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% Charge des fontes de 8 et 6 points :
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%permet dans la frappe de retrouver les habitudes de
%la dactylographie francaise qui conseille de mettre 
%un espace avant les signes de ponctuation ; : ! ?
%et d'empecher pourtant une coupure de ligne a cet
%endroit dans le traitement

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%reference pour un livre :
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\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\vskip 3pt}



\def\Lig{\mathop{\rm Ligne}\nolimits}
\def\Ilig{\mathop{\rm Iligne}\nolimits}
\def\Colig{\mathop{\rm Coligne}\nolimits}
\def\Icolig{\mathop{\rm Icoligne}\nolimits}
\def\des{\mathop{\rm des}\nolimits}
\def\maj{\mathop{\rm maj}\nolimits}
\def\codes{\mathop{\rm codes}\nolimits}
\def\comaj{\mathop{\rm comaj}\nolimits}
\def\ides{\mathop{\rm ides}\nolimits}
\def\imaj{\mathop{\rm imaj}\nolimits}
\def\icodes{\mathop{\rm icodes}\nolimits}
\def\icomaj{\mathop{\rm icomaj}\nolimits}
\def\ig{\hbox{\bf i}} 
\def\rg{\hbox{\bf r}} 
\def\cg{\hbox{\bf c}} 
\def\R{\mathop{\rm R{}}}
\def\Bij{\mathop{\rm Bij}}
\def\inv{\mathop{\rm inv}\nolimits}
\def\Fix{\mathop{\rm Fix}\nolimits}
\def\Trans{\mathop{\rm Trans}\nolimits}


\let\findem=\cqfd
\auteurcourant={J. D\'ESARM\'ENIEN ET D. FOATA}
\titrecourant={PERMUTATIONS COLOR\'EES}

\vskip 20pt

\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf STATISTIQUES D'ORDRE}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf SUR LES PERMUTATIONS COLOR\'EES}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Jacques} D\'ESARM\'ENIEN
{\sevenrm ET} {\petcap Dominique} FOATA \footnote{$(^*)$}{Avec
le soutien du PRC Math\'ematiques et Informatique.}}
\vskip 1cm
\resume{Un calcul explicite de distributions de statistiques
d'ordre sur les permutations color\'ees
est obtenu \`a l'aide de l'alg\`ebre des fonctions
de Schur.}
\vskip 5pt
\abstract{An explicit calculation of distributions of
order statistics on colored permutations
is derived by means of the Schur function algebra.}

\titre 1. Introduction|
L'\'etude des statistiques d'ordre sur le
groupe sym\'etrique remonte \`a \pd MACMAHON [Mac1, 2, 3, 4],
qui a introduit les notions de {\it nombre de descentes} 
(``$\des$'') et
d'{\it indice majeur} (``$\maj$'') pour une suite finie de nombres
et calcul\'e les premi\`eres s\'eries g\'en\'eratrices.
Le polyn\^ome g\'en\'erateur du groupe des
permutations par nombre de descentes
est le {\it polyn\^ome eul\'erien} (\cf. [Fo-Sch1]).
Le polyn\^ome $q$-eul\'erien
est le polyn\^ome g\'en\'erateur pour le couple $(\des,\maj)$
(\cf. [Car1, 2, 3]). Avec la statistique {\it nombre des inversions},
on obtient un autre polyn\^ome $q$-eul\'erien (\cf. [St2, Ro, Fo1, De]).
Un pas d\'ecisif a \'et\'e fait par \pd GARSIA et \pd GESSEL [Ga-Ge] 
(voir aussi [Ra1]), lorqu'il ont 
trouv\'e la bonne normalisation des s\'eries de facult\'e
\`a consid\'erer. Il fallait prendre des produits de deux $q$-factorielles
montantes. Pour chaque permutation $\sigma $
on peut, en plus, introduire le nombre de descentes
et l'indice majeur de l'inverse $\sigma ^{-1}$,
not\'es $\ides \sigma $ et $\imaj \sigma $.
La distribution du 4-vecteur
$(\des,\ides,\maj,\imaj)$
est alors calculable (\cf. [Ga-Ge, Ra1]), 
ainsi que son groupe de sym\'etrie (\cf. [Fo-Sch2]).
D'autres r\'esultats parall\`eles ont \'et\'e obtenus
par diff\'erents auteurs
(\cf. [Car4, Che-Mo, St1, Ge, Ra2]).

C'est, en fait, l'\'etude approfondie de l'alg\`ebre combinatoire
des tableaux r\'ealis\'ee par \pc SCH\"UTZENBERGER|
[Sch1, 2, La-Sch1, 2, 3, 4], 
qui a permis une insertion compl\`ete du calcul des
statistiques d'ordre sur le groupe des permutations
dans l'alg\`ebre des fonctions sym\'etriques.
Il devenait enfin
possible d'utiliser toute la richesse de
cette derni\`ere alg\`ebre et de puiser les
ingr\'edients utiles dans les ouvrages classiques 
[St1, Macd, Ja-Ke, Wy].

Les deux auteurs du pr\'esent article ont ainsi utilis\'e
l'alg\`ebre des fonctions de Schur pour reprendre
le calcul de \pc GARSIA|-\pc GESSEL| [Ga-Ge] et l'ins\'erer
dans son cadre naturel [De-Fo1, 2]. La distribution
du 4-vecteur (des, ides, maj, imaj) peut \^etre \'evalu\'ee
pour une classe d'objets plus importante que la 
classe des permutations. On obtient ainsi des
extensions des formules classiques sur les
s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques au cas de
plusieurs bases.

Plus r\'ecemment, \pc REMMEL| [Re3]
a prolong\'e ces pr\'ec\'edents travaux et
calcul\'e des distributions explicites
de statistiques d'ordre sur des
{\it bipermutations}. (La d\'efinition
sera rappel\'ee ci-dessous.) Il s'est appuy\'e
sur l'alg\`ebre des {\it fonctions de Schur}
$(k,l)$-{\it crochets}, introduite par
\pc BERELE| et \pc REGEV| (\cf.
[Be-Reg, Be-Rem, Re1, Re2]). Il ne semble
pas que ces fonctions de Schur $(k,l)$-crochets
apportent quelque chose de vraiment nouveau
d'un point de vue combinatoire. Elles ont
cependant permis \`a \pc REMMEL| d'imaginer
ce nouveau concept de bipermutation et de l'exploiter.

Le but du pr\'esent article est de calculer la fonction g\'en\'eratrice de
plusieurs statistiques d'ordre sur des objets combinatoires
plus g\'en\'eraux que les bipermutations appel\'es
{\it permutations $(k,l)$-color\'ees}. Il s'agit
simplement de triplets
$\tau =(\sigma ,{\bf a},{\bf b})$,
o\`u $\sigma $ est une permutations de l'intervalle
$[\,n\,]=\{ 1,2,\ldots,n\} $
et o\`u ${\bf a}=(a_1,\ldots,a_k)$ et
${\bf b}=(b_1,\ldots,b_l)$
sont deux suites de $k$ et $l$ entiers positifs
de somme~$n$. Les suites {\bf a} et {\bf b} servent
\`a cloisonner les deux mots
$\sigma (1)\sigma (2)\ldots\,\sigma (n)$ et
$\sigma ^{-1}(1)\sigma ^{-1}(2)\ldots\,\sigma ^{-1}(n)$ en
$k$ et $l$ facteurs, respectivement.
Notre but est non seulement 
de faire le calcul explicite des distributions de statistiques
d'ordre sur ces permutations color\'ees, mais de montrer
que ce calcul repose enti\`erement sur l'alg\`ebre
des fonctions de Schur ordinaires,
en faisant appel \`a une simple extension de la
correspondance de Robinson-Schensted.

