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\def\fdate{\number\day\space\ifcase\month\or Janvier\or
F\'evrier\or Mars\or  Avril\or Mai\or
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\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}

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\null
\bigskip\bigskip

\centerline{\bf  CALCUL BASIQUE DES PERMUTATIONS 
SIGN\'EES, I:}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf LONGUEUR ET NOMBRE D'INVERSIONS}
\footnote{$(^*)$}{Avec le concours du programme des
Communaut\'es Europ\'eennes en Combinatoire Alg\'ebrique, 1994-96.}}
\bigskip \centerline{\it Dominique
FOATA\/\footnote{$^1$}{D\'epartement de math\'ematique,
Universit\'e Louis Pasteur, 7, rue Ren\'e-Descartes,\hfil\break
F-67084 Strasbourg, France. {\eighttt
(foata@math.u-strasbg.fr)}} et GuoNiu
HAN\/\footnote{$^2$}{I.R.M.A., Universit\'e Louis Pasteur, 7, rue
Ren\'e-Descartes, F-67084 Strasbourg,\break France. {\eighttt
(guoniu@math.u-strasbg.fr)}}}

\bigskip\bigskip

{\narrower\narrower\eightpoint

\noindent
{\eightbf Abstract:} The traditional  basic calculus on
permutation statistic distributions is extended to the case of
signed permutations. 

 \medskip\noindent
{\eightbf R\'esum\'e:} Le calcul basique classique sur les
distributions des statistiques de permutations est
prolong\'e au cas des permutations sign\'ees. 

}

\bigskip\bigskip\bigskip



\centerline{\bf Sommaire}
\medskip

\long\def\somr #1|#2|{\noindent\hbox to 18pt{\hfil #1}{#2\hfil}\par}

\somr1. |Permutations sign\'ees|

{\parindent=25pt
1.1. {\it Descentes}

1.2. {\it Nombre d'inversions et $q$-s\'eries}

1.3.  {\it Fonction g\'en\'eratrice du couple nombre de
descentes-longueur}

1.4.  {\it Paires de permutations}

1.5.  {\it Fonctions de Bessel basiques}

1.6.  {\it Multipermutations sign\'ees}

}

\somr 2. |Multipermutations sign\'ees compatibles|

\somr 3. |La m\'ethode it\'erative|

\somr 4. |La fonction g\'en\'eratrice de Reiner|

\somr|Bibliographie|

\bigskip\bigskip
\centerline{\bf 1. Permutations sign\'ees}

\medskip
{\it $1.1$. Descentes}.\quad
Il y a deux d\'emarches possibles lorsqu'on veut
\'eten\-dre les propri\'et\'es {\it statistiques} connues
sur le groupe des permutations au cas des permutations
sign\'ees, c'est-\`a-dire  lorsqu'on veut passer de
l'\'etude de $A_n$ \`a celle de $B_n$. La d\'emarche {\it
g\'eom\'etrique} consiste \`a r\'einterpr\'eter dans la
g\'eom\'etrie des groupes de Coxeter les propri\'et\'es
statistiques du groupe des permutations et \`a appliquer
ensuite cette interpr\'etation aux permutations sign\'ees. 

La d\'emarche {\it analytique} consiste \`a partir des formules de
base connues pour les permutations sign\'ees, par exemple la
formule donnant la fonction g\'en\'eratrice de ces objets par
nombre de descentes (une notion d\'efinie au paragraphe
suivant) et \`a leur appliquer la modification analytique d\'ej\`a
utilis\'ee dans le cas des permutations ordinaires. C'est cette
d\'emarche que nous adoptons dans les deux articles que nous
consacrons au calcul basique des permutations sign\'ees.
Du point de vue de l'analyste, on peut aussi consid\'erer le
pr\'esent article comme une \'etude combinatoire des {\it fonctions
de Bessel basiques} (voir \S\kern2pt 1.5) et le second article
[FoHa96] comme une \'etude combinatoire des {\it analogues
finis} des fonctions de Bessel basiques

La statistique {\it nombre de descentes}, puisque c'est elle
qui est le point de d\'epart de notre \'etude, pour les
\'el\'ements de~$B_n$ s'impose d'elle-m\^eme: d'abord on
d\'efinit une {\it permutation sign\'ee} d'ordre~$n$ comme un
couple $(\sigma ,\varepsilon )$, o\`u $\sigma $ est une
permutation~$\sigma=\sigma (1)\sigma (2)\ldots \sigma (n)$ du
mot $12\ldots n$ et~$\varepsilon =\varepsilon (1)\varepsilon
(2)\ldots \varepsilon (n)$ est un mot de longueur~$n$ en
l'alphabet \`a deux lettres $\{x,y\}$. On dit que $\varepsilon $
est un {\it mot}-$xy$; on note $\ell(\varepsilon |x)$ (resp.
$\ell(\varepsilon |y)$) le nombre de lettres \'egales \`a~$x$
(resp. \'egales \`a~$y$) dans~$\varepsilon $. On note
\'egalement $\sigma _{\varepsilon |x}$ (resp. $\sigma
_{\varepsilon |y}$) le sous-mot de~$\sigma $ form\'e par
toutes les lettres $\sigma (i)$ telles que $\varepsilon (i)=x$
(resp. $\varepsilon (i)=y$). 

\medskip
{\it D\'efinition} 1.\ On dit que l'entier
$i$ est une {\it descente} de la permutation sign\'ee
$(\sigma ,\varepsilon )$,
si l'une des trois conditions suivantes est remplie:

{\parindent=30pt
\textindent{(i)}$i=n$ et $\varepsilon (n)=x$;

\textindent{(ii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=x$, 
$\varepsilon (i+1)=y$;

\textindent{(iii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$ 
et $\sigma (i)>\sigma (i+1)$.

}
On note $\des(\sigma ,\varepsilon )$ le {\it nombre de descentes} de 
$(\sigma ,\varepsilon )$.

\medskip
{\it Exemple}.\ Soit
$$
\matrix{\cr
\sigma =\cr
\varepsilon =\cr}
\petitematrice{1&2&3&4&5&6&7&8&9\cr
6&7&2&4&3&1&8&5&9\cr
x&y&y&y&x&x&y&x&x\cr} 
$$
une permutation sign\'ee. On a: $\sigma_{\varepsilon|x}=63159$,
$\sigma_{\varepsilon|y}=7248$ et $\des(\sigma,\varepsilon)={\rm
Card}\{1,2,5,6,9\}=5$.

\medskip
Naturellement, on peut se donner au d\'epart l'ordre lin\'eaire
$(n,x)>\cdots>(1,x)>(n,y)>\cdots >(1,y)$ et obtenir
une d\'efinition \'equivalente en gardant~(i) et en rempla\c cant
les conditions~(ii) et (iii) ci-dessus par

\decale $({\rm ii}')$|$1\le i\le n-1$ et $(\sigma
(i),\varepsilon(i))>(\sigma (i+1),\varepsilon(i+1))$.

\medskip
Tous les auteurs comme Brenti [Br94], Stembridge [Stem92],
Reiner [Re93a], [Re93b], [Re93c], [Re95a], Steingr\'\i msson
[Ste94], Clarke et le premier auteur [ClFo95] 
ont adopt\'e une d\'efinition \'equivalente \`a la d\'efinition~1
ci-dessus et ont calcul\'e la fonction g\'en\'eratrice exponentielle
des polyn\^omes g\'en\'erateurs de ``des" sur~$B_n$.
Si on forme, en effet,
$$\displaylines{\rlap{(1.1)}\hfill
W_n(X,Y,t)=\sum_{(\sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} 
t^{\des(\sigma,\varepsilon )},\hfill\cr
\noalign{\hbox{les auteurs cit\'es ont \'etabli l'identit\'e}}
\rlap{(1.2)}\hfill
{(1-t)\,\exp((t-1)X) \over
-t+\exp((t-1)(X+Y))}
=\sum_{n\ge 0} {1\over n!}\,
W_n(X,Y,t).\hfill\cr}
$$
Si dans le membre de gauche de (1.2) on remplace $X$ et $Y$
par~$u$, la fraction devient:
$(1-t)\exp((t-1)u)/(-t+\exp(2(t-1)u))$. (Dans [Re95a, p.~133], le
``2" de l'exponentielle doit \^etre mis au d\'enominateur et non au
num\'erateur.)

