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%
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%reference pour un livre :
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%les differents retraits, voir aussi \item
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% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
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\def\bfa{{\bf a}}
\def\bfv{{\bf v}}
\def\bfw{{\bf w}}

\auteurcourant={D. FOATA}
\titrecourant={DISTRIBUTIONS EULER-MAHONIENNES}

\bigskip\bigskip
\titrea LES DISTRIBUTIONS EULER-MAHONIENNES|SUR LES MOTS|
\medskip
\centerline{{\petcap Dominique} FOATA}
\bigskip
\bigskip
\resume{L'objet de cet article est de calculer la distribution
euler-mahonienne sur 
toute classe de r\'earrangements $R({\bf c})$ d'un m\^eme mot. Apr\`es avoir
r\'eactualis\'e le calcul de MacMahon de cette distribution, on montre que
l'alg\`ebre des fonctions de Schur fournit tous les ingr\'edients utiles
pour obtenir cette distribution. Cette derni\`ere approche permet, en
outre, une extension au calcul des distributions sur les bi-mots
color\'es, ainsi que d'autres extensions hyperg\'eom\'etriques
multibasiques qui n'ont pas \'et\'e reproduites ici.}

\medskip
\abstract{The purpose of this paper is to calculate 
the euler-mahonian distribution over each rearragement class
$R({\bf c})$ of a given word. After updating MacMahon's calculation of
this distribution, it is shown that the Schur function algebra gives
all the necessary ingredients for deriving this distribution.
Furthermore, this approach provides an
extension to the calculation of some distributions over the colored
biwords, as well as other multibasic hypergeometric extensions
that have not been reproduced here.}

\medskip
\section 1. Introduction|Le pr\'esent article a \'et\'e motiv\'e par les r\'ecents
travaux de Denert [Den90], qui, devant calculer la fonction z\^eta d'un
$R$-ordre h\'er\'editaire dans des alg\`ebres centrales simples, a \'et\'e
amen\'ee \`a introduire une nouvelle statistique sur les mots, plus tard
appel\'ee ``den." Par ``mot," on entend une suite finie $w=x_1x_2\ldots
x_m$, o\`u les lettres $x_1$, $x_2$, \dots~, $x_m$ sont des entiers
positifs, de sorte que l'on peut parler de {\it r\'earrangement
croissant} $w'=x_1'x_2'\ldots x_m'$ de ce mot. Si $w$ contient 
$c_1$ fois la lettre~1,  $c_2$ fois la lettre~2, \dots~, $c_r$ fois
la lettre~$r$, on a donc $w'=1^{c_1}2^{c_2}\ldots r^{c_r}$. 

La d\'efinition de ``den" (revue par Han~[Han91]) est 
mieux comprise, si on introduit, pour deux entiers $x$ et $y$,
l'{\it intervalle cyclique} $$
\]x,y \] = \cases{
]x,y],    &si $x\leq y$ ;\cr
[1,y]+\mathopen]x,+\infty[, &si $x>y$. \cr   }
$$
Conservant les m\^emes notations que ci-dessus,  la statistique
$\den w$ attach\'ee au mot~$w$ est obtenue en calculant d'abord
pour chaque entier $k=1,2,\ldots,m$ la quantit\'e
$\den_k w$  ci-dessous d\'efinie, puis en prenant la somme de ces
$\den_k w$ :
$$ \eqalignno{
\den_k w&=\#\left\{i\le k-1 :  x_i\in \]x_k,x'_k\]\right\}
\qquad(1\le k\le m)\,;\cr
\den w&=\sum _{1\le k\le m}
\den_k w.\cr}
$$

Dans l'exemple suivant, on a repr\'esent\'e le r\'earrangement croissant
en premi\`ere ligne et le mot lui-m\^eme~$w$ en seconde ligne d'une
m\^eme matrice. Le calcul des $\den_k w$ appara\^\i t sur la troisi\`eme
ligne, d'o\`u l'on tire $\den w$ :
$$\eqalignno{
\left ({w'\atop w}\right )&=
\left(\vcenter{\halign{&\hfil$\;#\;$\hfil\cr
 1&1& 1&2& 2&2&3& 4& 5& 5&6&6&6&7\cr
3&1&2&1& 2& 4& 6& 2&6& 5&6&1& 7&5\cr
}}\right )\cr
\noalign{\vskip 5pt }
\den_k w &=\hskip7pt\vbox{\halign{&\hfil$\;#\;$\hfil\cr
0&0&2&1&0&4&5&2&7&0&0&9&\omit\hfil1\kern-1pt 2\hfil&4\cr
}}\cr}
$$
et donc $\den w=46$.

Il existe une autre d\'efinition pour ``$\den w$" faisant intervenir le
nombre d'inversions des sous-mots de $w$ compos\'es des lettres
qui sont respectivement en exc\'edance et en sous-exc\'edance.
L'\'equivalence de ces deux d\'efinitions est d\'emontr\'ee dans [FoZe90]
et [Cla91] pour les mots sans r\'ep\'etitions (``permutations") et dans
[Han91] pour les mots arbitraires.

Les autres statistiques dont il va \^etre question dans cet
article sont plus classiques et sont d\'efinies, pour chaque
mot $w=x_1x_2\ldots x_m$, par :
$$\displaylines{
\des w=\#\{i\mid x_i>x_{i+1}\}\,;\qquad
\exc w=\#\{i\mid x_i>x'_i\}\,;\cr
\maj w=\sum \{i\mid x_i>x_{i+1}\}\,;\qquad
\inv w=\#\{i<j\mid x_i>x_j\}.\cr}
$$
Traditionnellement, ``des," ``exc," ``maj" et ``inv" sont
appel\'ees {\it nombre de descentes}, {\it
nombre d'exc\'edances}, {\it indice majeur}, {\it nombre
d'inversions}.

Soient $\bfc=(c_1,\ldots,c_r)$ une suite d'entiers positifs et $R(\bfc)$
la classe form\'ee de tous les mots qui sont des r\'earrangements du mot
croissant $1^{c_1}2^{c_2}\ldots r^{c_r}$. L'un des probl\`emes pos\'es
par Denert~[Den90] \'etait de {\it calculer} le polyn\^ome g\'en\'erateur de
$R(\bfc)$ par le couple de statistiques $(\exc,\den)$, c'est-\`a-dire le
polyn\^ome 
$$
\sum _w t^{\exc w} q^{\den w}\qquad (w\in R(\bfc)). \leqno(1.1)
$$
Comme le couple $(\exc,\den)$ se pr\^ete mal au calcul, il \'etait
raisonnable de rechercher dans le corpus des statistiques sur les
mots celles qu'on pouvait faire entrer en correspondance avec ledit
couple et dont la distribution se calculait bien.

Pour simplifier, nous dirons qu'une statistique d\'efinie sur
$R(\bfc)$ est {\it eul\'erienne}, si elle a m\^eme distribution que
``$\des$" sur $R(\bfc)$, qu'elle est {\it mahonienne}, si elle a m\^eme
distribution que l'indice majeur ``$\maj$" sur
$R(\bfc)$ ; enfin, un couple de statistiques d\'efini sur
$R(\bfc)$ est dit {\it euler-mahonien}, s'il a m\^eme distribution
que le couple $(\des,\maj)$ sur $R(\bfc)$.

A ce niveau, se posent deux types de pr\'eoccupations : d'une part, faire
l'{\it inventaire} des statistiques usuelles qui sont eul\'eriennes,
mahoniennes ou euler-mahoniennes, d'autre part, faire
le {\it calcul analytique} de ces distributions. On sait, depuis
MacMahon [MacM16], que ``exc" est eul\'erienne et que ``inv" est
mahonienne sur toute classe $R(\bfc)$, ce qui a soulev\'e le probl\`eme de
construire des transformations bijectives $\Phi_1$ et $\Phi_2$ de
$R(\bfc)$ sur elle-m\^eme satisfaisant les identit\'es 
$$
\exc w=\des\Phi_1(w),\qquad \inv w=\maj \Phi_2(w).
$$
De telles bijections ont \'et\'e effectivement construites (\cf.
Cartier-Foata [Ca-Fo69] pour $\Phi_1$ et Foata [Fo68] pour $\Phi_2$).
Il restait encore \`a imaginer la d\'efinition d'une statistique 
mahonienne, disons ``den," telle que le couple $(\exc,\den)$ soit
euler-mahonien. On doit \`a Denert [Den90] d'avoir d\'egag\'e la d\'efinition
d'une telle statistique. En d'autres termes, on a le
th\'eor\`eme suivant.

\th Th\'eor\`eme 1.1|Le couple $(\exc,\den)$
est euler-mahonien sur toute classe $R(\bfc)$. Il a donc m\^eme
distribution que $(\des,\maj)$.

\finth

Lorsque $R(\bfc)={\goth S}_n$, \`a savoir le groupe des permutations
d'ordre~$n$, le th\'eor\`eme a
\'et\'e prouv\'e par Foata et Zeilberger~[FoZe90]. 
Le th\'eor\`eme pour une classe $R(\bfc)$ quelconque est d\^u \`a 
Han~[Han91]. Ce dernier a eu aussi le m\'erite de donner la bonne
d\'efinition de ``den" dans le cas g\'en\'eral (d\'efinition qui a \'et\'e rappel\'ee
plus haut) et, de fa\c con plus essentielle, de construire une nouvelle
transformation bijective $\Phi_3$ de $R(\bfc)$ sur elle-m\^eme
satisfaisant : 
$$
(\des,\maj)(w)=(\exc,\den)\bigl(\Phi_3(w)\bigr) 
$$
identiquement.

Comme dit plus haut, le second type de pr\'eoccupations est de {\it
calculer} les distributions de ces statistiques. Il est clair qu'il
existe plusieurs fa\c cons d'exprimer celles-ci : on peut
calculer la fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes g\'en\'erateurs de chaque
classe $R(\bfc)$, ou bien d\'egager une relation de r\'ecurrence pour les
coefficients de ces m\^emes polyn\^omes (l'exercice consistant
de passer d'une forme \`a l'autre pouvant \^etre plus ou moins facile !).

