Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques: Application à la MHD

Ce cours porte sur l'approximation numérique pour les lois de conservations hyperboliques en utilisant les méthodes de différences finis, de volumes finis et de Galerkin Discontinues en espace. Les discrétisations explicites et implicites seront considérées. Après avoir introduit les méthodes dans le cas scalaire, on les appliquera avec une difficultés progréssive (Maxwell, Euler, MHD) dans le cas 1D. Pour finir, on se focalisera sur le système de la Magnetohydrodynamics (MHD) qui est très utilisé en astrophysique et en physique des plasmas qui présente des difficultés spécifiques. Une serie d'exercices analytiques et numériques en Matlab seront proposés.
Professeur : Prof. Dr. Eric Sonnendrucker
Informations : cours et exercices de Master, Université Technique de Munich.
Mots clés : systèmes hyperboliques, MHD, méthodes de volumes finis, méthodes de Galerkin Discontinues, systèmes de Maxwell, équations d'Euler.
Références :
Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, E. Godlewski et P.A. Raviart, Springer, 1996 .
Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, R.J. Leveque, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2002 .
Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin Methods, D. A. Di Pietro et A. Ern, vol. 69 SMAI Mathématiques et Applications, Springer, 2012.
Travaux dirigés :
TD 1: Equation d'advection et schémas de volumes finis.
TD 2: Méthodes de Galerkin Discontinues pour l'équation d'advection.
TD 3: Méthodes numériques pour des systèmes d'ondes
TD 4: Schémas de volumes finis pour des équations scalaires non linéaires
Correction travaux dirigés :
TD 1: Equation d'advection et schémas de volumes finis. Partie 1, Partie 2
TD 2: Méthodes de Galerkin Discontinues pour l'équation d'advection. Partie 1, Partie 2.
TD 3: Méthodes numériques pour des systèmes d'ondes. Partie 1, Partie 2.
TD 4: Schémas de volumes finis pour des équations scalaires non linéaires, Partie 1, Partie 2.
Travaux pratiques:
TP 1: Méthodes de Galerkin Discontinues pour des équations linéaires.
TP 2: Méthodes de Galerkin Discontinues pour des systèmes non linéaires.


Matlab program: Code Galerkin Discontinu 1D pour les systèmes hyperboliques.
Description: Code Galerkin Discontinu utilisant des polynomes de Lagrange d'ordre arbitraire + une méthode de Runge Kutta SSP d'ordre 1 à 3 pour les équations d'advection, de Maxwell, d'Euler et pour le modèle P1. Grilles non uniformes
Extension en cours: Vitesse d'advection variable, équations de la MHD, de Burgers, schémas AP.