Si l'on pose $X=0$ et $Y=u$ dans (1.2), on a
$W_n(X,Y,t)=u^n\,A_n(t)$, o\`u $A_n(t)$ est le {\it polyn\^ome
Eul\'erien}. On retrouve aussi le fait bien connu que
$A_n(t)$ est la fonction g\'en\'eratrice des permutations
{\it ordinaires} par nombre de descentes, ansi que l'identit\'e
classique 
$$
{1-t\over -t+\exp(u(t-1))}=\sum_{n\ge 0} {u^n\over n!}
A_n(t),\leqno(1.3) 
$$

{\it $1.2$. Nombre d'inversions et $q$-s\'eries}.\quad
On sait (voir [Re95a], par exemple) que la {\it longueur}
$l_{\rm Cox}(\sigma)$ d'une permutation~$\sigma$ du groupe
sym\'etrique ${\cal S}_n$, consid\'er\'e comme un groupe de
Coxeter engendr\'e par les transpositions $(i,i+1)$ $(1\le i\le
n-1)$ n'est autre que l'usuel {\it nombre d'in\-versions}
$\inv \sigma$ de~$\sigma$. On conna\^\i t, d'autre part, la
fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes g\'en\'erateurs de
${\cal S}_n$ par le couple $(\des,l_{\rm Cox})=(\des,\inv)$
(voir la formule (1.4) ci-dessous). Il est donc
naturel de chercher \`a calculer la fonction g\'en\'eratrice
de~$B_n$ (et des autres groupes classiques) par le couple
$(\des,l_{\rm Cox})$. Ce calcul a \'et\'e entrepris par
Stembridge, Brenti, Reiner ({\it op.~cit.}). Cependant, comme
nous le verrons dans la sous-section~1.3, les formules
obtenues ne rentrent plus dans le cadre commode des
$q$-s\'eries. Leur manipulation analytique n'est plus aussi
ais\'ee. Notons que la derni\`ere \'etude faite par Reiner
[Re95b] est probablement tr\`es prometteuse. 

Dans le cas du groupe sym\'etrique, l'alg\`ebre des $q$-s\'eries
s'est impos\'ee et Stanley [St76] a calcul\'e la fonction
g\'en\'eratrice des polyn\^omes g\'en\'erateurs de ${\cal S}_n$ par
$(\des,\inv)$ en interpr\'etant le $q$-analogue de la 
formule~(1.3).
Comme cette alg\`ebre est pleinement utilis\'ee dans cet article, nous
en rappelons quelques
\'el\'ements: d'abord, la d\'efinition des $q$-{\it factorielles
montantes} [An76, GaRa90] 
$$
\eqalign{(a;q)_n&=\cases{1,&si $n=0$ ;\cr
(1-a)(1-aq)\,\ldots\,(1-aq^{n-1}),&si $n\ge 1$ ;\cr}\cr
(a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n
=\prod_{n\geq 0}(1-aq^n)\,;\cr}
$$
ensuite, le c\'el\`ebre th\'eor\`eme $q$-binomial  
$$\eqalignno{
\sum_{n\ge 0} (a;q)_n{u^n\over (q;q)_n}
&= {(au;q)_\infty \over (u;q)_\infty };\cr
\noalign{\hbox{ainsi que les d\'eveloppements des deux
$q$-exponentielles}}
e_q(u)&=\sum_{n\ge 0} {u^n\over
(q;q)_n}={1\over (u;q)_\infty}\,;\cr
E_Q(u)&=\sum_{n\ge 0} {Q^{n\choose 2}
u^n\over (Q;Q)_n}=(-u;Q)_\infty\,;\cr
\noalign{\vskip-12pt}}
$$
enfin, la notation pour le {\it coefficient
$q$-binomial}
$\displaystyle{n\brack k}_q={(q;q)_n\over (q;q)_k\,(q;q)_{n-k}}$.


Le $q$-analogue de (1.3), obtenu par Stanley consiste \`a
remplacer dans (1.3) l'exponentielle ``exp" par la
$q$-exponentielle $e_q$ et au second membre la
normalisation factorielle $n!$ par la normalisation
$q$-factorielle $(q;q)_n$. On obtient:
$$
{(1-t)\over
-t+e_q((t-1)u)}
=\sum_{n\ge 0} {u^n\over (q;q)_n}\,
A_n(t,q).\leqno(1.4)
$$
Comme prouv\'e par Stanley ({\it op. cit}), le coefficient
$A_n(t,q)$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur de ${\cal S}_n$ par la
paire $(\des,\coinv)$, o\`u $\coinv={n\choose 2}-\inv$. De plus, lorsque
``exp" est remplac\'e par la seconde $q$-exponentielle~$E_q$, le polyn\^ome
$A_n(t,q)$  devient le polyn\^ome g\'en\'erateur de ${\cal S}_n$
par $(\des,\inv )$.

Si donc on veut rester dans l'alg\`ebre des
$q$-s\'eries et obtenir l'extension souhait\'ee aux
permutations sign\'ees, il faut faire jouer \`a l'identit\'e (1.2)
le r\^ole que joue (1.3) pour les permutations ordinaires.  En
premier lieu il faut lui trouver un $q$-analogue, avec une
interpr\'etation combinatoire int\'eressante. C'est cette
d\'emarche de nature {\it analytique} que nous adoptons dans
cet article. La statistique ``inv" pour les permutations
sign\'ees se d\'egagera directement de cette interpr\'etation. 

Un bon choix pour un $q$-analogue de la formule (1.2) est de
remplacer le produit des deux exponentielles du d\'enominateur
par un produit de deux $q$-exponentielles (et non
pas par $e_q((t-1)(X+Y))$, qui fournit alors un
$q$-d\'eveloppement avec des termes n\'egatifs.) Le d\'eveloppement
en $q$-s\'erie 
$$
{(1-t)\,e_q((t-1)X) \over
-t+e_q((t-1)X)\,e_q((t-1)Y)}
=\sum_{n\ge 0} {1\over (q;q)_n}\,
W_n(X,Y,t,q)\leqno(1.5)
$$
donne pour les termes $W_n(X,Y,t,q)$ des polyn\^omes \`a coefficients
{\it entiers positifs}. Une des cons\'equences de notre r\'esultat
principal sera de  montrer que chaque $W_n(X,Y,t,q)$ est
un polyn\^ome g\'en\'erateur des permutations sign\'ees
d'ordre~$n$ par une certaine paire de statistiques 
``$(\des,\coinv)$":
$$
W_n(X,Y,t,q)=\sum_{(\sigma,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} 
t^{\des(\sigma,\varepsilon )}
q^{\coinv(\sigma,\varepsilon )}.\leqno(1.6)
$$
On retrouve pour ``$\des(\sigma ,\varepsilon )$" le nombre de descentes
introduit plus haut; quant \`a ``$\coinv(\sigma ,\varepsilon )$" c'est
un nombre de co-inversions adapt\'e pour les permutations sign\'ees,
ainsi d\'efinies.

\medskip
On dit qu'un couple d'entiers $(i,j)$ est une {\it inversion} (resp. une
{\it co-inversion}) de la permutation sign\'ee $(\sigma,\varepsilon )$
d'ordre~$n$,
si l'une des conditions suivantes est v\'erifi\'ee :

{\parindent=30pt
\textindent{(i)}$\varepsilon (i)=\varepsilon (j)$, $i<j$; 
et $\sigma(i)>\sigma(j)$ (resp. $\sigma(i)<\sigma(j)$);

\textindent{(ii)}$\varepsilon (i)=y$,
$\varepsilon (j)=x$ et $\sigma(i)>\sigma(j)$.

}
\noindent
On note $\inv(\sigma,\varepsilon )$ (resp. $\coinv(\sigma,\varepsilon
)$) le {\it nombre d'inversions} (resp.  le {\it nombre de
co-inversions}) de $(\sigma,\varepsilon )$.

\medskip
En reprenant l'exemple pr\'ec\'edent, on a
$\smash{\inv\petitematrice{6&7&2&4&3&1&8&5&9\cr
x&y&y&y&x&x&y&x&x\cr}}=4+2+11=17\,;\ 
\coinv\petitematrice{6&7&2&4&3&1&8&5&9\cr
x&y&y&y&x&x&y&x&x\cr}=6+4+11=21$.

