GRUPOS CUÁNTICOS

Christian Kassel

Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université Louis Pasteur - C.N.R.S., 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France

Abstract. These notes provide a concise introduction to the theory of quantum groups from the point of view of braided tensor categories. They were written for a course given in 1994 during the XI^{o} Coloquio Latinoamericano de Álgebra in Mendoza, Argentine.

Mathematics Subject Classification (1991): 16W30, 17B37, 18D10, 20F36, 81R50

Estas son las notas del curso que dí en Agosto de 1994 en el XI^{o} Coloquio Latinoamericano de Álgebra en Mendoza, Argentina. El objetivo de éste fue dar una introducción a la teoría de los grupos cuánticos desde el punto de vista de las categorías.

Los grupos cuánticos de los que hablamos son las llamadas “álgebras envolventes cuánticas” de Drinfeld-Jimbo. Estas son deformaciones formales de las álgebras envolventes de las álgebras de Lie semisimples. La definición de estas álgebras es bastante complicada; lo haremos solo en el caso más simple, cuando el álgebra de Lie es 𝔰𝔩(2). Las álgebras envolventes cuánticas tienen una propiedad común muy importante: sus categorías de módulos son categorías trenzadas. Este último concepto es el más estudiado en este curso. También consideraremos otras categorías trenzadas interesantes, que no son categorías de módulos, como las construídas con objetos 1-dimensionales en el plano.

El contenido de estas notas es el siguiente. Empezamos definiendo categorías trenzadas, ilustrando este concepto con dos tipos de ejemplos:

(i) el primer ejemplo serán categorías de módulos sobre ciertas álgebras, llamadas biálgebras trenzadas. Las álgebras envolventes cuánticas de Drinfeld-Jimbo son de este tipo.

(ii) construiremos la categoría trenzada B utilizando ciertos objetos 1-dimensiona-les en el plano, llamados trenzas. La categoría B es universal entre todas las categorías trenzadas.

Después haremos una construcción categórica del doble cuántico de Drinfeld. El método mostrado aquí es más conceptual y más fácil de entender que la construcción original de Drinfeld. Esto nos permitirá obtener la R-matriz universal para el álgebra envolvente cuántica de 𝔰𝔩(2).

En la Lección IV damos una versión infinitesimal del concepto de categoría trenzada, esto es, el concepto de una categoría infinitesimal simétrica. La categoría de módulos sobre un álgebra de Lie semisimple es un ejemplo de estas categorías. Existe una categoría simétrica infinitesimal universal A, que también construiremos en estas notas.

Terminamos este curso mostrando cómo construir una categoría trenzada dada cualquier categoría infinitesimal simétrica. Por un importante teorema de Drinfeld, si aplicamos este método a la categoría de módulos sobre un álgebra de Lie semisimple, recuperamos la categoría de módulos sobre la correspondiente álgebra envolvente cuántica. Por otro lado, considerando la categoría A de la Lección IV, tenemos una representación universal del grupo de trenzas.

Mi cálido agradecimiento a Silvia Cécere, María Julia Redondo y Andrea Solotar quienes me ayudaron a escribir estas notas y las tradujeron al español.

El plan de este curso es el siguiente.

Lección I. Categorías tensoriales I.1. Definición I.2. La categoría de los espacios vectoriales I.3. Módulos sobre una biálgebra I.4. El álgebra envolvente cuántica de 𝔰𝔩(2) I.5. Una categoría de dibujos

Lección II. Categorías trenzadas II.1. Definición II.2. La ecuación de Yang-Baxter II.3. Biálgebras trenzadas II.4. El caso U_{h}(𝔰𝔩(2)) II.5. Grupos de trenzas: definición algebraica II.6. Descripción topológica de las trenzas II.7. La categoría trenzada universal

Lección III. El doble cuántico III.1. Definición III.2. Aplicación a la categoría de A-módulos III.3. Bimódulos cruzados en el caso 𝔰𝔩(2)

Lección IV. Trenzados infinitesimales IV.1. Definición IV.2. Trenzados infinitesimales sobre categorías de módulos IV.3. Un ejemplo gráfico

Lección V. Integración de categorías simétricas infinitesimales V.1. Categorías trenzadas revisitadas V.2. Series de Drinfeld V.3. La construcción de Drinfeld-Cartier V.4. El teorema fundamental de Drinfeld V.5. Una representación universal del grupo de trenzas

Bibliografía

Lección I. Categorías tensoriales

I.1. Definición. Recordamos una definición clásica (ver [Mac71], [Kas95], Capítulo XI).

Definición 1. Una categoría tensorial C es una categoría provista de un producto tensorial ⊗ : C×C → C, esto es, dados objetos V, W de la categoría, V ⊗W es un objeto de C, y dados morfismos f : V → V′ y g : W → W′, se le asocia un morfismo f ⊗ g : V ⊗ W → V′ ⊗ W′ de C que verifica:

(i) ⊗ es asociativo en los objetos y en los morfismos,

(ii) id_{V ⊗W} = id_{V} ⊗ id_{W}, V, W de C,

(iii) Si V, V′, V′′, W, W′, W′′ son objetos de C, y f : V → V′, g : W → W′, f′ : V′ → V′′, g′ : W′ → W′′ son morfismos de C, entonces

(f′ ⊗ g′) ∘ (f ⊗ g) = (f′ ∘ f) ⊗ (g′ ∘ g),

(iv) Existe un objeto I de C tal que I ⊗ V = V ⊗ I = V, para todo objeto V, y id_{V} ⊗ f = f ⊗ id_{I} = f para todo morfismo f en C.

I.2. La categoría de los espacios vectoriales. Si k es un cuerpo, C la categoría de k-espacios vectoriales, ⊗ el producto tensorial usual, entonces C es una categoría tensorial con I = k.

Sea G un grupo. Es claro que la subcategoría de espacios vectoriales con una acción a izquierda de G es también tensorial. El producto tensorial es el mismo que en el caso de los espacios vectoriales. Además, si V y W son G-módulos, entonces V ⊗_{k} W es un G-módulo con la acción

g(v ⊗ w) = gv ⊗ gw  (1.1)

para todo g ∈ G, v ∈ V y w ∈ W. El grupo actúa trivialmente en el espacio vectorial unidimensional k, es decir, gv = v para todo g ∈ G y v ∈ k.

I.3. Módulos sobre una biálgebra. La categoría de G-módulos es un caso particular de la categoría A-mod de módulos a izquierda sobre una k-álgebra A, asociativa y con unidad, tomando en este caso A = k[G] el álgebra de grupo.