Gr\^ace \`a la transformation $\Phi_3$, le calcul de la distribution de
$(\exc,\den)$ se ram\`ene donc \`a celui de la distribution
de $(\des,\maj)$. Pour r\'epondre au probl\`eme pos\'e
par Denert, tout revient donc \`a calculer la distribution
de $(\des,\maj)$ sur toute classe $R(\bfc)$. C'est ce que nous nous
proposons de faire dans cet article. De fa\c con pr\'ecise, si
$$
A_{\bf c}(t,q)=\sum _w t^{\des w} q^{\maj w}\qquad (w\in
R({\bf c}))\leqno(1.2)
$$
est le polyn\^ome g\'en\'erateur de $(\des,\maj)$ sur la classe 
$R(\bfc)$, le but est de trouver une formule close
pour la fonction g\'en\'eratrice (de facult\'e) de ces polyn\^omes.

Sous une forme \'equivalente, le r\'esultat n'est pas nouveau et remonte \`a
MacMahon [MacM16] (voir section~2). Nous nous proposons ici, dans
cette m\^eme section~2, de {\it r\'eactualiser} la m\'ethode des anciens.
Dans une troisi\`eme partie, nous montrons comment les relations de
r\'ecurrence s'obtiennent \`a partir de manipulations analytiques sur ces
s\'eries de facult\'e. Dans la quatri\`eme section,
nous montrons qu'en fait ce calcul peut s'obtenir,
de fa\c con naturelle, \`a partir des identit\'es de Cauchy sur les fonctions
de Schur 
$$ \sum _\lambda  S_\lambda (x)S_\lambda (y)=\prod _{i,j}
(1-x_iy_j)^{-1}
\quad{\rm et}\quad
\sum _\lambda  S_\lambda (x)S_{\lambda'} (y)=\prod _{i,j}
(1+x_iy_j).
$$
L'avantage de cette m\'ethode est, d'une part, d'obtenir
interpr\'etations combinatoires et identit\'es entre s\'eries de facult\'e
directement de la th\'eorie classique des fonctions sym\'etriques ;
d'autre part, de n\'ecessiter peu de calcul, une fois connues les
identit\'es de base et leurs interpr\'etations.

De plus, cette
alg\`ebre des fonctions de Schur et les identit\'es classiques sur les
fonctions hyperg\'eom\'etriques sugg\`erent une extension naturelle
au cas des bimots dits color\'es --- ceci fait l'objet de la section~5
---et aussi une extension hyperg\'eom\'etrique
\`a plusieurs bases, qui sera expos\'ee dans la section~7. 

Quelques indications sur les notations utilis\'ees.
D'abord les notations classiques de la $q$-factorielle
montante 
 $$\displaylines{
\eqalign{(a;q)_n&=\cases{1,&si $n=0$ ;\cr
                               (1-a)(1-aq)\,
                               \ldots\,
                               (1-aq^{n-1}),&si $n\geq 1$ ;\cr}\cr
               (a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n=
{\textstyle \prod _{n\geq 0}(1-aq^n)}\,;\cr
}\cr
\noalign{\hbox{et des $q$-coefficients binomiaux et multinomiaux :}}
\left [{n\atop m}\right ]
={\textstyle (q;q)_{n} \over (q;q)_{m} (q;q)_{n-m}}\,;\cr
\rlap{(1.3)}\hfill
\left [{c_1+c_2+\ldots +c_r\atop
c_1,c_2,\ldots,c_r}\right ]={\textstyle (q;q)_{c_1+c_2+\cdots+c_r}
\over (q;q)_{c_1} (q;q)_{c_2}\ldots (q;q)_{c_r} }.\hfill\cr
}
$$
Si $\bfc=(c_1,c_2,\ldots,c_r)$ est une suite d'entiers, on pose
$\left |{\bf c}\right|
=c_1+c_2+\ldots+c_r$. Si maintenant $u_1$, $u_2$, \dots~, $u_r$
sont $r$ variables, il sera commode de poser :
${\bf u}^{\bf c}
=u_1^{c_1}u_2^{c_2}\ldots u_r^{c_r}$. Les lettres grasses
repr\'esenteront, en g\'en\'eral, des suites. Par exemple, on utilisera les
notations abr\'eg\'ees du type :
$(\bfu;q)_{s+1}=
(u_1;q)_{s+1} \ldots (u_r;q)_{s+1}$. Enfin, on posera :
$\bfc+1_r=(c_1,\ldots,c_{r-1},c_r+1)$ et on notera que toutes les
sommations de la forme $\sum _\bfc$, qui interviennent dans l'article,
s'\'etendent \`a toutes les suites $\bfc=(c_1,\ldots,c_r)$ de $r$~entiers
positifs, y compris la suite nulle.

Ces notations \'etant rappel\'ees, on peut dire que la section~4 est une
\'etude analytique et combinatoire de l'identit\'e
$$\displaylines{\rlap{(1.4)}\hfill
\sum _{{\bf c}} A_{\bf c}(t,q) 
{{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}}
=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1} },\hfill\cr 
\noalign{\hbox{que la section 5 porte sur l'\'etude de}}
\rlap{(1.5)}\hfill
\sum _\bfc {C_\bfc} (z,t,q)
{\bfu  ^\bfc\over  (t;q)_{1+\left|\bfc  \right|}}
=\sum _{s\ge 0} {(-z\bfu;q)_{s+1}
\over  (\bfu;q)_{s+1}}\,
t^s.\hfill\cr
}
$$
Les formules de r\'ecurrence sur les polyn\^omes $C_\bfc(z,t,q)$ seront
donn\'ees dans la section~6.

\section 2. Le calcul des anciens actualis\'e|On sait, 
depuis MacMahon [MacM13] que ``maj" a la 
distribution $q$-multinomiale
sur $R({\bf c})$. On a donc, en utilisant la notation (1.3),
$$
A_{\bf c}(t=1,q)=\left [{c_1+c_2+\ldots +c_r\atop
c_1,c_2,\ldots,c_r}\right ] ,\leqno(2.1)
$$
identit\'e qu'on peut r\'ecrire, en utilisant le th\'eor\`eme
$q$-binomial (\cf. [GaRa90], \S\kern2pt1.3])
$$
\displaylines{
\sum _{n\ge 0} {(a;q)_n\over (q;q)_n}z^n={(az;q)_\infty\over (z;q)_\infty},\cr
\noalign{\hbox{comme :}}
\rlap{(2.2)}\hfill
\sum _{{\bf c}} A_{\bf c}(t=1,q) 
{{\bf u}^{\bf c}\over (q;q)_{|{\bf c}|}}
={1\over (u_1;q)_\infty \ldots (u_r;q)_\infty }.\hfill\cr
}$$
La distribution du couple   $(\des,\maj)$ sur $R({\bf c})$ n'est autre que la
``$t$-extension" de cette identit\'e
$$
\sum _{{\bf c}} A_{\bf c}(t,q) 
{{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}}
=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1} }
\Bigl(=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_r;q)_{s+1}
}\Bigr),\leqno(2.3) $$
une identit\'e donn\'ee par Rawlings dans sa th\`ese [Ra79, p.~27], 
avec l'interpr\'etation (1.1)  pour les polyn\^omes~$A_{\bf c}(t,q)$,
mais non reproduite dans l'article r\'ecrit d'apr\`es celle-ci~[Ra81]. 


Le membre de droite de (2.3) est sym\'etrique en
les~$u_i$. Le membre de gauche l'est donc aussi. Pour toute
permutation~$\sigma  $ de $\{1,2,\ldots,r\}$, 
notons~$\sigma  {\bf c}$ la suite
$(c_{\sigma  1},\ldots,c_{\sigma  r})$ et $R(\sigma  {\bf c})$ la classe des
r\'earrangements du mot 
$1^{c_{\sigma  1}} 2^{c_{\sigma  2}}\ldots r^{c_{\sigma  r}}$. 
On a donc le r\'esultat suivant.

\th Proposition 2.1|Les distributions du couple $(\des,\maj)$ 
sur $R({\bf c})$
et sur $R(\sigma  {\bf c})$ sont identiques.
\finth

\dem
Donnons une d\'emonstration combinatoire de ce r\'esultat.
Suivant un proc\'ed\'e classique, on d\'emontre la proposition lorsque $\sigma 
$ est une transposition de deux \'el\'ements adjacents $(i,i+1)$.
Consid\'erons un mot $w\in R({\bf c})$ et \'ecrivons en gras {\it tous} les
facteurs de ce mot de la forme $(i+1)i$ ; rempla\c cons ensuite les
facteurs maximaux de la forme $i^p(i+1)^q$ ne comportant pas de lettres
grasses par les facteurs $i^q(i+1)^p$. R\'ecrivons enfin en maigre les
lettres grasses. Il est clair que cette transformation est une bijection qui
envoie tout mot $w\in R({\bf c})$ sur un mot $w'\in R((i,i+1){\bf c})$. De
plus $(\des,\maj)(w)=(\des,\maj)(w')$.\cqfd

L'identit\'e (2.3) peut donc se r\'ecrire :
$$
\sum _{\lambda } {1\over (t;q)_{1+\left |\lambda \right |}}
A_\lambda (t,q) m_\lambda (\bfu)
=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1} }, 
$$
o\`u la sommation \`a gauche est sur toutes les partitions d'entiers
$\lambda $ dont le nombre de parts~$l(\lambda )$ est au plus
\'egal \`a~$r$ et o\`u  $m_\lambda (\bfu)=m_\lambda
(u_1,\ldots,u_r)$ d\'esigne la fonction monomiale  sym\'etrique
associ\'ee \`a~$\lambda $ en les variables $u_1$, \dots~, $u_r$.