\medskip
Les premi\`eres valeurs des polyn\^omes $W_n$, donc des
polyn\^omes g\'en\'e\-ra\-teurs des permutations sign\'ees par
la paire $(\des,\coinv)$, sont donn\'ees dans le tableau~1.
$$\displaylines{
\eqalign{
W_1&= tX+Y;\quad
W_2=t(t+q)X^2 + 2t(1+q)XY + (t+q)Y^2;\cr
W_3&=(2tq+2tq^2+t^2+q^3)Y^3 + t(1+q+q^2)(3q+2t+1)XY^2\cr
&\quad{}+t(1+q+q^2)(2q+tq+3t)X^2Y
+t(2tq+2tq^2+t^2+q^3)X^3.\cr}\cr
\noalign{\smallskip}
\hbox{\rm Tableau 1 (distribution de $(\des,\coinv)$)}\cr}
$$

Une des cons\'equences \'egalement de notre r\'esultat principal sera
de montrer que si dans (1.5) on remplace chaque
$q$-exponentielle $e_q(u)$ par la {\it seconde}
$Q$-exponentielle~$E_Q(u)$, les polyn\^omes $W_n(X,Y,t,q)$
dans le membre de droite sont les polyn\^omes g\'en\'erateurs
des permutations sign\'ees par le couple $(\des,\inv)$. Les
premi\`eres valeurs de ces polyn\^omes sont donn\'es
dans le tableau~2.
$$\displaylines{
\eqalign{
W_1&=Y+tX;\quad
W_2=(1+tQ)Y^2+2t(1+Q)XY+t(1+tQ)X^2;\cr
W_3&=(1+2tQ+2tQ^2+t^2Q^3)Y^3
+t(1+Q+Q^2)(3+Q+2tQ)XY^2\cr
&{}+t(1+Q+Q^2)(3+Q+2tQ)X^2Y
+t(1+2tQ+2tQ^2+t^2Q^3)X^3.\cr}\cr
\noalign{\smallskip}
\hbox{\rm Tableau 2 (distribution de $(\des,\inv)$)}\cr}
$$

Lorsqu'on se restreint aux \'el\'ements de~${\cal S}_n$, la
statistique ``inv" pour $B_n$, qui vient d'\^etre d\'efinie, n'est
autre que le nombre des inversions habituel pour les
permutations ordinaires.  De m\^eme, en faisant $X=0$ dans
(1.5) on retrouve la formule (1.4) avec son interpr\'etation
combinatoire.

\medskip
{\it $1.3$. Fonction g\'en\'eratrice du couple nombre de
descentes-longueur}.\quad
La {\it longueur}~$l_{\rm Cox}$ pour~$B_n$, telle qu'elle est
explicit\'ee par Brenti [Br94] et Reiner [Re95a], \`a savoir
$$\eqalign{
l_{\rm Cox}(\sigma,\varepsilon)&=\#\{i<j:\varepsilon(i)=\varepsilon(j),
\sigma(i)>\sigma(j)\}\cr
&\qquad{}+\#\{i<j:\varepsilon(i)=x, \varepsilon(j)=y\}
+\sum_{\varepsilon(i)=x} \sigma(i),\cr}
$$
se sp\'ecialise aussi en le nombre d'inversions lorsqu'on se restreint
\`a~${\cal S}_n$. En revanche, les polyn\^omes
g\'en\'erateurs de~$B_n$ par $(\des,l_{\rm Cox})$
sont diff\'erents des polyn\^omes $W_n$ d\'efinis dans la pr\'ec\'edente
sous-section d\`es que $n\ge 2$. 
Par exemple, les trois premiers polyn\^omes g\'en\'erateurs
de~$B_n$, disons $W''_n$
$(n=1,2,3)$ par
$(\des,l_{\rm Cox})$ sont donn\'es dans le tableau~3.
$$\displaylines{
\eqalign{
W''_1&=Y+tX;\quad
W''_2=(t+q)Y^2+tq(1+q)^2XY+tq^3(t+q)X^2;\cr
W''_3&=(t^2q^3+2tq^2+2tq+1)Y^3\cr
&\qquad{}+t(1+q+q^2)(1+q+2q^2+tq+tq^3)XY^2\cr
&\qquad{}+t^2(1+q+q^2)(1+q^2+2tq+tq^2+tq^3)X^2Y\cr
&\qquad{}+tq^6(t^2q^3+2tq^2+2tq+1)X^3.\cr}\cr
\noalign{\smallskip}
\hbox{\rm Tableau 3 (distribution de $(\des,l_{\rm Cox})$)}\cr}
$$

Posant $Y=1$ et ne conservant que la variable
d'homog\'en\'eit\'e~$X$, Reiner [Re95a] donne la fonction g\'en\'eratrice des
polyn\^omes $W''_n$ $(n\ge 0)$ sous la forme suivante:
$$\displaylines{
(1.7)\quad
{1-t\over 1-t\,e_q(u(1-t))}
\sum_{n\ge 0} {(u(1-t))^n\over (-Xq;q)_n\,(q;q)_n}\hfill\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\hfill{}=\sum_{n\ge 0} {u^n\over (-Xq;q)_n\,(q;q)_n}W''_n.
\qquad\cr}
$$
Nous \'etablirons cette identit\'e dans le paragraphe~4. 
La normalisation des polyn\^omes $W''_n$ par le facteur peu
commode $(-Xq;q)_n\,(q;q)_n$ et la pr\'esence de la s\'erie
correctrice $\sum_n (u(1-t))^n/( (-Xq;q)_n\,(q,q)_n)$
dans le membre de gauche de (1.7) pour laquelle on ne voit pas
{\it a priori} de propri\'et\'e analytique int\'eressante, nous ont
fait abandonner la statistique $l_{\rm Cox}$ au profit de
``inv" d\'efini au \S\kern2pt 1.2. Ce faisant, le calcul
statistique sur les {\it paires} de permutations, tel qu'il a
\'et\'e initialis\'e par Carlitz et ses collaborateurs [Ca76] et
poursuivi par Stanley [Sta76] et Fedou et Rawlings [FeRa95],
se prolonge de fa\c con naturelle au cas de $B_n$ dans l'alg\`ebre
des $q$-s\'eries. Ce que nous expliquons maintenant, apr\`es
avoir rappel\'e le calcul de Carlitz.

\medskip
{\it $1.4$. Paires de permutations}.\quad
Dans les ann\'ees
soixante-dix, Carlitz et ses collaborateurs [Ca76] avaient
r\'eussi \`a inter\-pr\'eter combinatoirement l'inverse de la
{\it fonction de Bessel} $J_0(u)$. De fa\c con pr\'ecise, soit 
$$ J_0(u)=\sum_{n\ge 0}
(-1)^n {(u/2)^{2n}\over n!\,n!}\leqno(1.8)  
$$
la {\it fonction de Bessel, de premi\`ere esp\`ece, d'ordre z\'ero}
(voir, e.g., Erd\'elyi [Er53, vol.~2, p.~4]) ; ils avaient pos\'e
$$
J(u)=J_0(2\sqrt{u})=\sum_{n\ge 0}
(-1)^n {u^n\over n!\,n!},\leqno(1.9)  
$$
et avaient observ\'e que les coefficients $\omega_n$ de
$u^n/(n!\,n!)$ dans la s\'erie inverse
$$
{1\over J(u)}=\sum_{n\ge 0} \omega_n {u^n\over n!\,n!} 
\leqno(1.10)
$$
\'etaient des entiers positifs et donc susceptibles de recevoir
une interpr\'e\-ta\-tion combinatoire. Poussant plus loin leurs
investigations, ils avaient d\'evelopp\'e en
s\'erie la fraction
$$
{1-t\over -t+J(u(1-t))} 
=1+\sum_{n\ge 1} {u^n\over n!\,n!}
\sum_{0\le k\le n-1}\omega(n,k)t^k,\leqno(1.11)
$$
qui se r\'eduit \`a (1.10) lorsque $t=0$, d'o\`u
$\omega(n,0)=\omega_n$ $(n\ge 0)$ et avaient cherch\'e \`a
donner une interpr\'etation combinatoire aux coefficients
$\omega(n,k)$. Ils avaient ainsi introduit la notion de {\it
descente en commun} dans une paire de permutations, notion
qu'on peut d\'ecrire de la fa\c con suivante.