On trouvera dans la prochaine section la d\'efinition
des statistiques d'ordre consid\'er\'ees ici, ainsi
que le r\'esultat principal de cet article
(\pc TH\'EOR\`EME|~2.1). Le calcul sur les fonctions
de Schur n\'ecessaire pour \'etablir ce th\'eor\`eme
est consign\'e dans la section~3.
Les objets combinatoires qui servent de
support \`a ce calcul sont des tableaux gauches
d'une forme particuli\`ere. 
A partir de la formule de Cauchy sur les
fonctions de Schur, on obtient d'abord une
expression pour la fonction g\'en\'eratrice
de cette classe de tableaux
gauches (\cf. \pc PROPOSITION|~4.1).
Il reste \`a \'etablir une bijection entre
cette classe de tableaux gauches
et les permutations $(k,l)$-color\'ees
pour montrer que l'expression trouv\'ee est
aussi la fonction g\'en\'eratrice des permutations
$(k,l)$-color\'ees.
Ceci est donn\'e dans la section~5.
Nous avons reproduit dans la derni\`ere
section certaines sp\'ecialisations
des formules obtenues.

\titre 2. Permutations $(k,l)$-color\'ees|
Quand $\sigma $ est une permutation de l'intervalle
$[\,n\,]$, la {\it ligne de route} $\Lig \sigma $,
la {\it ligne inverse de route} $\Ilig \sigma $,
la {\it coligne de route} $\Colig \sigma $ et
la {\it coligne inverse de route} $\Icolig \sigma $
sont habituellement d\'efinies (\cf. [Foulk], [Fo-Sch2])
par
  $$\displaylines{
\Lig \sigma =\{ r:1\leq r\leq n-1,\,\sigma (r)>\sigma (r+1)\} \;;\cr
\Ilig \sigma =\Lig \sigma ^{-1}\;;\qquad
\Colig \sigma =[\,n-1\,]\setminus \Lig \sigma \;;\cr
\Icolig \sigma =[\,n-1\,]\setminus \Ilig \sigma \;
(=\Colig \sigma ^{-1})\;;\cr}$$
o\`u $\sigma ^{-1}$
d\'esigne l'inverse de $\sigma $.
Le cardinal de $\Lig \sigma $ et la somme des \'el\'ements de $\Lig \sigma $
sont respectivement appel\'es {\it nombre
de descentes} et {\it indice majeur} de~$\sigma $.
Il y a des d\'efinitions analogues pour les autres lignes de route.

On peut prolonger la d\'efinition de ces lignes de route
aux permutations $(k,l)$-color\'ees. 
Soit $\tau =(\sigma ,{\bf a,b})$ une permutation $(k,l)$-color\'ee ;
son {\it inverse}  est la permutation $(l,k)$-color\'ee
$\tau ^{-1}=(\sigma ^{-1},{\bf b,a})$.
Il est commode de poser
$a_0=b_0=0$ et de noter ${\bf a}_i$ et ${\bf b}_j$
les {\it sommes partielles} ${\bf a}_i=a_1+\cdots+a_i$
$(0\leq i\leq k)$ et ${\bf b}_j=b_1+\cdots+b_j$
$(0\leq j\leq l)$.

Les suites {\bf a} et {\bf b} d\'eterminent des sous-intervalles
de $[\,n\,]$ dans lesquels les diff\'erentes lignes de route
peuvent aussi \^etre d\'efinies : pour chaque $i=1,\ldots,k$ 
et $j=1,\ldots,l$ on pose :
  $$\displaylines{\Lig_i \tau =\{ r:{\bf a}_{i-1}+1\leq r\leq {\bf a}_i-1,\,
\sigma (r)>\sigma (r+1)\} \;;\cr
\Colig_i \tau =[{\bf a}_{i-1}+1,{\bf a}_i-1]\setminus \Lig_i \tau \;;\qquad
\Ilig_j \tau =\Lig_j \tau ^{-1}\;;\cr
\Icolig_j \tau =\Colig_j \tau ^{-1}
=[{\bf b}_{j-1}+1,{\bf b}_j-1]\setminus \Ilig_j \tau .\cr
\noalign{\hbox{Autrement dit :}}
  \Ilig_j\tau =\{ s:{\bf b}_{j-1}+1\leq s\leq {\bf b}_j-1,\,
\sigma ^{-1}(s)>\sigma ^{-1}(s+1)\} .\cr}$$

\rem $2.1.$ Exemple|
Soient $n=12$, $(k,l)=(3,2)$,
${\bf a}=(5,4,3)$, ${\bf b}=(7,5)$ et
$\tau =(\sigma ,{\bf a,b})$ 
la permutation $(k,l)$-color\'ee d'ordre~$n$ 
  $$\sigma =\left(\vcenter{
\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
{\bf 1}&2&3&{\bf 4}&5\cr
6&1&4&10&5\cr
%\multispan5{\upbracefill}\cr
%\multispan5\hfil$a_1$\hfil\cr
}}\right.
\left|\vcenter{
\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
6&{\bf 7}&{\bf 8}&9\cr
2&11&9&8\cr
%\multispan4{\upbracefill} \cr
%\multispan4\hfil$a_2$\hfil\cr
}}\right.
\left|\vcenter{
\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
10&{\bf 11}&12\cr
3&12&7\cr
%\multispan3{\upbracefill} \cr
%\multispan3\hfil$a_3$\hfil\cr
}}\right).$$
Les \'el\'ements de $\Lig_i \sigma $ $(i=1,2,3)$
sont reproduits en gras. Puisque
$\sigma (9)=8>3=\sigma (10)$, l'entier 8 est bien un \'el\'ement de
la ligne de route de~$\sigma $, mais {\it non pas} de $\Lig_2 \tau $.

La permutation $\sigma ^{-1}$ s'\'ecrit :
  $$\sigma ^{-1}=\left(\vcenter{
\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
1&2&{\bf 3}&4&{\bf 5}&6&7\cr
2&6&10&3&5&1&12\cr
%\multispan7{\upbracefill} \cr
%\multispan7\hfil$b_1$\hfil\cr
}}\right.
\left|\vcenter{
\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
{\bf 8}&{\bf 9}&10&11&12\cr
9&8&4&7&11\cr
%\multispan5{\upbracefill} \cr
%\multispan5\hfil$b_2$\hfil\cr
}}\right).$$
Les \'el\'ements de $\Lig_j \sigma ^{-1}$ $(j=1,2)$
sont \'egalement reproduits en gras. 

A chacune de ces lignes de route correspond
un {\it nombre de descentes} et un {\it indice majeur}
d\'efinis comme suit :
  $$\displaylines{\des_i \tau =\left|\Lig_i \tau \right|;\qquad
\maj_i \tau =\sum \{ r-{\bf a}_{i-1}:r\in  \Lig_i \tau \} ;\cr
\codes_i \tau =\left|\Colig_i \tau \right|;\qquad
\comaj_i \tau =\sum \{ r-{\bf a}_{i-1}:r\in  \Colig_i \tau \} ;\cr
\ides_j \tau =\left|\Ilig_j \tau \right|;\qquad
\imaj_j \tau =\sum \{ r-{\bf b}_{j-1}:r\in  \Ilig_j \tau \} ;\cr
\icodes_j \tau =\left|\Icolig_j \tau \right|;\qquad
\icomaj_j \tau =\sum \{ r-{\bf b}_{j-1}:r\in  \Icolig_j \tau \} .\cr}$$
Il faut remarquer que les indices majeurs relatifs
au $i$\ieme\ (resp. $j$\ieme) compartiment
de $\sigma $ (resp. $\sigma ^{-1}$) sont des sommes
d'entiers de l'intervalle $[a_i]$ (resp. $[b_j]$).
Dans l'exemple ci-dessus, on a ainsi :
$\maj_1 \tau =1+4=5$ ; $\maj_2 \tau =(7-5)+(8-5)=5$ ;
$\maj_3 \tau = 11-9=2$.