Or consid\`erons l'identit\'e de
Cauchy sur les fonctions sym\'etriques 
(\cf. [Macd79, \S\kern2pt1.4])
$$
\sum _\lambda h_\lambda (x)m_\lambda (y)
=\prod _{i,j}(1-x_iy_j)^{-1},
$$
o\`u $h_\lambda (x)=h_{\lambda _1}(x)\ldots h_{\lambda _r}(x)$
d\'esigne la fonction sym\'etrique homog\`ene associ\'ee \`a la
partition $\lambda =(\lambda _1,\ldots,\lambda _r)$ et prenons 
pour ensembles $x$ et $y$ de variables les ensembles finis
$\{x_1,\ldots, x_{s+1}\}$ et $\{u_1,\ldots,u_r\}$, respectivement.
Faisons ensuite la substitution $x_i\leftarrow q^{i-1}$
$(i=1,\ldots, s+1)$. On obtient : 
$$\displaylines{
\sum _\lambda h_\lambda (1,q,\ldots,q^s)
m_\lambda (u_1,\ldots,u_r)
={1\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_r;q)_{s+1} }\,;\cr
\noalign{\hbox{d'o\`u}}
\sum _\lambda 
\sum _{s\ge 0} t^s
h_\lambda (1,q,\ldots,q^s)
m_\lambda (\bfu)
=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1} }.\cr
}
$$
Par cons\'equent, (2.3) implique la formule
$$
 {1\over (t;q)_{1+\left |\lambda \right |}}
A_\lambda (t,q) =\sum _{s\ge 0}
t^s
h_\lambda (1,q,\ldots,q^s).\leqno(2.4)
$$
et r\'eciproquement. Puisque $h_l(1,q,\ldots,q^s)={l+s\brack s}$
(\cf. [Macd79, p.~18]), cette
derni\`ere formule peut se r\'ecrire aussi :
$$
{1\over (t;q)_{1+\left |\lambda \right |}}
A_\lambda (t,q) =\sum _{s\ge 0}
t^s
{\lambda _1+s\brack s}\ldots {\lambda _r+s\brack s}.\leqno(2.5)
$$
C'est sous cette forme que MacMahon, dans son trait\'e [MacM16,
vol.~2, p.~211], et Gessel, dans sa th\`ese [Ge77, p.~98], avaient calcul\'e
la distribution du couple $(\des,\maj)$ sur $R(\bfc)$.

Or, dans l'article de 1913 d\'ej\`a cit\'e, MacMahon [MacM13] avait utilis\'e
une d\'emonstration authentiquement combinatoire pour \'etablir (2.1),
d\'emonstration qu'Andrews a excellemment reproduite dans
son livre sur les partitions [An76, p.~42--45] et que 
Stanley [St72] a
\'etendue au cas de ses $(P,\omega )$-partitions.  L'identit\'e
(2.1) y est d\'emontr\'ee sous la forme :   
$$
{1\over (q;q)_{c_1+c_2+\cdots+c_r}}
\sum_w q^{\maj w}
={1\over (q;q)_{c_1}(q;q)_{c_2}\ldots (q;q)_{c_r}},
\leqno(2.6)
$$
MacMahon utilise
le fait que $1/(q;q)_m$ est la fonction
g\'en\'eratrice des partitions d'entiers ayant au plus $m$
parts et construit une bijection entre les suites de partitions compt\'ees
par le membre de droite et les paires de partitions et de mots
compt\'ees par le membre de gauche. Il est remarquable de voir
qu'une simple {\it adaptation} de cette bijection permet aussi
d'\'etablir (2.5). C'est ce que nous nous proposons de faire
ci-dessous.

On utilise, d'une part, l'identit\'e
$$
{1\over (t;q)_{1+\left |\lambda \right |}}
=\sum _{i\ge 0}{\left |\lambda \right |+i\brack i}t^i\leqno(2.7)
$$
et, d'autre part, le fait que ${m+s\brack s}$ est le polyn\^ome
g\'en\'erateur des partitions ayant au plus $m$ parts, toutes au
plus \'egales \`a~$s$, ou encore des suites d\'ecroissantes
$(b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_{m})$ d'entiers positifs
satisfaisant : 
$$
s\ge b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_{m}\ge 0.
$$

Le second membre de (2.5) est
alors \'egal \`a la somme de la s\'erie
$\sum t^s q^{c(T)}$, \'etendue \`a tous les couples $(s,T)$,
o\`u $s$ est un entier positif et~$T$ un tableau de coefficients
entiers positifs de la forme 
$$
\matrix{a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,\lambda _1}\cr
a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,\lambda _2}\cr
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\cr
a_{r,1}&a_{r,2}&\ldots&a_{r,\lambda _r}\cr
}\leqno(2.8)
$$
o\`u chaque ligne est {\it d\'ecroissante} 
et a tous ses \'el\'ements entre
$s$ et~0 et o\`u
 $$
c(T)=\sum_{i,j} a_{i,j}.
$$
D'apr\`es (2.7), le premier membre de (2.5) est \'egal \`a la somme
de la s\'erie $$
\sum  t^{s'+\des w}q^{c(\pi )+\maj w},
$$
 \'etendue \`a tous les triplets 
$(s',\pi ,w)$, o\`u $s'$ est un entier positif, $\pi $ une suite
$(b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_{\left |\lambda \right |})$ d'entiers
compris entre $s'$ et~0, et $w$ un mot appartenant \`a
$R(\lambda )$ et o\`u enfin $c(\pi )=b_1+\cdots+b_{|\lambda|} $.

Il s'agit donc de construire une bijection
$(s,T)\mapsto (s',\pi,w)$, satisfaisant :
$$
c(T)=c(\pi)+\maj w\qquad
{\rm et}\qquad
s=s'+\des w.\leqno(2.9)
$$

Dans une premi\`ere \'etape, on code tout tableau $T$
d\'ecrit en (2.8) comme une matrice \`a deux lignes de la
fa\c con suivante. On forme d'abord la matrice :
$$
\left(\petitematrice{a_{1,1}&\ldots&a_{1,\lambda _1}
&a_{2,1}&\ldots&a_{2,\lambda _2}&\ldots
&a_{r,1}&\ldots&a_{r,\lambda _r}\cr
1&\ldots&1&2&\ldots&2&\ldots&r&\ldots&r\cr}\right)
$$
puis on r\'earrange les {\it colonnes} de cette matrice 
[rappelons que
$\left |\lambda \right |=\lambda _1+\cdots+\lambda _r$] 
$$
\pmatrix{v\cr w\cr}=
\pmatrix{y_1&y_2&\ldots&y_{\left |\lambda \right |}\cr
x_1&x_2&\ldots&x_{\left |\lambda \right |}\cr},\leqno(2.10)
$$
de sorte que  la premi\`ere ligne soit {\it d\'ecroissante} et
que si l'on a $y_k=y_{k+1}$, alors $x_k\le x_{k+1}$. De
fa\c con \'equivalente :
$$
x_k>x_{k+1}\Longrightarrow y_k>y_{k+1}.\leqno(2.11)
$$
La premi\`ere ligne de la matrice (2.10) est un mot
$v=y_1y_2\ldots y_{\left |\lambda \right |}$ de 
longueur~$|\lambda |$ qui, par
construction m\^eme, est l'{\it unique} r\'earrangement {\it
d\'ecroissant}  de tous les coefficients du tableau~$T$. La
seconde ligne de la matrice (2.10) est un mot
$w=x_1x_2\ldots x_m$ appartenant \`a
$R(\lambda )$.

La condition (2.11) permet ainsi de faire correspondre \`a
tout tableau~$T$ un et un seul couple de mots $(v,w)$
ayant les propri\'et\'es ci-dessus mentionn\'ees.

Enfin, pour $i=1,2,\ldots,|\lambda |$, notons $z_i$ le nombre de
descentes dans le facteur droit 
$x_ix_{i+1}\ldots x_{|\lambda|}$ de~$w$, c'est-\`a-dire, le
nombre d'indices~$j$ tels que $i\le j\le |\lambda |-1$ et
$x_j>x_{j+1}$. En particulier,
$$
z_1=\des w.\leqno(2.12)
$$
Ensuite, par d\'efinition de l'indice majeur
$$
\maj w= z_1+z_2+\cdots+z_{|\lambda |}.\leqno(2.13)
$$
D'autre part, la condition (2.11) implique que le mot
$b_1b_2\ldots b_{|\lambda |}$ d\'efini par
$$
b_i=y_i-z_i\qquad(i=1,2,\ldots,{|\lambda |}),\leqno(2.14)
$$
est {\it d\'ecroissant} et a toutes ses lettres {\it positives}.
On pose alors : 
$$s'=s-\des w\qquad{\rm et}\qquad
\pi=(b_1,b_2,\ldots, b_{|\lambda |}).
$$
Comme $s\ge y_1=\max a_{i,j}$ et $z_1=\des w$, on en d\'eduit :
$s'=s-\des w\ge y_1-z_1=b_1\ge 0$.
De plus,
$$
\eqalign{c(T)=\sum_i
y_i&=\sum_i  b_i+\sum_i z_i\cr &=c(\pi)+\maj w.\cr}
$$
Enfin, par d\'efinition m\^eme de $s'$, on a : $s=s'+\des w$. Les
deux conditions (2.9) sont bien remplies.


