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MPA S2 Algèbre 2014
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Programmes de colles
- Mise en garde. Les colles portent sur le programme des deux semaines
précédentes. Je demande qu'une question de cours facile concernant
ces deux semaines de cours soit posée : elle doit être bien traitée. La note doit refléter le
travail fourni par l'étudiant. En particulier, il faut sanctionner le fait que le
cours ne soit pas connu.
Comme les étudiants ne sont pas très à l'aise avec les nombres complexes
(notamment la notation exponentielle), je recommande de poser des exercices utilisant les
nombres complexes.
- Semaines des 28 avril et 5 mai 2014 (F. Lecomte). Diagonalisation, en privilégiant les dimensions 2 et 3.
- Semaine du 7 avril 2014 (F. Lecomte). théorème du rang, matrices d'une application linéaire,
changement de bases.
- Semaine du 31 mars 2014 (F. Lecomte). Applications linéaires, théorème du rang;
matrice associée à une application linéaire et formules de changement de bases.
- Semaine du 17 et 24 mars 2014 (F. Lecomte). Applications linéaires, espace vectoriel des applications linéaires.
Noyau et image d'une application linéaire. Une matrice à n lignes et m colonnes définit une application linéaire
de R^m dans R^n. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est nul. Projection sur
un sous-espace parallèlement à un supplémentaire. La formule du rang dim(E) = dim Ker(f) + dim Im(f) a été vue
sur des exemples mais non démontrée. Caractérisation des projecteurs (pop=p). Une application
linéaire est injective ssi l'image d'une base est une famille libre, resp. surjective resp. l'image
d'une base est une famille génératrice, resp. bijective l'image d'une base est une base. Très peu
d'exercices ont été faits sur les applications linéaires à cause de contrôle continu de la semaine
dernière. A cause des lacunes sur les complexes, on peut aussi poser en cours la question suivante :
exprimer sinx et cosx comme combinaison linéaire de exp(ix) et exp(-ix).
- Semaine du 10 mars 2014. Définition d'espace affine, espace vectoriel associé à un espace
affine. Pour R^n : barycentre, associativité des barycentres.
Fin de la dimension. Dimension des sous-espaces vectoriels.
Tout sev d'un ev E admet un supplémentaire. Condition d'égalité de deux sev.
calcul de dim(E+F). Application à l'étude générale
des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. J'ai indiqué comment trouver une base
de cet espace : les étudiants doivent savoir appliquer ce résultat.
- Semaine du 3 mars 2014. Théorie de la dimension. Le résultat suivant (théorème de
la base incomplète) a été démontré,
mais la démonstration (difficile) ne doit pas être demandée : toute famille
libre d'une famille génératrice d'un espace vectoriel E, peut-être complétée en une base de E.
Autre théorème : toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont même cardinal.
Autres énoncés sur la dimension finie : en dimension n, toute famille libre a au plus n éléments,
toute famille liéé au moins n éléments. Une famille libre à n éléments est une base. Une famille
génératrice à n éléments est une base.
- Semaine du 17 février 2014. Familles liées de vecteurs. Bases. Caractérisation des bases.
Etant donnée une famille libre de n vecteurs (e_1,...,e_n), la famille (e_1,...,e_n,u) est liée
ssi u est dans Vect(e_1,...,e_n).
- Semaine du 10 février 2014. Matrices échelonnées et bien échelonnées. Application au calcul de l'inverse
d'une matrice. La seule question de cours possible sur ce chapitre est l'équivalence suivante :
le produit de matrices AB est inversible ssi A et B sont inversibles.
Définition d'espace vectoriel. Exemples d'espaces vectoriels : K^n, fonctions, polynômes,
suites, matrices. Combinaison linéaire de vecteurs. Définition de sous-espace vectoriel.
Vect(e_1,...,e_n) est un sous-espace vectoriel. Définition de famille libre d'éléments de E.
- Semaine du 3 février 2014. A.(^t comA)=detA . Id. A inversible ssi detA non nul. Déterminant
de Van der Monde. Définition de la transposition de matrices et propriétés : linéarité,
involutivité (^t(^t A)=A), ^t(AB)=^tB ^tA. det(AB)=det(A)det(B).
- Semaine du 27 janvier 2014. Définition d'une permutation de S_n, signature. Le groupe S_n
n'est pas étudié systématiquement. La signature vaut +1 ou -1 et la signature d'un produit est le
produit des signatures.
Construction du déterminant.
Questions de cours exigibles sur la construction du déterminant (et seulement
celles-ci):
définition d'une n-forme linéaire alternée. Si on a une n-forme linéaire alternée, alors le
déterminant change de signe quand on permute deux colonnes. Démonstration des formules de variation du déterminant
après transformations élémentaires sur les colonnes (et les lignes par passage à la matrice
transposée). Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne (sans
démonstration : provient de la construction). La formule générale donnant le déterminant doit
être connue (sans démonstration). det(A)=det(^t A). Règle de Sarrus comme illustration de la formule
générale.
- CC du 15 mai 2014. Programme : tout ce qui a été vu en algèbre linéaire ce trimestre.
Ni espaces affines, ni barycentres. Voici la liste des questions de
cours possibles pour ce contrôle terminal.
- CC du 24 mars 2014. Programme : tout ce qui a été vu depuis début janvier
jusqu'au jeudi 20 mars, sauf le cours sur les espaces affines du 13 mars. Les barycentres ne sont
pas au programme du CC. Voici la liste des questions de
cours possibles pour ce contrôle.
- Conseils de lectures:
Feuilles d'exercices
- Déterminants (feuille d'exercices 0 (pdf),
dvi,
tex ).
- Sous-espaces de R^n, géométrie affine en petite dimension
(feuille d'exercices 1(pdf),
dvi,
tex ), et
(feuille d'exercices 2 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels, familles libres, familles liées de vecteurs
(feuille d'exercices 3 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, génératrices de vecteurs
(feuille d'exercices 4 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires
(feuille d'exercices 5 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires : théorème du rang et matrices,
(feuille d'exercices 6 (pdf),
dvi,
tex ).
- Rang d'une application linéaire, et d'une matrice,
(feuille d'exercices 7 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme,
(feuille d'exercices 8 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme (suite),
(feuille d'exercices 9 (pdf),
dvi,
tex ).
- Enoncé de problème à la maison,
(devoir maison (pdf),
dvi,
tex ).
- Exercices de révision,
(feuille d'exercices 10 (pdf),
dvi,
tex ).
Contrôles 2014
Textes des contrôles passés
Liste des démonstrations du cours pour
les différents contrôles et examens.
Cette liste est donnée par chapitre. Aucune question de cours
ne sera posée sur les chapitres non encore étudiés.
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Sources
Beaucoup d'exercices viennent du site
exo7. Que les auteurs soient ici
remerciés.