Posons finalement :
  $$\displaylines{f_i(\tau )=s_i^{\des_i \tau }p_i^{\maj_i \tau }\;;\qquad
f'_i(\tau )=s_i^{\codes_i \tau }p_i^{\comaj_i \tau }\;;\cr
g_j(\tau )=t_j^{\ides_j \tau }q_j^{\imaj_j \tau }\;;\qquad
g'_j(\tau )=t_j^{\icodes_j \tau }q_j^{\icomaj_j \tau }.\cr}$$

Du fait du cloisonnement, plusieurs lignes de route
(une par compartiment) doivent \^etre consid\'er\'ees.
Pour chaque compartiment, on peut s'int\'eresser,
en fait, soit \`a la ligne de route, soit \`a la
coligne de route. 
On peut donc d\'efinir $2^k$ types de ligne
de route pour la permutation
color\'ee~$\tau $ et $2^l$ pour $\tau ^{-1}$. 
On est donc amen\'e \`a introduire
deux partitions ordonn\'ees
${\bf K}=(K_1,K_2)$ et ${\bf L}=(L_1,L_2)$
des intervalles $[\,k\,]$ et $[\,l\,]$, respectivement
(l'un des blocs $K_1$ ou $K_2$, $L_1$ ou $L_2$
pouvant \^etre vide). Ce choix de {\bf K} et {\bf L} \'etant fait,
on pose :
  $$h({\bf K,L};\tau )=\prod _{i\in  K_1}f_i(\tau )
\prod _{i\in  K_2}f'_i(\tau )
\prod _{j\in  L_1}g_j(\tau )
\prod _{j\in  L_2}g'_j(\tau ).$$
Les suites de couleurs ${\bf a,b}$ \'etant fix\'ees, on
forme alors le polyn\^ome :
  $$P({\bf a,b})=P({\bf a,b;K,L;s,t,p,q})
=\sum _{\sigma \in  {\goth S}_n} h({\bf K,L};(\sigma ,{\bf a,b})).\leqno(2.1)$$
Lorsque toutes les variables $s_i$ et $t_j$ sont \'egales \`a~1,
on pose :
  $$P({\bf a,b;K,L;p,q})=P({\bf a,b;K,L;1,1,p,q}).\leqno(2.2)$$
Le reste de l'article est consacr\'e
au calcul de la fonction g\'en\'eratrice des
polyn\^omes $P({\bf a,b})$. Cette fonction g\'en\'eratrice
s'exprime \`a l'aide des s\'eries hyperg\'eom\'etriques
\`a deux classes de bases. Il est donc 
utile de rappeler les notations usuelles
utilis\'ees dans l'\'etude de ces s\'eries, comme
la $q$-factorielle montante :
  $$\eqalignno{(a;q)_n&=\cases{1,&si $n=0$ ;\cr
                               (1-a)(1-aq)\,
                               \ldots\,
                               (1-aq^{n-1}),&si $n\geq 1$ ;\cr}\cr
               (a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n=
{\textstyle \prod _{n\geq 0}(1-aq^n)}\,;\cr
\noalign{\hbox{ainsi que la $q_1,q_2$-factorielle :}}
(a;q_1,q_2)_{r,s}&=\cases{1,&si $r$ ou $s$ est nul ;\cr
                          \prod _{1\leq i\leq r} \prod _{1\leq j\leq s} 
(1-aq_1^{i-1}q_2^{j-1}),&si $r,s\geq 1$ ;\cr}\cr
(a;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }
&=\lim\nolimits_{r,s}(a;q_1,q_2)_{r,s}
={\textstyle \prod _{i\geq 1}\prod _{j\geq 1}}
(1-aq_1^{i-1}q_2^{j-1}).\cr}$$
On utilisera \'egalement les notations abr\'eg\'ees pour les produits :
  $$\displaylines{{\bf A^a}=\prod _{1\leq i\leq k} A_i ^{a_i},\qquad
{\bf B^b}=\prod _{1\leq j\leq l} B_j ^{b_j},\cr
({\bf p;p})_{{\bf a}}=\prod _{1\leq i\leq k} (p_i;p_i)_{a_i},\qquad
({\bf s;p})_{{\bf a+1}}=\prod _{1\leq i\leq k} (s_i;p_i)_{a_i+1},\cr
(u{\bf A}_K {\bf B}_L;{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
=\prod _{i\in  K,\,j\in  L} (uA_iB_j;p_i,q_j)_{c_i+1,d_j+1},\cr
(u{\bf A}_K {\bf B}_L;{\bf p,q})_{\infty ,\infty }
=\prod _{i\in  K,\,j\in  L} 
(uA_i B_j;p_i,q_j)_{\infty ,\infty }.\cr}$$

Dans les identit\'es (2.3) et (2.4) ci-apr\`es,
la premi\`ere sommation est faite
sur tous les entiers $n$ positifs.
Pour $n\geq 0$ fix\'e,
la seconde sommation est \'etendue \`a toutes les paires
$({\bf a,b})$ de suites d'entiers
${\bf a}=(a_1,\ldots,a_k)$ et
${\bf b}=(b_1,\ldots,b_l)$
satisfaisant $\sum _i a_i=\sum _j b_j=n$.
Finalement, la paire
$({\bf c,d})$ varie dans l'ensemble de toutes les suites
${\bf c}=(c_1,\ldots,c_k)$ et
${\bf d}=(d_1,\ldots,d_l)$
de $k$ et $l$ entiers positifs, respectivement.

\th Th\'eor\`eme 2.1|La fonction g\'en\'eratrice
des polyn\^omes $P({\bf a,b})$ est donn\'ee
par :
  $$\displaylines{(2.3)\quad \sum _n u^n \sum _{{\bf a,b}} {\bf A^a B^b}
{P({\bf a,b;K,L;s,t,p,q})\over 
({\bf s;p})_{{\bf a+1}}
({\bf t;q})_{{\bf b+1}}}\hfill\cr
\hfill{}=\sum _{{\bf c,d}} {\bf s^c t^d}
{(-u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(-u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
\over (u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}}\quad\cr
\noalign{\hbox{et}}
(2.4)\quad \sum _n u^n \sum _{{\bf a,b}} {\bf A^a B^b}
{P({\bf a,b;K,L;p,q})\over 
({\bf p;p})_{{\bf a}}
({\bf q;q})_{{\bf b}}}\hfill\cr
\hfill{}={(-u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{\infty ,\infty }
(-u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{\infty ,\infty }
\over (u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{\infty ,\infty }
(u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{\infty ,\infty }}.\quad\cr}$$
\finth

On obtient la seconde identit\'e \`a partir de
la premi\`ere en multipliant celle-ci par
$(1-s_1)$ et en faisant $s_1=1$,
puis en recommen\c cant ces deux manipulations pour chacune
des autres variables $s_i$ et $t_j$.

Dans le membre de droite de (2.3) et de (2.4),
les bases $p_i$, $q_j$ apparaissent par paires,
tandis que des $q$-factorielles montantes ordinaires
apparaissent dans le membre de gauche.
Ces deux formules peuvent \^etre consid\'er\'ees
comme des formules de transformation
d'une s\'erie hyperg\'eom\'etrique
basique {\it bivari\'ee} en une s\'erie
de la classe des s\'eries hyperg\'eom\'etriques
{\it univari\'ees} \`a plusieurs bases.
L'identit\'e (2.4) peut aussi \^etre vue comme
une extension de l'identit\'e $q$-binomiale
\`a plusieurs bases (\cf. [De-Fo1]).

Dans le cas $k=l=2$,
$K_1=\{ 1\} $, $K_2=\{ 2\} $,
$L_1=\{ 1\} $, $L_2=\{ 2\} $,
on retrouve les identit\'es de \pc REMMEL|
sur les bipermutations.