Soient $\pi$ et~$\rho$ deux permutations de $12\ldots n$, qu'on
identifie aux mots $\pi=\pi(1)\pi(2)\ldots \pi(n)$
et $\rho=\rho(1)\rho(2)\ldots \rho(n)$. Le {\it nombre de
descentes en commun} de $\pi$ et~$\rho$, not\'e
$\ddes(\pi,\rho)$, est d\'efini comme le nombre d'indices~$k$
tels que $1\le k\le n-1$ et $\pi(k)>\pi(k+1)$,
$\rho(k)>\rho(k+1)$. Le r\'esultat principal de Carlitz [Ca76]
affirme que 

{\it $\omega(n,k)$ est pr\'ecis\'ement \'egal au nombre de
couples $(\pi,\rho)$ de permutations d'ordre~$n$ tels que
$\ddes(\pi,\rho)=k$.}

Les premi\`eres valeurs des $\omega(n,k)$ sont consign\'es dans
le tableau~4.

$$
\vbox{\halign{\vrule\ \hfil$#$\quad\vrule
&\strut\quad\hfil$#$\hfil
&\quad\hfil$#$\hfil
&\quad\hfil$#$\hfil
&\quad\hfil$#$\hfil
&\quad\hfil$#$\hfil\quad\vrule\cr
\noalign{\hrule}
k={}&0&1&2&3&4\cr
\noalign{\hrule}
n={}1&1&&&&\cr
2&3&1&&&\cr
3&19&16&1&&\cr
4&211&299&65&1&\cr
5&3651&7346&3156&246&1\cr
\noalign{\hrule}
\noalign{\medskip}
\multispan6\hfil Tableau 4 (distribution de ddes sur 
${\cal S}_n\times {\cal S}_n$)\hfil\cr
 }}
$$

Toujours dans l'article pr\'ecit\'e, les auteurs avaient not\'e 
la ressemblance de la formule (1.11) avec la formule
(1.3) donnant la fonction g\'en\'eratrice des {\it polyn\^omes
Eul\'eriens} $A_n(t)$. Comme $A_n(t)$ est un polyn\^ome
g\'en\'erateur du groupe sym\'etrique ${\cal S}_n$ (et non plus
de ${\cal S}_n\times {\cal S}_n$), l'id\'ee avait germ\'e que la
fonction de Bessel \'etait pour les {\it paires de
permutations} ce qu'\'etait la fonction exponentielle pour les
{\it permutations}.

Les travaux ult\'erieurs ont confirm\'e cette id\'ee, puisqu'on
a su, d'une part, poursuivre l'\'etude des polyn\^omes
Eul\'eriens dans l'alg\`ebre des $q$-s\'eries, o\`u l'on a
cherch\'e et obtenu des $q$-analogues des diff\'erentes
formules les concernant (voir, par exemple [Ca54], [Ca59],
[Ca71]), d'autre part, prolonger l'\'etude des $p,q$-analogues
des fonctions de Bessel, d'abord analytiquement (voir Ismail
[Is82]), ensuite combinatoirement, en parti\-culier par
l'\'ecole bordelaise (voir [DeFe93], [Fe95]) pour des comptages
de diagrammes de Ferrers gauches et de polyominos et en
termes de paires de permutations par Stanley [Sta76], Fedou et
Rawlings [FeRa94], [FeRa95]. 

\medskip
{\it  $1.5$. Fonctions de Bessel basiques}.\quad 
Le $q$-analogue de la formule (1.2), \`a savoir (1.5), pouvant
donc \^etre interpr\'et\'e combinatoirement comme indiqu\'e, il est
naturel, comme l'avaient fait Carlitz, Stanley, Fedou et
Rawlings ({\it op. cit.}) pour (1.3), d'\'etudier le
d\'eveloppement de (1.5), lorsqu'on remplace cette fois les
exponentielles par des analogues de fonctions de Bessel.
Autrement dit, il importe d'\'etudier dans l'alg\`ebre des
s\'eries \`a une ou plusieurs bases le d\'eveloppement de 
$$
{(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq) \over
-t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\,
\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq)},\leqno(1.12)
$$
o\`u $\bfJ$ est une fonction de Bessel basique d\'efinie
ci-apr\`es. 

Soient
$L$ et $l$ deux entiers positifs fix\'es et
$\bfQ=(Q_1,Q_2,\ldots,Q_L)$,
$\bfq=(q_1,q_2,\ldots, q_l)$
deux suites de variables. Posons
$$\leqalignno{
\bfQ^{n\choose 2}&=Q_1^{n\choose 2}\ldots 
Q_L^{n\choose 2},\cr 
(\bfQ;\bfQ)_n&=(Q_1;Q_1)_n\ldots (Q_L;Q_L)_n,\cr
(\bfq;\bfq)_n&=(q_1,q_1)_n\ldots(q_l;q_l)_n.\cr}
$$
Utilisant la notation ``{\eightrm H}" pour le {\it produit
d'Hadamard} de deux s\'eries, \`a savoir
$$\displaylines{
\Bigl(\sum_{n\ge 0} \alpha _nu^n\Bigr)\had
\Bigl(\sum_{n\ge 0} \beta _nu^n\Bigr)
=\sum_{n\ge 0} (\alpha _n\beta _n) u^n,\cr
\noalign{\hbox{on d\'efinit la {\it fonction de
Bessel \`a plusieurs bases} par}}
(1.13)\quad
\bfJ(u;\bfQ,\bfq)
=\Bigl(\sum_{n\ge 0}(-u)^n\Bigr)\had E_{Q_1}(u)\had
E_{Q_2}(u)\had\cdots\hfill\cr
\noalign{\vskip-8pt}
\hfill{}\had
e_{q_1}(u)\had
e_{q_2}(u)\had\cdots\qquad\cr
\noalign{\hbox{On a encore}}
\rlap{(1.14)}\hfill
\bfJ(u;\bfQ,\bfq)=\sum_{n\ge 0}
(-1)^n {\bfQ^{n\choose 2}\over (\bfQ,\bfQ)_n} {1\over
(\bfq;\bfq)_n}u^n.\hfill\cr 
\noalign{\hbox{Si $L=l=1$, on a}} 
\bfJ(u;Q,q)
=\sum_{n\ge 0} (-1)^n {Q^{n\choose 2}\over (Q,Q)_n}
{1\over (q;q)_n}u^n.\cr
\noalign{\hbox{Enfin, pour $L=0$ et $l=1$, on retrouve
la $q$-exponentielle}}
\bfJ(u;\hbox{-},q)
=\sum_{n\ge 0} (-1)^n 
{1\over (q;q)_n}u^n=e_q(-u),\cr
\noalign{\hbox{et pour $L=1$ et $l=0$, 
la $Q$-exponentielle}}
\bfJ(u;Q,\hbox{-})
=\sum_{n\ge 0} (-1)^n {Q^{n\choose 2}\over (Q,Q)_n}u^n
=E_Q(-u).\cr
} 
$$
Comme expliqu\'e dans le prochain paragraphe, le d\'eveloppement
en s\'erie en base \bfQ\ et \bfq\ de l'expression (1.12) fait 
appara\^\i tre des polyn\^omes qui sont les fonctions
g\'en\'eratrices d'objets combinatoires, appel\'es {\it
multipermutations sign\'ees}, par une suite de statistiques
dont l'une des composantes est le {\it nombre de descentes}
qui g\'en\'eralise au cas de $B_n$ le nombre de des\-centes
communes introduite par Carlitz. 

\medskip
{\it $1.6$. Multipermutations sign\'ees}.
On appelle {\it multipermutation sign\'ee}, d'ordre~$n$,
un triplet $(\underline\Sigma, \underline \sigma ,\varepsilon )$, o\`u
$\underline\Sigma=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L)$ et
$\underline \sigma =(\sigma _1,\ldots,\sigma _l)$
sont, respectivement, deux suites de~$L$ et~$l$ permutations
d'ordre~$n$ et o\`u~$\varepsilon $ est
un mot-$xy$ de longueur~$n$.

\medskip
{\it D\'efinition} 2.\ On dit que l'entier
$i$ est une {\it descente} de la multipermutation sign\'ee
$(\underline \Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$,
si l'une des quatre conditions suivantes est remplie:

{\parindent=30pt
\textindent{(i)}$i=n$ et $\varepsilon (n)=x$;

\textindent{(ii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=x$, 
$\varepsilon (i+1)=y$;

\textindent{(iii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$
et  $\Sigma_1(i)>\Sigma_1(i+1)$, \dots~, 
$\Sigma_L(i)>\Sigma_L(i+1)$, ainsi que
$\sigma_1(i)>\sigma_1(i+1)$, \dots~, 
$\sigma_l(i)>\sigma_l(i+1)$;

}
On note $\ddes(\underline \Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ le
{\it nombre de  descentes} de $(\underline \Sigma,\underline \sigma
,\varepsilon )$.