On a d\'ecrit ici la correspondance entre $(s,T)$ et
$(s',\pi,w)$. La
construction est parfaitement r\'eversible. L'identit\'e
(2.5) est donc \'etablie.\cqfd

\rem Exemple|Illustrons la derni\`ere construction faite
sur un exemple. Partons du tableau~$T$ et de l'entier~$s$
donn\'es par 
$$\displaylines{
T=\matrix{6&5&1&1&0&0\cr
5&4&1&1\cr
3&1\cr
}\qquad{\rm et}\qquad s=7.\cr
\noalign{\hbox{Le r\'earrangement de la matrice}}
\left( \petitematrice{6&5&1&1&0&0&5&4&1&1&3&1\cr
1&1&1&1&1&1&2&2&2&2&3&3\cr}\right)
\cr
\noalign{\hbox{respectant la condition (2.11) donne :}}
\left (\petitematrice{6&5&5&4&3&1&1&1&1&1&0&0\cr
1&1&2&2&3&1&1&2&2&3&1&1\cr}\right )\cr
\noalign{\hbox{D'o\`u}}
\petitematrice{v&=&6&5&5&4&3&1&1&1&1&1&0&0\cr
w&=&1&1&2&2&3&1&1&2&2&3&1&1\cr
z&=&2&2&2&2&2&1&1&1&1&1&0&0\cr
\pi&=&4&3&3&2&1&0&0&0&0&0&0&0\cr}\cr
\des w=2,\qquad s'=s-\des w=5.
}
$$
On a bien :
$$\eqalign{
c(T)&=6+5+1+1+5+4+1+1+3+1=28\cr
&=c(\pi)+\maj w=(4+3+3+2+1)+(5+10)=28.\cr}
$$





\section 3. Relations de r\'ecurrence et s\'eries de facult\'e|L'identit\'e
(2.3) sera \'etablie, directement, \`a partir des identit\'es sur les
fonctions de Schur, dans la section suivante.
Les relations de r\'ecurrence sur des polyn\^omes comme 
$A_\bfc(t,q)$, dont on 
conna\^\i t la fonction g\'en\'eratrice de facult\'e 
(2.3) s'obtiennent, en principe, \`a partir d'{\it \'equations aux
diff\'erences}, ici partielles, puisqu'on est en pr\'esence d'une s\'erie \`a
plusieurs variables. On s'y prend comme suit.
$$
\displaylines{\indent{\rm Posons}\quad
A(t,q;{\bf u})=A(t,q;u_1,\ldots,u_r)
=\sum _{{\bf c}} A_{\bf c}(t,q) 
{{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}},\hfill\cr
\noalign{\hbox{et formons la $q$-diff\'erence finie appliqu\'ee \`a la
seule variable~$u_r$ :}}
D_{u_r}=A(t,q;u_1,\ldots,u_r)-A(t,q;u_1,\ldots,u_{r-1},u_rq). 
\cr
}$$
Utilisant le {\it membre de gauche de} (2.3), on
obtient :
$$
\eqalignno{
D_{u_r}&=
\sum _{\scriptstyle{\bf c}\atop \scriptstyle c_r\ge 1} 
A_{\bf c}(t,q)  {{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}}
-\sum _{\scriptstyle{\bf c}\atop \scriptstyle c_r\ge 1} 
A_{\bf c}(t,q)  
{u_1^{c_1}\ldots u_{r-1}^{c_{r-1}}(u_rq)^{c_r}
\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}}\cr
&=\sum _{\bf c}
A_{\bfc+1_r}(t,q)  {{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}}
-\sum _{\bfc} 
A_{\bfc+1_r}(t,q)  
{u_1^{c_1}\ldots u_{r-1}^{c_{r-1}}(u_rq)^{c_r+1}
\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}}\cr
D_{u_r}&=
\sum _{\bf c} (1-q^{c_r+1})
A_{\bfc+1_r}(t,q)  {{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}}.
&(\star)\cr
}
$$
Utilisons maintenant le {\it membre de droite} de (2.3). Il vient :
$$
\eqalignno{
D_{u_r}
&= \sum _{s\ge 0}{t^s\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_r;q)_{s+1} }
-\sum _{s\ge 0}{t^s\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_rq;q)_{s+1} }\cr
&=\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1}}
\Bigl[1-{1-u_r\over 1-u_rq^{s+1}}\Bigr]\cr
&=u_r
\sum _{s\ge 0}{t^s\over (\bfu;q)_{s+1}}
\Bigl[1-q^{s+1}{1-u_r\over 1-u_rq^{s+1}}\Bigr]\cr
&=u_r\bigl(A(t,q;u_1,\ldots, u_r)-qA(tq,q;u_1,\ldots,
u_{r-1},u_rq)\bigr).\cr
}
$$
D'o\`u la relation :
$$\displaylines{\quad
A(t,q;u_1,\ldots, u_r)-A(t,q;u_1,\ldots,u_{r-1},u_rq)\hfill\cr
\hfill{}
=u_r\bigl(A(t,q;u_1,\ldots, u_r)-qA(tq,q;u_1,\ldots,
u_{r-1},u_rq)\bigr).\quad(\star\star)\cr}
$$
Interpr\'etons le second membre de cette derni\`ere relation. On a :
$$\eqalignno{
u_rA(t,q;\bfu)
&= \sum _{{\bf c}} A_{\bf c}(t,q) 
{{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}}\cr
&=\sum _{{\bf c}} (1-tq^{1+\left|\bfc\right|})
A_{\bf c}(t,q) 
{{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}}.&(\star\star\star)\cr
\noalign{\hbox{De m\^eme,}}
u_rqA(tq,q;u_1,\ldots,u_rq)
&= \sum _{{\bf c}} A_{\bfc}(tq,q) 
{u_1^{c_1}\ldots u_{r-1}^{c_{r-1}}(u_rq)^{c_r+1}
\over (tq;q)_{1+|{\bf c}|}}\cr
&=\sum _{{\bf c}} q^{c_r+1}
(1-t)
A_{\bf c}(tq,q) 
{{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}}.
\qquad\qquad&(\star\star\star\star)\cr
}
$$
Tenant compte de $(\star)$ ---
$(\star\star\star\star)$, on en tire la relation de r\'ecurrence :
$$\displaylines{(3.1)\quad
(1-q^{c_r+1})
A_{\bfc+1_r}(t,q)\hfill\cr
\hfill{}
= (1-tq^{1+\left|\bfc\right|})
A_{\bf c}(t,q) 
-q^{c_r+1}
(1-t)
A_{\bf c}(tq,q) .\quad\cr}
$$
\'Ecrivons $A_\bfc(t,q)=\sum \limits_{s\ge 0} t^s A_{\bfc,s}(q)$, de
sorte que $A_{\bfc,s}(q)$ est la fonction g\'en\'eratrice des mots
$w\in R(\bfc)$ tels que $\des w=s$ par l'indice majeur et
calculons le coefficient de $t^s$ dans (3.1). On trouve :
$$\displaylines{
(1-q^{c_r+1})A_{\bfc+1_r,s}(q)\hfill\cr
\hfill{}
=A_{\bfc,s}(q)-q^{1+\left|\bfc\right|}A_{\bfc ,s-1}(q)
-q^{c_r+1+s}A_{\bfc,s}(q)
+q^{c_r+1+(s-1)}A_{\bfc,s-1}(q),\cr}
$$
soit en divisant par $(1-q)$ et en utilisant la notation $[0]_q=0$ et
$[m]_q=1+q+\cdots+q^{m-1}$ $(m\ge 1)$,
$$\displaylines{(3.2)\quad
[c_r+1]_q\,A_{ \bfc+1_r,s}(q)\hfill\cr
\hfill{}= [c_r+1+s]_q\,A_{\bfc,s}(q)
+q^{s+c_r}[1+\left|\bfc\right|-s-c_r]_q\,A_{\bfc,s-1}(q),\quad\cr}
$$
une relation \'etablie combinatoirement par Rawlings [Ra79].

Les relations (3.1) et (3.2) permettent un calcul ais\'e des tables des
premi\`eres valeurs des polyn\^omes $A_\bfc(t,q)$, tables que Denert
[Den90], n'ayant pas \`a sa disposition la bijection de $(\exc,\den)$
avec $(\des,\maj)$, avait d\^u calculer directement \`a l'aide
d'ordinateurs. On peut retrouver les premi\`eres valeurs de
$A_\bfc(t,q)$ en faisant $z=0$ dans la table des polyn\^omes
$C_\bfc(t,q)$ reproduite dans la section~6.


\section 4. La m\'ethode des fonctions de Schur|On peut
\'egalement calculer la
distribution jointe de $(\des,\maj)$ en s'appuyant sur
l'alg\`ebre des fonctions de Schur, m\'ethode qui a d\'ej\`a \'et\'e
utilis\'ee dans des travaux ant\'erieurs ([DesFo85],
[DesFo87], [DesFo91], [FoZe91]). On d\'emontre ainsi directement
l'identit\'e (2.3) et non pas ses \'equivalents (2.5), (3.1) ou (3.2). On
part de l'autre forme de l'identit\'e de Cauchy [Macd79, p.~33]
$$
\sum _\lambda  S_\lambda (x)S_\lambda (y)=\prod _{i,j}
(1-x_iy_j)^{-1},
$$
o\`u $S_\lambda (x)$ d\'esigne la fonction de Schur en un ensemble
de variables~$x$. Comme pr\'ec\'edemment, avec les variables
$1,q,\ldots, q^s$ et $u_1,\dots , u_r$ pour les ensembles~$x$
et~$y$, on obtient
$$
\displaylines{
\sum_\lambda  S_\lambda (u_1,\ldots,u_r)
S_\lambda (1,q,\ldots,q^s)=
{1\over (u_1;q)_{s+1}\ldots (u_r;q)_{s+1}},\cr
\noalign{\hbox{d'o\`u}}
(4.1)\ 
\sum _\lambda \! S_\lambda (u_1,\ldots, u_r)\!
\sum _{s\ge 0} t^s  S_\lambda (1,q,\ldots, q^s)
\!=\!\sum _{s\ge 0} {t^s \over (u_1;q)_{s+1}\ldots (u_r;q)_{s+1}}.
\hfill\cr
}
$$
Les deux identit\'es (2.3) et (4.1) ont donc m\^eme  membre de
droite. Pour d\'emontrer que leurs membres de gauche sont
\'egaux, on utilise les propri\'et\'es de la correspondance de
Robinson-Schensted, telle qu'elle est expos\'ee dans l'article de
Knuth [Kn70] pour les mots avec r\'ep\'etitions. Ici la
correspondance de Robinson-Schensted pour les seules
permutations (sans r\'ep\'etitions) (\cf. [Kn72, p.~48--72]) n'est plus
suffisante. Partons d'un
bimot 
$$ 
\pmatrix{v\cr w\cr}
=\pmatrix{1&2&\ldots&m\cr x_1&x_2&\ldots&x_m\cr},
\leqno(4.2)
$$
o\`u $x_1 x_2\ldots x_m$ est un mot de la classe $R({\bf c})$,
donc un r\'earrangement du mot
$1^{c_1}2^{c_2}\ldots r^{c_r}$ $(c_1+c_2+\cdots+c_r=m)$. La
correspondance de Robinson-Schensted fait correspondre \`a
un tel bimot une paire de tableaux droits
$(T_1,T_2)$, de m\^eme forme, disons~$\lambda $, o\`u $T_1$ est
un {\it tableau semi-standard}, de contenu~{\bf c} (i.e., contenant
$c_1$ fois~1, \dots~, $c_r$ fois~r) et o\`u $T_2$ est un tableau
{\it standard} d'ordre~$m$.