\titre 3. Les fonctions de Schur|
Nous renvoyons au livre de \pc MACDONALD| [Macd]
pour toutes les propri\'et\'es concernant les
fonctions de Schur. L'identit\'e de base
sous-jacente \`a tout le calcul qui va suivre
est l'identit\'e de Cauchy pour les fonctions
de Schur $S_\lambda ({\bf x})$, ainsi que l'identit\'e duale. Elles
s'\'ecrivent : 
  $$\leqalignno{\prod _{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}
&=\sum _\lambda  S_\lambda ({\bf x}) S_\lambda ({\bf y})\,;&(3.1)\cr
\prod _{i,j}(1+x_iy_j)
&=\sum _\lambda  S_\lambda ({\bf x}) S_{\lambda '}({\bf y})\,;&(3.2)\cr}$$
la sommation portant sur l'ensemble de toutes les partitions
$\lambda $ d'entiers et $\lambda '$ d\'esignant la partition conjugu\'ee de~$\lambda $
(voir [Macd, p. 33]).

Nous aurons aussi besoin des fonctions de Schur gauches
$S_{\nu /\theta }({\bf x})$ 
associ\'ees aux diagrammes gauches
$\nu /\theta $. Lorsque 
$\nu /\theta $ est le produit d'un nombre fini
de diagrammes de Ferrers
$\nu /\theta =\bigotimes_j \lambda _{i,j}
=\lambda _{i,1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i,l}$,
il r\'esulte de la d\'efinition des
fonctions de Schur que l'on a l'identit\'e :
  $$S_{\otimes _j \lambda _{i,j}}({\bf x})=
S_{\lambda _{i,1}}({\bf x})\cdots S_{\lambda _{i,l}}({\bf x}).
\leqno(3.3)$$
En plus des notations donn\'ees dans la section 2,
nous introduisons deux familles de variables
$(A_i)$ et $(B_j)$,
ainsi que $k+l$ ensembles de variables 
${\bf x}^{(i)}=(x^{(i)}_1,x^{(i)}_2,\ldots\,)$
($1\leq i\leq k)$ et 
${\bf y}^{(j)}=(y^{(j)}_1,y^{(j)}_2,\ldots\,)$ $(1\leq j\leq l)$.
Pour tout couple $(i,j)$ posons :
  $$\leqalignno{{\rm Sch}(i,j)
&=\prod _{p,q}(1-uA_iB_j x^{(i)}_p y^{(j)}_q)^{-1},&(3.4)\cr
{\rm Sch}'(i,j)&=\prod _{p,q}(1+uA_iB_j x^{(i)}_p y^{(j)}_q).&(3.5)\cr}$$
Les partitions ${\bf K}=(K_1,K_2)$ et
${\bf L}=(L_1,L_2)$ de $[\,k\,]$ et $[\,l\,]$ \'etant donn\'ees,
on pose pour $r,s=1,2$
  $$\leqalignno{{\rm Sch}(K_r,L_s)&=\prod _{i,j}{\rm Sch}(i,j)\qquad 
((i,j)\in  K_r\times L_s),&(3.6)\cr
{\rm Sch}'(K_r,L_s)&=\prod _{i,j}{\rm Sch}'(i,j)\qquad 
((i,j)\in  K_r\times L_s).&(3.7)\cr}$$
D'abord les deux identit\'es de Cauchy 
(3.1) et (3.2) peuvent \^etre r\'ecrites :
  $$\leqalignno{{\rm Sch}(i,j)&=\sum _{n_{i,j}}u^{n_{i,j}}
\sum _{\lambda _{i,j}} (A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
S_{\lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)})
S_{\lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)}),&(3.8)\cr 
&=\sum _{n_{i,j}}u^{n_{i,j}}
\sum _{\lambda _{i,j}} (A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)})
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)}),&(3.9)\cr 
{\rm Sch}'(i,j)&=\sum _{n_{i,j}}u^{n_{i,j}}
\sum _{\lambda _{i,j}} (A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
S_{\lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)})
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)}),&(3.10)\cr
&=\sum _{n_{i,j}}u^{n_{i,j}}
\sum _{\lambda _{i,j}} (A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)})
S_{\lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)}),&(3.11)\cr}$$
o\`u la seconde sommation dans chaque
identit\'e est sur toutes les
partitions $\lambda _{i,j}$ de l'entier $n_{i,j}$.

Maintenant exprimons chaque \'el\'ement du produit
  $${\rm Sch}(K_1,L_1){\rm Sch}'(K_1,L_2){\rm Sch}'(K_2,L_1){\rm Sch}(K_2,L_2)$$
comme somme infinie de fonctions de Schur
\`a l'aide des identit\'es (3.8), (3.10), (3.11) et (3.9),
respectivement et calculons ce produit.
On obtient :
  $$\displaylines{(3.12)\quad {\rm Sch}(K_1,L_1){\rm Sch}'(K_1,L_2)
{\rm Sch}'(K_2,L_1){\rm Sch}(K_2,L_2)\hfill\cr
\hfill\eqalign{
&={\sum _n u^n \sum _{(\lambda _{i,j})} 
\prod _{i,j}(A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}}\cr
&\qquad{}\times \prod _{i\in  K_1} \prod _{j\in  L_1} 
S_{\lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)}) S_{\lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)})
\prod _{i\in  K_1} \prod _{j\in  L_2} 
S_{\lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)}) S_{\lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)})\cr
&\qquad{}\times \prod _{i\in  K_2} \prod _{j\in  L_1} 
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)}) S_{\lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)})
\prod _{i\in  K_2} \prod _{j\in  L_2} 
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)}) S_{\lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)})\cr
&=\sum _n u^n \sum _{(\lambda _{i,j})} 
\prod _{i,j}(A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
\prod _{i\in  K_1} \prod _j
S_{\lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)})
\prod _{i\in  K_2} \prod _j
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)})\cr}\cr
\hfill {}\times \prod _{j\in  L_1} \prod _i 
S_{\lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)})
\prod _{j\in  L_2} \prod _i 
S_{\lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)}).\cr}$$
Soit, d'apr\`es (3.3)
  $$\displaylines{(3.13)\quad {\rm Sch}(K_1,L_1){\rm Sch}'(K_1,L_2)
{\rm Sch}'(K_2,L_1){\rm Sch}(K_2,L_2)\hfill\cr
\eqalign{
&=\sum _n u^n \sum _{(\lambda _{i,j})} 
\prod _{i,j}(A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
\prod _{i\in  K_1} S_{\otimes _j \lambda _{i,j}}({\bf x}^{(i)})
\prod _{i\in  K_2} S_{\otimes _j \lambda '_{i,j}}({\bf x}^{(i)})\cr}\cr
\hfill {}\times \prod _{j\in  L_1} S_{\otimes _i \lambda _{i,j}}({\bf y}^{(j)})
\prod _{j\in  L_2} S_{\otimes _i \lambda '_{i,j}}({\bf y}^{(j)}).\cr}$$
Dans toutes ces sommations,
la matrice $(\lambda _{i,j})$ 
varie dans l'ensemble de toutes les
matrices $k\times l$ dont les coefficients
$\lambda _{i,j}$ sont des partitions satisfaisant
$\sum _{i,j}\left|\lambda _{i,j}\right|=n$.

Prenons maintenant pour ${\bf x}^{(i)}$ et  ${\bf y}^{(j)}$ les ensembles
finis 
  $$\{ x^{(i)}_1,\ldots,x^{(i)}_{c_i+1}\} \qquad{\rm et}\qquad
\{ y^{(j)}_1,\ldots,y^{(j)}_{d_j+1}\} $$
et faisons les substitutions $x^{(i)}_r\leftarrow p_i^{r-1}$
(resp. $y^{(j)}_s\leftarrow q_j^{s-1}$) dans (3.13).
Compte-tenu des notations
(3.4)--(3.7) et de nos conventions sur les produits,
on obtient l'identit\'e :
  $$\displaylines{(3.14)\quad {(-u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(-u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
\over (u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}}\hfill\cr
\qquad\qquad{}=\sum _n u^n \sum _{(\lambda _{i,j})} 
\prod _{i,j}(A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}\hfill\cr
\hfill {}\times \prod _{i\in  K_1} S_{\otimes _j \lambda _{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})
\prod _{i\in  K_2} S_{\otimes _j \lambda '_{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})\quad\cr
\hfill {}\times \prod _{j\in  L_1} S_{\otimes _i \lambda _{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j})
\prod _{j\in  L_2} S_{\otimes _i \lambda '_{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j}).\quad\cr}$$
Multiplions les deux membres par ${\bf s^{\bf c}t^{\bf d}}$ et sommons
sur toutes les suites ${\bf c}=(c_1,\ldots,c_k)$ et 
${\bf d}=(d_1,\ldots,d_l)$ d'entiers positifs. 
Le premier membre de (3.14) devient alors identique
au second membre de (2.3). 


