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MPA S2 Algèbre 2013
Attention : Page périmée. Voir ici pour MPA S2
Algèbre 2014)
Feuilles d'exercices
- Sous-espaces de R^n, géométrie affine en petite dimension
(feuille d'exercices 1(pdf),
dvi,
tex ), et
(feuille d'exercices 2 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels, familles libres, familles liées de vecteurs
(feuille d'exercices 3 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, génératrices de vecteurs
(feuille d'exercices 4 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires
(feuille d'exercices 5 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires : théorème du rang et matrices,
(feuille d'exercices 6 (pdf),
dvi,
tex ).
- Rang d'une application linéaire, et d'une matrice,
(feuille d'exercices 7 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme,
(feuille d'exercices 8 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme (suite),
(feuille d'exercices 9 (pdf),
dvi,
tex ).
- Enoncé de problème à la maison,
(devoir maison (pdf),
dvi,
tex ).
- Exercices de révision,
(feuille d'exercices 10 (pdf),
dvi,
tex ).
Textes des contrôles
Liste des démonstrations du cours pour
les différents contrôles et examens.
-
Programmes de colles
- Mise en garde. Les colles du lundi et
mardi portent sur le programme de la semaine S-1, les colles du jeudi et vendredi portent sur le
programme de la semaine S. Je demande qu'une question de cours facile concernant la
semaine S ou S-1 soit posée : elle doit être bien traitée. La note doit refléter le
travail fourni par l'étudiant. En particulier, il faut sanctionner le fait que le
cours ne soit pas connu.
- Semaine du 28 janvier 2013 : sous-espaces vectoriels et affines de R^n,
définitions, les sous-espaces vectoriels sont stables par combinaison
linéaire, barycentres, définitions et propriétés du produit scalaire et
mixte.
- Semaine du 4 février 2013 : revoir programme semaine précédente, espaces
vectoriels, sous-espaces vectoriels, sous-espaces supplémentaires, espace
engendré par une partie. En fin de semaine seulement : familles libres et
liées de vecteurs.
- Semaine du 11 février 2013 : espaces vectoriels de dimension finie, théorème de
la base incomplète, dimension d'une somme directe de sous-espaces, fait que si E est
un K-espace vectoriel de dimension n, alors toute famille libre de n vecteurs est
une base, et toute famille libre a un cardinal inférieur à n, énoncés analogues pour
les familles génératrices.
- Semaine du 18 février 2013 : applications linéaires, Kerf et Imf sont des
sous-espaces vectoriels des espaces de départ et d'arrivée respectivement, caractérisation de
l'injectivité à l'aide du noyau, de la surjectivité à l'aide de l'image. Définition
des projecteurs et des symétries vectoriels en dimension finie, et caractérisation :
les projecteurs sont les applications linéaires vérifiants pop=p et les symétries
vectorielles sont les involutions. En dimension finie, une application linéaire est
définie par l'image des éléments d'une base. Peut-être : énoncé sans démonstration
du théorème du rang. Le lien avec les matrices n'a pas encore été fait.
- Semaine du 4 mars 2013 : théorème du rang pour les applications linéaires en
dimension finie, formes linéaires et hyperplans vectoriels (deux formes linéaires
sont proportionnelles si et seulement si elles ont même noyau), matrice d'une application linéaire,
matrice de changement de base, application au calcul pratique
de la matrice d'un projecteur ou d'une symétrie vectorielle.
- Semaine du 11 mars 2013 : matrices de changement de base, application au calcul
de la matrice d'un projecteur ou d'une symétrie vectoriels, rang d'une application
linéaire, rang d'une matrice, deux matrices ont même rang si et seulement si elles
sont équivalentes, transposition, matrices symétriques et anti-symétriques, ces deux
sous-espaces vectoriels sont en somme directe.
- Semaine du 18 mars 2013 : peu de cours cette semaine : deux matrices
équivalentes ont même rang, le rang peut être déterminé à partir des
sous-déterminants d'une matrice, étude des premières propriétés de la trace. Deux
matrices semblables ont même trace.
- Semaine du 25 mars 2013 : définition de vecteur propre er de valeur propre
d'un endomorphisme (et d'une matrice). Définition du sous-espace propre associé à
une valeur propre. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres
distinctes sont en somme directe. Définition d'endomorphisme (et d'une matrice)
diagonalisable. Un scalaire a est une valeur propre d'un endomorphisme f ssi
Ker(f-aId) est non nul. Pas encore de polynôme caractéristique.
- Semaine du 1er avril 2013 : pas de nouveau cours cette semaine, à cause du
lundi de Pâques.
- Semaine du 8 avril 2013 : Polynôme caractéristique d'une matrice et d'un endomorphisme. Toute valeur
propre d'un endomorphisme est racine du polynôme caractéristique. En particulier, en
dimension n, un endomorphisme a au plus n valeurs propres. Polynôme caractéristique
d'une matrice compagnon. Toute matrice ayant n valeurs propres distinctes est
diagonalisable. Une matrice est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique est
scindé et si la multiplicité des racines du polynôme caractéristique est la
dimension du sous-espace propre correspondant.
Trigonalisation : une matrice est
trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé. Corollaire : sur le corps
des nombres complexes, la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est
inférieure à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique.
- Pas de cours du tout la semaine du 22 avril.
- Semaine du 29 avril : peu de cours. Construction du corps C comme
sous-matrices 2x2 de M_2( R ). Déterminant de van der Monde.
-
Sources
Beaucoup d'exercices viennent du site
exo7. Que les auteurs soient ici
remerciés.