\catcode'32=9
\magnification=1200

% particularite du pilote canon

\voffset=1cm
\hoffset=0cm
%\hoffset=1cm
\font\tenpc=cmcsc10
%\font\eightpc=cmcsc8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
\font\eightrm=cmr8
\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8
\font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
\font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm7 at 8pt
\font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7
\font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm}%
  \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}%
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt
  \belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \belowdisplayshortskip=7pt plus 3pt minus 4pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=12pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\tenrm \let\smallf@ntpc=\sevenrm
  \let\petcap=\tenpc
  \normalbaselines\rm}
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}

\let\bb=\bboard

\tenpoint

%\to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to  dactylographie fran\c caise \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to 

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

%\to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to  format de sortie \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to 

\newif\ifpagetitre
\newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

\pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000
\newdimen\hmargehaute \hmargehaute=0cm
\newdimen\lpage \lpage=13.3cm
\newdimen\hpage \hpage=20cm
\newdimen\lmargeext \lmargeext=1cm
\hsize=11.25cm
\vsize=18cm
\parskip 0pt
\parindent=12pt

\def\margehaute{\vbox to \hmargehaute{\vss}}%
\def\margebasse{\vss}

\output{\shipout\vbox to \hpage{\margehaute\nointerlineskip
  \corpsdepage\margebasse}
  \advancepageno \global\pagetitrefalse
  \ifnum\outputpenalty>-20000 \else\dosupereject\fi}

\def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}}
\def\pagetexte{\vbox{\makeheadline\pagebody\makefootline}}
\headline={\ifpagetitre\titleheadline \else
  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
\def\leftheadline{\eightpoint\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\def\rightheadline{\eightpoint\hfil\the\titrecourant\hfil}
\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\medskip
            {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\medskip
             {{\it #1.}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr\`es une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}
\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

%les differents retraits, voir aussi \item
\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
  \par\nobreak\vskip 3pt }
\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
  \par\nobreak\vskip 2pt }

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen1=\ht1
            \advance\dimen1 by\dp1
            \divide\dimen1 by 2
            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen1{}\right.$}}


\catcode`\@=12

%end format



%
\def\Lig{\mathop{\rm Ligne}}
\def\Colig{\mathop{\rm Coligne}}
\def\Des{\mathop{\rm Des}}
\def\Maj{\mathop{\rm Maj}}
\def\Codes{\mathop{\rm Codes}}
\def\Comaj{\mathop{\rm Comaj}}
\def\Ides{\mathop{\rm Ides}}
\def\Ilig{\mathop{\rm Iligne}}
\def\Imaj{\mathop{\rm Imaj}}
\def\ig{\hbox{\bf i}} 
\def\rg{\hbox{\bf r}} 
\def\cg{\hbox{\bf c}} 
\def\R{\mathop{\rm R{}}}
\def\Bij{\mathop{\rm Bij}}
\def\Inv{\hbox{Inv}}
\def\Fix{\mathop{\rm Fix}}
\def\Trans{\mathop{\rm Trans}}

\def\dleqno#1|{\hfil\kern-\displaywidth\rlap{$#1$}\kern\displaywidth
  \hfilneg}
\def\rest#1{\Bigm|_{\textstyle#1}}
\def\gauss{\atopwithdelims[]}

\vglue 1.5cm
\centerline{{\bf FONCTIONS SYM\'ETRIQUES ET S\'ERIES}}
\vskip 4pt
\centerline{{\bf HYPERG\'EOM\'ETRIQUES BASIQUES MULTIVARI\'EES, II}
\footnote{$^1$}{Ce texte a \'et\'e compos\'e par le laboratoire
de typographie informatique de l'Universit\'e Louis-Pasteur
\`a Strasbourg, au moyen du pr\'eprocesseur {\sl STRATEC}. Le fichier
obtenu a \'et\'e ensuite trait\'e par
le logiciel {\sl TEX/SM~90}.}}
\vskip 2.6mm
\centerline{\eightpoint PAR} 
\vskip 2.6mm
\centerline{{\petcap Jacques} D\'ESARM\'ENIEN et 
{\petcap Dominique} FOATA
\footnote{$^2$}{D\'epartement de Math\'ematique,
Universit\'e Louis-Pasteur
de Strasbourg, 7, rue Ren\'e-Descartes, F-67084 Strasbourg Cedex.}}
\vskip 6mm
\rightline{{\eightrm En l'honneur de Marcel-Paul \pc SCH\"UTZENBERGER|}\quad}
\vskip 6mm 
\resume{Dans un article pr\'ec\'edent [8], nous avons fait
appara\^\i tre des fonctions 
hyper\-g\'eom\'etriques basiques multivari\'ees
dans l'\'etude de certaines statistiques sur le groupe 
sym\'etrique. Nous \'etablissons ici les propri\'et\'es
de sym\'etrie de ces fonctions en faisant appel 
\`a l'alg\`ebre des tableaux de Young.}
\vskip 2mm
\abstract{In a previous paper [8] 
we showed how some multivariate basic hypergeometric 
functions arose in the study of certain statistics 
on the symmetric group. Here we establish symmetry properties
of those fonctions by means of the Young tableau algebra.}
\titre 1. Introduction|
Pour chaque entier $n\geq 0$, posons :
  $$\eqalign{(a;q)_0&=1,\cr
(a;q)_n&=(1-a)(1-aq)\,\ldots\,(1-aq^{n-1}),\qquad(n\geq 1)\cr
(a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n=\prod_{n\geq 0}(1-aq^n).\cr}$$
D'autre part, pour chaque paire d'entiers positifs $r,s$, 
adoptons la notation :
$$\eqalign{(u;q_1,q_2)_{r,s}
&= 1,\qquad\hbox{si 
$r$ ou $s$ est nul ;}\cr
&=\prod _{1\leq i\leq r}
\prod_{1\leq j\leq s} 
(1-uq_1^{i-1}q_2^{j-1}),\qquad\hbox{si $r,s\geq 1$,}\cr}$$ 
et
$$\eqalign{(u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }
&=\lim\nolimits_{r,s}(u;q_1,q_2)_{r,s}\;,\cr
&\null =\prod_{i\geq 1}\prod_{j\geq 1}
(1-uq_1^{i-1}q_2^{j-1}).\cr}$$
Dans [8] nous avons \'etabli que l'identit\'e :
$$\sum_n C_n 
{u^n\over (t_1;q_1)_{n+1}\,(t_2;q_2)_{n+1}} 
=\sum _{r,s} t_1{}^rt_2{}^s {(-zu;q_1,q_2)_{r+1,s+1}
\over (u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}},\leqno(1.1)$$
d\'efinissait une suite de
polyn\^omes 
  $$C_n=\sum  C(n;m,r,s,i,j) z^m t_1^r t_2^s q_1^i q_2^j$$
\`a cinq variables $z$, $t_1$, $t_2$, $q_1$, $q_2$, 
o\`u les coefficients $C(n;m,r,s,i,j)$ 
\'etaient des entiers positifs, de somme \'egale
\`a $n!\,2^n$.

Cette identit\'e contenait comme cas particuliers,
d'une part, les formules classiques sur les $q$-s\'eries
(par exemple, la formule $q$-binomiale [1, p.\kern 3pt 17, 2, p.~66]),
d'autre part, les identit\'es sur les distributions
multivari\'ees de statistiques sur le groupe sym\'etrique.