\titre 4. Tableaux gauches|
Nous reprenons les conventions habituelles
sur les formes gauches $\nu /\theta $,
qui sont des diff\'erences ensemblistes
de deux diagrammes de Ferrers $\nu $ et $\theta $.
Si la forme $\nu /\theta $ contient $n$ points
et si $I$ est un ensemble fini d'entiers
de cardinal~$n$, on construit un {\it tableau
gauche} $T$, de {\it forme} $\nu /\theta $ et de {\it contenu}~$I$
en pla\c cant les $n$ entiers de $I$ sur les
$n$ points de la forme de fa\c con \`a obtenir
une croissance stricte dans chaque ligne (de gauche \`a droite)
et dans chaque colonne (de bas en haut).
Il est commode d'\'ecrire :
  $${\rm Cont}\,T=I,\qquad \left|T\right|=\nu /\theta .$$
Lorsque ${\rm Cont}\,T=[\,n\,]$, on dit
que $T$ est {\it d'ordre~$n$}.

La {\it ligne inverse de route} d'un tableau $T$,
de contenu $I$ et de forme $\nu /\theta $ est d\'efinie
comme l'ensemble de tous les entiers $k$ tels
que $k$ et $k+1$ apparaissent dans $T$,
l'entier $k+1$ \'etant situ\'e {\it plus haut} que
$k$ dans $T$. On note $\Ilig T$ la ligne
inverse de route de $T$. 
%Lorsque ${\rm Cont}\,T=[\,n\,]$,
%on d\'efinit aussi :
%  $$\Icolig T=[n-1]\setminus \Ilig T.\leqno(4.1)$$
Comme de coutume, le {\it transpos\'e} $T'$ d'un tableau $T$
est obtenu par r\'eflexion de celui-ci par rapport \`a
la diagonale principale. 
%Pour un tableau $T$
%d'ordre~$n$, on a en particulier :
%  $$\Icolig T'=\Ilig T.\leqno(4.2)$$

Par exemple, les tableaux
  $$P_{1,1}=\vbox{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                             6\cr
                             1&4&5\cr}}\;\quad
P_{2,1}=2\;\quad
P_{3,1}=3\;7$$
sont de forme $\lambda _{1,1}=(3,1)$, 
$\lambda _{2,1}=(1)$ and $\lambda _{3,1}=(2)$,
respectivement. Le tableau
  $$T=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         6\cr
                         1&4&{\bf 5}\cr
                         \null&\null&\null&2\cr
                         \null&\null&\null&\null&{\bf 3}&7\cr}}$$
est d'ordre 7 et de forme
$\left|T_1\right|=\lambda _{1,1}\otimes \lambda _{2,1}\otimes \lambda _{3,1}$. 
On l'obtient \`a partir des pr\'ec\'edents tableaux
de fa\c con \'evidente. La notation :
  $$T_1=P_{1,1}\otimes P_{2,1}\otimes P_{3,1}$$
n'est donc pas ambigu\"e. Les \'el\'ements
de $\Ilig T$ ont \'et\'e reproduits en gras
($\Ilig T=\{ {\bf 3,5}\} $).

Soit $T$ un tableau gauche d'ordre $n$. Par
analogie avec les permutations color\'ees, on pose :
  $$\displaylines{\ides T=\left|\Ilig T\right|\,;\qquad
\imaj T=\sum \{ r : r \in  \Ilig T\} \,;\cr
\noalign{\hbox{puis :}}
\rlap{(4.1)}\hfill
F_i(T)=s_i^{\ides T}p_i^{\imaj T};\qquad
G_j(T)=t_j^{\ides T}q_j^{\imaj T}.\hfill\cr}$$
Les suites ${\bf a}=(a_1,\ldots ,a_k)$
et ${\bf b}=(b_1,\ldots ,b_l)$
\'etant donn\'ees, on consid\`ere l'ensemble 
$\Lambda ({\bf a,b})$ des 
matrices $(\lambda _{i,j})$ d'ordre $k\times l$
dont les coefficients sont des partitions
satisfaisant les relations 
  $$\left|\lambda _{i,1}\right|+\cdots +\left|\lambda _{i,l}\right|=a_i,
\qquad
\left|\lambda _{1,j}\right|+\cdots +\left|\lambda _{k,j}\right|=b_j\leqno(4.2)$$
pour chaque $i=1,\ldots ,k$ et $j=1,\ldots ,l$.
On forme ensuite l'ensemble
${\cal T}(\lambda _{i,j})$ de toutes
les suites
$({\bf T,U})=(T_1,\ldots ,T_l,U_1,\ldots ,U_k)$
de $(l+k)$ tableaux gauches,
respectivement d'ordre
$b_1,\ldots,b_l,a_1,\ldots ,a_k$ 
et de forme
  $$\left|T_j\right|=\lambda _{1,j}\otimes \cdots \otimes \lambda _{k,j},
\qquad
\left|U_i\right|=\lambda _{i,1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i,l},\leqno(4.3)$$
pour $j=1,\ldots ,l$ et $i=1,\ldots ,k$.

Relativement \`a la paire de partitions
${\bf K}=(K_1,K_2)$ et ${\bf L}=(L_1,L_2)$, une telle
suite $({\bf T,U})$ de tableaux gauches est munie
d'un {\it poids} d\'efini par :
  $$H({\bf K,L;T,U})=
\prod _{i\in  K_1} F_i(U_i)
\prod _{i\in  K_2} F_i(U'_i)
\prod _{j\in  L_1} G_j(T_j)
\prod _{j\in  L_2} G_j(T'_j).$$
On se propose de calculer la fonction
g\'en\'eratrice des suites $({\bf T,U})$ par rapport
\`a ce poids.

Dans la proposition suivante, la paire
$({\bf a,b})$ \'etant fix\'ee, la premi\`ere sommation
est sur toutes les matrices $(\lambda _{i,j})$
appartenant \`a $\Lambda ({\bf a,b})$ (\cf.~(4.2)) et la seconde
sur les paires $({\bf T,U})$ de l'ensemble
${\cal T}(\lambda _{i,j})$
(\cf.~(4.3)). Enfin, la paire $({\bf c,d})$ est
\'etendue \`a toutes les suites
{\bf c} et {\bf d} d'entiers positifs respectivement
de longueur~$k$ et~$l$.

