   \ifcase\month\or janvier\or f\'evrier\or 
mars\or avril\or mai\or 
   juin\or juillet\or ao\^ut\or septembre\or 
octobre\or novembre\or
   d\'ecembre\fi\space\number\year}



%\input tex8bits


\pageno=1
\pagetitretrue
\auteurcourant={DOMINIQUE FOATA}

\vglue 1cm

\centerline{{\bf INVERSIONS DE
M\"OBIUS \footnote{$(^1)$}{The  present text was written
on the occasion of the {\it Science Research Council
Rencontre}, Aberdeen, July 6--12 1975 and had been never
published since.}}} 

\medskip
\centerline{\sl Dominique Foata}
\vskip 6mm minus 2mm
La formule d'inversion de M\"obius, comme le soulignait
fort justement le professeur Temperley lors de la Rencontre
d'Aberdeen (6-12 juillet 1975), n'est en fait qu'une
sublimation du principe d'inclusion-exclusion. Chacun sait
bien que le plus difficile dans les applications est de {\it
calculer} la fonction de M\"obius sous-jacente et \`a
l'exception de quelques cas simples, ce calcul ne d\'erive pas
des principes, mais reste une affaire d'ing\'eniosit\'e et
d'exp\'erience.

La formule   d'inversion, de fa\c con habituelle (\cf., par
exemple, Rota (1964)),  est pr\'esent\'ee dans le cadre des {\it
ensembles ordonn\'es localement finis} (``locally finite
partially ordered sets"). Dans Cartier-Foata (1969,
chap.~2), on trouve une d\'efinition de fonction de M\"obius
des {\it mono\"\i des \`a factorisation finie}. Le but de
cette note est de montrer la connexion entre ces deux
pr\'esentations.

En aucun cas, je ne veux faire ici \oe uvre originale : mon
but est simplement de montrer qu'il n'y a qu'une ``th\'eorie"
de l'inversion de M\"obius. Le cadre choisi pour pr\'esenter
la formule d'inversion est au fond accessoire et ne peut
\^etre qu'une structure alg\'ebrique rudimentaire. En fait, la
proposition~1 ci-dessous doit \^etre attribu\'ee \`a Rota (1972)
et la proposition~2 \`a Sch\"utzenberger (1974) dans des
communications priv\'ees avec l'auteur.


\sectiona 1. Ensembles ordonn\'es|
La construction de la fonction de M\"obius pour les
ensembles ordonn\'es est tr\`es clairement expos\'ee dans Rota
(1964). Soit~$P$ un ensemble ordonn\'e  localement fini,
c'est-\`a-dire que si $x\le y$, il n'y a qu'un nombre {\it
fini} de $z\in P$ tels que $x\le z\le y$. On forme
l'ensemble
$R(P\times P)$ des fonctions r\'eelles de deux variables~$x$
et~$y$, o\`u~$x$ et~$y$ sont dans~$P$, ayant les
propri\'et\'es suivantes :
\decale{(i)}|$f(x,y)=0$ si $x\not\le y$;
\decale{(ii)}|$f(x,x)$ est, pour tout $x\in P$, une constante
qui ne d\'epend que de~$f$.\footnote{$(^2)$}{La restriction
(ii) n'est en g\'en\'eral pas impos\'ee. Elle est ici mentionn\'ee
par commodit\'e. On se persuadera que les fonction~$\xi_P$
et $\mu_P$ d\'efinies ci-apr\`es appartiennent bien \`a
$R(P\times P)$.}

\noindent
L'ensemble $R(P\times P)$ est muni d'une structure
d'alg\`ebre associative sur le corps des r\'eels -- on
l'appellera d\'esormais l'{\it alg\`ebre d'incidence} de~$P$
-- en prenant  pour somme $f+g$ et produit $fg$ de
deux \'el\'ements~$f$, $g$ de $R(P\times P)$, les fonctions
d\'efinies par
$$
\eqalignno{\noalign{\vskip-5pt}
(f+g)(x,y)&=f(x,y)+g(x,y);\cr
(fg)(x,y)&=\sum_{x\le z\le y} f(x,z)g(z,y);\cr}
$$

\goodbreak
\noindent pour tout $x,y$ dans $P$. L'alg\`ebre $R(P\times
P)$ a un \'el\'ement unit\'e~$\delta$ (la fonction de
Kronecker). On distingue enfin une application~$\xi_P$
d\'efinie par
$$
\xi_P(x,y)=\cases{1,&si $x\le y$ ;\cr
0,&autrement.\cr}
$$
La fonction de M\"obius $\mu_P$ de $P$ n'est autre que
l'inverse (on d\'emontre qu'il existe!) de~$\xi_P$ dans
$A(P\times P)$. Autrement dit, $\mu_P$ est la fonction
satisfaisant~\`a
$$
\xi_P\,\mu_P=\mu_P\,\xi_P=\delta.
$$