Soient $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ une suite d'entiers positifs
de somme $n$ et $W=W(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ l'ensemble de tous 
les r\'earrangements du mot
$1^{a_1}2^{a_2}\cdots k^{a_k}$. Si $w=x_1x_2\cdots x_n$
est un tel r\'earrangement, sa {\it  ligne de route},
not\'ee $\Lig w$, est d\'efinie comme l'ensemble des
entiers $i$ tels que $1\le i\le n-1$ et $x_i>x_{i+1}$,
tandis que le {\it  nombre de descentes} $\Des w$ et
l'{\it  indice majeur} $\Maj w$ sont d\'efinis par :
  $$\Des w=\left|\Lig w\right|\qquad
\Maj w=\sum \{i:i\in \Lig w\}.$$
On doit \`a \pc MAC|\pc MAHON| d'avoir introduit
la notion d'indice majeur (``major index''),
d'avoir \'egalement calcul\'e sa fonction g\'en\'eratrice
sur tout ensemble $W$ de r\'earrangements,
enfin d'avoir montr\'e qu'elle \'etait
la m\^eme que celle du nombre des
inversions (\cf. [22, 23 \S~104, 24, 25]).

Lorsque tous les $a_i$ sont \'egaux 
\`a 1 (et donc $k$ \`a $n$), chaque r\'earrangement $w$ dans $W$
est une permutation de $12\cdots n$. 
On peut alors d\'efinir les quantit\'es :
  $$\Ides w=\Des w^{-1}\qquad \Imaj w=\Maj w^{-1},$$
o\`u $w^{-1}$ est l'inverse de $w$ dans le
groupe (sym\'etrique) $W$. Les distributions
univari\'ees ou multivari\'ees des statistiques 
$\Des$, $\Ides$, $\Maj$, $\Imaj$ sur $V$ ont
fait l'objet de nombreuses \'etudes et ont
\'et\'e calcul\'ees avec succ\`es. Par exemple,
le polyn\^ome g\'en\'erateur de $\Des$ sur $W$
n'est autre que le {\it  polyn\^ome eul\'erien}
(\cf. [10]), les $q$-nombres eul\'eriens
donnent la distribution du couple $(\Des,\Maj)$
(\cf. [3, 4, 5]). La fonction g\'en\'eratrice
du quadruplet $(\Des,\Ides,\Maj,\Imaj)$,
toujours sur le groupe sym\'etrique $W$, fut
calcul\'ee par \pc GARSIA|--\pc GESSEL| [13]
et \pd RAWLINGS [26], tandis que le groupe
de sym\'etrie de la distribution de ce quadruplet
fut obtenu dans le contexte
des tableaux de Young (\cf. [11]).
D'autres r\'esultats sur ces statistiques sont dues
\`a \pd CARLITZ [6], \pc CHEEMA|--\pc MOTZKIN| [7], 
\pd GESSEL [14], \pd RAWLINGS [27], \pd ROSELLE [29],
\pd STANLEY [33]. Voir \'egalement~[9].

Dans [8], nous avons \'etendu la d\'efinition
des statistiques $\Des$, $\Ides$, $\Maj$, $\Imaj$
\`a l'ensemble des permutations color\'ees, ensemble de
cardinal $n!\,2^n$, et fait appara\^\i tre les polyn\^omes
$C_n$ de la formule (1.1) comme des fonctions
g\'en\'eratrices d'un 5-vecteur sur cet ensemble.  
Nous avons ainsi pu d\'emontrer que, par sp\'ecialisation,
on obtenait toutes les formules sur le groupe
sym\'etrique faisant intervenir les
quatre statistiques ci-dessus.

Rappelons \'egalement que (1.1)
se particularise en la formule :
$$\sum_n C_n(z,q_1,q_2){u^n\over (q_1,q_1)_n\,(q_2,q_2)_n}
={(-zu;q_1,q_2)_{\infty,\infty}\over (u;q_1,q_2)_{\infty,\infty}},$$
(les $C_n(z,q_1,q_2)$ \'etant des polyn\^omes), formule consid\'er\'ee
comme un analogue de la formule $q$-binomiale au cas de deux
bases $q_1$, $q_2$.

Dans notre article, nous n'avions cependant pas respect\'e le principe
de \pc RIORDAN|, qui veut que toute d\'efinition nouvelle de 
polyn\^omes ou de suites de nombres soit n\'ecessairement
accompagn\'ee de la table des premi\`eres valeurs
(permettant ainsi au lecteur de v\'erifier ais\'ement les relations
de r\'ecurrence dans les cas initiaux).
Nous nous proposons ici de r\'eparer cette offense et de
calculer les premi\`eres valeurs de $C_n$ pour $n=1,2,3,4,5,6$. 
On trouvera celles-ci dans l'annexe~2, qui contient les tables
des coefficients $C(n;m,r,s,i,j)$.

Comme le lecteur peut le constater ces tables pr\'esentent plusieurs
sym\'etries, suivant la diagonale principale, \`a l'int\'erieur de chaque bloc
correspondant \`a une valeur fix\'ee de $i,j$, entre blocs,~\dots\ Le but
principal de cet article sera de prouver ces sym\'etries, de fa\c con 
plus essentielle, de d\'egager le groupe de sym\'etrie sous-jacent.
Le r\'esultat prouv\'e s'exprime analytiquement sous la forme suivante :

\th Th\'eor\`eme 1.1|Pour tout $5$-vecteur $v=(m,r,s,i,j)$, on a les
relations :
  $$\displaylines{(1.2)\qquad C(n;m,r,s,i,j)=C(n;m,s,r,j,i),\hfill\cr
(1.3)\qquad C(n;m,r,s,i,j)=C(n;m,r,s,i,ns-j),\hfill\cr
(1.4)\qquad C(n;m,r,s,i,j)
=C(n;m,n-1-r,n-1-s,{\textstyle {n\choose2}}-i,
{\textstyle{n\choose 2}}-j),\hfill\cr
(1.5)\qquad C(n;m,r,s,i,j)
=C(n;n-m,r,n-1-s,i,{\textstyle{n\choose 2}}-j).\hfill\cr}$$
\finth

Le calcul effectif des polyn\^omes $C_n$ repose sur la manipulation
des $(t,q)$-{\it tableaux} $F_{\nu /\theta }(t,q)$. Ceux-ci sont
introduits dans la prochaine section comme polyn\^omes
g\'en\'erateurs de tableaux gauches d'une forme donn\'ee 
$\nu /\theta $. L'alg\`ebre des fonctions de Schur permet
d'exprimer les polyn\^omes $C_n$ en fonction
des $(t,q)$-tableaux (formule (3.5)). De fa\c con \'equivalente,
$C_n$ s'exprime comme fonction 
g\'en\'eratrice de paires de tableaux
gauches par une certaine statistique $V$ (formule (3.8)).
La section~4 contient des indications pour le calcul effectif
des $(t,q)$-tableaux. Dans la section~5, nous donnons la
construction de trois involutions sur les tableaux de forme
$\lambda \otimes \mu $, permettant dans la section suivante de d\'egager
le groupe de sym\'etrie d'ordre~32 de la distribution~$V$.


\titre 2. Les $(t,q)$-tableaux|
D\'esignons par {\it partition} toute
suite finie d\'ecroissante
$\nu =(\nu _1,\nu _2,\ldots,\nu _p)$ d'entiers 
sup\'erieurs ou 
\'egaux \`a 1. Si la somme $\nu _1+\nu _2+\cdots+\nu _p$ 
de ces entiers est \'egale \`a $n$, on dit que $\nu $ 
est une {\it partition de} $n$ et on pose 
$\left|\nu \right|=n$. Le {\it diagramme de Ferrers} 
associ\'e \`a $\nu $ est l'ensemble des couples 
$(i,j)$ du plan euclidien satisfaisant \`a
$1\leq i\leq \nu _j$, 
$1\leq j\leq p$. Il est commode de
l'identifier \`a la partition elle-m\^eme.