\th Proposition 4.1|On a l'identit\'e :
  $$\displaylines{(4.4)\quad
{1\over ({\bf s;p})_{{\bf a+1}}({\bf t;q})_{{\bf b+1}}}
\sum _{(\lambda _{i,j})} \sum _{({\bf T,U})} H({\bf K,L;T,U})\hfill\cr
\hfill{}=\sum _{{\bf c,d}}{\bf s}^{\bf c}{\bf t}^{\bf d}
\sum _{(\lambda _{i,j})} 
\prod _{i\in  K_1} S_{\otimes _j \lambda _{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})
\prod _{i\in  K_2} S_{\otimes _j \lambda '_{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})\quad\cr
\hfill {}\times \prod _{j\in  L_1} S_{\otimes _i \lambda _{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j})
\prod _{j\in  L_2} S_{\otimes _i \lambda '_{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j}).\quad\cr}$$
\finth

Cette proposition est une cons\'equence banale du
lemme suivant d\'ej\`a prouv\'e dans
[De-Fo1, th\'eor\`eme~4.1], qui s'\'enonce comme suit :

\th Lemme|Soit $\nu /\theta $ un diagramme gauche de $n$
\'el\'ements. On a alors l'identit\'e :
  $$\sum _T {G(T)\over (t;q)_{n+1}}
=\sum _d t^d S_{\nu /\theta }(1,q,q^2,\ldots,q^d),$$
o\`u la premi\`ere sommation est sur tous les tableaux
d'ordre~$n$, de forme $\nu /\theta $ et la seconde
sur tous les entiers $d\geq 0$.
\finth

Multiplions l'identit\'e (4.4) par
$u^n{\bf A}^{\bf a}{\bf B}^{\bf b}$ et sommons par rapport
aux paires $({\bf a,b})$ d'entiers de somme~$n$,
puis par rapport \`a $n\geq 0$. En remarquant que
  $${\bf A}^{\bf a}{\bf B}^{\bf b}=\prod _{i,j}(A_iB_j)^{|\lambda _{i,j}|},$$
on obtient :
  $$\displaylines{(4.5)\quad
\sum _n \sum _{{\bf a,b}} {1\over ({\bf s;p})_{{\bf a+1}}({\bf t;q})_{{\bf b+1}}}
\sum _{(\lambda _{i,j})} \sum _{({\bf T,U})} H({\bf K,L;T,U})\hfill\cr
\hfill\eqalign{&=\sum _nu^n \sum _{(\lambda _{i,j})} (A_iB_j)^{\left|\lambda _{i,j}\right|}
\sum _{{\bf c,d}}{\bf s}^{\bf c}{\bf t}^{\bf d}\cr
&\qquad {}\times \prod _{i\in  K_1} S_{\otimes _j \lambda _{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})
\prod _{i\in  K_2} S_{\otimes _j \lambda '_{i,j}}(1,p_i,\ldots,p_i^{c_i})\cr
&\qquad{}\times \prod _{j\in  L_1} S_{\otimes _i \lambda _{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j})
\prod _{j\in  L_2} S_{\otimes _i \lambda '_{i,j}}(1,q_j,\ldots,q_j^{d_j}).\cr}\cr}$$
Le second membre de (4.5) n'est autre que la somme sur
{\bf c} et {\bf d} du produit du second membre de (3.14)
par le mon\^ome ${\bf s^ct^d}$. Par cons\'equent,
  $$\displaylines{(4.6)\quad
\sum _n \sum _{{\bf a,b}} {1\over ({\bf s;p})_{{\bf a+1}}({\bf t;q})_{{\bf b+1}}}
\sum _{(\lambda _{i,j})} \sum _{({\bf T,U})} H({\bf K,L;T,U})\hfill\cr
\hfill{}=\sum _{{\bf c,d}} {\bf s^c t^d}
{(-u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(-u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
\over (u{\bf A}_{K_1}{\bf B}_{L_1};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}
(u{\bf A}_{K_2}{\bf B}_{L_2};{\bf p,q})_{{\bf c+1,d+1}}}\quad\cr}$$
En comparant avec l'identit\'e (2.3) \`a d\'emontrer, il
reste donc \`a \'etablir :
  $$P({\bf a,b;K,L;s,t,p,q})=\sum _{(\lambda _{i,j})} \sum _{({\bf T,U})} H({\bf K,L;T,U}).
\leqno(4.7)$$


\titre 5. La bijection|
Soit $\tau =(\sigma ,{\bf a,b})$ une permutation $(k,l)$-color\'ee.
Pour chaque couple $(i,j)$ telle que $1\leq i\leq k$ et
$1\leq j\leq l$ notons $I_{ij}$ l'ensemble de tous les entiers de
l'intervalle $[\,{\bf a}_{i-1}+1,{\bf a}_i\,]$,
qui sont envoy\'es par $\sigma $ dans
$[\,{\bf b}_{j-1}+1,{\bf b}_j\,]$. 
Notons $\tau _{ij}$
la restriction de $\sigma $ \`a $I_{ij}$,
qui envoie donc bijectivement $I_{i,j}$ sur
$J_{i,j}=\sigma (I_{i,j})$.

Si on reprend l'exemple 2.1, les bijections
$\tau _{i,j}$ et leurs inverses $\tau _{i,j}^{-1}$
sont donn\'ees par :
  $$\displaylines{\tau _{11}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          1&2&3&5\cr
                          6&1&4&5\cr}}\right);\quad         
\tau _{12}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          4\cr
                          10\cr}}\right);\quad
\tau _{21}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          6\cr
                          2\cr}}\right);\cr
\noalign{\vskip 3pt}
\tau _{22}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          7&8&9\cr
                          11&9&8\cr}}\right);\quad
\tau _{31}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          10&12\cr
                          3&7\cr}}\right);\quad         
\tau _{32}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          11\cr
                          12\cr}}\right);\cr
\noalign{\vskip 3pt}
\tau _{11}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          1&4&5&6\cr
                          2&3&5&1\cr}}\right);\quad         
\tau _{12}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                         10\cr
                          4\cr}}\right);\quad
\tau _{21}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          2\cr
                          6\cr}}\right);\cr
\noalign{\vskip 3pt}
\tau _{22}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          8&9&11\cr
                          9&8&7\cr}}\right);\quad
\tau _{31}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          3&7\cr
                          10&12\cr}}\right);\quad         
\tau _{32}^{-1}=\left(\vcenter{\halign{&$\;$\hfil#\hfil$\;$\cr
                          12\cr
                          11\cr}}\right).\cr}$$

Lorsque les \'el\'ements de $I_{i,j}$ (resp. $J_{i,j}$)
sont \'ecrits en ordre croissant (comme dans les lignes
du haut des pr\'ec\'edentes matrices), les lignes
du bas forment des mots que l'on d\'esigne par les
m\^emes symboles $\tau _{i,j}$ (resp. $\tau _{i,j}^{-1}$). 
On note maintenant $\tau _1$, $\tau _2$, \dots, $\tau _l$
(resp. $\tau _1^{-1}$, $\tau _2^{-1}$, \dots, $\tau _k^{-1}$)
le produit de {\it juxtaposition} des {\it mots} :
  $$\tau _j=\tau _{1,j}\tau _{2,j}\ldots \tau _{k,j}\,;\qquad
\tau _i^{-1}=\tau _{i,1}^{-1}\tau _{i,2}^{-1}\ldots \tau _{i,k}^{-1},$$
pour $j=1,\ldots ,l$ et $i=1,\ldots ,k$.

Dans l'exemple trait\'e ci-dessus, on a :
 $$\displaylines{\tau _1=6,1,4,{\bf 5},2,{\bf 3},7\;;\quad 
\tau _2=10,11,{\bf 9},{\bf 8},12\;;\cr
\tau _1^{-1}=2,3,5,{\bf 1},{\bf 4}\;;\quad
\tau _2^{-1}=6,9,{\bf 8},{\bf 7}\;;\quad
\tau _3^{-1}=10,12,{\bf 11}\;;\cr}$$
o\`u, dans chaque mot, les \'el\'ements de la {\it ligne inverse
de route} ont \'et\'e reproduits en gras.
On peut constater que
l'on a : $\Lig_1\tau =\Ilig \tau _1^{-1}=\{ {\bf 1,4}\} $,\quad 
$\Lig_2\tau =\Ilig \tau _2^{-1}=\{ {\bf 7,8}\} $,\quad
$\Lig_3 \tau =\Ilig \tau _3^{-1}=\{ {\bf 11}\} $,\quad
$\Ilig_1\tau =\Lig_1\tau ^{-1}=\Ilig \tau _1=\{ {\bf 3,5}\} $,\quad
$\Ilig_2\tau =\Lig_2\tau ^{-1}=\Ilig \tau _2=\{ {\bf 8,9}\} $.

Le r\'esultat est g\'en\'eral et simple \`a v\'erifier. Nous nous contentons
d'\'enoncer cette propri\'et\'e sans d\'emonstration.