Par exemple, au bimot
$$
\left(\petitematrice{v\cr w\cr}\right)
=\left(\petitematrice{1&2&3&4&{\bf 5}&6&7&8&9
&{\bf 1\!0}&1\!1&1\!2\cr
1&1&2&2&3&1&1&2&3&3&1&1\cr}\right)
$$
correspond la paire de tableaux
$$T_1=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
3\cr
2&2&2&3\cr
1&1&1&1&1&1&3\cr}}
\qquad
T_2=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
                         1\!1\cr
                         6&7&8&1\!2\cr
                         1&2&3&4&{\bf 5}&9&{\bf 1\!0}\cr}}$$
tous deux de forme $\lambda =(7,4,1)$. 

\goodbreak
Cette correspondance $\bigl({v\atop w}\bigr)\mapsto (T_1,T_2)$
a la propri\'et\'e suppl\'ementaire suivante : si l'entier~$i$ est
tel que $x_i>x_{i+1}$ (dans le mot~$w$), alors le coefficient
$(i+1)$ dans le tableau $T_2$ est {\it situ\'e au-dessus de}~$i$ et
r\'eciproquement.

Dans l'exemple trait\'e, les seuls entiers~$i$ pour lesquels
$x_i>x_{i+1}$ sont $i=5$ et $i=10$ (\'ecrits en gras dans 
la matrice \`a
deux lignes) et, en effet, seuls les coefficients 5 et 10 ont leurs
successeurs 6 et 11 situ\'es au-dessus d'eux dans~$T_2$.

Si donc on pose
$$
\displaylines{
\ides T_2=\left |\{i:(i+1)\ \hbox{au-dessus\ de}\ i\ {\rm dans}\
T_2\}\right |\cr
\imaj T_2=\sum _i i\qquad ((i+1)\ \hbox{au-dessus\ de}\ i\ {\rm
dans}\ T_2),\cr
\noalign{\hbox{on en d\'eduit :}}
\des w=\ides T_2\qquad{\rm et}\qquad
\maj w=\imaj T_2.\cr
\noalign{\hbox{Par cons\'equent,}}
A_{\bf c}(t,q)=\sum _{\left |\lambda \right |=\left |{\bf c}\right |}
\sum _{(T_1,T_2)} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2},\cr
}
$$
o\`u la premi\`ere sommation est sur toutes les
partitions~$\lambda $ de l'entier~$|{\bf c}|$ et la seconde sur les
couples $(T_1,T_2)$, o\`u $T_1$ est semi-standard, de
contenu~{\bf c}, et $T_2$ est standard de m\^eme forme que $T_1$.

Le membre de gauche de (2.3) est donc \'egal \`a :
$$
\displaylines{\quad
\sum _{\bf c} {{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+\left |{\bf c}\right |}}
\sum _{\left |\lambda \right |=\left |{\bf c}\right |}
\sum _{(T_1,T_2)} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2}\hfill\cr
\hfill{}
=\sum _{\bf c} 
\sum _{\left |\lambda \right |=\left |{\bf c}\right |}
\sum _{T_1} {\bf u}^{T_1} \times 
{1\over (t;q)_{1+\left |{\bf c}\right |}}
\sum _{T_2} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2},\quad\cr
}
$$
o\`u l'on a pos\'e ${\bf u}^{T_1}={\bf u}^{\bf c}$,
utilisant le fait que $T_1$ est de contenu~$\bf c$.
Si l'on intervertit les deux premiers signes de
sommation au second membre, on voit que la
sommation sur~{\bf c} et $T_1$ n'est autre que la
d\'efinition (combinatoire) de la fonction de Schur
$S_\lambda (u_1,\ldots,u_r)$. L'expression \`a la droite de
``$\times$" vaut  $\sum_s t^s S_\lambda  (1,q,\ldots ,q^s)$, 
d'apr\`es un lemme classique  (voir th\'eor\`eme~4.1 dans
[DesFo85]). Par cons\'equent, le membre de gauche de
(2.3) est \'egal~\`a : 
$$
\sum_\lambda  S_\lambda (u_1,\ldots,u_r)
\sum_{s\ge 0} t^s S_\lambda (1,q,\ldots,q^s ).
$$
On retrouve le membre de  gauche de (4.1). L'identit\'e
(2.3) est donc bien  \'etablie.







\section 5. Une extension hyperg\'eom\'etrique basique|Comme 
il est d'usage (\cf. [GaRa90, p.~4], \`a une modification pr\`es de la
variable~$t$), notons
$$ 
{}_p\varphi_r\Bigl({v_1,\ldots ,v_p
\atop u_1,\ldots ,u_r};q,t\Bigr)
=\sum _{s\ge 0} {(v_1;q)_s\ldots  (v_p;q)_s
\over  (u_1;q)_s\ldots  (u_r;q)_s}
{t^s\over  (q;q)_s}\leqno(5.1)
$$
la fonction hyperg\'eom\'etrique basique. 
Alors le membre de droite de (2.3) vaut
$$
\eqalign{
\sum _{s\ge 0} {t^s\over  (u_1;q)_{s+1}\ldots (u_r;q)_{s+1}}
&={1 \over  t}\sum _{s\ge 1} {(q;q)_s\over  (u_1;q)_s\ldots  (u_r;q)_s}
{t^s \over  (q;q)_s}\cr
&={1 \over  t}
\Bigl({}_1\varphi _r\Bigl({q\atop u_1,\ldots ,u_r};q,t\Bigr)-1\Bigr).\cr
}
$$
Ceci sugg\`ere de trouver une interpr\'etation combinatoire 
pour une fonction hyperg\'eom\'etrique basique ayant $(r+1)$ 
param\`etres au num\'erateur. Nous nous proposons dans cette 
section d'\'etudier la fonction
$$\displaylines{(5.2)\qquad
{1\over  t}
\Bigl({}_{r+1}\varphi _r\Bigl({q,-zu_1,\ldots ,-zu_r
\atop u_1,\ldots ,u_r};q,t\Bigr)-1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}=
\sum _{s\ge 0} {(-zu_1;q)_{s+1}\ldots  (-zu_r;q)_{s+1}
\over  (u_1;q)_{s+1}\ldots  (u_r)_{s+1}}\,
t^s\quad\cr}
$$
et de montrer qu'elle se d\'eveloppe, en utilisant les m\^emes 
notations qu'au paragraphe pr\'ec\'edent, en une s\'erie
$$
\sum _\bfc {C_\bfc} (z,t,q)
{\bfu  ^\bfc\over  (t;q)_{1+\left|\bfc  \right|}}
\leqno(5.3)
$$   
o\`u $C_\bfc (z,t,q)$ est pour tout \bfc\  un polyn\^ome sur 
des bimots {\it bicolor\'es} (dans un sens qui sera pr\'ecis\'e plus loin).

Comme dans la section pr\'ec\'edente, on consid\`ere les bimots 
${\bf w}=\bigl({v\atop w}\bigr)$ de la forme (4.2) et on 
appelle {\it
bimot color\'e} la donn\'ee d'un tel mot et d'un choix, disons~$J$, de
bilettres $\bigl({i\atop x_i}\bigr)$ suppos\'ees color\'ees en {\it
jaune}, les autres l'\'etant en {\it bleu}. On extrait de ce bimot
color\'e, qu'on notera $({\bf w},J)$, les deux {\it sous-bimots}
unicolores form\'es par les bilettres {\it jaunes} et les bilettres
{\it bleues}, respectivement
$\bigl({v_1\atop w_1}\bigr)$
et $\bigl({v_2\atop w_2}\bigr)$. Notons que le mot~$v$ \'etant
(strictement) croissant, les deux mots~$v_1$ et~$v_2$ le sont aussi.