Soient 
$\nu =(\nu _1,\nu _2,\ldots,\nu _p)$ et
$\theta =(\theta _1,\theta _2,\ldots,\theta _r)$ deux diagrammes de
Ferrers. Si $\nu \supset \theta $, la diff\'erence ensembliste $\nu -\theta $, 
qu'on note le plus souvent $\nu /\theta $, est
appel\'ee {\it diagramme gauche}. On s'int\'eressera
plus particuli\`erement aux diagrammes gauches $\nu /\theta $ de la forme
suivante~: on part de deux diagrammes de Ferrers {\it quelconques} 
$\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,\ldots,\lambda _p)$ et
$\mu =(\mu _1,\mu _2,\ldots,\mu _r)$ et l'on consid\`ere
l'ensemble, not\'e $\lambda \otimes  \mu $, de tous les translat\'es 
$(\lambda _1+i,j)\;(1\leq i\leq \mu _j\;;\;1
\leq j\leq r)$
et $(i,r+j)\;(1\leq i\leq \lambda _j\;;\;1
\leq j\leq p)$.\par 
Par exemple, avec $\lambda =(2,1)$ et $\mu =(3,1)$, 
on obtient pour $\lambda\otimes\mu$ le diagramme gauche mat\'erialis\'e
par les croix : 
$$\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$&$\hfil#\hfil\;$& 
                $\hfil#\hfil\;$&$\hfil#\hfil\;$&$\hfil#\hfil$\cr
\times &&&&\cr
\times &\times &&&\cr
&&\times &&\cr
&&\times &\times &\times \cr}}$$ 

Soit $I$ un sous-ensemble de cardinal $n$ 
et $\nu /\theta $ un diagramme gauche contenant $n$ points.
Supposons que l'on \'ecrive les $n$ entiers de $I$ sur les $n$ 
points du diagramme $\nu /\theta $ de fa\c con \`a obtenir 
une croissance dans chaque ligne (de gauche \`a droite) 
et chaque colonne (de bas en haut). La configuration 
obtenue est appel\'ee {\it tableau standard}, 
{\it de contenu} $I$ {\it et de forme} $\nu /\theta $.
Lorsque $I=[n]$, on remplace ``de contenu $I$'' par 
``d'ordre $n$''. Dans la suite, on utilisera essentiellement 
les {\it tableaux standard d'ordre} $n$, {\it de forme} 
$\nu /\theta $ (et plus particuli\`erement ceux de forme
$\lambda \otimes  \mu $ pour $\lambda $ et $\mu $ quelconques tels que
$\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=n$) 
et les {\it tableaux standard}, {\it de contenu}
$I$ {\it et de forme} $\lambda $. On dira aussi qu'un tableau
est {\it droit} (resp. {\it gauche}), si sa forme est un diagramme
de Ferrers (resp. diagramme gauche).

Par exemple,
$$P_1=\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&8&\null\cr 
               4&5&9\cr}}\;;\quad
Q_1=\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               2&8&\null\cr 
               1&6&7\cr}}\;;\quad
P_2=\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               3&\null&\null\cr 
               1&2&7\cr}}\;;\quad
Q_2=\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               4&\null&\null\cr 
               3&5&9\cr}}\;;$$
sont des tableaux {\it standard}, de forme $\lambda =(3,2)$,
pour les deux premiers et $\mu =(3,1)$ pour les deux
derniers. Ils ont des contenus diff\'erents les
uns des autres.

Les deux tableaux
$$R_1=\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&8&&&&\cr 
               4&5&9&&&\cr 
               &&&3&&\cr 
               &&&1&2&7\cr}}\qquad
R_2=\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               7&&&&\cr 
               6&8&&&\cr 
               1&2&&&\cr 
               &&4&&\cr 
               &&3&5&9\cr}}$$
sont standard, d'{\it ordre} 9 ; le premier est 
de forme $\lambda \otimes  \mu $, le second $\lambda'\otimes  \mu $
(notant ici $\lambda '$ le diagramme {\it transpos\'e} d\'eduit de $\lambda $).
Ils sont form\'es au moyen des pr\'ec\'edents tableaux de fa\c con
claire. La notation
$$R_1=P_1\otimes  P_2\qquad\hbox{et}\qquad
R_2=Q'_1\otimes  Q_2$$
est alors \'evidente.

La {\it ligne inverse de route} (\cf. [11]) d'un tableau standard $R$,
d'ordre $n$, de forme $\nu / \theta $, est 
l'ensemble des entiers $k$ tels que $1\leq k\leq n-1$ et tels que 
$(k+1)$ soit \'ecrit {\it plus haut} que $k$ dans $R$.
Cette ligne inverse de route est
not\'ee $\Ilig R$. On pose \'egalement :
$$\Ides R=\left|\Ilig R\right|\qquad\hbox{et}\qquad
\Imaj R=\sum \{i:i\in \Ilig R\}.\leqno(2.1)$$
Dans l'exemple pr\'ec\'edent, on a $\Ilig R_1=\{ 2,3,5,7\} $,
de sorte que $\Ides R_1=4$ et $\Imaj R_1=2+3+5+7=17$.

La statistique $\Imaj$ introduite ici sur les tableaux
gauches reprend l'in\-for\-ma\-tion contenue dans la
{\it  charge} et la {\it  cocharge} des tableaux, deux notions
introduites par \pc LASCOUX|--\pc SCH\"UTZENBERGER| [17, 18].
Voir \'egalement \pd MACDONALD [21, p.~129].

Pour chaque diagramme gauche $\nu /\theta $ de cardinal $n$, on introduit 
le polyn\^ome g\'en\'erateur du couple $(\Ides,\Imaj)$
sur l'ensemble de tous les tableaux standard $R$, d'ordre $n$,
de forme $\nu /\theta $, \`a savoir le polyn\^ome :
  $$F_{\nu /\theta }(t,q)=\sum t^{\Ides R} q^{\Imaj R}\qquad
(R\ {\rm standard,\ de\ forme}\ \nu /\theta ).\leqno(2.2)$$
Ce polyn\^ome sera d\'esign\'e par $(t,q)$-{\it  tableau}.

Dans le pr\'esent article, on consid\`erera essentiellement les
$(t,q)$-tableaux $F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)$ correspondant aux diagrammes
$\lambda \otimes \mu $.

\goodbreak

\titre 3. Fonctions de Schur|
Nous rappelons bri\`evement ici comment les polyn\^omes
$C_n$ (\cf. (1.1) et (1.2)) s'expriment en fonction
des $(t,q)$-tableaux et comment l'alg\`ebre des fonctions
de Schur fournit tous les \'el\'ements de calcul n\'ecessaires.

On note $S_{\nu /\theta }(x)$ la {\it fonction de Schur gauche}
associ\'ee au diagramme gauche $\nu /\theta $, avec $x$ comme
ensemble de variables (\cf. [13, p. 42]). Lorsque $\nu /\theta
=\lambda \otimes \mu $ (avec $\lambda $ et $\mu $ diagrammes de
Ferrers, comme indiqu\'e dans la section pr\'ec\'edente), il r\'esulte
de la d\'efinition m\^eme des fonctions de Schur (\cf. [13, p. 42])
que l'on~a :
  $$S_{\lambda \otimes \mu }(x)=S_\lambda (x)S_\mu (x)=S_{\mu \otimes \lambda }(x).\leqno(3.1)$$
Par ailleurs, les produits de fonctions de Schur 
s'expriment comme combinaisons lin\'eaires d'autres fonctions
de Schur :
  $$S_\lambda (x)S_\mu (x)=\sum _\nu  g_{\lambda \mu \nu } S_\nu (x),\leqno(3.2)$$
o\`u les coefficients $g_{\lambda \mu \nu }$ sont des entiers positifs,
qu'on peut \'evaluer par l'algorithme de Littlewood-Richardson.

