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Cours M2 maths-fondas 2017-2018: Introduction aux schémas affines

• Résumé du cours

  • S1-Généralités sur les anneaux et les idéaux, nilradical et radical de Jacobson, généralités sur les anneaux locaux. Critères pour qu'un anneau soit local. Anneau noethérien. Définition de SpecA et de la topologie de Zariski.
    Spec(A/I) est homéomorphe à V(I) comme espace topologique.
    Si k est un corps k[[t]] est un anneau local complet. C'est aussi un anneau de valuation discrète.
    
    
  • S2-Modules noetheriens, tout quotient et tout sous-module de type fini d'un module de type fini sur un anneau noetherien est de type fini.
    Théorème de la base de Hilbert (Si A est noetherien A[X] est noetherien). En corollaire, une algèbre de type fini sur un corps ou un anneau noetherien est un anneau noetherien.
    Un morphisme d'anneaux induit un morphisme entre les spectres de ces anneaux. Description de la droite affine sur un corps, puis du morphisme de Spec Z[T] vers Spec Z. En TD: décomposition de Jordan Hölder des modules de longueur finie.
    En TD: si A est factoriel, A[X] est factoriel. Les anneaux intègres principaux sont factoriels.
    
    
  • S3-Spec(A[1/f]) est homéomorphe comme espace topologique à l'ouvert D(f) de SpecA. V(I) est contenu dans V(J) ssi J est contenu dans la racine de I.
    Théorème de normalisation de Noether. Si A est une K-algèbre de type fini, les points fermés de Spec A sont donnés par des extensions algébriques finies de K, nullstellensatz dans le cas d'un corps algébriquement clos.
    
    
  • S4-Localisation. Description de Spec(S^{-1}A). Si A est noetherien, S^{-1}A est noetherien. Si M est un A-module, description du noyau de l'application M -> S^{-1}M.
    Produit tensoriel. Construction et propriétés usuelles (transitivité du produit tensoriel, commutation aux sommes directes). Le produit tensoriel est engendré par les tenseurs élémentaires. S^{-1}M est donné par le produit tensoriel sur A par S^{-1}A.
    Produit tensoriel d'algèbres. En TD: si B est une A-algèbre, alors B \otimes_A A[T] est isomorphe à B[T].
    
    
  • S5-Limites inductives, première étude de Hom(.,F), Hom(E,.), exactitude à droite du produit tensoriel, définition de module plat. La platitude se teste sur les localisés par rapport aux idéaux maximaux. La localisation est plate. Les modules libres sont plats.
    
    
  • S6-Composantes irréductibles, points génériques, si A est noetherien, X=Spec A a un nombre fini de composantes irréductibles correspondant aux idéaux premiers minimaux de A. Le point générique d'un anneau intègre correspond à l'idéal nul.
    En TD : utilisation de la factorialité de K[T_1, ...,T_n] si K est un corps, pour trouver les composantes irréductibles.
    Hors Programme de l'examen : Lemme d'Artin-Rees via les gradués. Les anneaux gradués sont aussi HP de l'examen.
    
    
  • S7-Dimension de Krull d'un espace topologique. Codimension d'un fermé dans un espace topologique. Cas particulier : X=Spec A avec A un anneau, dimension de Krull, anneaux artiniens, les anneaux artiniens sont de dimension 0.
    Les anneaux intègres principaux sont de dimension 1. thm de l'idéal principal de Krull.
    Si f est un morphisme fini entre A et B, alors dim A=dim B.
    Si A est intègre et f un élément de A non nul, alors dim(V(f))=dim(A)-1.
    dim(A[T])=dim(A)+1
    
    
  • S8-dimension de Spec A où A est une k-algèbre de type fini, avec k un corps. Soit P un idéal premier de A alors dim(A)=dim(A/P)+ht(P) pour tous les idéaux premiers P. Si P est un idéal maximal de A, alors dim(A)=dim(A_P) le localisé de A en cet idéal maximal.
    Module des différentielles de Kähler : Définition et construction de Omega_{A/R}, avec A une R-algèbre. Cas particulier où A=R[X_1,...,X_n]. Deux suites exactes fondamentales. Corollaire : calcul de Omega_{A/R} où A=R[X_1,...,X_n]/I avec I un idéal de A.
    Critère jacobien en un point de X=Spec A.
    Cas particulier des morphismes étales. Par définition, ils sont plats et non ramifiés (Omega_{A/R}=0). Si k -> l est une extension de corps séparable, alors Omega{l/k}=0 et cette extension est étale.
    
    
  • S9- X=Spec A est quasi-compact. Anneau local en un point de X, corps résiduel k(x). Si x correspond à un idéal premier P de A, alors k(x)=Frac(A/P). Définition de f(x)\in k(x), évaluation de f au point x pour f dans A, via la composée A -> A/P -> Frac(A/P).
    Notation O_{X,x} pour l'anneau local en un point x de X=Spec A.
    Si M est un A module, M est localement libre si et seulement si ses localisés en tout idéal premier de A sont des modules libres. Pour le module des différentielles, introduction de k(x)\otimes \Omega.
    Si A est une R-algèbre, X=Spec A et S=Spec R, s un point de S, description de la fibre f^{-1}(s) : on a f^{-1}(s)=Spec( A\otimes_R k(s)).
    
    
  • S10- L'anneau local k[[t]] est complet pour la topologie t-adique. Hors programme de l'examen : filtrations, limites projectives et complétion I-adique, cas où A est noetherien. Le complété I-dique d'un anneau noetherien A^ est plat sur A. Si M est un A module de type fini sur A, M^ est A^\otimes M. Si A est local d'idéal maximal M, A^ est local. Enoncé sans démonstration de la classification des anneaux locaux complets d'égale caractéristique et application aux complétés des anneaux locaux aux points des courbes lisses sur un corps k. Si A est un anneau local d'égale caractéristique et t un paramètre local de A, alors A est isomorphe à k[[t]].

• Feuilles d'exercices

  • feuille d'exercices 1 (pdf).
  • feuille d'exercices 2 (pdf).
  • feuille d'exercices 3 (pdf).
  • feuille d'exercices 4 (pdf),
  • feuille d'exercices 5 (pdf), (tex).
  • feuille d'exercices 6 (pdf), (tex).
  • feuille d'exercices 7 (pdf), (tex).
  • feuille d'exercices 8 (pdf), (tex).
  
  
  

• Sources, Références

  A compléter.