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MPA S2 Algèbre

• Liste des démonstrations de cours à savoir pour les contrôles continus

  
  
  • Définition du barycentre de k points, affecté de coefficients dont la somme n'est pas nulle.
  • Propriétés du produit scalaire de vecteurs de R^n
  • Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit mixte est nul
  • Dans un espace vectoriel, si x est un vecteur, et vec{0} le vecteur nul, 0.x=vec{0}. Pour tout scalaire \alpha, \alpha.vec{0}=vec{0}.
  • Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont en somme directe si et seulement si leur intersection est nulle et si E=F+G.
  • Dans un espace vectoriel de dim. n, toute famille libre a au plus n éléments et toute famille génératrice a au moins n éléments.
  • Si E est de dimension n, tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie p inférieur ou égal à n. De plus, F est égal à E si et seulement si n=p.
  • Tout sous-espace vectoriel F d'un espace de dimension finie E admet un supplémentaire.
  • Si F, G sont contenus dans E, H leur intersection, dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(H).
  • f une application linéaire, alors f est injective si et seulement si Ker(f)=0.
  • f une application linéaire de E vers F, alors f est surjective si et seulement si Im(f)=F.
  • f une application linéaire de E vers F, alors dim(E)=dim(Kerf)+dim(Imf) (théorème du rang)
  • f de E vers F, (u_1, ..., u_n) une base de E. caractérisation du fait que f est injective, bijective et surjective en fonction de (f(u_1), ..., f(u_n)).
  • formules de changement e base (sans démonstration).
  • M_n(K) est somme directe de l'espace vectoriel des matrices symétriques et anti-symétriques.
  • Deux matrices semblables ont même trace.
  • A savoir, mais sans la démonstration : deux matrices A etB ont même rang si et seulement si elles sont équivalentes (il existe P,Q deux matrices inversibles si et seulement si A=P^{-1}BQ).
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement si sa transposée est inversible.
  • Le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée.
  • u un endomorphisme d'un espace vectoriel E, alors le scalaire a est valeur propre de u ssi (Ker(u-aId)=0) ou encore ssi a est racine du polynôme caractéristique de u.
  • critère de diagonalisabilité d'un endomorphisme u : u un endomorphisme de E est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut dimE.
  • soit u un endomorphisme de E, alors u est trigonalisable ssi son polynome caractéristique est scindé (sans démonstration).
  • soit u un endomorphisme de E, a une valeur propre de u, n l'exposant de (X-a)^n dans le polynôme caractéristique de u, alors la dimension de l'espace propre associé à a est inférieure ou égale n. Sachez donner des exemples où il y a égalité dim(E_a)=n et où dim(E_a) est strictement plus petit que n.