\sectiona 2. Mono\"\i des \`a factorisation finie|
Soit maintenant $M$ un mono\"\i de, c'est-\`a-dire un
ensemble muni d'une op\'eration associative (qu'on notera
multiplicativement), admettant un \'el\'e\-ment unit\'e (qu'on
notera~1). Le mono\"\i de~$M$ peut ou non contenir un
\'el\'ement z\'ero, not\'e~0, tel que $0\cdot x=x\cdot 0=0$ pour
tout~$x$ dans~$M$. On note~$M^+$ l'ensemble des
\'el\'ements non nuls de~$M$.

On appelle {\it d\'ecomposition} d'un \'el\'ement~$x$ de~$M$
toute suite finie $s=(x_1,\ldots,x_q)$ d'\'el\'ements de~$M$,
diff\'erents de~0 et de~1, telle que $x=x_1\cdots x_q$.
L'entier~$q$ s'appelle le {\it degr\'e} de la
d\'ecomposition~$s$. On admet, par convention, une
d\'ecomposition vide de~1, de degr\'e~0. On dit que le
mono\"\i de~$M$ est \`a {\it factorisation finie}, si tout
\'el\'ement de~$M^+$ n'admet qu'un nombre fini de
d\'ecompositions.

Soit $R(M)$ l'ensemble des fonctions r\'eelles sur $M^+$. On
munit  $R(M)$ d'une structure d'alg\`ebre associative en
posant
$$
\eqalignno{(f+g)(x)&=f(x)+g(x);\cr
(fg)(x)&=\sum_{x_1x_2=x}f(x_1)g(x_2).\cr}
$$
Dans la seconde r\`egle ci-dessus, la sommation est \'etendue
\`a tous les couples $(x_1,x_2)$ tels que $x_1x_2=x$, en
particulier, aux couples $(1,x)$ et $(x,1)$. On dira encore
que $R(M)$ est l'{\it alg\`ebre d'incidence} de~$M$. De
m\^eme, on distingue deux \'el\'ements $\xi_M$ et
$\epsilon_M$ dans $R(M)$, d\'efinis par $\xi_m(x)=1$ pour
tout~$x$ dans~$M^+$ et $\epsilon_M(x)=1$ ou~0 suivant
que $x=1$ ou $x\not=0,1$.

\sectiona 3. Formules d'inversion|
La formule d'inversion de M\"obius dans le cas des
ensembles ordonn\'es est la suivante : soient~$f$ et~$g$
deux fonctions r\'eelles d'{\it une} variable~$x$ courant
dans un ensemble ordonn\'e~$P$ et~$p$ un \'el\'ement de~$P$.
Alors les relations suivantes sont \'equivalentes :
$$
\eqalignno{g(x)&=\sum_{p\le y\le x}f(y),&\hbox{pour tout
$x$ dans $P$ ;}\cr
f(x)&=\sum_{p\le y\le x}g(y)\mu_P(y,x),&\hbox{pour tout
$x$ dans $P$.}\cr}
$$

Dans le cas des mono\"\i des \`a factorization finie, la
formule d'inversion de M\"obius est une identit\'e dans
l'alg\`ebre d'incidence $R(M)$ du mono\"\i de~$M$
(\cf. Cartier-Foata (1969), p.~20). Soient~$f$ et~$g$
deux fonctions r\'eelles sur~$M^+$. On a l'\'equivalence entre
les deux formules
$$
\eqalignno{g(x)&=\sum_{x_1x_2=x}f(x_2),&\hbox{pour tout
$x$ dans $M^+$ ;}\cr
f(x)&=\sum_{x_1x_2=x}\mu_M(x_1)g(x_2),&\hbox{pour tout
$x$ dans $M^+$.}\cr
}$$

Un dernier rapprochement entre~$\mu_P$ et $\mu_M$.
Dans le cas des ensembles ordonn\'es, on
d\'etermine~$\mu_P$ par r\'ecurrence au moyen des formules
$\mu_P(x,x)=1$ et
$$
\mu_P(x,y)=-\sum_{x\le z\le y,\,z\not=y}\mu_P(x,z),
$$
en utilisant le fait qu'il n'y a qu'un ensemble fini de $z$
tels que $x\le z\le y$.