Permutons les bilettres de
$\bigl({v_1\atop w_1}\bigr)$ (le bimot jaune) 
de fa\c con \`a obtenir un bimot 
$\bigl({a_1\ldots  a_{m_1}\atop b_1\ldots  b_{m_1}}\bigr)$ 
dont la {\it ligne du bas} $b_1\ldots  b_{m_1}$ est 
{\it d\'ecroissante}, et si l'on a $b_k=b_{k+1}$, alors
$a_k>a_{k+1}$, les lettres~$a_i$ \'etant, en effet, distinctes.
On permute ensuite les bilettres de $\bigl({v_2\atop
w_2}\bigr)$ (le bimot bleu) pour obtenir un bimot $\bigl({c_1\ldots 
c_{m_2}\atop d_1\ldots  d_{m_2}}\bigr)$, dont la ligne du bas est
cette fois {\it croissante}, et si l'on~a $d_k=d_{k+1}$, alors
$c_k<c_{k+1}$. L'{\it associ\'e} ${\rm ass}(\bfw,J)$ 
du couple $(\bfw,J)$ est d\'efini comme le
produit de juxtaposition des {\it mots du haut} 
$$
{\rm ass}({\bf w},J)=a_1\ldots  a_{m_1} c_1\ldots  c_{m_2}. 
$$

Prenons, par exemple, le bimot color\'e
$$({\bf w},J)
=\left(\petitematrice{1&2&\bf 3&\bf 4&5&6
&\bf 7&\bf 8&\bf 9&1\!0&\bf 1\!1&1\!2\cr
4&1&\bf 2&\bf 1&3&3&\bf 4&\bf 1&\bf 4&2&\bf 1&3\cr}\right),
$$
o\`u les couples verticaux color\'es en jaune (resp. bleu) apparaissent
en maigre (resp. en gras). On a :
$$
\left(\petitematrice{v_1\cr w_1\cr}\right)
=\left(\petitematrice{1&2&5&6&1\!0&1\!2\cr
4&1&3&3&2&3\cr}\right)
\quad {\rm et}\quad
\left(\petitematrice{v_2\cr w_2\cr}\right)
=\left(\petitematrice{\bf 3&\bf 4&\bf 7
&\bf 8&\bf 9&\bf 1\!1\cr
\bf 2&\bf 1&\bf 4&\bf 1&\bf 4&\bf 1\cr}\right).
$$
En permutant les
bilettres de ces bimots, comme indiqu\'e, on obtient :
$$
\left(\petitematrice{1&1\!2&6&5&1\!0&2\cr
4&3&3&3&2&1\cr}\right)
\quad {\rm et}\quad
\left(\petitematrice{\bf 4&\bf 8&\bf 1\!1
&\bf 3&\bf 7&\bf 9\cr
\bf 1&\bf 1&\bf 1&\bf 2&\bf 4&\bf 4\cr}\right)
$$
On a donc :
${\rm ass}({\bf w},J)=1,12,6,5,10,2,{\bf 4,8,11,3,7,9}$.

Revenons au cas g\'en\'eral et notons $y_1y_2\ldots y_m$
l'associ\'e du mot color\'e $({\bf w},J)$. Par construction m\^eme, ce
mot est une permutation de $12\ldots m$. On appelle {\it ligne
inverse de route} de $({\bf w},J)$ l'ensemble, not\'e 
$\Iligne({\bf w},J)$, 
de tous les entiers~$i$ tels que $1\le i\le m-1$ et tels que
$(i+1)$ est {\it \`a la gauche de}~$i$ dans $y_1y_2\ldots y_m$.
On pose alors $$ \ides ({\bf w},J)=\#\Iligne({\bf w},J) \quad
{\rm et}\quad \imaj({\bf w},J)=\sum _i i\quad (i\in \Iligne({\bf
w},J)). $$

A toute classe de r\'earrangements $R(\bfc)$
$(c_1+\cdots+c_r=m)$, on associe le polyn\^ome
$$
C_\bfc=C_\bfc(z,t,q)
=\sum _{({\bf w},J)}z^{|J|}t^{\ides({\bf w},J)}
q^{\imaj({\bf w},J)},\leqno(5.4)
$$
o\`u la somme est sur tous les bimots
$w\in R(\bfc)$, et sur toutes les parties~$J$ de l'intervalle
$[m]=\{1,2,\ldots, m\}$.

\th Th\'eor\`eme 5.1|La fonction $(5.2)$ se d\'eveloppe en la s\'erie
de facult\'e $(5.3)$, o\`u $C_\bfc(z,t,q)$ est le polyn\^ome d\'efini en
$(5.4)$.
\finth

Avant d'\'etablir ce th\'eor\`eme, notons que lorsque $z=0$, les
seules contributions \`a la pr\'ec\'edente somme sont les bimots dont
toutes les bilettres sont bleues. Pour d\'eterminer l'associ\'e de
chacun de ces bimots, on permute toutes les bilettres (bleues)
de~$\bf w$, de sorte \`a avoir un bimot $\bigl({c_1\ldots c_m\atop
d_1\ldots d_m}\bigr)$ tel que $d_1\le \cdots\le d_m$ et tel que si
$d_k=d_{k+1}$, alors $c_k<c_{k+1}$. L'associ\'e est
ici $c_1\ldots c_m$. Si donc $(i+1)$ est \`a la gauche de~$i$
dans ce dernier mot, disons aux positions~$k$ et~$l$, soit 
$$
\left(\petitematrice{c_1&\ldots&(i+1)&\ldots&i&\ldots&c_m\cr
d_1&\ldots&d_k&\ldots&d_l&\ldots&d_m\cr}\right) , 
$$
on a forc\'ement $d_k\le d_l$, donc a fortiori $d_k<d_l$, \`a cause
des conditions sur les $c_i$ et $d_i$ juste rappel\'ees. Par
cons\'equent, dans le bimot~{\bf w} originel, on avait la situation
$${\bf w}=
\left(\petitematrice{v\cr w\cr}\right)
=
\left(\petitematrice{\ldots&&i&(i+1)&\ldots\cr
\ldots&&d_l&d_k&\ldots\cr}\right) .
$$
Le mot $w$ a donc une {\it descente} en position~$i$.
R\'eciproquement, si cette derni\`ere condition est r\'ealis\'ee, les r\`egles
de r\'earrangement ci-dessus entra\^\i nent que $(i+1)$ est \`a la gauche
de~$i$ dans $c_1\ldots c_m$. Par cons\'equent,
$$\displaylines{
\ides({\bf w},\emptyset)=\des w\qquad{\rm et}\qquad
\imaj({\bf w},\emptyset)=\maj w.\cr
\noalign{\hbox{On en tire :}}
\rlap{(5.5)}\hfill
C_\bfc (z=0,t,q)=A_\bfc(t,q).\hfill\cr}
$$

Pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 5.1, nous faisons de nouveau appel \`a
la correspondance de Robinson-Schensted. Conservant les m\^emes
notations que pr\'ec\'edemment, au bimot $\bigl({v_i\atop
w_i}\bigr)$ correspond une paire de tableaux  $(P_i,Q_i)$, de
m\^eme forme, disons~$\lambda $, o\`u $P_i$ est un tableau {\it
semi-standard}, dont les coefficients sont les lettres de
$w_i$, o\`u $Q_i$ est un tableau {\it injectif} dont les
coefficients sont les lettres (distinctes) de $v_i$ $(i=1,2)$.

Par exemple, au bimot color\'e pr\'ec\'edent correspondent les paires de
tableaux :
$$\displaylines{
\left(\petitematrice{v_1\cr w_1\cr}\right)
=\left(\petitematrice{1&2&5&6&1\!0&1\!2\cr
4&1&3&3&2&3\cr}\right)
\mapsto
(P_1,Q_1)=\left(\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
4\cr
3\cr
1&2&3&3\rlap{\smash{ ,}}\cr}}\ 
\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
10\cr
2\cr
1&5\ &6&12\cr}}\right);\cr
\noalign{\medskip}
\left(\petitematrice{v_2\cr w_2\cr}\right)
=\left(\petitematrice{\bf 3&\bf 4&\bf 7
&\bf 8&\bf 9&\bf 1\!1\cr
\bf 2&\bf 1&\bf 4&\bf 1&\bf 4&\bf 1\cr}\right).
\mapsto
(P_2,Q_2)=\left(\vcenter{\halign{&$\hfil\bf #\hfil\;$\cr
2&4&4\cr
1&1&1\rlap{\smash{ ,}}\cr}}\ 
\vcenter{\halign{&$\hfil\bf #\hfil\;$\cr
\ 4&8&11\cr
\ 3&7&9\cr}}\right).\cr}
$$

Revenant au cas g\'en\'eral, on associe alors \`a chaque bimot color\'e
$({\bf w},J)$ la paire de tableaux {\it gauches}
$$
T_1=P_1\otimes P_2,\qquad
T_2=Q_1'\otimes Q_2, 
$$
o\`u $Q'_1$ est le {\it transpos\'e} du tableau $Q_1$ et o\`u le
symbole ``$\otimes$" d\'esigne le produit usuel  des tableaux :
pour $T_1$, par exemple, le tableau $P_2$ est plac\'e {\it \`a la
droite et plus bas que} $P_1$. 
La {\it ligne inverse}, $\Iligne T$, d'un tableau gauche~$T$ est
encore d\'efinie comme l'ensemble des entiers~$i$ tels que
$(i+1)$ est \'ecrit {\it plus haut que} $i$ dans~$T$. On note,
comme pr\'ec\'edemment, $\ides T$ (resp. $\imaj T$)
le cardinal (resp. la somme des \'el\'ements) de $\Iligne T$.
Les propri\'et\'es classiques de la
correspondance de Robinson-Schensted (voir, par exemple,
[DesFo85], \S\kern2pt 3) entra\^\i nent alors le r\'esultat suivant.