Ahora buscamos condiciones sobre la k-álgebra A que impliquen que A-mod es una subcategoría tensorial de la categoría de los espacios vectoriales. Si V, W son A-módulos, entonces V ⊗_{k} W es un A⊗A-módulo. Si existe un morfismo de k-álgebras Δ : A → A⊗A, entonces V ⊗_{k} W resulta un A-módulo definiendo para a ∈ A, v ∈ V y w ∈ W

a(v ⊗ w) = Δ(a)(v ⊗ w) = ∑_{(a)} a′v ⊗ a′′w  (1.2)

si Δ(a) = ∑_{(a)} a′ ⊗ a′′. Es fácil ver que para que se cumplan (i–iii) de la Definición 1, el morfismo Δ debe ser coasociativo, es decir que

(Δ ⊗ id_{A})Δ = (id_{A} ⊗ Δ)Δ.  (1.3)

Como objeto I hay que tomar al cuerpo k. Para que k sea un A-módulo, necesitamos un morfismo de k-álgebras ε : A → k. Entonces k resulta un A-módulo definiendo para a ∈ A, v ∈ k

av = ε(a)v.  (1.4)

Tenemos tambien las relaciones

(ε ⊗ id_{A})Δ = (id_{A} ⊗ ε)Δ = id_{A}.  (1.5)

Una terna (A, Δ, ε) satisfaciendo Condiciones (1.3) y (1.5) se llama una biálgebra. Los morfismos Δ y ε son la comultiplicación y la counidad de la biálgebra A.

El álgebra de grupo k[G] de I.2 es una biálgebra con comultiplicación y counidad dadas por

Δ(g) = g ⊗ g y ε(g) = 1  (1.6)

para todo g ∈ G.

El álgebra envolvente U(𝔤) del álgebra de Lie 𝔤 es también una biálgebra, con comultiplicación y counidad dadas por

Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x y ε(x) = 0  (1.7)

para todo x ∈ 𝔤. Por lo tanto, la categoría U(𝔤)-mod de 𝔤-módulos es también un subcategoría tensorial de la categoría de los espacios vectoriales.

En estos ejemplos se verifica que Δ = Δ^{op}, donde Δ^{op} = σ ∘ Δ, y σ es la trasposición (12). En este caso, (A, Δ, ε) se llama una k-biálgebra coconmutativa. Veremos ahora un ejemplo de una biálgebra que no es conmutativa ni coconmutativa.

I.4. El álgebra envolvente cuántica de 𝔰𝔩(2). Los primeros ejemplos de biálgebras eran conmutativos o coconmutativos. Drinfeld y Jimbo [Dri87], [Jim85] construyeron ejemplos naturales de biálgebra no conmutativa ni coconmutativa, a partir de las álgebras de Lie semisimples 𝔤, que vamos a describir para el caso 𝔤 = 𝔰𝔩(2).

Recordemos que

𝔰𝔩(2) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2}(C) | a + d = 0\}

y está generada como álgebra por H, X, Y, donde

H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , X = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) y Y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

con las relaciones

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, [X, Y] = H.  (1.8)

Llamamos U_{h}(𝔰𝔩(2)) a la C[[h]]-álgebra generada por X, Y, H con las relaciones

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y  (1.9)

y

[X, Y] = \frac{exp(hH/2) − exp(−hH/2)}{exp(h/2) − exp(−h/2)} = \frac{sinh(hH/2)}{sinh(h/2)}.  (1.10)

La estructura de biálgebra está definida por la comultiplicación Δ y la counidad ε:

Δ(H) = 1 ⊗ H + H ⊗ 1,  (1.11)
Δ(X) = X ⊗ exp(hH/4) + exp(−hH/4) ⊗ X,  (1.12)
Δ(Y) = Y ⊗ exp(hH/4) + exp(−hH/4) ⊗ Y,  (1.13)
ε(H) = ε(X) = ε(Y) = 0.  (1.14)

Es evidente que U_{h}(𝔰𝔩(2)) no es conmutativa ni coconmutativa. Además [X, Y] ≡ H módulo h. Más generalmente, para h = 0 recuperamos el caso clásico, esto es,

U_{h}(𝔰𝔩(2))/hU_{h}(𝔰𝔩(2)) ≅ U(𝔰𝔩(2))  (1.15)

como biálgebras.

I.5. Una categoría de dibujos. En los ejemplos de categorías que hemos visto, nunca especificamos los morfismos porque era claro a quienes nos referíamos. Ahora describiremos una categoría D de naturaleza completamente diferente, para la cual la información esencial está en los morfismos, no en los objetos.

Los objetos de la categoría D son los números naturales. Un morfismo en D del objeto m en el objeto n es cualquier figura que uno quiera dibujar con las siguientes propiedades: la figura está en la banda horizontal R × [0, 1]; tiene extremos, que son intervalos topológicos, que unen m puntos distintos de la recta R × {0} con n puntos distintos de la recta R × {1}. Consideramos el conjunto de las figuras a menos de homeomorfismos, con los extremos fijos.

La composición en D está dada por: sean f : m → n y g : n → p morfimos en D representados por figuras D y D′ respectivamente. Por definición, D tiene n extremos superiores y D′ tiene la misma cantidad de extremos inferiores. La composición g ∘ f es la clase de homeomorfismo de la figura que se obtiene poniendo D′ arriba de D, pegando los correspondientes extremos, y comprimiendo la figura resultante en la banda R × [0, 1]. La identidad de un objeto n > 0 esta representada por la unión {1, …, n}×[0, 1] de intervalos. La identidad del objeto 0 es la figura vacía.

Afirmamos que D es una categoría tensorial. En los objetos, el producto tensorial está dado por la adición: m ⊗ n = m + n. En los morfismos, se define así: sean f : m → n y g : p → q morfismos de D representados por figuras D y D′ respectivamente. Definimos f ⊗g como la clase de homeomorfismo de la figura obtenida poniendo D′ a la derecha de D, de tal manera que ambas figuras sean disjuntas. El lector puede verificar que todos los axiomas de la Definición 1 se satisfacen. Es claro que 0 es el objeto unidad. Observar que su conjunto de endomorfimos es muy grande: es el conjunto de clases de homeomorfismo de todas las figuras en la banda abierta R×] 0, 1[.

La categoría D es anecdótica. Fue desarrollada para este curso, solo para considerar un ejemplo sencillo muy diferente a los usuales. De todos modos, en lo que sigue encontraremos otras dos categorías de figuras construídas en esta forma. Ambas serán muy importantes en la teoría de grupos cuánticos.

Lección II. Categorías trenzadas

II.1. Definición. El siguiente concepto es fundamental para este curso.