On pose
$$
\eqalign{
\bfQ^{\inv(\underline\Sigma,\varepsilon )}
&=Q_1^{\inv(\Sigma_1,\varepsilon )}\,\cdots\,
Q_L^{\inv(\Sigma_r,\varepsilon )}\,;\cr 
\bfq^{\coinv(\underline \sigma ,\varepsilon )}
&=q_1^{\coinv(\sigma _1,\varepsilon )}\,\cdots\,
q_l^{\coinv(\sigma _l,\varepsilon )}.\cr 
}$$

Le principal objet de ce premier article est de d\'emontrer le
r\'esultat suivant.

 \proclaim Th\'eor\`eme 1.1. On a l'identit\'e
$$\displaylines{(1.15)\quad
 {(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq) \over
-t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\,\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq)}\hfill\cr
\hfill{}
=\sum_{n\ge 0} {1\over (\bfQ;\bfQ)_n(\bfq;\bfq)_n}\,
 W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq),\quad\cr}
$$
o\`u $X$ et $Y$ sont deux variables et o\`u
le coefficient
$W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur
des multipermutations sign\'ees $(\underline\Sigma, \underline \sigma
,\varepsilon )$ par les statistiques ``$\ddes$," ``\/$\inv$" et
``\/$\coinv$." En d'autres termes, on~a 
$$\displaylines{(1.13)\quad
W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)\hfill\cr
\hfill{}
=\sum_{(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} 
t^{\ddes(\underline\Sigma,
\underline\sigma ,\varepsilon )} 
\bfQ^{\inv(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\coinv(\underline\sigma ,\varepsilon )},\quad\cr
}
$$
la sommation \'etant faite sur toutes les multipermutations
sign\'ees de lon\-gueur~$n$.
 \endproclaim

La liste des premi\`eres valeurs des polyn\^omes
$W_n(X,Y,t,Q,q)$ (pour $L=l=1$) est donn\'ee dans le tableau~5.

{\eightpoint
$$\eqalignno{\noalign{\vskip-10pt}
W_1&=Y+tX;\cr
W_2&=Y^2(Qq+q+tQ+1)
+XY(2\,t (Q+1 ) (q+1 ))+X^2t(Qq+q+tQ+1);\cr
W_3&=c_0Y^3+c_1XY^2+c_2X^2Y+c_3X^3, 
\qquad\hbox{o\`u}\cr
&\qquad\quad\eqalign{
c_0&=2\,Qq+2\,Q^{2}q+2\,q+2\,Q^{3}tq+2\,Q^{3}tq^{2}
+2\,Q^{2}q^{3}+2\,q^{2}\cr
&\qquad\qquad{}
+q^{3}+1+2\,Qq^{3}+2\,tQq+2\,tQ^{2}q+2\,q^{2}tQ
+2\,q^{2}tQ^{2}\cr
&\qquad\qquad{}+2\,Qq^{2}+Q^{3}t^{2}
+2\,tQ+2\,tQ^{2}+2\,Q^{2}q^{2}+Q^{3}q^{3}\cr
c_1&=
t (1+Q+Q^{2} ) (q^{2}+q+1 ) (3\,Qq+3\,q+2\,
tQ+Q+3 )\cr
c_2&= 
t (1+Q+Q^{2} ) (q^{2}+q+1 )
 (2\,Qq+tQq+2\,q+tq+3\,tQ+2+t )\cr
c_3&=t\,c_0.\cr}\cr
}
$$

}
\centerline{Tableau 5 (distribution de $(\ddes,\inv,\coinv)$)}

\medskip
Si dans le pr\'ec\'edent tableau on fait $q=0$, on
retrouve le tableau~2. D'autre part, en ne retenant que les
coefficients des plus hautes puissances de~$Q$, on retrouve le
tableau~1. Par ailleurs, on voit appara\^\i tre
dans ces premi\`eres valeurs les polyn\^omes gaussiens ${n\brack
\alpha }_Q$ et ${n\brack \alpha }_q$ $(0\le \alpha \le n)$. En
effet, on d\'emontrera, dans le prochain paragraphe, qu'on peut
\'ecrire $$
W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)=\sum_{0\le \alpha \le n}
X^\alpha  Y^{n-\alpha } {n\brack \alpha }_\bfQ\,{n\brack
\alpha }_\bfq\, W_{\alpha ,n-\alpha },
$$
o\`u $W_{\alpha ,n-\alpha }$ est un polyn\^ome g\'en\'erateur
d'une sous-classe de multipermutations sign\'ees, dites {\it
compatibles}.

Pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 1.1, nous proposons une m\'ethode
{\it it\'era\-tive}. Elle est d\'evelopp\'ee dans le
paragraphe~3. Nous concluons l'article par une
d\'emonstration de la formule de Reiner, utilisant toujours
cette m\'ethode it\'erative.

Notons que l'identit\'e (1.15) avec les interpr\'etations
combinatoires \'enonc\'ees dans le Th\'eor\`eme~1.1 se sp\'ecialise en
plusieurs identit\'es \'etablies pr\'ec\'edemment par diff\'erents
auteurs. Avec $X=0$, on retrouve les r\'esultats sur $A_n$
\'etablis par Carlitz, Stanley.  Pour $L=0$, $l=1$ on d\'eduit
(1.5) avec son interpr\'etation combinatoire en termes de
nombres de descentes et de coinversions.

Dans le second article, nous proposerons une extension de
notre Th\'eo\-r\`eme~1.1 \`a l'aide des analogues finis des
fonctions de Bessel basiques en uti\-li\-sant une approche
diff\'erente. Nous obtiendrons d'autres interpr\'etations
combinatoires pour les polyn\^omes g\'en\'erateurs des
permutations sign\'ees.

\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 2. Multipermutations sign\'ees compatibles}

\medskip
Introduisons tout d'abord la notion de multipermutation
sign\'ee {\it compatible}. Soit $(\sigma,\varepsilon )$ une
permutation sign\'ee, o\`u $\sigma\in {\cal S}_n$ et o\`u
$\varepsilon =\varepsilon (1)\ldots \varepsilon (n)$ est un
mot-$xy$. On rappelle que le mot $\sigma _{\varepsilon |x}$
(resp. $\sigma _{\varepsilon |y}$) est d\'efini comme le
sous-mot de $\sigma (1)\ldots \sigma (n)$ tel que
$\varepsilon (i)=x$ (resp. $\varepsilon (i)=y$).
On peut introduire le nombre d'inversions
``\/$\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})$"
{\it entre les mots} $\sigma_{\varepsilon |y}$ et
$\sigma_{\varepsilon |x}$, en posant   
$$
\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})
=\#\{(i,j):\varepsilon (i)=y,\,\varepsilon
(j)=x,\,  \sigma(i)>\sigma(j)\}.  
$$
On voit alors qu'une autre fa\c con de d\'efinir les statistiques
``inv" et ``coinv" est de poser:
 $$\eqalign{
\inv(\sigma,\varepsilon )
&=\inv \sigma _{\varepsilon |x}+\inv
\sigma _{\varepsilon |y}
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})\,;\cr
\coinv(\sigma,\varepsilon )
&=\coinv \sigma _{\varepsilon |x}+\coinv
\sigma _{\varepsilon |x}
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x}).\cr
}
$$

{\it D\'efinition}. 
Supposons que $\varepsilon $ a $\alpha $ lettres \'egales \`a~$x$ et $\beta
$ lettres \'egales \`a~$y$ $(\alpha +\beta =n)$. 
On dit que la permutation $\sigma $ est {\it compatible avec}~$\varepsilon $
(ou encore que la permutation sign\'ee $(\sigma ,\varepsilon )$ est {\it
compatible\/}), si
$$\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})=0,$$
ou, de fa\c con \'equivalente, si le sous-mot $\sigma _{\varepsilon |y}$ est
un r\'earrangement du mot $12\ldots \beta $ (et donc $\sigma _{\varepsilon
|x}$ est un r\'earrangement de $(\beta +1)(\beta +2)\ldots n$).

Une multipermutations sign\'ee $(\underline \Sigma,\underline
\sigma, \varepsilon)$, telle que
$\underline\Sigma=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L)$ et 
$\underline\sigma=(\sigma_1,\ldots,\sigma_l)$ est dite {\it
compatible}, si les permutations
$\Sigma_1$, \dots, $\Sigma_L$, $\sigma_1$, \dots,
$\sigma_l$ sont toutes compatibles avec~$\varepsilon$.