Dans le cas des mono\"\i des, la fonction de M\"obius
$\mu_M$ est donn\'ee en chaque point~$x$ par l'argument
suivant. Pour tout~$x$ dans~$M^+$ on note $d_+(x)$
(resp. $d_-(x)$) le nombre de d\'ecompositions de $x$ de
degr\'e pair (resp. impair). Alors
$$
\mu_M(x)=d_+(x)-d_-(x)
$$ pour tout $x$ dans $M$.

\sectiona4. Alg\`ebres d'incidence des mono\"\i des|
Voyons maintenant comment le calcul de toute fonction de
M\"obius d'un ensemble ordonn\'e peut \^etre ramen\'e au calcul
d'une fonction de M\"obius d'un mono\"\i de \`a
factorisation finie.

\th Proposition 1|Soit $R(P\times P)$ l'alg\`ebre d'incidence
d'un ensemble ordonn\'e localement fini~$P$. Alors il existe
un mono\"\i de \`a factorisation finie~$M$ tel que son
alg\`ebre d'incidence $R(M)$ soit isomorphie \`a $R(P\times
P)$.
\finth

\dem
Soit $J$ l'ensemble des couples $(x,y)$ d'\'el\'ements de~$P$
tels que $x\le y$ et $x\not=y$. Soient encore deux
\'el\'ements que nous noterons~0 et~1 n'appartenant pas
\`a~$P$. On munit l'ensemble $M=\{0,1\}\cup J$ d'une
structure de mono\"\i de en posant
$$
\eqalign{0\cdot m&=m\cdot 0=0,\ \qquad\hbox{pour
tout
$m$ dans $M$;}\cr
1\cdot m&=m\cdot 1=m,\qquad\hbox{pour tout $m$
dans $M^+=M\setminus\{0\}$;}\cr}\leqno(*)
$$
et pour $(x,y)$ , $(z,t)$ dans $J$
$$
(x,y)\cdot(z,t)=\cases{(x,t),&si $y=z$ ;\cr
0,&sinon.\cr}\leqno(**)
$$
La multiplication ainsi d\'efinie est \'evidemment
associative. Si $(x,y)$ est dans~$J$, il n'admet qu'un
nombre fini de d\'ecompositions, puisque le segment
$[x,y]=\{z\in P:x\le z\le y\}$ est fini. Le mono\"\i
de~$M$ est donc \`a factorisation finie.

\goodbreak
Soit maintenant $f\in R(P\times P)$. On d\'efinit la
fonction r\'eelle~$f_M$ sur $M^+$ par les relations
$$\leqalignno{
f_M(1)&=f(x,x),\qquad\hbox{pour un \'el\'ement~$x$
quelconque de~$P$;}&{\rm (i)}\cr
f_M(x,y)&=f(x,y),\qquad\hbox{pour $x<y$.}&{\rm (ii)}\cr}
$$
Montrons que l'application $f\mapsto f_M$ est un
isomorphisme de $R(P\times P)$ sur $R(M)$. Le caract\`ere
bijectif de $f\mapsto f_M$ est \'evident d'apr\`es les
relations~(i) et (ii) et la relation $(f+g)_M=f_M+g_M$ est
triviale. Reste \`a v\'erifier : $(fg)_M=f_Mg_M$. Or, pour
$x<y$, on a
$$
\eqalignno{
(fg)_M(x,y)&=\sum_{x\le z\le y}f(x,z)g(z,y)\cr
&=\sum_{x< z< y} f(x,z)g(z,y)+f(x,x)g(x,y)+f(x,y)g(y,y)\cr
&=\sum
f_M(x_1,y_1)g_M(x_2,y_2)+f_M(1)g_M(x,y)+f_M(x,y)g_M(1),\cr}
$$
o\`u la sommation est \'etendue \`a l'ensemble des paires de
couples $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ tels que $(x_1,y_1)\cdot
(x_2,y_2)=(x,y)$. D'o\`u
$$
\eqalignno{
(fg)_M&=(f_Mg_M)(x,y).\cr
\noalign{\hbox{Enfin, pour tout $x$ dans $P$,}}
(fg)_M(1)&=(fg)(x,x)\cr
&=f(x,x)g(x,x)=f_M(1)g_M(1)\cr
&=(f_Mg_M)(1).\qed\cr}
$$

\th Corollaire|Soit $M$ le mono\"\i de associ\'e \`a l'ensemble
ordonn\'e~$P$ par les relations $(*)$ et $(**)$. On a alors
$$
\mu_P(x,y)=\mu_M(x,y)
$$
pour tout couple $(x,y)$ tel que $x\le y$.
\finth

En effet, $\mu_M$ est l'image de $\mu_P$ par
l'isomomorphisme $f\mapsto f_M$.


