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MPA S2 Algèbre 2015
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Programmes de colles
- Deux dernières semaines de cours : suites récurrentes d'ordre 2. L'espace de ces suites est de dimension 2 et on
a calculé une base. Définition de vecteur propre, de valeur propre. Un scalaire x est valeur propre d'un endomorphisme u
si et seulement si il est racine du polynome caractéristique de u. Définition de matrices semblables. Deux matrices semblables
ont même trace, même déterminant et même polynôme caractéristique. Définition de matrices équivalentes. Deux matrices
sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang. Réduction des endomorphismes en dimension 2, application
aux suites récurrentes et au calcul de A^n où A est une matrice 2x2.
- Semaines du 23 mars au 6 avril 2015.
Matrices d'une application linéaires : théorèmes de changements de base, définition de matrices
semblables. Rang d'une matrice : j'ai démontré
que le rang était le rang des vecteurs colonnes, le rang des vecteurs lignes d'une matrice. Calcul du rang à l'aide
de la matrice bien échelonnée associée. Le rang d'une matrice est donné par le plus grand sous-déterminant
non nul d'une matrice. Si une matrice est de rang r, elle est équivalente à une matrice
dont r termes diagonaux sont égaux à 1, et tous les autres termes sont nuls. Définition de vecteur propre
et de valeur propre. Critère: Soit A une matrice carrée de rang n, $\lambda$ est valeur propre si et
seulement si rang(A-\lambda Id)est inférieur à n-1,
si et seulement si det(A-\lambda Id)=0. Seuls ce critère et ces définitions
ont été donnés.
- Semaines du 9 et du 16 mars 2015. Applications linéaires, projecteurs. Caractérisation des
projecteurs. Les étudiants doivent savoir montrer que si pop=p, alors p est un projecteur sur Im(p)
parallèlement à Ker(p). Théorie de la dimension finie : la démonstration du théorème de la base
incomplète est hors programme, ainsi que la démonstration de la caractérisation de la dimension
infinie. A partir de ce théorème, j'ai montré les énoncés suivants : Si F est un sous-espace d'un espace
vectoriel E de dimension finie, alors F est de dimension finie, dimF est plus petit que dimE avec
égalité si et seulement si E=F. Si dimE=n, une famille libre d'elements de E a au plus n vecteurs,
c'est une base ssi elle possède n vecteurs, énoncés analogues pour les familles génératrices.
Si F et G sont deux sev de E, calcul de dim(F+G).
Pour les endomorphismes : f une application linéaire, f est injective ssi elle envoie une base sur
une famille libre, (resp. surjective ssi elle envoie une base sur
une famille génératrice, resp. bijective : une base est envoyée sur une base). Le théorème
du rang a seulement été énoncé mais la démonstration de ce théorème n'est pas exigible. La
définition de matrice d'une application linéaire a été donnée, mais seulement la définition
(je n'ai pas vérifié la compatibilité avec la composition des applications linéaires).
Formes linéaires. Deux formes linéaires sont proportionnelles si et seulement si elles ont même noyau.
- Semaines du 16 février et du 2 mars 2015. Espaces Vectoriels. Définitions, sous-espaces
vectoriels, espace vectoriel engendré par une partie (notation Vect), intersection d'espaces
vectoriels, somme et somme somme directe d'espaces vectoriels. Familles libres de vecteurs,
familles génératrices de vecteurs, définition de base. Applications linéaires : définitions,
le noyau et l'image sont des sous-espaces vectoriels, une application linéaire est injective
si et seulement si son noyau est nul. Notation : L(E,F). Structure d'espace vectoriel de
L(E,F). Je n'ai pas fait d'exercices sur les applications linéaires : il est préférable de ne
pas en donner sur ce sujet. Tester la linéarité d'une application doit cependant être connu, ainsi que le
fait que Ker(f) est un espace vectoriel si f est linéaire.
- Semaines du 2 et 9 février 2015.
Construction du déterminant. Pour simplifier les notations, la construction a été donnée pour n=4.
Ne pas tenir rigueur aux étudiants de ce choix. Questions de cours exigibles sur la construction du déterminant
(et seulement celles-ci):
définition d'une n-forme linéaire alternée. Si on a une n-forme linéaire alternée, alors le
déterminant change de signe quand on permute deux colonnes. Démonstration des formules de variation du déterminant
après transformations élémentaires sur les colonnes (et les lignes par passage à la matrice
transposée). Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne (sans
démonstration : provient de la construction). La formule générale donnant le déterminant doit
être connue (sans démonstration). det(A)=det(^t A). Règle de Sarrus comme illustration de la formule
générale. det(AB)=det(A)det(B), comatrice. La formule donnant l'inverse d'une matrice en fonction
de la comatrice doit être connue sans démonstration. A est inversible si et seulement si det(A) est
non nul. Déterminant d'une matrice triangulaire, déterminant par blocs. Déterminant de van der Monde.
- Semaines du 19 et du 26 janvier 2015.
Cours très basique sur les permutations. Sur les permutations : savoir démontrer que la
signature est un morphisme de groupes. Il faut aussi savoir calculer la signature d'une
permutation donnée.
Cours sur les matrices : définitions de base, matrice transposée (pour les matrices carrées), inverse, notion
de matrice bien échelonnée. Définition du rang à l'aide de la matrice bien échelonnée associée à une matrice.
Applications au calcul de l'inverse d'une matrice, au calcul du rang (pour l'instant on ne fait que des opérations sur les lignes)
et à la résolution de systèmes linéaires.
Préparation Contrôles MPA 2015
- Conseils de lectures:
Feuilles d'exercices
- Permutations (feuille d'exercices -1 (pdf),
dvi,
tex ).
- Déterminants (feuille d'exercices 0 (pdf),
dvi,
tex ).
- Sous-espaces de R^n, géométrie affine en petite dimension
(feuille d'exercices 1(pdf),
dvi,
tex ), et
(feuille d'exercices 2 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels, familles libres, familles liées de vecteurs
(feuille d'exercices 3 (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, génératrices de vecteurs
(feuille d'exercices 4 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires
(feuille d'exercices 5 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires : théorème du rang et matrices,
(feuille d'exercices 6 (pdf),
dvi,
tex ).
- Rang d'une application linéaire, et d'une matrice,
(feuille d'exercices 7 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme,
(feuille d'exercices 8 (pdf),
dvi,
tex ).
- Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme (suite),
(feuille d'exercices 9 (pdf),
dvi,
tex ).
- Enoncé de problème à la maison,
(devoir maison (pdf),
dvi,
tex ).
- Exercices de révision,
(feuille d'exercices 10 (pdf),
dvi,
tex ).
Contrôles MPA 2015
Contrôles MPA 2014
Contrôles MPA 2013
Liste des démonstrations du cours pour
les différents contrôles et examens.
Cette liste est donnée par chapitre. Aucune question de cours
ne sera posée sur les chapitres non encore étudiés.
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Sources
Beaucoup d'exercices viennent du site
exo7. Que les auteurs soient ici
remerciés.