\medskip
Le polyn\^ome
$$
W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)
=\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)}
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\bfQ^{\inv(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\coinv(\underline\sigma,\varepsilon )},
$$
o\`u la somme est sur toutes les multipermutations sign\'ees
$(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ 
de longueur~$n$, est un polyn\^ome homog\`ene de degr\'e~$n$
en~$X$ et~$Y$. On peut donc \'ecrire:
$$
W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)=\sum_{\alpha+\beta=n}
{n\brack \alpha}_\bfQ\, {n\brack\alpha}_\bfq
X^\alpha\,Y^\beta\,W_{\alpha,\beta}\leqno(2.1)
$$

\proclaim Proposition 2.1. Le polyn\^ome
$W_{\alpha,\beta}$ apparaissant dans $(2.1)$ est le
polyn\^ome g\'en\'e\-rateur des multipermutations
sign\'ees $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$
compatibles, telles que $\varepsilon$
contient exactement $\alpha$ lettres \'egales \`a~$x$ et $\beta$
lettres \'egales \`a~$y$, par la suite de statistiques
$(\ddes,\inv,\coinv)$.
\endproclaim

{\it D\'emonstration}.
Pour ne pas alourdir les notations, supposons $L=l=1$.
Soit $(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )$ une bipermutation sign\'ee
de longueur~$n$ telle que $\ell(\varepsilon |x)=\alpha $.
Notons~$I$ l'ensemble des $\alpha $ lettres du mot $\sigma
_{\varepsilon |x}$. Il existe une et une seule bijection
croissante $f_\Sigma$ (resp. $f_\sigma $) envoyant l'image
$\Sigma(I)$  de l'ensemble~$I$ par~$\Sigma$ (resp. $\sigma
(I)$) sur l'intervalle  $[n-\alpha +1, n]$ et le
compl\'ementaire $\Sigma([\,n\,]\setminus I)$ (resp. $\sigma
([n]\setminus I)$) sur  l'intervalle $[1,n-\alpha ]$. Le triplet 
$ (f_\Sigma\circ \Sigma, f_\sigma \circ \sigma ,\varepsilon )$
est alors une permutation sign\'ee compatible. L'application
$(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )\mapsto (f_\Sigma\circ \Sigma,
f_\sigma \circ \sigma ,\varepsilon )$  est {\it surjective}. De
plus, si $(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )$ est compatible, le
nombre d'ant\'ec\'edents $(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )$
envoy\'es sur  $(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )$ par cette
surjection est \'egal \`a ${n\choose \alpha }{n\choose \alpha
}$. 

Si $(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )$ est compatible et si
$(f_\Sigma\circ \Sigma, f_\sigma \circ \sigma ,\varepsilon )=(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )$, alors
$$\eqalign{
\ddes\,(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )&=\ddes\,(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon );\cr
\inv\,(\sigma,\varepsilon )&=\inv\,(\sigma_0,\varepsilon )
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x});\cr
\coinv\,(\sigma,\varepsilon )&=\coinv\,(\sigma_0,\varepsilon )
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x}).\cr
}$$
Ces propri\'et\'es r\'esultent du fait que $f_\Sigma$ et $f_\sigma $ sont
des applications croissantes.

Il en r\'esulte que la somme
$$
\sum_{(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )} Q^{\inv(\Sigma,\varepsilon
)}\, q^{\coinv(\sigma ,\varepsilon )}, 
$$
\'etendue \`a tous les triplets $(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )$ tels que
$(f_\Sigma\circ \Sigma, f_\sigma \circ \sigma ,\varepsilon )=(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )$, 
est \'egale \`a
$$\displaylines{\kern1cm
Q^{\inv(\Sigma_0,\varepsilon )}\, 
q^{\coinv(\sigma _0,\varepsilon )} 
\sum_{(\Sigma,\sigma ,\varepsilon )}
Q^{\inv(\Sigma_{\varepsilon |y},\Sigma_{\varepsilon |x})}\,
q^{\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma _{\varepsilon |x})},\hfill\cr
\noalign{\hbox{ou encore \`a}}
\kern1cm
Q^{\inv(\Sigma_0,\varepsilon )}\, q^{\coinv(\sigma _0,\varepsilon )} 
{n\brack \alpha }_Q\,{n\brack \alpha }_q.\hfill\cr
\noalign{\hbox{De l\`a}}
W_n(X,Y,t,Q,q)\hfill\cr
\quad{}
=\sum_{\alpha+\beta=n}X^\alpha  Y^{\beta}\kern-15pt
\sum_{\scriptstyle(\Sigma_0, \sigma _0,\varepsilon )
\ {\rm (comp.)}\atop \scriptstyle  \ell(\varepsilon |x)=\alpha }\kern-15pt
t^{\ddes(\Sigma_0, \sigma _0,\varepsilon )}\kern-20pt
\sum_{\scriptstyle(\Sigma, \sigma ,\varepsilon )
\atop \scriptstyle  (f_\Sigma\circ \Sigma, f_\sigma \circ
\sigma ,\varepsilon )=(\Sigma_0,\sigma _0,\varepsilon )}\kern-30pt
Q^{\inv( \Sigma,\varepsilon )}
q^{\coinv( \sigma ,\varepsilon )}\hfill\cr
\quad{}=\sum_{0\le \alpha \le n}X^\alpha  Y^{n-\alpha }
{n\brack \alpha }_{Q}\,{n\brack \alpha }_{q}
W_{\alpha,\beta}.\qed\hfill\cr}
$$

\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 3. La m\'ethode it\'erative}

\medskip
Posons $(Q;Q)_n=(Q)_n$ et $(q;q)_n=(q_n)$ et pour ne pas
alourdir les notations, supposons $L=l=1$. L'identit\'e (1.15)
peut se r\'ecrire 
$$\displaylines{\quad
\Bigl(1-\sum_{i+j\ge 1} {(t-1)^{i+j-1}
Q^{{i\choose 2}+{j\choose 2}}X^iY^j
\over (Q)_i\,(q)_i\,(Q)_j\,(q)_j}\Bigr)^{-1}
\bfJ((1-t)X;Q,q)\hfill\cr
\noalign{\vskip-8pt}
\hfill{}=\sum_{k\ge 0} {1\over
(Q)_k\,(q)_k}\,W_k(X,Y,t,Q,q),\quad\cr} $$
une identit\'e de la forme $(1-R)^{-1}S=T$, qui, lorsque l'on la
r\'ecrit $S=(1-R)T$, montre que (1.15) est \'equivalente \`a
la formule de r\'ecurrence
$$\displaylines{(3.1)\quad
W_n(X,Y,t,Q,q)=Q^{n\choose 2} (t-1)^nX^n\hfill\cr
\hfill{}
+\sum_{\scriptstyle i+j+k=n,
\atop
\scriptstyle i+j\ge 1}
{n\brack i,j,k}_Q\,{n\brack i,j,k}_q
(t-1)^{i+j-1}Q^{{i\choose 2} +{j\choose 2}}
X^iY^j\,W_k(X,Y,t,Q,q),\cr}
$$
avec $n\ge 1$ et $W_0(X,Y,t,Q,q)=1$.

Maintenant utilisant la d\'ecomposition (2.1) et d\'eterminant le
coefficient de $X^\alpha Y^\beta$ dans les deux membres de
(3.1), on voit que la pr\'ec\'edente formule de r\'ecurrence est
encore \'equivalente \`a l'ensemble des deux formules
$$\displaylines{(3.2)\ 
W_{n,0}=Q^{n\choose 2}(t-1)^n+\sum_{1\le i\le n} {n\brack
i}_Q\,{n\brack i }_q\, (t-1)^{i-1}\,Q^{i\choose
2}\,W_{n-i,0};\hfill\cr
(3.3)\ 
W_{\alpha,\beta}=\!\!\!\sum_{{\scriptstyle 0\le i\le \alpha
\atop \scriptstyle 0\le j\le \beta}\atop \scriptstyle
i+j\ge 1}
{\alpha\brack i}_Q\,{\alpha\brack i }_q\,
{\beta\brack j}_Q\,{\beta\brack j}_q\,
(t-1)^{i+j-1}\,Q^{{i\choose 2}+{j\choose 2}}\,
W_{\alpha-i,\beta-j};\hfill\cr }
$$
avec $n\ge 1$, $\alpha+\beta\ge 1$ et $W_{0,0}=1$.