\th Proposition 5.2|A tout bimot color\'e $({\bf w},J)$ de
longueur~$m$ correspond bijectivement un diagramme gauche
$\lambda \otimes \mu $ et une paire de tableaux $(T_1,T_2)$, respectivement
de forme $\lambda \otimes \mu $ et $\lambda '\otimes \mu $, o\`u $T_1$ est
semi-standard et a comme coefficients les lettres du mot~$w$, o\`u
$T_2$ est bijectif de contenu $[m]$ et o\`u
$\left|\lambda \right|=\left|J\right|$ et $\left|\mu \right|=m-\left|J\right|$.
De plus 
$$
\displaylines{
\Iligne({\bf w},J)=\Iligne T_2.\cr
\noalign{\hbox{En particulier}}
\ides ({\bf w},J)=\ides T_2
\qquad{\rm et}\qquad
\imaj({\bf w},J)=\imaj T_2.\cr
} 
$$
\finth

Au bimot color\'e trait\'e dans l'exemple courant correspond la paire
de tableaux suivante (o\`u l'on a soulign\'e les \'el\'ements de
$\Iligne (\bfw,J)$ et de $\Iligne T_2$) :
$$
\displaylines{
T_1=\vcenter{\halign{&$\hfil #\hfil\;$\cr
4\cr
3\cr
1&2&3&3\cr
&&&&\bf 2&\bf 4&\bf 4\cr
&&&&\bf 1&\bf 1&\bf 1\cr}}
\qquad
T_2=\vcenter{\halign{&$\hfil#\hfil\;$\cr
12\cr
6\cr
\underline5\cr
1&2&10\cr
&&&\underline{\bf 4}&\bf 8&\underline{\bf 11}\cr
&&&\underline{\bf 3}&\underline{\bf 7}&\underline{\bf 9}\cr}}\cr
\noalign{\hbox{On a :}}
\eqalign{\Iligne({\bf w},J)
&=\Iligne(1,12,6,\underline 5,10,2,\underline{\bf 4},\bf 8,
\underline{\bf 11},\underline{\bf 3},\underline{\bf 7},
\underline{\bf 9})
=\{\underline {\rm 5}, \underline{\bf 4},
\underline{\bf 11}, \underline{\bf 3},
\underline{\bf 7}, \underline{\bf 9}\}\cr 
&=\Iligne T_2.\cr}\cr
}
$$

Il en r\'esulte que le polyn\^ome $C_\bfc(z,t,q)$ peut encore s'exprimer
par
$$
C_\bfc(z,t,q)=\sum _{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=\left|c\right|}
z^{|\lambda |}\sum _{(T_1,T_2)} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2}, 
$$
o\`u la seconde sommation est sur tous les couples $(T_1,T_2)$ tels
que $T_1$ est semi-standard de forme $\lambda \otimes \mu $ et $T_2$ est
standard de forme $\lambda '\otimes \mu $.

On a donc l'identit\'e
$$
\displaylines{
\qquad\sum _\bfc {\bfu^\bfc\over (t;q)_{1+\left|\bfc\right|}} 
C_\bfc(z,t,q)\hfill\cr
\hfill
\eqalign{&=\sum _\bfc {\bfu^\bfc\over (t;q)_{1+\left|\bfc\right|}}
\sum _{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=\left|\bfc\right|}
z^{|\lambda |}\sum _{(T_1,T_2)} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2}\cr
&=\sum _\bfc 
\sum  _{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=\left|\bfc\right|}z^{|\lambda |}
\sum _{T_1}\bfu^{T_1}\times {1\over (t;q)_{1+s}}
\sum _{T_2} t^{\ides T_2} q^{\imaj T_2}.\cr}\cr
}
$$
Comme pr\'ec\'edemment, on utilise la d\'efinition
combinatoire de la fonction de Schur gauche
$S_{\lambda \otimes \mu }(u_1,\ldots,u_r)$ ;  de plus, la
derni\`ere quantit\'e \`a  droite du symbole ``$\times$"
est \'egale~\`a
$\sum_{s\ge 0} t^sS_{\lambda \otimes \mu }(1,q,\ldots, q^s)$,
en utilisant le m\^eme lemme sur les fonctions de Schur
([DesFo85], th\'eor\`eme~4.1). On en tire :
$$\displaylines{
\sum _{\bf c} {{\bf u}^{\bf c}
\over (t;q)_{1+\left|{\bf c}\right|}}
C_{\bf c}(z,t,q)
=\sum_{\lambda ,\mu }  z^{|\lambda |}\!\! \sum
_{\left|c\right|=\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}
\!\sum_{T_1}{\bf u}^{T_1}
\sum_{s\ge 0} t^s S_{\lambda '\otimes \mu }
(1,q,\ldots,q^s)\cr
\hfill{}\eqalign{&=
\sum_{s\ge 0} t^s
\sum_{\lambda ,\mu }  z^{|\lambda |} 
S_{\lambda \otimes \mu }(u_1,\ldots,u_r)
 S_{\lambda '\otimes \mu }
(1,q,\ldots,q^s)\cr
&=\smash{\sum _{s\ge 0}t^s 
\sum  _{\lambda ,\mu }}
z^{|\lambda |} S_{\lambda }(u_1,\ldots, u_r)S_\mu (u_1,\ldots,u_r)\cr
&\kern4cm {}\times S_{\lambda '}(1,q,\ldots, q^s)S_\mu (1,q,\ldots,q^s)\cr
&=\sum _{s\ge 0}t^s
{(-zu_1;q)_{s+1}\ldots (-zu_r;q)_{s+1}\over
(u_1;q)_{s+1}\ldots (u_r;q)_{s+1}},\cr}\cr
}
$$
d'apr\`es les formules de Cauchy
$$
\sum _\lambda z^{|\lambda |}S_\lambda (x)S_{\lambda '}(y)=\prod _{i,j}(1+zx_iy_j)
\quad{\rm et}\quad
\sum _\mu  S_\mu (x)S_{\mu }(y)=\prod _{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}\hskip-10.51pt ,
 $$
utilis\'ees avec les variables $x=\{1,q,\ldots,q^s\}$ et
$y=\{u_1,\ldots,u_r\}$.



\section 6. Une \'etude des polyn\^omes $C_\bfc$|On peut
trouver \'egalement une relation de r\'ecurrence pour les polyn\^omes
$C_\bfc(z,t,q)$ suivant la m\'ethode d\'evelopp\'ee dans la section~3. 
$$ 
\displaylines{\indent{\rm Posant}\quad
C(z, t,q;{\bf u})=C(z,t,q;u_1,\ldots,u_r)
=\sum _{{\bf c}} C_{\bf c}(z,t,q) 
{{\bf u}^{\bf c}\over (t;q)_{1+|{\bf c}|}},\hfill\cr
\noalign{\hbox{et}}
D_{u_r}=C(z,t,q;u_1,\ldots,u_r)-C(z,t,q;u_1,\ldots,u_{r-1},u_rq). 
\cr}
$$
On trouve d'abord
$$\eqalignno{
D_{u_r}&=
\sum _{\bf c} (1-q^{c_r+1})
C_{\bfc+1_r}(z,t,q)  {{\bf u}^{\bfc+1_r}\over (t;q)_{2+|{\bf c}|}},
\cr
\noalign{\hbox{et ensuite}}
D_{u_r}&= \sum _{s\ge 0}
{(-zu_1;q)_{s+1}\ldots (-zu_r;q)_{s+1}
\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_r;q)_{s+1} }t^s\hfill\cr
\noalign{\vskip-5pt}
&\qquad\qquad\qquad{}-\sum _{s\ge 0}
{(-zu_1;q)_{s+1}\ldots (-zu_rq;q)_{s+1}
\over (u_1;q)_{s+1} \ldots (u_rq;q)_{s+1} }t^s\cr
&=\sum _{s\ge 0}{(-z\bfu;q)_{s+1}\over (\bfu;q)_{s+1}} t^s
\Bigl[1-{(1-u_r)(1+zu_rq^{s+1})
\over (1-u_rq^{s+1})(1+zu_r)}\Bigr]\cr
&=\sum _{s\ge 0}{(-z\bfu;q)_{s+1}\over (\bfu;q)_{s+1}} t^s
\Bigl[u_r{1+z\over 1+zu_r}
-u_rq^{s+1}{(1-u_r)(1+zu_rq^{s+1})
\over (1-u_rq^{s+1})(1+zu_r)}\cr
&&-u_rq^{s+1}
\displaystyle {(1-u_r)z\over (1+zu_r)}\Bigr].\cr
}$$
D'o\`u l'on tire, en posant 
$C(z,t,q;u_rq)=C(z,t,q;u_1,\ldots,u_{r-1},u_rq)$, l'identit\'e
$$\displaylines{
C(z,t,q;\bfu)-C(z,t,q;u_rq)\hfill\cr
\hskip1.5cm{}-u_r\bigl(zC(z,t,q;u_rq)-C(z,t,q;\bfu)\bigr)\hfill\cr
\hskip3cm{}
+u_rq\bigl(C(z,tq,q;u_rq)+zC(z,tq,q;\bfu)\bigr)\hfill\cr
\hskip4.5cm{}
+u_r^2zq\bigl(C(z,tq,q;u_rq)-C(z,tq,q;\bfu)\bigr)=0.\hfill\cr}
$$
On en d\'eduit la relation de r\'ecurrence :
$$\displaylines{(6.1)\quad
(1-q^{c_r+1})
C_{\bfc+1_r}(z,t,q)\hfill\cr
\hskip1.2cm{}-(1-tq^{1+\left|\bfc\right|})(1+zq^{c_r})
C_{\bf c}(z,t,q)\hfill\cr 
\hskip2.4cm{}
+q(1-t)(q^{c_r}+z)C_\bfc(z,tq,q)\hfill\cr
\hskip3.6cm{}
+z(1-t)(1-tq^{1+\left|\bfc\right|})(q^{c_r}-q)
C_{\bfc-1_r}(z,tq,q)=0,\hfill\cr
}
$$
o\`u l'on pose $C_0(z,t,q)=1$ et o\`u $C_\bfc(z,t,q)=0$, si l'une des
composantes $c_i$ de $\bfc$ est n\'egative.