Definición 2. Dada una categoría tensorial C, un trenzado de C es una familia de isomorfismos

c_{V,W} : V ⊗ W → W ⊗ V

para todos los objetos V, W de C tales que:

(i) Si f : V → V′, g : W → W′,

c_{V′,W′} ∘ (f ⊗ g) = (g ⊗ f) ∘ c_{V,W} .  (2.1)

(ii) Los siguientes triángulos conmutan:

\begin{aligned}U ⊗ V ⊗ W & ⟶^{c_{U⊗V,W}} & W ⊗ U ⊗ V \\ id_{U} ⊗c_{V,W} ↘ & & ↗ c_{U,W} ⊗id_{V} \\ & U ⊗ W ⊗ V \end{aligned}  (2.2)

y

\begin{aligned}U ⊗ V ⊗ W & ⟶^{c_{U,V ⊗W}} & V ⊗ W ⊗ U \\ c_{U,V} ⊗id_{W} ↘ & & ↗ id_{V} ⊗c_{U,W} \\ & V ⊗ U ⊗ W \end{aligned}  (2.3)

para todos los objetos U, V, W. Una categoría tensorial C provista de un trenzado se dice una categoría trenzada.

Si C es la categoría de k-espacios vectoriales, y c_{V,W} : V ⊗W → W ⊗V es la trasposición σ_{V,W} (v ⊗ w) = w ⊗ v, la categoría C resulta una categoría trenzada.

II.2. La ecuación de Yang-Baxter.

Proposición 1. En una categoría trenzada, el siguiente hexágono conmuta para todo objeto U, V, W:

U ⊗ V ⊗ W ⟶^{c_{U,V} ⊗id_{W}} V ⊗ U ⊗ W
id_{U} ⊗c_{V,W} ↓  ↓ id_{V} ⊗c_{U,W}
U ⊗ W ⊗ V  V ⊗ W ⊗ U
c_{U,W} ⊗id_{V} ↓  ↓ c_{V,W} ⊗id_{U}
W ⊗ U ⊗ V ⟶^{id_{W} ⊗c_{U,V}} W ⊗ V ⊗ U

Demostración.— Observar que si completamos el hexágono con las flechas c_{U,V ⊗W} y c_{U,W ⊗V}, entonces los triángulos conmutan. Ahora basta ver que el rectángulo interior conmuta, y esto es inmediato a partir de la relación (2.1). □

Corolario 1. Para todo objeto V en una categoría trenzada, el automorfismo c = c_{V,V} de V ⊗ V satisface la ecuación de Yang-Baxter

(c ⊗ id)(id ⊗ c)(c ⊗ id) = (id ⊗ c)(c ⊗ id)(id ⊗ c)  (2.4)

Los grupos cuánticos fueron construídos originariamente para encontrar soluciones a la ecuación de Yang-Baxter (ver [Dri87]).

II.3. Biálgebras trenzadas. Veamos cuándo resulta trenzada la categoría tensorial de A-módulos.

Proposición 2. Sea (A, Δ, ε) una biálgebra y sea C la categoría tensorial de A-módulos. La categoría C es trenzada sí y sólo si existe R ∈ A ⊗ A tal que:

(a) R es inversible en el álgebra A ⊗ A,

(b) para todo a ∈ A

Δ^{op}(a) = RΔ(a)R^{−1},  (2.5)

(c)

(Δ ⊗ id)(R) = R_{13}R_{23} y (id ⊗ Δ)(R) = R_{13}R_{12}  (2.6)

donde R_{12} = R⊗1, R_{23} = 1⊗R y R_{13} = ∑_{(R)} R^{(1)}⊗1⊗R^{(2)} donde R = ∑_{(R)} R^{(1)}⊗R^{(2)}.

Si A satisface las condiciones de la proposición 2, A se llamará una biálgebra trenzada. Drinfeld [Dri87], [Dri89] usaba la terminología “álgebra cuasitriangular”. El elemento R se llama la R-matriz universal de A. Si A es coconmutativa, por ejemplo, A = k[G] ó A = U(𝔤), puede tomarse R = 1 ⊗ 1 y el trenzado la trasposición σ.

Demostración.— ⇐) Se define c_{V,W} : V ⊗W → W ⊗V a partir de la R-matriz universal por:

c_{V,W} (v ⊗ w) = σ(R(v ⊗ w)) = [R(v ⊗ w)]_{21}  (2.7)

Es claro que c_{V,W} es un isomorfismo que verifica (2.1), y para ver que los triángulos (2.2– 2.3) conmutan, es suficiente usar la condición (2.6) de la proposición.

⇒) Sea R = [c_{A,A}(1 ⊗ 1)]_{21} ∈ A ⊗ A. Como c_{A,A} es un isomorfismo, R es inversible. Observemos también que por la funtorialidad de c, dados v ∈ V y w ∈ W, el siguiente diagrama conmuta:

A ⊗ A ⟶^{c_{A,A}} A ⊗ A
v̄⊗w̄ ↓  ↓ w̄⊗v̄
V ⊗ W ⟶^{c_{V,W}} W ⊗ V

donde v̄ y w̄ son las aplicaciones A-lineales A → V y A → W definidas por v̄(1) = v y w̄(1) = w. Luego

c_{V,W} (v ⊗ w) = c_{V,W} ((v̄ ⊗ w̄)(1 ⊗ 1))
= (w̄ ⊗ v̄)(c_{A,A}(1 ⊗ 1))
= R_{21}(w ⊗ v)
= [R(v ⊗ w)]_{21}.

Por la A-linealidad de c_{V,W}, sigue fácilmente que Δ^{op}(a)R = RΔ(a) para todo a ∈ A. La condición (c) se verifica usando la conmutatividad de (2.2–2.3). □

II.4. El caso U_{h}(𝔰𝔩(2)). El objetivo de este párrafo es describir una subcategoría de U_{h}(𝔰𝔩(2))-módulos que es una categoría trenzada. Recordemos que U(𝔰𝔩(2)) es semisimple, es decir, todo 𝔰𝔩(2)-módulo V de dimensión finita es suma directa de submódulos simples V_{n} con dim V_{n} = n+1 y tales que la acción ρ de 𝔰𝔩(2) sobre V_{n} está dada en una base adecuada por

ρ(H) = ( \begin{matrix}n \\ & n − 2 \\ & & . & . & . \\ & & & & & −n + 2 \\ & & & & & & −n \end{matrix} ) ,

ρ(X) = ( \begin{matrix}0 & n \\ 0 & 0 & n − 1 \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & 0 \end{matrix} ) ,

ρ(Y) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ & & ... & ... \\ & & & n & 0 \end{matrix} ) .