Partons alors des deux formules de Cauchy
(\cf. [13, p. 33 et 35]) :
  $$\displaylines{\sum _\lambda  S_\lambda (x) S_\lambda (y) =\prod _{i,j} (1-x_iy_j)^{-1},\cr
\sum _\lambda  S_\lambda (x) S_{\lambda '}(y) = \prod _{i,j} (1+x_iy_j),\cr}$$
et multiplions les membre \`a membre compte tenu de (3.1) tout
en introduisant une variable d'homog\'en\'eit\'e $u$. Nous obtenons :
  $$\sum _n u^n \sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
S_{\lambda \otimes \mu }(x) S_{\lambda '\otimes \mu }(y)=
\prod _{i,j} {(1+zux_iy_j)\over (1-ux_iy_j)},$$
o\`u, pour chaque $n\geq 0$ fix\'e, la seconde sommation
est sur les paires de partitions $(\lambda ,\mu )$ telles que
$\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=n$. En prenant pour
$x$ (resp. $y$) un ensemble fini
$\{ x_1,\ldots,x_{r+1}\} $ (resp. $\{ y_1,\ldots,y_{s+1}\} $)
de variables et en faisant les substitutions 
$x_i\leftarrow q_1^{i-1}$, 
$y_j\leftarrow q_2^{j-1}$, 
on en d\'eduit la formule :
  $$\sum _n u^n \sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
S_{\lambda \otimes \mu }(1,\ldots,q_1^r)
S_{\lambda '\otimes \mu }(1,\ldots,q_2^s)=
{(-zu;q_1,q_2)_{r+1,s+1}\over (u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}}.$$
Multipliant par $t_1^rt_2^s$ et sommant par rapport \`a
$r$ et $s$, on obtient, comme second membre, 
le second membre de l'identit\'e (1.1). Le premier membre,
lui, s'\'ecrit :
  $$\sum _n u^n \sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
\sum _r t_1^r S_{\lambda \otimes \mu }(1,\ldots,q_1^r)
\sum _s t_2^s S_{\lambda '\otimes \mu }(1,\ldots,q_2^s).$$
Comparant avec (1.1), on voit donc que
$C_n$ est \'egal \`a l'expression :
  $$\displaylines{(3.3)\qquad 
C_n=\sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
(t_1;q_1)_{n+1}(t_2;q_2)_{n+1}\hfill\cr
\hfill \sum _{r,s} t_1^r t_2^s S_{\lambda \otimes \mu }(1,\ldots,q_1^r)
S_{\lambda '\otimes \mu }(1,\ldots,q_2^s).\quad\cr}$$

Le lemme suivant, \'enonc\'e et d\'emontr\'e dans
[6, th\'eor\`eme 4.1], permet non seulement
de prouver que $C_n$ est un polyn\^ome, mais
fournit aussi une interpr\'etation combinatoire pour
$C_n$, compte tenu des propri\'et\'es bien connues des
fonctions de Schur. \pd REMMEL [16] a utilis\'e r\'ecemment
ce lemme pour exploiter combinatoirement plusieurs
formules classiques sur les fonctions de Schur. Notre
coll\`egue Richard \pc STANLEY|, dans une correspondance
priv\'ee, nous a fait savoir que ce lemme pouvait
se d\'eduire de la proposition 8.3, p.~24 de sa th\`ese [20],
pourvu que l'on sache faire le rapprochement souhait\'e entre
$(P,\omega )$-partitions et $(t,q)$-tableaux.

\th Lemme|Soit $\nu /\theta $ un diagramme gauche de $n$ \'el\'ements,
alors le $(t,q)$-tableau $F_{\nu /\theta }(t,q)$, tel qu'il est
d\'efini en $(2.2)$ est donn\'e par :
  $$F_{\nu /\theta }(t,q)=(t;q)_{n+1} \sum _r t^r 
S_{\nu /\theta }(1,q,q^2,\ldots,q^r).\leqno(3.4)$$
\finth

Comparant (3.3) et (3.4), on en d\'eduit que 
$C_n$ est un {\it polyn\^ome} et qu'il peut \^etre
exprim\'e au moyen de la formule :
  $$C_n = \sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
F_{\lambda \otimes \mu }(t_1,q_1) F_{\lambda '\otimes \mu }(t_2,q_2),\leqno(3.5)$$
o\`u la somme est \'etendue sur l'ensemble des couples
de diagrammes de Ferrers tels que 
$\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=n$.

Donnons enfin une autre expression pour $C_n$, qui
prend en charge la d\'efinition (2.2) des $(t,q)$-tableaux.
Soient $R_1$, $R_2$ deux tableaux standard, d'ordre $n$,
de forme $\lambda _1 \otimes \mu _1$
et $\lambda _2  \otimes \mu _2$, respectivement.
On dit qu'ils sont {\it jumelables} si
$\lambda _1=\lambda _2'$ et $\mu _1=\mu _2$. 
La paire $\lambda _1\otimes \mu _1, \lambda _2\otimes \mu _2$
($\null=\lambda _1\otimes \mu _1, \lambda _1'\otimes \mu _1$) 
est appel\'ee {\it forme} de $R_1R_2$. 
Le $V$-{\it vecteur} de la paire $R_1R_2$ est,
par d\'efinition, le vecteur :
  $$V(R_1R_2)=(\left|\lambda _1\right|, \Ides R_1,
\Ides R_2, \Imaj R_1, \Imaj R_2).\leqno(3.6)$$
On note aussi $v(R_1R_2)$ le {\it mon\^ome} :
  $$v(R_1R_2)=z^{\left|\lambda \right|}
t_1^{\Ides R_1} t_2^{\Ides R_2}
q_1^{\Imaj R_1} q_2^{\Imaj R_2}.\leqno(3.7)$$
Enfin, on d\'esigne par ${\cal T}'_n$ l'ensemble des couples
jumelables de tableaux standard d'ordre $n$.
Il r\'esulte de (3.5) et de (2.1) que $C_n$ est le
{\it polyn\^ome g\'en\'erateur des paires de tableaux standard
d'ordre $n$, jumelables, par le vecteur $V$}, ou encore que 
l'on a :
  $$C_n=\sum _{R_1R_2} v(R_1R_2)\qquad (R_1R_2\in  {\cal T}'_n).\leqno(3.8)$$

\newbox\stritbox
\setbox\stritbox=\hbox{\vrule height 7pt depth 2pt width 0pt}
\def\strit{\relax\ifmmode\copy\stritbox\else\unhcopy\stritbox\fi}

\def\quatredeux#1#2{\vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip
                      \halign{\strit##&\vrule##&
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##& 
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##\crcr
  \noalign{\hrule}
  #1\crcr}
  \halign{\strit##&\vrule##&
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##& 
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##&
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##& 
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##\crcr
  \noalign{\hrule}
  #2\crcr
  \noalign{\hrule}}}}

\def\quatre#1{\vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip
  \halign{\strit##&\vrule##&
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##& 
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##&
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##& 
  \hbox to 9pt{\hfil##\hfil}& \vrule##\crcr
  \noalign{\hrule}
  #1\crcr
  \noalign{\hrule}}}}


\titre 4. Le calcul des polyn\^omes|
Nous montrons ici comment on peut simplement calculer les
polyn\^omes $F_\lambda (t,q)$, puis en d\'eduire l'expression de
$F_{\lambda  \mu }(t,q)$, enfin d\'eterminer $C_n$ au moyen de la formule
(3.5).