\bigskip
La relation (6.1) permet le calcul des premi\`eres valeurs. On trouve :
$$
\displaylines{
C_{(1)}=1+z\,;\qquad
C_{(1,1)}=(1+z)^2(1+tq)\,;\qquad
C_{(2)}=(1+z)(1+ztq)\,;\hfill\cr
C_{(1,1,1)}=(1+z)^3(1+t(2q+2q^2)+t^2q^3)\,;\hfill\cr
C_{(2,1)}=(1+z)^2(1+t(q+q^2)+zt(q+q^2)+zt^2q^3)\,;\hfill\cr
}
$$

\goodbreak
$$
\displaylines{
C_{(3)}=(1+z)(1+zt(q+q^2)+z^2t^2q^3)\,;\hfill\cr
C_{(1,1,1,1)}=(1+z)^4(1+t(3q+5q^2+3q^3)
+t^2(3q^3+5q^4+3q^3)+t^3q^6)\,;\hfill\cr
C_{(2,1,1)}=(1+z)^3(1+t(2q+3q^2+2q^3)+t^2(q^2+2q^4+q^5)
\hfill\cr
\hfill{}+zt(q+2q^2+q^3)+zt^2(2q^3+3q^4+2q^5)+zt^3q^6)\,;\cr
C_{(2,2)}=(1+z)^2(1+t(q+2q^2+q^3)+t^2q^4+zt(2q+2q^2+2q^3)\hfill\cr
\hfill{}+zt^2(2q^3+2q^4+2q^5)+z^2tq^2+z^2t^2(q^3+2q^4+q^5)
+z^2t^3q^6)\,;\cr
C_{(3,1)}=(1+z)^2(1+t(q+q^2+q^3)+zt(q+2q^2+q^3)
\hfill\cr
\hfill{}+zt^2(q^3+2q^4+q^5)+z^2t^2(q^3+q^4+q^5)+z^2t^3q^6)\,;\cr
C_{(4)}=(1+z)(1+zt(q+q^2+q^3)+z^2t^2(q^3+q^4+q^5)+z^3t^3q^6).
\hfill\cr
}$$

Dans les notations des sections 3 et 4, le polyn\^ome
$A_{(1^n)}(t,q)$ n'est autre que le polyn\^ome $q$-eul\'erien, fonction
g\'en\'eratrice de $(\des,\maj)$ sur le groupe des permutations 
${\goth S}_n$, habituellement not\'e $A_n(t,q)$. Les formules (3.1)
et (3.2) redonnent directement les relations de r\'ecurrence de ces
polyn\^omes pour $\bfc=(1^n)$. Cette remarque est utilis\'ee dans la
d\'emonstration de la proposition suivante.

\tha Proposition 6.1|
\decale{\rm (i)}|Les polyn\^omes $C_\bfc$ sont sym\'etriques en
l'argument~$\bfc$.
\decale{\rm (ii)}|Si $c_1\ge \cdots\ge c_r\ge 1$, alors le polyn\^ome
$C_\bfc(z,t,q)$ est divisible par $(1+z)^r$.
\decale {\rm (iii)}|On a :
$C_{(1^n)}(z,t,q)=(1+z)^n  A_{(1^n)}(t,q)$\quad$(n\ge 1)$, o\`u
$A_{(1^n)}(t,q)$ est le $q$-polyn\^ome eul\'erien.
\decale{\rm (iv)}|On a :
$C_{(n)}(z,t,q)=(1+z)(-ztq;q)_{n-1}$
\quad$(n\ge 1)$.
\fintha

La propri\'et\'e (i) de sym\'etrie r\'esulte de l'expression m\^eme de la
fonction g\'en\'eratrice de ces polyn\^omes. On peut \'evidemment la
prouver combinatoirement par un argument analogue \`a celui
d\'evelopp\'e dans la proposition~2.1.

Les trois autres propri\'et\'es  r\'esultent imm\'ediatement de la
formule de r\'ecurrence~(6.1). Ces polyn\^omes ont des propri\'et\'es de
sym\'etrie en les $z$ et $t$ qui seront \'etudi\'ees dans des travaux
ult\'erieurs.





\section 7. Quelques remarques pour conclure|Faisons $q=1$ dans
(2.3), de sorte qu'on obtient la fonction g\'en\'eratrice du nombre
de descentes (ou du nombre d'exc\'edances) sur l'ensemble des
mots tir\'es d'un alphabet \`a $r$~lettres. On obtient
$$
\sum _\bfc A_\bfc(t,q=1){\bfu^{\bfc}\over (1-t)^{1+\left|\bfc\right|}} 
=\sum _{s\ge 0} {t^s\over (1-u_1)^{s+1}\ldots (1-u_r)^{s+1}},
$$
d'o\`u, par le changement de variables $u_i/(1-t)\leftarrow v_i$
$(i=1,2,\ldots, r)$, l'identit\'e
$$\displaylines{
\sum _\bfc A_\bfc(t,q=1) {\bf v}^{\bfc}
={1-t\over (1-v_1(1-t))\ldots (1-v_r(1-t))-t},\cr
\noalign{\hbox{ou, sous une forme \'equivalente,}}
\qquad\sum _\bfc A_\bfc(t,q=1) {\bf v}^{\bfc}\hfill\cr
\noalign{\vskip-10pt}
\hfill{}={1\over 1-e_1(\bfv)+(1 -t)e_2(\bfv)-\cdots+(-1)^r
(1-t)^{r-1}e_r(\bfv)},\quad\cr
}
$$
o\`u les $e_i(\bfv)$ sont les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires en les
$v_i$. On peut encore transformer cette identit\'e en
$$\displaylines{
\sum _\bfc A_\bfc(t,q=1) {\bf v}^{\bfc}
=1/D,\cr
\noalign{\hbox{o\`u $D$ est le d\'eterminant}}
D=\left|\matrix{1-v_1&-tv_2&\ldots&-tv_{r-1}&-tv_r\cr
-v_1&1-v_2&\ldots&-tv_{r-1}&-tv_r\cr
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr
-v_1&-v_2&\ldots&1-v_{r-1}&-tv_r\cr
-v_1&-v_2&\ldots&-v_{r-1}&1-v_r\cr}\right|\cr
}
$$
et on retrouve ainsi le calcul direct de la fonction g\'en\'eratrice du
nombre des exc\'edances, lorsqu'on applique le ``Master Theorem"
de MacMahon [MacM16, vol.~1, p.~97 et p.~186] \`a la matrice
triangulaire qui n'a que des $t$ strictement au-dessus de la diagonale et
des~1 partout ailleurs.

\medskip
La m\'ethode des sections  4 et 5 avait \'et\'e utilis\'ee dans [DesFo85] pour
un calcul analogue sur les seules permutations, et non pas sur les mots
(avec ou sans r\'ep\'etitions). Toutefois, sur les permutations, on peut
traiter simultan\'ement des statistiques sur la permutation elle-m\^eme et
aussi sur son inverse. On retrouvait ainsi les r\'esultats de
Garsia-Gessel [GaGe79] sur la distribution du vecteur
$(\des,\maj,\ides,\imaj)$, o\`u l'on pose, pour toute permutation~$\sigma $ :
$\ides \sigma =\des \sigma ^{-1}$ et $\imaj \sigma =\maj \sigma ^{-1}$.

\medskip
Si on multiplie l'identit\'e (1.5) par $(1-t)$ et si l'on fait $t=1$, on
trouve
$$
\sum _\bfc C_\bfc(z,t=1,q) {\bfu^\bfc\over (q;q)_{1+\left|\bfc\right|}}
={(-z\bfu;q)_\infty\over (\bfu;q)_\infty},
$$
une extension-produit de la formule $q$-binomiale.

 \medskip

Comme me le faisait remarquer Reiner
[Rei92], la m\'ethode des sections 4, 5 et 7, qui repose sur l'alg\`ebre des
fonctions de Schur, utilise en fait deux fois les propri\'et\'es de la
correspondance de Robinson-Schensted, une premi\`ere fois, lorsqu'on
exprime le polyn\^ome g\'en\'erateur des mots en termes de paires de tableaux,
une seconde fois, lorsqu'on applique le lemme de comptage sur les
fonctions de Schur (th\'eor\`eme 4.1 de [DesFo85]). C'est vrai. On peut
\'economiser une utilisation, mais il faut alors faire appel \`a l'\'etude des
$(P,\omega )$-partitions ch\`ere \`a Stanley [St72] et invoquer sa
proposition~8.3.

\medskip
\rem Remerciements|L'auteur remercie Guo-Niu Han pour sa relecture
attentive du manuscrit et pour ses suggestions qui ont am\'elior\'e la
r\'edaction finale. Il a \'egalement calcul\'e une table des polyn\^omes
$C_\bfc(z,t,q)$ plus \'etendue que celle reproduite ici.

\medskip
\rem Note ajout\'ee lors de la correction des \'epreuves|Les
polyn\^omes $C_\bfc(z,t,q)$ ont, en fait, d\'ej\`a \'et\'e introduits par
Rawlings (Multicolored Simon Newcomb Problems, J. Combinatorial
Theory, Ser.~A, 53 (1990) 53--67) dans une interpr\'etation
combinatoire quasiment analogue, de sorte que le th\'eor\`eme~5.1
doit lui \^etre attribu\'e. Au lieu de s'appuyer sur l'alg\`ebre des
fonctions de Schur comme ici, il fait appel \`a une alg\`ebre des
matrices bicolor\'ees, par lui d\'evelopp\'ee. 

Depuis la conf\'erence de Montr\'eal de juin 1992, au cours de
laquelle le pr\'esent article avait \'et\'e pr\'esent\'e, le {\it calcul
eul\'erien} a eu d'autres prolongements. Voir les trois articles par
Robert J. Clarke et l'auteur, devant para\^\i tre dans European J.
Combinatorics en 1994 et 1995.



\vskip 60pt 
\vskip0pt plus 12pt minus 12pt

\eightpoint 
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\vskip 1cm
\rightline{\vbox{\hbox{Dominique {\petcap Foata,}}
                 \hbox{{\eightrm I.R.M.A.} et d\'epartement de math\'ematique,}
                 \hbox{Universit\'e Louis-Pasteur,}
                 \hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,}
                 \hbox{F-67084 Strasbourg Cedex.}
                 \hbox{email : {\eightrm foata@math.u-strasbg.fr}}}\qquad} 
               
\vfill
\eject

\bye