Cada 𝔰𝔩(2)-módulo V_{n} puede ser deformado a un U_{h}(𝔰𝔩(2))-módulo Ṽ_{n} libre de rango n + 1 sobre C[[h]] con la acción

ρ_{h}(H) = ( \begin{matrix}n \\ & n − 2 \\ & & . & . & . \\ & & & & & −n + 2 \\ & & & & & & −n \end{matrix} ) ,

ρ_{h}(X) = ( \begin{matrix}0 & [n] \\ 0 & 0 & [n − 1] \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & [1] \\ & & & & & & 0 \end{matrix} ) ,

ρ_{h}(Y) = ( \begin{matrix}0 \\ [1] & 0 \\ 0 & [2] & 0 \\ & & ... & ... \\ & & & [n] & 0 \end{matrix} ) ,

donde [n] = sinh(nh/2)/ sinh(h/2). Observar que [n] tiende a n cuando h tiende a 0.

Consideremos la categoría U_{h}(𝔰𝔩(2))-mod_{f} cuyos objetos son las sumas directas finitas de los módulos Ṽ_{n}. Dado cualquier 𝔰𝔩(2)-mod V de dimensión finita, notamos Ṽ al único objeto de U_{h}(𝔰𝔩(2))-mod_{f} tal que Ṽ/hṼ = V como 𝔰𝔩(2)-módulo. La categoría U_{h}(𝔰𝔩(2))- mod_{f} es tensorial, con producto tensorial dado por Ṽ ⊗ W̃ = (V ⊗_{k} W).

Teorema 1. La categoría U_{h}(𝔰𝔩(2))-mod_{f} está trenzada, con trenzado inducido por la R-matriz universal

R_{h} = ∑_{ℓ≥0} \frac{(q − q^{−1})^{ℓ}}{[ℓ]!} q^{−ℓ(ℓ+1)/2} exp [\frac{h}{2} (\frac{H ⊗ H}{2} + \frac{1}{2} (ℓH ⊗ 1 − 1 ⊗ ℓH))] (X^{ℓ} ⊗ Y^{ℓ})

donde q = exp(h/2), [ℓ] = (q^{ℓ} − q^{−ℓ})/(q − q^{−1}) y [ℓ]! = [1][2] … [ℓ].

El lector puede intentar probar directamente que R_{h} satisface las condiciones de la Definición 2. Pero esto es difícil. En III.3 encontraremos otra expresión de R_{h} usando la construcción del doble cuántico.

II.5. Grupos de trenzas: definición algebraica. Ahora explicaremos por qué las categorías consideradas en esta lección se llaman trenzadas. Sea n un entero > 1.

Definición 3. El grupo B_{n} es el grupo generado por σ_{1}, …, σ_{n−1}, con las relaciones

σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i} si | i − j |≥ 2 y σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1}

para todos i, j. Un elemento de B_{n} es llamado una trenza con n hebras.

Agregando la relación σ_{i}^{2} = 1 para todo i, se obtiene una presentación del grupo simétrico 𝔖_{n}.

Ahora describiremos una relación que existe entre los grupos de trenzas y las categorías trenzadas. Si V es un objeto cualquiera de una categoría trenzada, entonces el grupo B_{n} actúa naturalmente sobre V^{⊗n}, es decir, existe un morfismo de grupos

ρ_{n} : B_{n} → Aut(V^{⊗n})

que en los generadores σ_{1}, …, σ_{n−1} está dado por

ρ_{n}(σ_{i}) = id ⊗ … ⊗ \underbrace{c_{V,V}}_{i,i+1} ⊗ … ⊗ id.  (2.8)

Del Corolario 1 se deduce que esta fórmula define un morfismo de grupos en B_{n}.

II.6. Descripción topológica de las trenzas. Nosotros representamos una trenza con n hebras como la unión de n intervalos inmersos en R × [0, 1] tales que

(i) los extremos de los intervalos son los puntos (1, 0), …, (n, 0) y (1, 1), …, (n, 1) del plano,

(ii) para todo t ∈ [0, 1] salvo un número finito, la intersección de la recta R × {t} con la trenza consiste en n puntos distintos. Más aún, suponemos que todas las singularidades de la inmersión son puntos dobles ordinarios. En cada punto doble, existe un orden de las hebras que pasan por allí, que significa que una de ellas pasa por encima de la otra, y esto lo representamos interrumpiendo el dibujo de la hebra que pasa por debajo en un entorno del punto doble.

Consideramos las trenzas a menos de homeomorfismos. Esto significa un homeomorfismo de R × [0, 1] que fija los extremos, que manda puntos dobles en puntos dobles, y que preserva el orden de las hebras en los puntos dobles.

El producto T T′ de dos trenzas T y T′ con n hebras se define como en la categoría D de la Lección I.5, esto es, poniendo T arriba de T′, pegando los extremos y comprimiendo la trenza resultante dentro de R × [0, 1]. Este producto tiene la unidad representada por la unión {1, …, n} × [0, 1] de intervalos.

Representamos el generador σ_{k} por la unión de los intervalos {i}×[0, 1] para 1 ≤ i ≤ n y i ≠ k, k + 1 y los intervalos [(k, 0), (k + 1, 1)] y [(k + 1, 0), (k, 1)], donde el penúltimo intervalo pasa por encima del último intervalo.

II.7. La categoría trenzada universal. Consideremos la categoría B cuyos objetos son los números naturales, y tal que

Hom_{B}(n, m) = \{ \begin{matrix}∅ & si n ≠ m, \\ B_{n} & si n = m, \end{matrix}

donde B_{n} es el grupo de la Definición 3 y B_{0} = B_{1} = {1}. La composición la definimos por el producto en los grupos trenzados o, equivalentemente, como en la categoría D de I.5. La identidad id_{n} del objeto n es la unidad del grupo B_{n}. La categoría B es tensorial con producto tensorial definido en los objetos y en los morfismos como en el caso de D.

Nosotros afirmamos que B es trenzada. Para todo par de objetos (n, m), definimos un morfismo c_{n,m} : n ⊗ m → m ⊗ n como el elemento de B_{n+m} definido con los generadores σ_{1}, …, σ_{n+m} por c_{n,0} = c_{0,n} = id_{n} y

c_{n,m} = (σ_{m}σ_{m−1} … σ_{1})(σ_{m+1}σ_{m} … σ_{2}) … (σ_{m+n−1}σ_{m+n−2} … σ_{n}).  (2.9)

Proposición 3. La familia de morfismos (c_{n,m})_{n,m≥0} es un trenzado para la categoría tensorial B.