\th Proposition 5.1|Pour tout $i=1,\ldots,k$ et $j=1,\ldots,l$
on a :
  $$\Lig_i \tau =\Ilig \tau _i^{-1};\qquad
\Ilig_j \tau =\Ilig \tau _j.\leqno(5.1)$$
\finth

Nous sommes maintenant en mesure de d\'emontrer (4.7)
et par l\`a m\^eme le \pc TH\'EOR\`EME|~2.1. Il s'agit
de construire une bijection entre permutations
$(k,l)$-color\'ees et tableaux gauches de la classe
${\cal T}(\lambda _{i,j})$ o\`u $(\lambda _{i,j})\in  \Lambda ({\bf a,b})$
(\cf.~(4.2) et~(4.3)).

\th Th\'eor\`eme 5.2|A toute permutation $(k,l)$-color\'ee
$\tau =(\sigma ,{\bf a,b})$ correspond
de fa\c con biunivoque :

$(i)$ une famille $(\lambda _{ij})$ 
$(1\leq i\leq k\,;\ 1\leq j\leq l)$ de diagrammes de Ferrers
tels que pour tout $i=1,\ldots,k$ et $j=1,\ldots,l$
on ait les relations :
  $$\left|\lambda _{i,1}\right|+\cdots+\left|\lambda _{i,l}\right|=a_i,
\qquad\left|\lambda _{1,j}\right|+\cdots+\left|\lambda _{k,j}\right|=b_j,$$

$(ii)$ une suite
$({\bf T,U})=(T_1,\ldots,T_l,U_1,\ldots,U_k)$
de $(l+k)$ tableaux gauches,
d'ordre $b_1,\ldots,b_l,a_1,\ldots,a_k$
et de forme
$\left|T_j\right|=\lambda _{1,j}\otimes \cdots\otimes \lambda _{k,j}$,
$\left|U_i\right|=\lambda _{i,1}\otimes \cdots\otimes \lambda _{i,l}$,
ayant la propri\'et\'e :
  $$\Ilig_j \tau -{\bf b}_{j-1}=\Ilig T_j
\quad \Lig_i \tau -{\bf a}_{i-1}=\Ilig U_i\leqno(5.2)$$
pour tout $j=1,\ldots,l$ et $i=1,\ldots,k$.\finth

L'ingr\'edient de base de cette bijection est
la correspondence de Robinson-Schensted
(\cf., par exemple, [Knu, p.~48--72] pour
un excellent expos\'e de la question),
que l'on prolonge \`a l'ensemble
des tableaux gauches.
Soit $\Bij(I,J)$ l'ensemble de toutes les bijections
d'un ensemble fini $I$ sur un ensemble $J$. La
correspondance de Robinson-Schensted
$\rho $ envoie bijectivement $\Bij(I,J)$
sur l'ensemble de tous les couples $(P,Q)$
de tableaux injectifs, de m\^eme forme $\lambda $,
le contenu de $P$ (resp. $Q$) \'etant $J$
(resp. $I$). Soient $\sigma \in  \Bij(I,J)$ et $\rho (\sigma )=(P,Q)$. 
Alors $\rho $
a la propri\'et\'e suppl\'ementaire suivante :
  $$\Ilig \sigma =\Ilig P\qquad{\rm et}\qquad\Ilig \sigma ^{-1}=\Ilig Q.$$

Partons donc d'une permutation $(k,l)$-color\'ee
$\tau $. Associons-lui la famille des bijections
$(\tau _{i,j} : I_{i,j}\rightarrow J_{i,j})$ comme il a \'et\'e d\'ecrit
plus haut. 
La correspondance de Robinson-Schensted 
envoie chacune des bijections
$\tau _{i,j}$ sur un couple
$(P_{i,j},Q_{i,j})$ de tableaux (droits) de la
m\^eme forme, dont les contenus et les lignes
inverses de route sont donn\'es par :
  $$\displaylines{{\rm Cont}\,P_{i,j}=J_{i,j},\qquad
{\rm Cont}\,Q_{i,j}=I_{i,j},\cr
\Ilig \tau _{i,j}=\Ilig P_{i,j},\qquad
\Ilig \tau _{i,j}^{-1}=\Ilig Q_{i,j}.\cr}$$
Soit $\lambda _{i,j}$ la forme commune de $P_{i,j}$ et $Q_{i,j}$.
Les tableaux gauches $\overline T_j=P_{1,j}\otimes \cdots \otimes P_{k,j}$
et $\overline U_i=Q_{i,1}\otimes \cdots \otimes Q_{i,l}$
sont alors de forme
$\lambda _{1,j}\otimes \cdots\otimes \lambda _{k,j}$
et $\lambda _{i,1}\otimes \cdots\otimes \lambda _{i,l}$,
respectivement. De plus,
  $${\rm Cont}\,\overline T_j
=\sum _i J_{i,j}=[{\bf b}_{j-1}+1,{\bf b}_j],\quad
{\rm Cont}\,\overline U_i=\sum _j I_{i,j}=[{\bf a}_{i-1}+1,{\bf a}_i]$$
et donc
$\left|\lambda _{1,j}\right|+\cdots+\left|\lambda _{k,j}\right|=b_j,\quad
\left|\lambda _{i,1}\right|+\cdots+\left|\lambda _{i,l}\right|=a_i$.

\goodbreak

Pour chaque $i=1,\ldots,k$ soit $\Ilig(\leftarrow P_{i,j})$ (resp.
$\Ilig(\leftarrow \tau _{i,j}))$ l'ensemble
de tous les entiers $s$ dans $[{\bf b}_{j-1}+1,{\bf b}_j-1]$
tels que $s$ soit dans $P_{i,j}$ (resp. soit une
lettre de $\tau _{i,j}$) et tels que $(s+1)$ apparaisse
dans $P_{i',j}$ (resp. dans $\tau _{i',j}$) 
pour un certain $i'<i$. Comme
dans le produit $P_{1,j}\otimes \cdots \otimes P_{k,j}$
le tableau $P_{i',j}$ se trouve en haut et \`a gauche de $P_{i,j}$
si $i'<i$, on a : 
$\sum _i\Ilig(\leftarrow \tau _{i,j})=\sum _i\Ilig(\leftarrow P_{i,j})$.
Par suite :
  $$\eqalign{\Ilig \overline T_j&=\Ilig P_{1,j}\otimes \cdots \otimes P_{k,j}
=\sum _i \Ilig P_{i,j} + \sum _i \Ilig(\leftarrow P_{i,j})\cr
&=\sum _i \Ilig \tau _{i,j} + \sum _i \Ilig(\leftarrow \tau _{i,j})\cr
&=\Ilig \tau _{1,j}\cdots \tau _{k,j}=\Ilig \tau _j=\Ilig_j \tau ,\cr}$$
d'apr\`es (5.1).
De la m\^eme mani\`ere, $\Ilig \overline U_i=\Lig_i \tau $.

On obtient enfin la suite
$({\bf T,U})=(T_1,\ldots,T_l,U_1,\ldots,U_k)$
en partant de la suite
$(\overline T_1,\ldots,\overline T_l,
\overline U_1,\ldots,\overline U_k)$ et en
rempla\c cant chaque \'el\'ement $r$ du tableau $\overline T_j$
(resp. $\overline U_i$) par l'\'el\'ement
$r-{\bf b}_{j-1}$ (resp. $r-{\bf a}_{i-1}$). Les
tableaux qui en r\'esultent sont alors d'ordre 
$b_1,\ldots,b_l,a_1,\ldots,a_k$. Les relations
(5.2) sont alors v\'erifi\'ees.


Ceci ach\`eve la d\'emonstration du th\'eor\`eme 5.2.