Chaque $(t,q)$-tableau $F_\lambda (t,q)$ sera repr\'esent\'e par
son diagramme de Ferrers sous-jacent. 
Par exemple :
  $$F_{4,2}(t,q)=\quatredeux{&&&&&\cr}{&&&&&&&&&\cr}\;.$$
De la m\^eme mani\`ere, le symbole
\quatredeux{&&&&6&\cr}{&&&&&&&&&\cr}
d\'esigne la fonction g\'en\'eratrice, par Ides et Imaj (\cf. (2.1)),
des tableaux standard de forme $\lambda =4,2$,
ayant l'entier 6 dans le coin sup\'erieur droit.

En se reportant \`a la d\'efinition m\^eme de la ligne
inverse d'un tableau et de Ides et Imaj, on a :
  $$\eqalign{\quatredeux{&&&&&\cr}{&&&&&&&&&\cr}&
=\quatredeux{&&&&6&\cr}{&&&&&&&&&\cr}
+\quatredeux{&&&&&\cr}{&&&&&&&&6&\cr}\;,\cr
&=\quatredeux{&&5&&6&\cr}{&&&&&&&&&\cr}
+\quatredeux{&&&&6&\cr}{&&&&&&&&5&\cr}
+\quatredeux{&&&&&\cr}{&&&&&&&&\multispan1\cr}\;,\cr
&=tq^4\quatre{&&&&&&&&&\cr}
+tq^5\quatredeux{&&&&\multispan2\cr}{&&&&&&&&\multispan1\cr}
+\quatredeux{&&&&&\cr}{&&&&&&&&\multispan1\cr}\;,\cr
&=tq^4F_4(t,q)+tq^5F_{3,1}(t,q)+F_{3,2}(t,q).\cr}$$
Si on connait d\'ej\`a l'expression des polyn\^omes $F_\lambda (t,q)$
pour les $\lambda $ tels que $\left|\lambda \right|\leq 5$, on obtient
donc celle de $F_{4,2}(t,q)$.
Dans l'annexe~1, c'est ainsi que les $F_\lambda (t,q)$ ont
\'et\'e calcul\'es jusqu'\`a l'ordre~6.

Maintenant, les identit\'es (3.1) et (3.2) sur les fonctions
de Schur entra\^{\i}nent les formules :
  $$F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)=F_{\mu \otimes \lambda }(t,q)\leqno(4.1)$$
et 
  $$F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)=\sum _\nu  g_{\lambda \mu \nu } F_\nu (t,q).\leqno(4.2)$$
La premi\`ere de ces formules permet de ne calculer
$F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)$ que pour les couples $\lambda ,\mu $ tels que 
$\lambda \leq \mu $ (pour un ordre total donn\'e sur les partitions).
La seconde dit qu'une bonne table des coefficients
$g_{\lambda \mu \nu }$ de Littlewood-Richardson, telle qu'elle
est donn\'ee dans \pc JAMES|-\pc KERBER| [10] ou
\pd WYBOURNE [21], suffit pour d\'eduire l'expression de
$F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)$ de celle des $F_\lambda (t,q)$.

Muni de la table des $F_{\lambda \otimes \mu }(t,q)$, on peut utiliser directement la
formule (3.5) pour calculer les polyn\^omes $C_n$. On peut aussi faire
usage de la formule :
  $$C_n=\sum _{\lambda ,\mu } z^{\left|\lambda \right|}
\sum _{\nu _1,\nu _2} g_{\lambda \mu \nu _1} g_{\lambda '\mu \nu _2}
F_{\nu _1}(t_1,q_1) F_{\nu _2}(t_2,q_2).\leqno(4.3)$$


\titre 5. Les involutions|
Soit ${\cal T}_n$ l'ensemble de tous les tableaux standard d'ordre $n$
dont la forme est un produit $\lambda \otimes \mu $ 
(\'eventuellement r\'eduite \`a un diagramme de Ferrers). 
Nous nous proposons de montrer qu'on peut construire trois {\it involutions} 
$J$, $S$ et $T$ de ${\cal T}_n$ ayant les propri\'et\'es suivantes :

\vskip 5pt
{\it Si $P\otimes Q$ est un tableau standard d'ordre $n$, 
de forme $\lambda \otimes \mu $, alors
\vskip 3pt
\halign{$#$&\qquad #\hfil \cr
(5.1)&$(P\otimes Q)^S$ est de forme $\mu \otimes \lambda $ et \cr
(5.1')&$\Ilig(P\otimes Q)^S=\Ilig P\otimes Q$ ;\cr
\noalign{\vskip 3pt}
(5.2)&$(P\otimes Q)^J$ est de forme $\lambda \otimes \mu $ et \cr
(5.2')&$\Ilig(P\otimes Q)^J=n-\Ilig P\otimes Q$ ;\cr
\noalign{\vskip 3pt}
(5.3)&$(P\otimes Q)^T$ est de forme $\mu '\otimes \lambda '$ et \cr
(5.3')&$\Ilig(P\otimes Q)^T=[n-1]\setminus\Ilig P\otimes Q$.\cr}

\vskip 3pt
De plus,

\noindent
{\rm (5.4)}\qquad $S$, $J$ et $T$ commutent deux \`a deux.}

\vskip 5pt
L'involution $T$ est simplement la {\it transposition}
des tableaux, de sorte que (5.3) et $(5.3')$ sont des
propri\'et\'es imm\'ediates.

La construction des deux autres involutions 
repose sur les propri\'et\'es du {\it jeu de taquin} et sur
les propri\'et\'es de l'op\'eration de {\it vidage-remplissage} $J$
des tableaux droits (\cf. [18, 19, 11, p.~48--73]). 
Rappelons qu'\`a tout tableau gauche
(par exemple un tableau $P\otimes Q$ de forme $\lambda \otimes \mu $), 
on peut faire correspondre un tableau droit 
de m\^eme contenu et ayant la m\^eme ligne
inverse de route.
Ce tableau droit, que l'on notera ${\rm Taq}(P\otimes Q)$
(si l'on part du tableau gauche $P\otimes Q$),
s'obtient \`a partir de $P\otimes Q$ en appliquant 
un nombre suffisant de fois les mouvements de base 
du jeu de taquin (\cf. [19, 12]). On a donc :
  $$\Ilig P\otimes Q=\Ilig {\rm Taq}(P\otimes Q).\leqno(5.5)$$

Consid\'erons, par exemple, les deux tableaux :
  $$P\otimes Q=\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&8&&&&\cr 
               4&5&9&&&\cr 
               &&&3&&\cr 
               &&&1&2&7\cr}}\qquad
{\rm et}\qquad R=\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&&\cr 
               4&8&\cr 
               3&5&9\cr 
               1&2&7\cr}}$$
On v\'erifie qu'ils ont la m\^eme ligne inverse
de route $\{ 2,3,5,7\} $ et que l'on a $R={\rm Taq}(P\otimes Q)$.

Rappelons aussi que le vidage-remplissage des tableaux droits
est une involution $R\mapsto R^J$, conservant le contenu et la forme 
et satisfaisant \`a 
  $$\Ilig R^J=n-\Ilig R,\leqno(5.6)$$
si $R$ est d'ordre $n$ (\cf. [7]).

Par exemple, le vid\'e-rempli $R^J$ du tableau $R$
ci-dessus est donn\'e par :
  $$R^J=\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               8&&\cr 
               7&9&\cr 
               3&5&6\cr 
               1&2&4\cr}}$$
et l'on a $\Ilig R^J=\{ 2,4,6,7\} =9-\{ 2,3,5,7\} =n-\Ilig R$.