La demostración se deja al lector. La categoría B es la categoría trenzada universal, más precisamente:

Teorema 2. Sea C una categoría trenzada y V un objeto de C. Entonces existe un único funtor F_{V} : B → C tal que F_{V} (0) = I, F_{V} (1) = V,

F_{V} (n ⊗ m) = F_{V} (n) ⊗ F_{V} (m), F_{V} (T ⊗ T′) = F_{V} (T) ⊗ F_{V} (T′)

para todos los objetos n, m y todos los morfismos T, T′ y

F_{V} (σ_{1}) = c_{V,V} ∈ Aut(V ⊗ V).

.

Demostración.— En los objetos, el funtor está definido por F_{V} (n) = V^{⊗n}. En los morfismos T de B_{n}, está definido por F_{V} (T) = ρ_{n}(T), donde ρ_{n} es la representación construída en II.5. □

Lección III. El doble cuántico

¿ Cómo obtener biálgebras trenzadas, es decir, biálgebras A tales que A-mod sea una categoría trenzada ? Existe un método creado por Drinfeld que asocia a toda biálgebra A otra biálgebra D(A) que es trenzada. Esta construcción no es sencilla. Nosotros veremos una construcción categórica simple, que a cada categoría tensorial C le asocia una categoría trenzada D(C), de forma tal que D(A-mod) = D(A)-mod. Luego aplicaremos este método para “re”-encontrar la expresión de R_{h} en U_{h}(𝔰𝔩(2)).

III.1. Definición. Sea (C, ⊗, I) una categoría tensorial. Definimos una nueva categoría D(C), llamada el doble cuántico de C, como sigue. Los objetos de D(C) son pares (V, c_{X,V}), donde V es un objeto de C, y c_{X,V} : X ⊗ V → V ⊗ X es una familia de isomorfismos tales que

c_{Y,V} (f ⊗ id_{V}) = (id ⊗ f) c_{X,V}  (3.1)

y

c_{X⊗Y,V} = (c_{X,V} ⊗ id_{Y})(id_{X} ⊗ c_{Y,V})  (3.2)

para todo par (X, Y) de objetos y todo morfismo f : X → Y de C.

Un morfismo de (V, c_{X,V}) en (W, c_{X,W}) en D(C) es un morfismo f : V → W de C tal que

(f ⊗ id_{X}) c_{X,V} = c_{X,W} (id_{X} ⊗ f)  (3.3)

para todo objeto X en C.

Se tiene entonces el siguiente:

Teorema 3. La categoría D(C) es una categoría trenzada tal que (i) el producto tensorial de dos objetos está dado por

(V, c_{X,V}) ⊗ (W, c_{X,W}) = (V ⊗ W, c_{X,V ⊗W})

donde c_{X,V ⊗W} = (id_{V} ⊗ c_{X,W})(c_{X,V} ⊗ id_{W}), (ii) la unidad es (I, id), (iii) el trenzado (V, c_{X,V}) ⊗ (W, c_{X,W}) → (W, c_{X,W}) ⊗ (V, c_{X,V}) está dado por c_{V,W}.

Demostración.— Hace falta ver que (i) (V, c_{X,V})⊗(W, c_{X,W}) es un objeto de la categoría, (ii) si f y g son morfismos en la categoría, entonces f ⊗g también, (iii) c_{V,W} es un morfismo en D(C), (iv) c_{V,W} es un trenzado. Todo esto se verifica fácilmente. □

III.2. Aplicación a la categoría de A-módulos. Dada una biálgebra (A, Δ, ε), se quiere describir la categoría D(A-mod) en términos de A. Para hacer esto, necesitamos la siguiente definición.

Definición 4. Dada una biálgebra (A, Δ, ε), un A-bimódulo cruzado es un A-módulo a izquierda V con una aplicación lineal Δ_{V} : V → V ⊗ A tal que

(i) se tiene

(Δ_{V} ⊗ id_{A}) ∘ Δ_{V} = (id_{V} ⊗ Δ) ∘ Δ_{V} ,  (3.4)
(id_{V} ⊗ ε) ∘ Δ_{V} = id_{V} ,  (3.5)

(ii) para todo a ∈ A y v ∈ V tenemos

∑_{(a)} ∑_{(v)} a′v_{V} ⊗ a′′v_{A} = ∑_{(a)} ∑_{(v)} (a′′v)_{V} ⊗ (a′′v)_{A} a′  (3.6)

donde Δ(a) = ∑_{(a)} a ⊗ a y Δ_{V} (v) = ∑_{(v)} v_{V} ⊗ v_{A}.

Teorema 4. La categoría D(A-mod) es equivalente a la categoría de los A-bimódulos cruzados.

Demostración.— De todo A-bimódulo cruzado V obtenemos un elemento (V, c_{X,V}) de D(A-mod) definido por

c_{X,V} (x ⊗ v) = Δ_{V} (1 ⊗ x) = ∑_{(v)} v_{V} ⊗ v_{A} x.  (3.7)

Uno puede verificar que c_{X,V} satisface los axiomas que definen un objeto de D(A-mod).

Recíprocamente, sea (V, c_{X,V}) un objeto de D(A-mod). Definimos una aplicación lineal Δ_{V} : V → V ⊗ A por

Δ_{V} (v) = c_{A,V} (1 ⊗ v)

para todo v ∈ V. La naturalidad (3.1) de c_{X,V} en X implica que se puede recuperar de Δ_{V} como en la ecuación (3.7). La relación (3.2) para X = Y = A implica (3.4). La A-linealidad de c_{A,V} implica (3.6). □

De los Teoremas 3–4 se deduce que la categoría de los A-bimódulos cruzados es trenzada. El trenzado entre dos A-bimódulos cruzados está dado por (3.7).

III.3. Bimódulos cruzados en el caso 𝔰𝔩(2). Apliquemos ahora el Teorema 4 a una sub-biálgebra de U_{h}(𝔰𝔩(2)). La idea de Drinfeld para encontrar la R-matriz universal R_{h}, fue construir D(A) que es una biálgebra trenzada, y por lo tanto, tiene una R-matriz universal R̂, que se aplica en R_{h} mediante una suryección.

Recordemos que U_{h}(𝔰𝔩(2)) es el álgebra generada por X, H, Y con las relaciones (1.9– 1.10). Sea B_{h} la subálgebra de U_{h}(𝔰𝔩(2)) generada por H, X. Sea E = Xe^{hH/4}. Tenemos que [H, E] = 2E. De (1.11–1.14) se deduce que B_{h} es una sub-biálgebra de U_{h}(𝔰𝔩(2)). A ella le queremos aplicar el Teorema 4.