\sectiona 5. Alg\`ebres d'incidence des ensembles ordonn\'es|
R\'eciproquement, on peut ramener le calcul de la fonction
de M\"obius d'un mono\"\i de \`a factorisation finie~$M$ \`a
celui de la fonction de M\"obius d'un ensemble
ordonn\'e~$P$. Il y a cependant une restriction \`a imposer
sur le mono\"\i de~$M$. On dit qu'un mono\"\i de~$M$ est
{\it simplifiable} (\`a droite) si pour~$x, u, v$ dans~$M$
avec $x\not=0$ on a :
$[xu=xv]\Rightarrow [u=v]$.
Supposons~$M$ simplifiable. Si $u$, $x$, $y$ sont
dans~$M$ et si $y=xu$, l'\'el\'ement~$u$ est d\'efini de fa\c con
unique. On peut donc poser
$$
u=y/x\quad{\rm et\ ainsi\quad }y=x\,(y/x).
$$
Compte tenu de cette restriction, on a le r\'esultat suivant.

\goodbreak
\th Proposition 2|Soit $R(M)$ l'alg\`ebre d'incidence d'un
mono\"\i de \`a factoorisation finie et simplifiable. Alors il
existe un ensemble ordonn\'e localement fini~$P$ tel que
son alg\`ebre d'incidence $R(P\times P)$ soit isomorphe
\`a~$R(M)$.
\finth

\dem
L'ensemble ordonn\'e $P$ qu'on va associer \`a~$M$ est la
paire $(M,\le)$, o\`u ``$\le $" est l'ordre d\'efini par
$$
x\le y\quad\hbox{si $y=xu$ pour un certain $u$ dans
$M$.}
$$
On d\'efinit de cette fa\c con un ordre sur~$M$, car si $y=xu$
et $y=zv$, on a $z=xuv$ ; d'o\`u $x\le y$ et $y\le z$
entra\^\i nent $x\le y$. De plus, cet ordre est localement fini,
car si l'on a $x\le y\le z$, on a aussi $z=yv$ pour un
certain~$v$, o\`u encore $(y,v)$ est une d\'ecomposition de
degr\'e~2 de~$z$. Comme il n'y a qu'un nombre fini de
d\'ecompositions de~$z$, il n'y a donc qu'un nombre fini
d'\'el\'ements~$y$ satisfaisant \`a $x\le y\le z$. Comme on a
suppos\'e~$M$ {\it simplifiable}, il existe un et un seul
\'el\'ement not\'e $y/x$ tel que $y=x(y/x)$ lorsque $x\le y$.

Soit $f$ une fonction appartenant \`a $R(M)$. On pose alors
pour $x,y$ dans~$M$
$$
f_P(x,y)=\cases{f(y/x),&si $x\le y$ ;\cr
0,&sinon.\cr}
$$
Comme pr\'ec\'edemment on peut v\'erifier que $f\mapsto f_P$
est bijectif et lin\'eaire. Soient~$f$ et~$g$ deux \'el\'ements
de $R(M)$. On a pour $x\le y$
$$
\leqalignno{
(fg)_P(x,y)&=(fg)(y/x)=\sum_{u_1u_2=y/x}f(u_1)g(u_2)\cr
&=\sum_{x\le y\le z}f(z/x)g(y/z)\cr
&=\sum_{x\le y\le z} f_P(x,z)g_P(z,y)=(f_Pg_P)(x,y).\qed\cr}
$$
La fonction de M\"obius $\mu_P$ de l'ensemble $P=(M,\le)$
est alors donn\'ee par
$$
\mu_P(x,y)=\mu_M(y/x),\quad{\rm lorsque}\ x\le y.
$$


\medskip
\centerline{\bf Bibliographie}
\medskip
{\eightpoint

\smallskip\noindent
Pierre Cartier, Dominique Foata (1969)\pointir {\sl
Probl\`emes combinatoires de commutation et
r\'earrangements}\pointir Lecture Notes in Math., no.~{\bf
85}, Springer-Verlag, Berlin.

\smallskip\noindent
Gian-Carlo Rota (1964)\pointir On the Foundations of
Combinatorial Theory~I. Theory of M\"obius Inversion, {\sl
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie}, {\bf 2}, p.~340--368.

\smallskip\noindent
Gian-Carlo Rota (1972)\pointir Communication priv\'ee.

\smallskip\noindent
Marcel-Paul Sch\"utzenberger (1974)\pointir
Communication priv\'ee.


\bigskip
\line{\hbox{Retyped with \TeX,
December 10, 2005.}\hfil\vbox{\halign{#\hfil\cr Institut
Lothaire\cr 1, rue Murner\cr
67000 Strasbourg, France\cr}}\hskip.5cm}

}
\bye