Soient maintenant $\lambda $, $\mu $, $\nu $ trois partitions 
de $l$, $m$, $n$, respectivement,
telles que $l+m=n$ et $\lambda ,\mu \subset \nu $ 
et soit $R_0$ un tableau standard,
d'ordre $n$, de forme~$\nu $. On note $W_1=W(\lambda ,\mu ,R_0)$
l'ensemble des tableaux standard $P\otimes Q$, d'ordre $n$,
de forme $\lambda \otimes \mu $, tels que  ${\rm Taq}(P\otimes Q)=R_0$. 
Le r\'esultat remarquable d\^u \`a \pd SCH\"UTZENBERGER (\cf. [19, p.~95])
est que le cardinal de $W(\lambda ,\mu ,R_0)$ ne d\'epend que de la
{\it paire non ordonn\'ee} $\{ \lambda ,\mu \} $ 
et de la {\it forme} $\nu $ de $R_0$ ; il
est, de plus, \'egal au coefficient $g(\lambda ,\mu ,\nu )$
de Littlewood-Richardson. On a, enfin,
  $$g(\lambda ,\mu ,\nu )=g(\lambda ',\mu ',\nu ').\leqno(5.7)$$
Comme le vidage-remplissage conserve la forme des tableaux droits,
on conclut imm\'ediatement que les huit ensembles
$W_1$, $W_s=W(\mu ,\lambda ,R_0)$, $W_j=W(\lambda ,\mu ,R_0{}^J)$,
$W_{sj}=W(\mu ,\lambda ,R_0{}^J)$, $W_t=W(\mu ',\lambda ',R_0{}^T)$,
$W_{st}=W(\lambda ',\mu ',R_0{}^T)$, $W_{jt}=W(\mu ',\lambda ',R_0{}^{JT})$,
$W_{sjt}=W(\lambda ',\mu ',R_0{}^{JT})$ ont tous m\^eme cardinal,
\'egal \`a $g(\lambda ,\mu ,\nu )$.

\goodbreak
Supposons que le triplet $(\lambda ,\mu ,\nu )$ soit tel que
$\nu \le \nu '$ (par exemple, par rapport \`a l'ordre 
lexicographique inverse des partitions),
le tableau droit $R_0$ \'etant toujours suppos\'e de forme $\nu $.
Au quadruplet $(W_1,W_s,W_j,W_{js})$ faisons correspondre
quatre bijections {\it  arbitraires}, comme indiqu\'e dans le
diagramme :
  $$\matrix{W(\lambda ,\mu ,R_O)&\buildrel S\over
\longrightarrow&W(\mu ,\lambda ,R_0)\cr
\Big\downarrow\rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle J$}}$}&
&\Big\downarrow\rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle J$}}$}&\cr
W(\lambda ,\mu ,R_0{}^J)&\buildrel S\over\longrightarrow&
W(\mu ,\lambda ,R_0{}^{JS})\cr}$$
Si $P\otimes Q$ est dans $W_1$,
notons $(P\otimes Q)^S$, $P\otimes Q)^J$, $(P\otimes Q)^{JS}$ 
les images de $P\otimes Q$ par les applications de ce diagramme, soit :
  $$\matrix{P\otimes Q&
\longrightarrow&(P\otimes Q)^S\cr
            \Big\downarrow&&\Big\downarrow\cr
            (P\otimes Q)^J&\longrightarrow&(P\otimes Q)^{JS}\cr}$$
Ce diagramme \'etant construit, formons ensuite le
diagramme obtenu en rempla\c cant les quatre
tableaux par leurs transpos\'es :
  $$\matrix{(P\otimes Q)^T&\longrightarrow&(P\otimes Q)^{ST}\cr
            \Big\downarrow&&\Big\downarrow\cr
            (P\otimes Q)^{JT}&\longrightarrow&(P\otimes Q)^{JST}\cr}$$
Comme on sait (\cf. [7, 19]) que, si ${\rm Taq}(P\otimes Q)=R_0$,
alors
${\rm Taq}((P\otimes Q)^T)=R_0^T$,
il est clair que ces quatre tableaux transpos\'es
$(P\otimes Q)^T$, $(P\otimes Q)^{ST}$, 
$(P\otimes Q)^{JT}$ et $(P\otimes Q)^{JST}$
appartiennent respectivement \`a $W_t$, $W_{st}$,
$W_{jt}$, $W_{jst}$. Ceci prouve les
propri\'et\'es (5.1) et (5.2). La propri\'et\'e (5.4)
r\'esulte de la construction m\^eme de ces involutions.
          
Enfin, les propri\'et\'es $(5.1')$ et $(5.2')$
sont automatiquement v\'erifi\'ees, puisque l'on a pour tout
$P\otimes Q\in  W(\lambda ,\mu ,R_0)$, la relation 
${\rm Taq}(P\otimes Q)={\rm Taq}\,R_0$, 
d'o\`u $\Ilig P\otimes Q=\Ilig R_0$. Par d\'efinition
m\^eme des ensembles $W$, on en tire :
  $$\displaylines{\Ilig (P\otimes Q)^S=\Ilig R_0=\Ilig P\otimes Q\;;\cr
\Ilig(P\otimes Q)^J=\Ilig R_0{}^J=n-\Ilig R_0=n-\Ilig P\otimes Q.\cr}$$

\rem Remarque|On peut obtenir une
construction explicite des involutions
$S$, $J$ et $T$ en utilisant les deux lemmes
3.7 et 4.5  de \pd SCH\"UTZENBERGER [19].
Cependant les bijections entre les ensembles
$W$ d\'ependent de deux tableaux standard
$P_0$ et $Q_0$, de forme $\lambda $ et $\mu $, choisis
arbitrairement.

\titre 6. Les sym\'etries|
Nous disposons de tous les \'el\'ements pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 1.1.
Pour visualiser les quatre propri\'et\'es 
\`a \'etablir, il est bon de se reporter
aux tables de l'annexe~2, o\`u sont reproduites les tables
des valeurs $C(n;v)$ pour tous les vecteurs $v$ et les valeurs
$n$ de~1 \`a~6.  

La relation (1.2) dit que chaque table
est sym\'etrique par rapport \`a sa diagonale principale.

La relation (1.3) exprime le fait que, dans chaque table,
pour tout couple de valeurs $(r,s)$, le bloc correspondant 
\`a $(r,s)$ a un axe de sym\'etrie vertical. Il a donc aussi un
axe de sym\'etrie horizontal en conjuguant les propri\'et\'es
(1.2) et (1.3).
 
La relation (1.4) dit que le centre de la table est
un centre de sym\'etrie.

Enfin, (1.5) affirme que la table correspondant \`a la
premi\`ere valeur $n-m$ du vecteur $V$ se d\'eduit de la
table correspondant \`a $m$ par une sym\'etrie par
rapport \`a son axe vertical. De ce fait, on peut
repr\'esenter en une seule fois les tables $m$ 
et les tables $n-m$ en disposant les variables
de fa\c con ad\'equate.

Notons ${\cal T}'_n$ l'ensemble de toutes les paires
$R_1R_2$ jumelables (\cf. section~3).
Pour d\'emontrer (1.2), on consid\`ere l'involution
{\bf i} de ${\cal T}'_n$ d\'efinie par :
  $${\bf i}(R_1R_2)=R_2R_1.\leqno(6.2')$$
Cette involution envoie bien chaque paire $R_1R_2$, de
forme $\lambda \otimes \mu ,\lambda '\otimes \mu $, 
de $V$-vecteur $(m,r,s,i,j)$ sur $R_2R_1$ de forme 
$\lambda '\otimes \mu ,\lambda \otimes \mu $ et de $V$-vecteur
$(m,s,r,j,i)$.