Pour d\'emontrer (1.15), il suffit, partant de la d\'efinition du
po\-lyn\^ome $W_n(X,Y,t,Q,q)$ comme fonction g\'en\'eratrice des
bipermutations sign\'ees de longueur~$n$ d'\'etablir (3.1), ou bien
partant de la d\'efinition de $W_{\alpha,\beta}$ comme polyn\^ome
g\'en\'erateur des bipermutations sign\'ees compatibles\break
$(\Sigma,\sigma,\varepsilon)$ telles que $\varepsilon$
contient $\alpha$ lettres~$x$ et $\beta$ lettres~$y$, \'etablir
(3.2) et (3.3). Les deux fa\c cons reposent sur la m\^eme identit\'e
que nous allons \'etablir maintenant.

Notons d'abord que si $(\Sigma,\sigma,\varepsilon)$ est une
bipermutation sign\'ee telle que $\varepsilon$ contient $\alpha$
lettres~$x$ et $\beta$ lettres~$y$, chaque permutation
sign\'ee $(\Sigma,\varepsilon)$, $(\sigma,\varepsilon)$ est une
permutation des bilettres
$(1,y)\ldots(\beta,y)(1+\beta,x)\ldots (\alpha+\beta,x)$. 
Par cons\'equent, le facteur gauche 
$(\Sigma(1),\sigma(1),\varepsilon(1))\ldots
(\Sigma(k),\sigma(k),\varepsilon(k))$ $(1\le k\le
\alpha+\beta)$ de $(\Sigma,\sigma,\varepsilon)$ 
est {\it d\'ecroissant}, si l'on a
$\Sigma(1)>\cdots>\Sigma(k)$ et
$\sigma(1)>\cdots>\sigma(k)$. Toute bipermutation sign\'ee
compatible (b.s.c.) a un {\it plus long facteur gauche
d\'ecroissant} (p.l.f.g.d.), de longueur au moins \'egale \`a~1. 
Une lettre $(\Sigma(i),\sigma(i),\varepsilon(i))$ de la
bipermutation sign\'ee $(\Sigma,\sigma,\varepsilon)$ est dite
{\it grande} (resp. {\it petite}), si $\varepsilon(i)=x$
(resp. $\varepsilon(i)=y$).

\medskip
Dans la suite de la d\'emonstration, les b.s.c. sont suppos\'ees
avoir $\alpha$ gran\-des lettres et $\beta$ petites lettres. On
note $F(i,j)$ la fonction g\'en\'eratrice de ces b.s.c., dont le
p.l.f.g.d. est de longueur $(i+j)$ et d\'ebute par $i$ grandes
lettres suivies de $j$ petites lettres  $(0\le i\le\alpha,\, 0\le
j\le\beta,\, i+j\ge 1)$. On d\'esigne par $G({\ge i},{\ge 0},{\ge
k})$  (resp. $G({= i},{\ge j},{\ge k})$)
la fonction g\'en\'eratrice de ces b.s.c. dont le p.l.f.g.d. est de
longueur au moins \'egale \`a~$k$ et d\'ebute par au moins $i$
grandes lettres (resp. et d\'ebute par $i$ grandes lettres
suivies par au moins $j$ petites lettres).
Posons
$$
u_{i,j}={\alpha\brack i}_Q\,{\alpha\brack i }_q\,
{\beta\brack j}_Q\,{\beta\brack j}_q\,
Q^{{i\choose 2}+{j\choose 2}}\,
W_{\alpha-i,\beta-j},
$$
de sorte que (3.2) et (3.3) peuvent se r\'ecrire
$$
\leqalignno{
W_{\alpha,0}&=Q^{\alpha\choose 2}(t-1)^\alpha
+\sum_{1\le i\le \alpha} u_{i,0} (t-1)^{i-1}
\quad(\beta=0);&(3.4)\cr
W_{\alpha,\beta}&=
\sum
_{{\scriptstyle 0\le i\le \alpha
\atop \scriptstyle 0\le j\le \beta}\atop \scriptstyle
i+j\ge 1}
u_{i,j} (t-1)^{i+j-1}\quad(\beta\ge 1).&(3.5)\cr}
$$

\proclaim Lemme 3.1. On a les identit\'es:
$$\leqalignno{
t^{i}\,u_{i,0}
&=t\,F(i,0)+G({\ge i},{\ge 0},{\ge i+1});&(3.6)\cr
t^{i+j}\,u_{i,j}
&=t\,F(i,j)+G({=i},{\ge j+1},{\ge i+j+1}),
\quad{\sl si}\ j\ge 1.&(3.7)\cr}
$$
\endproclaim

{\it D\'emonstration}. En effet,
le produit $t^{i}\,u_{i,0}$ est la
fonction g\'en\'eratrice des b.s.c. d\'ebutant par un facteur
d\'ecroissant de $i$ grandes lettres, avec la restriction que le
nombre de descentes initial est compt\'e~$i$ (au lieu de
$i-1$) lorsque le p.l.f.g.d est de longueur exactement~$i$.
Rentrent donc dans cette fonction g\'en\'eratrice, outre les b.s.c.
juste d\'ecrits, celles dont le p.l.f.g.d. contient $i$ grandes
lettres et au moins une petite lettre, plus toutes celles dont
le p.l.f.g.d. contient au moins $i+1$ grandes lettres et aucune
petite lettre. Ceci prouve (3.6).

Lorsque $j\ge 1$, le produit $t^{i+j}\,u_{i,j}$ est
la fonction g\'en\'eratrice des b.s.c. d\'ebutant par un facteur
d\'ecroissant ayant $i$ grandes lettres et au moins $j$ petites
lettres, toujours avec la restriction que le nombre de des\-centes
initial est compt\'e $i+j$ (au lieu de $i+j-1$) lorsque le
p.l.f.g.d est de longueur $i+j$. En plus de ces b.s.c. on trouve
dans la fonction g\'en\'eratrice toutes les b.s.c. dont le p.l.f.g.d.
contient $i$ grandes lettres et au moins $j+1$ petites
lettres.\qed

\medskip
Comme $F(i,0)=G({\ge i},{\ge 0},{\ge i})
-G({\ge i},{\ge 0},{\ge i+1})$, on tire de (3.6) l'identit\'e
$$\displaylines{\noalign{\vskip-7pt}
(3.8)\ G({\ge i},{\ge 0},{\ge i})=t^{i-1}\,u_{i,0}
+{t-1\over t}G({\ge i},{\ge0},{\ge i+1});\hfill\cr
\noalign{\hbox{de m\^eme, on tire de (3.7), lorsque $j\ge 1$,}}
(3.9)\ G({=i},{\ge j},{\ge i+j})=t^{i+j-1}u_{i,j}
+{t-1\over t} G({=i},{\ge j+1},{\ge i+j+1}).\hfill\cr
\noalign{\hbox{On a en plus l'identit\'e}}
(3.10)\ G({\ge i},{\ge 0},{\ge i+1})=
G({=i},{\ge 1},{\ge i+1})\hfill\cr
\hfill{}+G({\ge i+1},{\ge 0},{\ge i+1}).\quad\cr }
$$

Ces trois formules permettent le calcul de $W_{\alpha,\beta}$
par it\'eration. En effet, le polyn\^ome 
$W_{\alpha,\beta}$ est \'egal \`a
$G({\ge 1},{\ge 0},{\ge1})+G({=0},{\ge 1},{\ge 1})$. Par
it\'eration, on obtient
$$\leqalignno{\qquad
W_{\alpha,\beta}
&=u_{1,0}+(t-1)u_{2,0}+\cdots+
(t-1)^{\alpha-2}u_{\alpha-1,0}&(3.11)\cr
&\qquad\quad{}+{(t-1)^{\alpha-1}\over
t^{\alpha-1}}G({\ge \alpha},{\ge 0},{\ge \alpha})\cr
&\qquad\quad
{}+{(t-1)^{\alpha-1}\over
t^{\alpha-1}}G({= \alpha-1},{\ge 1},{\ge \alpha})\cr
&\qquad\quad{}+\cdots+
{(t-1)\over t}G({=1},{\ge 1},{\ge 2})+
G({=0},{\ge 1},{\ge 1}).\cr
}
$$
Si $\beta =0$, on a
$G({\ge \alpha},{\ge 0},{\ge \alpha})
=G({=\alpha},{=0},{=\alpha})=F(\alpha,0)
=t^\alpha Q^{\alpha\choose 2}$ et toutes les quantit\'es de la
forme $G({=i},{\ge 1},{\ge i+1})$ sont nulles. Puisque
$u_{\alpha,0}=Q^{\alpha\choose 2}$, on obtient
$$
\leqalignno{W_{\alpha,0}&=u_{1,0}+(t-1)u_{2,0}+\cdots+
(t-1)^{\alpha-2}u_{\alpha-1,0}+t(t-1)^{\alpha-1}
Q^{\alpha\choose 2}\cr
&=u_{1,0}+(t-1)u_{2,0}+\cdots+
(t-1)^{\alpha-2}u_{\alpha-1,0}
+(t-1)^{\alpha-1}u_{\alpha,0}\cr
&\kern8cm{}+(t-1)^\alpha Q^{\alpha\choose 2},\cr
}
$$
qui n'est autre que la formule (3.4) \`a d\'emontrer.