Sea V un B_{h}-módulo. Determinemos cuándo es un bimódulo cruzado. Si lo es, existe una aplicación lineal Δ_{V} que satisface las condiciones de la Definición 4. Como {H^{m}E^{n}}_{m,n≥0} es una base topológica de B_{h}, la aplicación Δ_{V} es de la forma

Δ_{V} = ∑_{m,n≥0} Δ^{m,n} ⊗ H^{m}E^{n}  (3.8)

donde (Δ^{m,n})_{m,n≥0} es una familia de endomorfismos de V.

La relación (3.4) nos permite expresar el producto de dos elementos de esta familia como una combinación lineal de los elementos de la familia. Una inducción sencilla muestra que

Δ^{m,n} = \frac{q^{n(n−1)/2}}{m![n]!} Δ_{1}^{m}Δ_{2}^{n}  (3.9)

para todo m, n, donde Δ_{1} = Δ^{1,0} y Δ_{2} = Δ^{0,1}. La relación (3.5) implica que Δ^{0,0} = id_{V}.

La relación (3.6) implica relaciones entre la familia (Δ^{m,n})_{m,n} y los operadores H y E en V. Más precisamente, uno puede probar que V es un B_{h}-módulo cruzado sí y sólo si tiene cuatro endomorfismos H, E, Δ_{1}, Δ_{2} actuando sobre él, tales que sus conmutadores están dados por

[H, E] = 2E,  [Δ_{1}, Δ_{2}] = −\frac{h}{2}Δ_{2},  (3.10)
[H, Δ_{1}] = 0,  [H, Δ_{2}] = −2Δ_{2},  (3.11)
[E, Δ_{1}] = −\frac{h}{2}E,  [E, Δ_{2}] = exp(hH/2) − exp(2Δ_{1}).  (3.12)

En otras palabras, un B_{h}-bimódulo cruzado es lo mismo que un módulo sobre el álgebra D_{h} generado por cuatro generadores H, E, Δ_{1}, Δ_{2} y las relaciones (3.10–3.12).

Como la categoría de B_{h}-bimódulos cruzados es trenzada (Teoremas 3–4), el álgebra D_{h} debe ser trenzada (Proposición 2). Por (2.7), (3.7) y (3.8) su R-matriz universal tiene que ser

R̂ = ∑_{m,n≥0} H^{m}E^{n} ⊗ Δ^{m,n}.

Combinando esto con (3.9), tenemos que

R̂ = ∑_{m,n≥0} \frac{q^{n(n−1)/2}}{m![n]!} H^{m}E^{n} ⊗ Δ_{1}^{m}Δ_{2}^{n}.  (3.13)

El próximo lema relaciona a la biálgebra trenzada D_{h} con el álgebra envolvente cuántica U_{h}(𝔰𝔩(2)).

Lema 1. Existe un morfismo sobreyectivo de biálgebras χ : D_{h} → U_{h}(𝔰𝔩(2)) dado por

χ(E) = X exp(hH/4), χ(H) = H,
χ(Δ_{1}) = \frac{h}{4}H, χ(Δ_{2}) = (exp(h/4) − exp(−3h/4)) Y.

Esto implica que, como D_{h} es trenzada con la R-matriz universal R̂, entonces U_{h}(𝔰𝔩(2)) es trenzada con la R-matriz universal (χ ⊗ χ)(R̂). Tenemos

(χ ⊗ χ)(R̂) = ∑_{m,n≥0} \frac{q^{n(n−1)/2}}{m![n]!} χ(H)^{m}χ(E)^{n} ⊗ χ(Δ_{1})^{m}χ(Δ_{2}^{n}).  (3.14)

Un cálculo rápido muestra que el lado derecho de (3.14) es igual a la expresión dada por R_{h} en el Teorema 1, y esto prueba lo último.

Lección IV. Trenzados infinitesimales

IV.1. Definición. Como hemos visto en el caso de 𝔰𝔩(2), la categoría de módulos sobre un álgebra envolvente cuántica depende de un parámetro h. Por ejemplo, el trenzado c_{V,W} se puede extender a una serie formal en h:

c_{V,W} = σ_{V,W} (id_{V ⊗W} + h r_{V,W} + ⋯)  (4.1)

donde σ_{V,W} es la trasposición y r_{V,W} es un endomorfismo de V ⊗W. Estudiemos el término lineal r_{V,W}. Como c_{V,W} satisface los axiomas (2.1–2.3), éstos se traducen en condiciones sobre r_{V,W}.

Sea S una categoría simétrica, es decir, una categoría trenzada cuyo trenzado σ satisface la condición adicional

σ_{W,V} ∘ σ_{V,W} = id_{V ⊗W}  (4.2)

para todo objeto V, W de S. Estos trenzados se llamarán simetrías. Además suponemos que S es C-lineal, que significa que todos sus conjuntos de morfismos son espacios vectoriales complejos, y la composición y el producto tensorial de morfismos es C-bilineal.

Definición 5. Sea S una categoría simétrica y C-lineal. Un trenzado infinitesimal de S es una familia de endomorfismos t_{V,W} ∈ End(V ⊗ W) definida para todo objeto V, W tal que:

(f ⊗ g) t_{V,W} = t_{V′,W′} (f ⊗ g)  (4.3)
σ_{V,W} ∘ t_{V,W} = t_{W,V} ∘ σ_{V,W} ,  (4.4)
t_{U,V ⊗W} = t_{U,V} ⊗ id_{W} + (σ_{U,V} ⊗ id_{W})^{−1}(id_{V} ⊗ t_{U,W})(σ_{U,V} ⊗ id_{W})  (4.5)

para todo objeto U, V, W y todo morfismo f ∈ Hom_{S}(V, V′) y g ∈ Hom_{S}(W, W′). Si S tiene un trenzado infinitesimal se llamará una categoría simétrica infinitesimal.

Si t_{V,W} se define como en (4.1) por

t_{V,W} = r_{V,W} + σ_{V,W}^{−1} r_{W,V} σ_{V,W}

entonces t_{V,W} satisface (4.3–4.5).

IV.2. Trenzados infinitesimales sobre categorías de módulos. Como en II.3, buscamos álgebras A cuya categoría de módulos sea simétrica infinitesimal. Sea (A, Δ, ε) una biálgebra coconmutativa. Sabemos por II.3 que la categoría de A-módulos es trenzada, con trenzado dado por la trasposición, que obviamente, es una simetría. El próximo resultado clasifica todos los trenzados infinitesimales en esta categoría.