Pour obtenir (1.3), on consid\`ere la bijection de
${\cal T}'_n$ sur lui-m\^eme d\'efinie par :
  $${\bf j}(R_1R_2)=R_1R_2{}^J.\leqno(6.3')$$
D'apr\`es (3.5) et (5.5), on d\'efinit bien l\`a une
bijection, qui envoie chaque $R_1R_2$ de forme
$\lambda \otimes \mu ,\lambda '\otimes \mu $, 
de $V$-vecteur $(m,r,s,i,j)$ sur $R_1R_2{}^{J}$, de forme 
$\lambda \otimes \mu ,\lambda '\otimes \mu $ et de
$V$-vecteur $(m,r,s,i,ns-j)$.

Avec {\bf t} d\'efinie par :
  $${\bf t}(R_1R_2)=R_1{}^{ST}R_2{}^{ST}.\leqno(6.4')$$
on tient une involution de ${\cal T}'_n$, qui d'apr\`es (5.3)
envoie $R_1R_2$ sur $R_1{}^{ST}\!R_2{}^{ST}\!$, de forme
$\lambda '\otimes \mu ',\lambda \otimes \mu '$ et de $V$-vecteur
  $$(m,n-1-r,n-1-s,{\textstyle{n\choose 2}}-i,
{\textstyle{n\choose 2}}-j).$$

La derni\`ere involution, not\'ee {\bf s}, est d\'efinie par :
  $${\bf s}(R_1R_2)=R_1{}^SR_2{}^T.\leqno(6.5')$$
Elle envoie la paire $R_1R_2$, de forme 
$\lambda \otimes \mu ,\lambda '\otimes \mu $ et de
$V$-vecteur $(m,r,s,i,j)$ sur une paire $R_1{}^SR_2{}^T$,
de forme $\mu \otimes \lambda ,\mu '\otimes \lambda $, de $V$-vecteur
$$(n-m,r,n-1-s,i,{\textstyle{n\choose 2}}-j).$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration du th\'eor\`eme 1.1.

Soit $G$ le groupe engendr\'e par les involutions
${\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf t}$ et ${\bf s}$. 
On v\'erifie imm\'ediatement les relations :
  $$\displaylines{{\bf i}^2={\bf j}^2={\bf t}^2
={\bf s}^2=({\bf ij})^4=({\bf is})^4=1,\cr
{\bf it}={\bf ti},\quad {\bf jt}=
{\bf tj},\quad {\bf st}={\bf ts},\quad {\bf js}={\bf sj}.\cr}$$
Par cons\'equent, le groupe $G$ contient le
groupe di\'edral $D_4({\bf i},{\bf j})$, d'ordre~8, engendr\'e
par $\{ {\bf i},{\bf j}\} $, ainsi que le produit de ce groupe par
le groupe $\{ 1,{\bf t}\} $ d'ordre~2.

Soit $R_1R_2$ un \'el\'ement de ${\cal T}'_n$. 
Les \'el\'ements de l'orbite
de $R_1R_2$, par rapport au groupe $G$,
sont de la forme $R_k{}^\alpha R_l{}^\beta $, avec
$\{ k,l\} =\{ 1,2\} $ et $\alpha ,\beta $ des mon\^omes
de degr\'e au plus \'egal \`a~1 en chacune des
variables $S$, $J$, $T$. Les \'el\'ements
$R_k{}^\alpha R_l{}^\beta $ de l'orbite ne contenant
ni $S$, ni $T$ dans les exposants $\alpha $ et $\beta $
sont au nombre de huit. Ce sont en fait les
huit \'el\'ements de l'orbite de $R_1R_2$
par rapport au sous-groupe $D_4({\bf i},{\bf j})$ :
  $$R_1R_2,\,R_2R_1,\,R_2R_1{}^J,\,R_1{}^JR_2,\,
R_1{}^JR_2{}^J,\,R_2{}^JR_1{}^J,\,R_2{}^JR_1,\,R_1R_2{}^J.$$
Les \'el\'ements $R_k{}^\alpha R_l{}^\beta $
tels que $\alpha $ et $\beta $ sont divisibles par $ST$ sont
au nombre de huit :
  $$\displaylines{R_1{}^{ST}R_2{}^{ST},\,R_2{}^{ST}R_1{}^{ST},\,
R_2{}^{ST}R_1{}^{JST},\,R_1{}^{JST}R_2{}^{ST},\cr
R_1{}^{JST}R_2{}^{JST},\,R_2{}^{JST}R_1{}^{JST},\,
R_2{}^{JST}R_1{}^{ST},\,R_1{}^{ST}R_2{}^{JST}.\cr}$$
Les seize \'el\'ements \'ecrits constituent l'orbite de
$R_1R_2$ par rapport au produit $D_4({\bf i},{\bf j})\times \{ 1,{\bf t}\} $.

\`A cause de la d\'efinition de {\bf s}, les seules autres
paires $R_k{}^\alpha R_l{}^\beta $ possibles doivent satisfaire
l'une des deux conditions :

\vskip 3pt
\halign{\indent\hfil #&\quad #\hfil \cr
(i)&$S$ divise $\alpha $, \thinspace $T$ ne divise pas 
$\alpha $, \thinspace 
$T$ divise $\beta $, \thinspace $S$ ne divise pas $\beta $,\cr
(ii)&$T$ divise $\alpha $, \thinspace $S$ ne divise pas $\alpha $, \thinspace
$S$ divise $\beta $, \thinspace $T$ ne divise pas $\beta $.\cr}
\vskip 3pt

\noindent
Ces paires forment l'orbite de $R_1{}^SR_2{}^T$
par rapport au groupe $D_4({\bf i},{\bf j})\times \{ 1,{\bf t}\} $ et sont
au nombre de seize :
  $$\displaylines{R_1{}^{S}R_2{}^{T},\,R_2{}^{T}R_1{}^{S},\,
R_2{}^{T}R_1{}^{JS},\,R_1{}^{JS}R_2{}^{T},\cr
R_1{}^{JS}R_2{}^{JT},\,R_2{}^{JT}R_1{}^{JS},\,
R_2{}^{JT}R_1{}^{S},\,R_1{}^{S}R_2{}^{JT},\cr
  R_1{}^{T}R_2{}^{S},\,R_2{}^{S}R_1{}^{T},\,
R_2{}^{S}R_1{}^{JT},\,R_1{}^{JT}R_2{}^{S},\cr
R_1{}^{JT}R_2{}^{JS},\,R_2{}^{JS}R_1{}^{JT},\,
R_2{}^{JS}R_1{}^{T},\,R_1{}^{T}R_2{}^{JS}.\cr}$$
Il n'y a pas d'autres paires possibles. Le groupe
$G$ est donc d'ordre~32.