Lorsque $\beta\ge 1$, on peut continuer l'it\'eration de
l'expression (3.11) et du fait que 
$G({\ge \alpha+1},{\ge 0},{\ge \alpha+1})=0$ obtenir 
$$\leqalignno{
W_{\alpha,\beta}
&=u_{1,0}+(t-1)u_{2,0}+\cdots+
(t-1)^{\alpha-1}u_{\alpha,0}\cr
&\qquad\quad
{}+{(t-1)^{\alpha}\over
t^{\alpha}}G({= \alpha},{\ge 1},{= \alpha+1})\cr
&\qquad\quad{}+\cdots+
{(t-1)\over t}G({=1},{\ge 1},{\ge 2})+
G({=0},{\ge 1},{\ge 1}).\cr
}
$$
On it\`ere ensuite chaque expression
$G({=i},{\ge 1},{\ge i+1})$ en faisant usage des relations
$G({=i},{\ge \beta+1},{\ge i+\beta+1})=0$ $(0\le i\le
\alpha)$ et l'on obtient (3.5).\qed

\medskip
Une variante de la m\'ethode it\'erative consiste \`a \'etablir
directement la formule de r\'ecurence (3.1). Notons $F_m$ la
fonction g\'en\'eratrice de {\it toutes} les bipermutations
sign\'ees de longueur~$n$ dont le p.l.f.g.d. est de longueur~$m$
et posons : $G_m=F_m+F_{m+1}+\cdots+F_n$. Partant toujours du
Lemme~3.1, on peut \'etablir la formule it\'erative :
$$\displaylines{\quad
tF_m+G_{m+1}=W_{n-m}(X,Y,t,Q,q)t^m{n\brack m}_Q {n\brack
m}_q \hfill\cr
\hfill
{}\times\sum_{i+j=m}{m\brack i}_Q{m\brack i}_q
Q^{{i\choose 2}+{j\choose 2}}X^i Y^j\quad(n\ge 1),\quad\cr}
$$
qu'on applique \`a
$G_1=W_{n}(X,Y,t,Q,q)$. On en d\'eduit (3.1) en utilisant la
formule aux bornes: 
$$
G_n=t^{n-1}\Bigl(\sum_{i+j=n}
{m\brack i}_Q{m\brack i}_q
Q^{{i\choose 2}+{j\choose 2}}X^i Y^j
+(t-1)X^nQ^{n\choose 2}\Bigr).
$$

Une autre m\'ethode de d\'emonstration des identit\'es (3.2) et
(3.2) s'ap\-puie sur la technique des permutations ``virgul\'ees"
(``commaed") illustr\'ee dans [Ge82], [Ze80], [FoZe91]. Nous ne
reproduisons pas ici cette d\'emons\-tration.


\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 4. La fonction g\'en\'eratrice de Reiner}

\medskip
Dans ce dernier paragraphe, nous montrons comment le calcul
de la fonction g\'en\'eratrice des permutations
sign\'ees par le couple $(\des,l_{\rm Cox})$, dans l'expression
(1.7) que lui a donn\'ee Reiner, se ram\`ene en fait \`a un
calcul sur les permutations {\it ordinaires} par l'interm\'ediaire
des polyn\^omes g\'en\'erateurs
$$\displaylines{
A_{n,k}(t,q)=\sum_{\sigma\in {\cal S}_n}
t^{\des_k \sigma}q^{\inv\sigma}\qquad (0\le k\le n),\cr
\noalign{\hbox{o\`u pour toute permutation $\sigma\in {\cal
S}_n$ on pose:}} 
\des_k\sigma=\cases{\des\sigma,&si $\sigma(n)\le n-k$;\cr
1+\des\sigma,&si $\sigma(n)\ge n-k+1$.\cr}\cr}
$$

Apr\`es quelques manipulations faciles, on montre que le
polyn\^ome g\'en\'erateur $W''_n$ des permutations sign\'ees 
par le couple $(\des,l_{\rm Cox})$ peut s'\'ecrire:
$$
W''_n=\sum_{0\le k\le n} X^k\,q^{k+1\choose 2}\,{n\brack k}_q\,
A_{n,k}(t,q).\leqno(4.1)
$$
Pour prendre en charge le facteur $X^k\,q^{k+1\choose
2}\,{n\brack k}_q$, il n'est donc pas \'etonnant que Reiner ait
d\^u prendre des normalisations peu commodes comme\break
$(-Xq;q)_n\,(q,q)_n$. 

Ensuite le membre de gauche de (1.7), d'apr\`es le r\'esultat de
Stanley [Sta76] ou le th\'eor\`eme 1.1 avec les param\`etres $X=0$,
$l=0$, $L=1$, peut encore s'\'ecrire:
$$\displaylines{
\sum_{l\ge 0} {u^l\over (q;q)_l} A_{l,l}(t,q)
\sum_{m\ge 0} {(u(1-t))^m\over (-Xq;q)_m\,(q;q)_m},\cr
\noalign{\hbox{qu'on pose \'egal \`a}}
\sum_{n\ge 0}{u^n\over (-Xq;q)_n\,(q;q)_n}W^{(3)}_n.\cr}
$$
De nouveau, par des manipulations classiques sur les
$q$-s\'eries, on peut aboutir \`a l'expression:
$$W^{(3)}_n=\!\!\!
\sum_{0\le k\le n} X^k\,q^{k+1\choose 2}\kern-4pt
\sum_{0\le m\le n-k} {n\brack m}\, A_{n-m,n-m}(t,q)
{n-m\brack k}\,q^{mk}(1-t)^m.
$$
Pour d\'emontrer que l'on a $W^{(3)}_n=W''_n$ (donn\'ee en (4.1)),
on voit qu'il suffit d'\'etablir, pour $0\le k\le n$, la formule de
r\'ecurrence: 
$$ 
A_{n,k}(t,q)=\sum_{0\le m\le n-k}
{n-k\brack m}_q\,A_{n-m,n-m}(t,q)\,q^{mk}\,(1-t)^m.
\leqno(4.2)
$$

Cette formule peut \'egalement \^etre d\'emontr\'ee par la m\'ethode
it\'erative illustr\'ee dans le paragraphe pr\'ec\'edent. 
Si une permutation d'ordre~$n$ se termine par un terme au
plus \'egal \`a $(n-k)$, on peut consid\'erer son plus long facteur
droit croissant (p.l.f.d.c.); il est de longueur strictement
positive. Si la permutation se termine par un terme sup\'erieur
ou \'egal \`a $(n-k+1)$, on convient que son p.l.f.d.c. est de
longueur nulle.

Pour $m=0,1,\ldots,n-k$, d\'esignons par $F_m$ la
fonction g\'en\'eratrice de ces permutations dont le p.l.f.d.c est de
longueur $m$ et posons $G_m=F_m+\cdots+F_{n-k}$.
Alors $u_m={n-k\brack m}_q\,A_{n-m,n-m}(t,q)\,q^{mk}$
est la fonction g\'en\'eratrice des permutations dont le p.l.f.d.c.
est de longueur au moins \'egale \`a~$m$, si l'on convient
d'ajouter une descente suppl\'ementaire lorsque le p.l.f.d.c. est
de longueur sup\'erieure ou \'egale \`a~$(m+1)$. On a donc
l'identit\'e:
$$\leqalignno{u_m&=F_m+t\,G_{m+1};\cr
\noalign{\hbox{d'o\`u}}
G_m&=u_m+(1-t)G_{m+1}.&(4.3)\cr}
$$
Comme $A_{n,k}(t,q)=G_0$  et que
$G_{n-k}=A_{k,k}(t,q)\,q^{(n-k)k}$, on en d\'eduit la formule de
r\'ecurrence (4.2) en it\'erant la formule (4.3) \`a partir de~$G_0$.

\vglue 38pt
\centerline{\bf Bibliographie}
{\eightpoint

\bigskip
\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }


%reference pour un article:
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir 
     #3, {\sl #4}, vol.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre:
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    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir  
    {\sl #3}\pointir   #4.\par}}
%reference complementaire:
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
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