Proposición 4. Sea (A, Δ, ε) una biálgebra coconmutativa, y sea S la categoría de Amódulos con σ la trasposición. Entonces S es una categoría simétrica infinitesimal sí y sólo si existe t ∈ A ⊗ A tal que:

(i) [Δ(a), t] = 0 para todo a ∈ A, (ii) t es un tensor simétrico y, (iii) t pertenece a Prim(A) ⊗ Prim(A) donde Prim(A) es el conjunto de elementos

a ∈ A tales que Δ(a) = 1 ⊗ a + a ⊗ 1.

Demostración.— ⇐) Si v, w ∈ S, sea t_{V,W} ∈ End(V ⊗ W) definido por:

t_{V,W} (v ⊗ w) = t(v ⊗ w) = ∑_{i} x_{i}v ⊗ y_{i}w  (4.6)

donde t = ∑_{i} x_{i} ⊗ y_{i}. Es fácil verificar que las condiciones (i–iii) implican (4.3–4.5).

⇒) Sea t = ∑_{i} x_{i} ⊗ y_{i} ∈ A ⊗ A definido por t = t_{A,A}(1 ⊗ 1). Veamos que se verifican (i–iii). La condición (i) se verifica porque t_{A,A} es A-lineal. La condición (ii) es clara.

Probemos la condición (iii). Si aplicamos ambos lados de (4.5) al elemento 1 ⊗ 1 ⊗ 1, con U = V = W = A, tenemos

∑_{i} x_{i} ⊗ Δ(y_{i}) = ∑_{i} x_{i} ⊗ (y_{i} ⊗ 1 + 1 ⊗ y_{i}).

Podemos suponer que los elementos x_{i} son linealmente independientes. Entonces tenemos Δ(y_{i}) = y_{i} ⊗1+1⊗y_{i}, es decir, todos los elementos y_{i} pertenecen a Prim(A). Por lo tanto, t pertenece a A ⊗ Prim(A). Terminamos la demostración usando la simetría de t. □

Podemos aplicar la Proposición 4 al caso en que A sea el álgebra envolvente de un álgebra de Lie 𝔤 sobre un cuerpo de característica cero. Entonces los trenzados infinitesimales de la categoría simétrica de 𝔤-módulos están en biyección con 2-tensores ∈ 𝔤 ⊗ 𝔤 que son simétricos e invariantes bajo la representación adjunta.

Consideremos el caso especial de un álgebra de Lie compleja semisimple 𝔤. Sea {x_{i}} una base ortonormal de 𝔤 con respecto a la forma de Killing < x, y > = Tr(ad(x)ad(y)). Es bien sabido que el 2-tensor t = ∑ x_{i} ⊗ x_{i} es simétrico e invariante. Entonces la categoría de 𝔤-módulos es una categoría simétrica infinitesimal con la trasposición como simetría y con trenzado infinitesimal inducido por la acción de t.

IV.3. Un ejemplo gráfico. El resto de esta Lección está dedicado a desarrollar un ejemplo gráfico de una categoría simétrica infinitesimal. Empezamos con algunas notaciones. Para todo entero n ≥ 2, sea 𝔭_{n} el álgebra de Lie compleja generada por los generadores (t^{ij})_{1≤i≠j≤n} y las relaciones

t^{ij} = t^{ji},  (4.7)
[t^{ij}, t^{ik} + t^{jk}] = 0,  (4.8)
[t^{ij}, t^{kℓ}] = 0  (4.9)

para índices distintos i, j, k, ℓ. Llamamos U(𝔭_{n}) a su álgebra envolvente. El grupo simétrico 𝔖_{n} actúa sobre U(𝔭_{n}) por la regla σ · t^{ij} = t^{σ^{−1}(i)σ^{−1}(j)} donde σ ∈ 𝔖_{n}. Podemos considerar el producto cruzado A_{n} de 𝔖_{n} por U(𝔭_{n}). Recordemos que A_{n} es un álgebra cuyo espacio vectorial subyacente es el mismo que el del álgebra de grupo U(𝔭_{n})[𝔖_{n}], pero la multiplicación esta determinada por la regla

σ t^{ij} = (σ · t^{ij}) σ  (4.10)

para todo σ ∈ 𝔖_{n}. Además A_{0} = A_{1} = C.

Ahora consideremos la categoría A cuyos objetos son los números naturales, y tal que

Hom_{A}(n, m) = \{ \begin{matrix}∅ & si n ≠ m, \\ A_{n} & si n = m. \end{matrix}

La composición está definida por el producto en el álgebra A_{n}. La identidad id_{n} es la unidad de A_{n}.

Para darle a la categoría A una estructura de categoría infinitesimal simétrica, daremos primero una descripción gráfica de sus elementos. Como en el caso de las trenzas, estarán representados por figuras consideradas a menos de homeomorfismos en la banda R × [0, 1]. Estas figuras estarán llamadas diagramas de cuerdas. El diagrama de cuerdas del producto de dos elementos se obtiene, como en el caso de las trenzas, pegando el diagrama de cuerdas de un elemento arriba del diagrama de cuerdas del otro elemento.

Para representar gráficamente los elementos de A_{n} es suficiente representar a sus generadores. El álgebra A_{n} tiene dos tipos de generadores: los generadores t^{ij} de 𝔭_{n} y las trasposiciones s_{k} = (k, k + 1) del grupo simétrico 𝔖_{n}.

Representemos al generador t^{ij} por n intervalos verticales paralelos con una línea punteada horizontal entre el i-ésimo y el j-ésimo intervalo. Una línea punteada horizontal se llama una cuerda. Representemos la trasposición s_{k} por la unión de los intervalos {i} × [0, 1] para 1 ≤ i ≤ n y i ≠ k, k + 1 y los intervalos [(k, 0), (k + 1, 1)] y [(k + 1, 0), (k, 1)] de R × [0, 1]. En el grupo simétrico σ_{k} es igual a su inverso. Esto significa que, contrariamente a lo que sucede con las trenzas, aquí no hay diferencia entre cruzar por adelante o por atrás. Observar que s_{k} está representada por un diagrama de cuerdas sin cuerdas. Dejamos al lector que agregue las relaciones que resultan de las Relaciones (4.8– 4.10). La relación entre los diagramas de cuerdas correspondientes a (4.8) es conocida en la teoría de invariantes de grado finito de nudos bajo la terminología “relación de cuatro términos” (para más información, ver [BN92] y [Kas95], Capítulo XX).

Con esta representación gráfica, es fácil dar una estructura tensorial a la categoría A. Esto está hecho, así como hicimos para las categorías D en I.5 y B en II.7. La fórmula (2.9) define una simetría en A.