\vfill\eject
\vglue 2.5cm
\goodbreak
\eightpoint 
\centerline{BIBLIOGRAPHIE} 
\penalty 10000 \vskip .5cm\noindent 
\livre 1|{\pc ANDREWS| (George E.)}|The Theory of
Partitions|Reading, Mass., Ad\-di\-son-Wesley,
{\oldstyle 1976} ({\sl Encyclopedia of Math. and Its 
Appl.}, {\bf 2})| 
\livre 2|{\pc BAILEY| (W.N.)}|Generalized Hypergeometric 
Series|Cambridge University Press, {\oldstyle 1935}|
\article 3|{\pc CARLITZ|} (Leonard)|$q$-Bernoulli and
Eulerian numbers|Trans. Amer. Math. Soc.|76|1954|332--350|
\article 4|{\pc CARLITZ| (Leonard)}|Eulerian numbers and
polynomials|Math. Magazine|33|1959|247--260|
\article 5|{\pc CARLITZ| (Leonard)}|A combinatorial property
of $q$-Eulerian numbers|Amer. Math. Monthly|82|1975|51--54|
\article 6|{\pc CARLITZ| (Leonard)}|The Expansion of 
certain Products|Proc. Amer. Math.
Soc.|7|1956|558--564| 
\divers 7|{\pc CHEEMA| (M.S.) {\rm and} \pc MOTZKIN|
(T.S.)}|Multipartitions and Multipermutations,
{\sl Combinatorics} [Los Angeles. $\oldstyle 1968$],
p.~39--70\pointir Providence, Amer. Math. Soc., {\oldstyle 1971}
({\sl Proc. Symposia in Pure Math.}, {\bf 19})|
\article 8|{\pc D\'ESARM\'ENIEN|} (Jacques) et
{\pc FOATA|} (Dominique)|Fonctions sym\'etriques
et s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques 
multivari\'ees|Bull. Soc. Math. France|113|1985|3--22|
\divers 9|\pd FOATA (Dominique)|Distributions
eul\'eriennes et mahonniennes sur le groupe
des permutations, {\sl Higher Combinatorics}
[M. Aigner, ed., Berlin. $\oldstyle 1976$], p.~27--49\pointir 
Amsterdam, D.~Reidel, $\oldstyle 1977$
(Proc. {\sixrm NATO} Adv. Study Inst.)|
\livre 10|{\pc FOATA| (Dominique)} et {\pc SCH\"UTZENBERGER|
(Marcel-Paul)}|Th\'eorie g\'eo\-m\'e\-trique des polyn\^omes
eul\'eriens|Berlin, Springer-Verlag, $1970$
({\sl Lecture Notes in Math.}, {\bf 138})|
\article 11|{\pc FOATA| (Dominique)} et {\pc SCH\"UTZENBERGER|
(Marcel-Paul)}|Major Index and Inversion of 
Permutations|Math. Nachr.|83|1978|143--159|
\article 12|{\pc FOULKES| (Herbert)}|Enumeration of 
Permutations with Prescribed Up-down and Inversion
Sequences|Discrete Math.|15|1976|235--252|
\article 13|{\pc GARSIA| (Adriano M.)} and {\pc GESSEL|
(Ira)}|Permutation Statistics and 
Partitions|Advances in
Math.|31|1979|288--305| 
\divers 14|\pd GESSEL (Ira)|Generating functions and
enumeration of sequences, Ph.D. thesis, department
of mathematics, {\sixrm M.I.T.}, Cambridge, Mass.,
111~p., $\oldstyle 1977$|
\livre 15|{\pc JAMES|} (Gordon) and {\pc KERBER|}
(Adalbert)|The Representation Theory of the
Symmetric Group|Reading, Mass., Ad\-di\-son-Wesley,
{\oldstyle 1981} ({\sl Encyclopedia of Math. and Its 
Appl.}, {\bf 16})| 
\livre 16|{\pc KNUTH| (Donald E.)}|The Art of Computer 
Programming, {\rm vol. 3, Sorting and
Searching}|Don Mills, Ontario, 
Addison-Wesley, {\oldstyle 1972}|
\divers 17|\pd LASCOUX (Alain) et {\pc SCH\"UTZENBERGER|}
(Marcel-Paul)|A new statistics on words,
{\sl Combinatorial Mathematics, Optimal Designs and
their Applications} [J.~Srivastava, ed.,
Fort Collins, Colorado. $\oldstyle 1978$], p.~251--255\pointir
Amsterdam, North-Holland, {\oldstyle 1980}
({\sl Annals of Discrete Math.}, {\bf 6})|
\article 18|\pd LASCOUX (Alain) et {\pc SCH\"UTZENBERGER|}
(Marcel-Paul)|Sur une conjecture de H.O.~Foulkes|C.R.
Acad. Sc. Paris|286A|1978|385--387|
\divers 19|\pd LASCOUX (Alain) et {\pc SCH\"UTZENBERGER|}
(Marcel-Paul)|Formulaire raisonn\'e des fonctions
sym\'etriques, {\sixrm L.I.T.P., U.E.R.} Math., Univ. Paris~VII,
138~p., $\oldstyle 1984$|


\vfill\eject
\divers 20|{\pc LASCOUX| (Alain) et \pc SCH\"UTZENBERGER| 
(Marcel-Paul)}|Le mono\"\i de plaxi\-que, 
{\sl Non-commutative Structures in Algebra and
geometric Combinatorics} [A.~de Luca, ed., 
Napoli. $\oldstyle 1978$], p. 129--156\pointir
Roma, Consiglio Nazionale delle Ricerche, {\oldstyle 1981}
({\sl Quaderni de ``La Ricerca Scientifica''}, {\bf 109})|


\livre 21|{\pc MACDONALD| (Ian G.)}|Symmetric Functions
and Hall Polynomials|Ox\-ford, Clarendon Press, 
{\oldstyle 1979}| 
\article 22|{\pc MAC|\pc MAHON|} (Percy Alexander)|The indices
of permutations and the derivation therefrom
of functions of a single variable associated with the
permutations of any assemblage of 
objects|Amer. J. Math.|35|1913|314--321|
\livre 23|{\pc MAC|\pc MAHON|} (Percy Alexander)|Combinatory
Analysis, {\rm vol.~1}|Cambridge, Cambridge Univ. Press,
$\oldstyle 1915$ (R\'eimprim\'e par Chelsea, New York,
$\oldstyle 1955$)|
\article 24|{\pc MAC|\pc MAHON|} (Percy Alexander)|Two
applications of general theorems in combinatory
analysis|Proc. London Math. Soc.|15|1916|314--321|
\divers 25|{\pc MAC|\pc MAHON|} (Percy Alexander)|{\sl Collected
Papers}, vol.~1 [G. E. {\pc ANDREWS|}, ed.]\pointir
Cambridge, Mass., The M.I.T. Press, $\oldstyle 1978$|
\article 26|{\pc RAWLINGS| (Don)}|Generalized Worpitzky
Identities with Applications to Permutation 
Enumeration|Europ. J. Comb.|2|1981|67--78|
\article 27|{\pc RAWLINGS| (Don)}|The Combinatorics of 
certain Products|Proc. Amer. Math. 
Soc.|83|1983|560--562|
\divers 28|\pd REMMEL (Jeff)|Symmetric functions and
$q$-series, preprint, Univ. Calif. San Diego, $\oldstyle 1984$|
\article 29|{\pc ROSELLE| (David P.)}|Coefficients associated
with the Expansion of certain 
Products|Proc. Amer. Math. Soc.|45|1974|144--150|
\article 30|{\pc SCH\"UTZENBERGER| (Marcel-Paul)}|Quelques 
remarques sur une construction de 
Schen\-sted|Math. Scand.|12|1963|117--128| 
\divers 31|{\pc SCH\"UTZENBERGER| (Marcel-Paul)}|La 
correspondance de Robinson, {\sl Com\-bi\-na\-toire et
repr\'esentation du groupe sym\'etrique} [Actes 
Table Ronde C.N.R.S., Strasbourg. $\oldstyle 1976$], 
p.~59--113\pointir Berlin, Springer-Verlag, {\oldstyle 1977} 
({\sl Lecture Notes in Math.}, {\bf 579})|
\livre 32|\pd STANLEY (Richard P.)|Ordered Structures and
Partitions|Providence, R.I., Amer. Math. Soc., $\oldstyle 1972$
({\sl Memoirs Amer. Math. Soc.}, {\bf 119})|
\article 33|\pd STANLEY (Richard P.)|Binomial posets, M\"obius
inversion, and permutation enumeration|J. Combinatorial
Theory Ser.~A|20|1976|336--356|
\livre 34|{\pc WYBOURNE|} (Brian G.)|Symmetry principles
and atomic spectroscopy|New York, Wiley $\oldstyle 1970$|
\par
\vskip 4mm
\centerline{\vrule width 2cm height .8pt}
\vfill
\eject


\bye