\vskip 5pt
Illustrons la construction du pr\'ec\'edent th\'eor\`eme \`a l'aide
de l'exemple consid\'er\'e tout au long de cet article. Les diff\'erents
\'el\'ements $\tau _{ij}$ sont envoy\'es sur les couples de
tableaux :
$$\displaylines{%\noalign{\vskip10pt}
\tau _{11}\mapsto  (P_{1,1},Q_{1,1})
=\raise 8pt \hbox{$\left(\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                        6\cr
                        1&4&5\cr}}\right.$},\;
\raise 8pt \hbox{$\left.\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                 2\cr
                 1&3&5\cr}}\right)$};\quad
\tau _{1,2}\mapsto  (P_{1,2},Q_{1,2})=(10,\,4)\;;\cr
%\noalign{\vskip 5pt }
\tau _{2,1}\mapsto  (P_{2,1},Q_{2,1})=(2,\,6)\;;\quad
\tau _{2,2}\mapsto  (P_{2,2},Q_{2,2})=
\raise 16pt \hbox{$\left(\vcenter{\halign{\hfil#\hfil\cr
                                                 11\cr
                                                 9\cr
                                                 8\cr}}\right.$},\;
\raise 16pt \hbox{$\left.\vcenter{\halign{\hfil#\hfil\cr
                     9\cr
                     8\cr
                     7\cr}}\right)$};\cr
%\noalign{\vskip 5pt }
\tau _{3,1}\mapsto  (P_{31},Q_{3,1})=(3\;7\,,\;10\;12)\quad
\tau _{3,2}\mapsto  (P_{3,2},Q_{32})=(12,\,11).\cr
\noalign{\vbox{%\vskip 5pt 
               \hbox{D'o\`u l'on a :}
               \vskip 5pt }}  
T_1=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         6\cr
                         1&4&{\bf 5}\cr
                         &&&2\cr
                         &&&&{\bf 3}&7\cr}};\qquad
T_2=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         3\cr
                         &4\cr
                         &{\bf 2}\cr
                         &{\bf 1}\cr
                         &&5\cr}};\cr
U_1=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         2\cr
                         {\bf 1}&3&5\cr
                         &&&{\bf 4}\cr}};\qquad
U_2=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         1\cr
                         &4\cr
                         &{\bf 3}\cr
                         &{\bf 2}\cr}};\qquad
U_3=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         1&3\cr
                         &&{\bf 2}\cr}}.\cr}$$


\goodbreak
\titre 6. Sp\'ecialisations|
Dans [De-Fo1] les identit\'es
{\it lin\'eaires} sur les fonctions de Schur
avaient \'et\'e exploit\'ees pour obtenir des
identit\'es sur les polyn\^omes g\'en\'erateurs
des {\it involutions} par rapport \`a des
statistiques d'ordre. \pc REMMEL| [Re3]
a prolong\'e ces r\'esultats au cas
des bipermutations $(\sigma ;{\bf a,b})$
pour lesquelles $\sigma $ est une involution.
Suivant la m\'ethode d\'evelopp\'ee dans cet article,
on peut obtenir des identit\'es concernant
les involutions $(k,l)$-color\'ees,
pour une
paire $(k,l)$ quelconque. Nous ne le
ferons pas ici.
En revanche, nous aimerions donner quelques
sp\'ecialisations des formules (2.3)
et (2.4).

Convenons d'\'ecrire
$\des_{a_i}$, $\maj_{a_i}$,\dots,
pour $\des_i$, $\maj_i$,\dots, 
lorsque les nombres de descentes
et les indices majeurs sont calcul\'es par rapport
\`a la partition~{\bf a}. Prenons d'abord
${\bf K}=(\{ 1\} ,\{ 2\} )$, ${\bf L}=(\{ 1\} ,\emptyset )$, puis
faisons les substitutions
$B\leftarrow 1$, $A_2\leftarrow z$, $A_1\leftarrow 1$, $p_1\leftarrow q_1$,
$p_2\leftarrow q_1$, $q\leftarrow q_2$ dans l'identit\'e~(2.4).
Celle-ci devient :
  $$\sum _n C_n(z,q_1,q_2)
{u^n\over (q_1;q_1)_n(q_2,q_2)_n}
={(-zu;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }\over (u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }},\leqno(6.1)$$
c'est-\`a-dire l'extension \`a deux bases de
la formule
$q$-binomiale avec
l'interpr\'etation combinatoire
  $$C_n(z;q_1,q_2)=
\sum _{a_1+a_2=n} z^{a_2} {n\brack a_1}_{q_1}
\sum _{\sigma \in  {\goth S}_n} q_1^{\maj_{a_1} \sigma \, +\,\comaj_{a_2} \sigma }
q_2^{\imaj \sigma },$$
interpr\'etation diff\'erente de celle trouv\'ee dans [De-Fo1].

Posons maintenant :
  $$A_n(s,q)=\sum _{\sigma \in  {\goth S}_n} s^{\des \sigma } q^{\imaj \sigma };\qquad
B_n(s,q)=\sum _{\sigma \in  {\goth S}_n} s^{\codes \sigma } q^{\imaj \sigma }.$$
L'identit\'e (2.3) se sp\'ecialise ais\'ement en :
  $$\leqalignno{
\sum _n{u^n\over (q;q)_n} A_n(s,q)&={1-s\over -s+(u(1-s);q)_\infty },&(6.2)\cr
\sum _n{u^n\over (q;q)_n} B_n(s,q)&={1-s\over -s+(-u(1-s);q)_\infty ^{-1}},&(6.3)\cr}$$
deux expressions bien connues pour les $q$-analogues
des polyn\^omes eul\'e\-riens (\cf. [St2], [De]). A leur tour,
(6.2) et (6.3) se r\'eduisent \`a l'identit\'e classique donnant la
fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes eul\'e\-riens ordinaires.

Prenons maintenant {\bf K} quelconque et ${\bf L}=(\{ 1\} ,\emptyset )$.
De plus, si $\sum _ia_i=n$, posons :
  $$P_{\bf a}({\bf s},q)=\sum _{\sigma \in  {\goth S}_n} \biggl(\,\prod _{i\in  K_1}
s_i^{\des_{a_i}\sigma }\biggr)
\biggl(\,\prod _{i\in  K_2}
s_i^{\codes_{a_i}\sigma }\biggr)
q^{\imaj \sigma }.$$
On d\'eduit ais\'ement de (2.3), (6.2) et (6.3)
la relation :
  $$P_{\bf a}({\bf s},q)={a_1+\cdots+a_k\brack a_1,\ldots,a_k}_q
\prod _{i\in  K_1} A_{a_i}(s_i,q)
\prod _{i\in  K_2} B_{a_i}(s_i,q).\leqno(6.4)$$
Cette derni\`ere relation peut s'\'etablir directement
si l'on se souvient (\cf. [Fo-Sch2]) que sur le groupe
${\goth S}_n$, les paires de
statistiques $({\des},{\inv})$, $({\des},{\imaj})$
et $({\ides},{\maj})$ (o\`u l'on a not\'e
``$\inv \sigma $" le {\it nombre d'inversions}
de~$\sigma $) sont identiques. 
Il suffit, en effet, 
d'\'etablir (6.4) pour les statistiques :
$(\des_{a_i})_{i\in  K_1}$,
$(\codes_{a_i})_{i\in  K_2}$,
inv.

\vskip 64pt plus 21pt

\eightpoint 
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\tenpoint
\nobreak
\vskip 1cm
\rightline{\vbox{\hbox{Jacques {\petcap D\'esarm\'enien},}
                 \hbox{D\'epartement d'informatique,}
                 \hbox{Institut universitaire de technologie,}
                 \hbox{Universit\'e Robert-Schumann,}
                 \hbox{72, route du Rhin,}
                 \hbox{F-67400 Illkirch-Graffenstaden.}
                 \hbox{email : {\eightrm A18630@FRCCSC21.BITNET}} 
\vskip 12pt
                 \hbox{Dominique {\petcap Foata,}}
                 \hbox{D\'epartement de math\'ematique,}
                 \hbox{Universit\'e Louis-Pasteur,}
                 \hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,}
                 \hbox{F-67084 Strasbourg Cedex.}
                 \hbox{email : {\eightrm A18621@FRCCSC21.BITNET}}}\qquad} 
               
\vfill
\eject

\bye