Ahora construiremos un trenzado infinitesimal. Para todo objeto n, m ≥ 1, definimos un endomorfismo t_{n,m} del objeto n ⊗ m como el elemento

t_{n,m} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} t^{i,j+n} ∈ A_{n+m}.  (4.11)

Si n ó m = 0, tenemos t_{n,m} = 0. Dejamos como ejercicio la demostración del próximo resultado (sugerencia: la relación (4.8) se usa para probar la naturalidad (4.3) de t_{n,m}).

Proposición 5. La familia de endomorfismos (t_{n,m})_{n,m≥0} es un trenzado infinitesimal de la categoría A.

La categoría A tiene la siguiente propiedad universal.

Teorema 5. Sea A una categoría simétrica infinitesimal C-lineal con simetría σ y trenzado infinitesimal t. Dado un objeto V de S, existe un único funtor G_{V} : A → S tal que G_{V} (0) = I, G_{V} (1) = V,

G_{V} (n ⊗ m) = G_{V} (n) ⊗ G_{V} (m), G_{V} (D ⊗ D′) = G_{V} (D) ⊗ G_{V} (D′)

para todos objetos n, m y todos morfismos D, D′, y

G_{V} (s_{1}) = σ_{V,V} ∈ Aut(V ⊗ V) y G_{V} (t^{12}) = t_{V,V} ∈ End(V ⊗ V).

Lección V. Integración de categorías simétricas infinitesimales

A partir de una categoría simétrica infinitesimal S, construímos una categoría trenzada S[[h]]. Como veremos más adelante, esto tiene consequencias muy importantes, gracias a un resultado fundamental de Drinfeld.

V.1. Categorías trenzadas revisadas. Antes de comenzar a construir S[[h]], necesitamos extender el concepto de categoría trenzada. Empezamos ampliando la condición (i) de la Definición 1 suponiendo la existencia de una isomorfismo de asociatividad natural

a : (U ⊗ V) ⊗ W → U ⊗ (V ⊗ W)

definido para toda terna U, V, W de objetos de la categoría C (cuando a es la identidad, recuperamos la Definición 1). En esta nueva situación, tenemos muchas elecciones de colocar los paréntesis en el producto tensorial de n objetos. Todas ellas son isomorfas. Por ejemplo, tomemos cuatro objetos U, V, W, Z. Hay cinco formas de colocar paréntesis en U ⊗ V ⊗ W ⊗ Z. El siguiente diagrama, a menudo llamado el pentágono de Mac Lane, muestra dos formas de pasar de ((U ⊗ V) ⊗ W) ⊗ Z a U ⊗ (V ⊗ (W ⊗ Z)) usando el isomorfismo de asociatividad a.

\begin{aligned}((U ⊗ V) ⊗ W ) ⊗ Z & ⟶^{a_{U⊗V,W,Z}} & (U ⊗ V) ⊗ (W ⊗ Z) \\ a_{U,V,W} ⊗id_{Z} ↓ & & ↓ a_{U,V,W ⊗Z} \\ (U ⊗ (V ⊗ W)) ⊗ Z & & U ⊗ (V ⊗ (W ⊗ Z)) \\ a_{U,V ⊗W,Z} ↘ & & ↗ id_{U} ⊗a_{V,W,Z} \\ & U ⊗ ((V ⊗ W) ⊗ Z) \end{aligned}  (5.1)

Nosotros supondremos que dados cuatro objetos cualesquiera, el pentágono de Mac Lane conmuta. Esto significa que entre dos formas de colocar los paréntesis en el producto tensorial de cuatro objetos, existe un único isomorfismo natural expresado con el isomorfismo de asociatividad. Mac Lane probó que la conmutatividad del pentágono también implica que existe un único isomorfismo natural, expresado con el isomorfismo de asociatividad, entre dos formas de colocar los paréntesis en el producto tensorial de n objetos, donde n es un entero positivo arbitrario (ver [Mac71]).

También tenemos que tener en cuenta al isomorfismo de asociatividad a en la definición del trenzado c. Esto significa que debemos reemplazar los dos triángulos conmutativos (2.2– 2.3) de la Definición 2 por dos hexágonos conmutativos. El primer hexágono es

\begin{matrix}(U ⊗ V) ⊗ W & ⟶^{c_{U⊗V,W}} & W ⊗ (U ⊗ V) \\ a_{U,V,W} ↓ & & ↑ a_{W,U,V} \\ U ⊗ (V ⊗ W) & & (W ⊗ U) ⊗ V \\ id_{U} ⊗c_{V,W} ↓ & & ↑ c_{U,W} ⊗id_{V} \\ U ⊗ (W ⊗ V) & ⟶^{a_{U,W,V}^{−1}} & (U ⊗ W) ⊗ V \end{matrix}  (5.2)

El segundo hexágono se obtiene a partir del primero, reemplazando el isomorfismo c por su inverso c^{−1}.

V.2. Series de Drinfeld. Una serie formal Φ(A, B) en dos variables A, B que no conmutan se llama una serie de Drinfeld si Φ(A, B) es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Φ(0, 0) = 1,
Φ(t_{12}, t_{23} + t_{24}) Φ(t_{13} + t_{23}, t_{34}) = Φ(t_{23}, t_{34}) Φ(t_{12} + t_{13}, t_{24} + t_{34}) Φ(t_{12}, t_{23}),
exp(\frac{t_{13} + t_{23}}{2} ) = Φ(t_{13}, t_{12}) exp(\frac{t_{13}}{2} ) Φ(t_{13}, t_{23})^{−1} exp(\frac{t_{23}}{2} ) Φ(t_{12}, t_{23}),
exp(\frac{t_{13} + t_{12}}{2} ) = Φ(t_{23}, t_{13})^{−1} exp(\frac{t_{13}}{2} ) Φ(t_{12}, t_{13}) exp(\frac{t_{12}}{2} ) Φ(t_{12}, t_{23})^{−1},

donde (t_{ij})_{1≤i≠j≤4} verifica las relaciones (4.7–4.9). Observar que Φ(A, B) = 1 no es una serie de Drinfeld. En realidad,

exp(\frac{t_{13} + t_{23}}{2} ) ≠ exp(\frac{t_{13}}{2} ) exp(\frac{t_{23}}{2} )

porque t_{13} y t_{23} no conmutan. De todos modos, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 6. Existen series de Drinfeld.

Drinfeld [Dri89], [Dri90] probó este teorema exhibiendo una solución particular Φ_{KZ} de la siguiente manera. Consideremos la ecuación diferencial lineal

\frac{dG(z)}{dz} = \frac{1}{2iπ} (\frac{A}{z} + \frac{B}{z − 1}) G(z)  (5.3)

definida para z ∈ C\{0, 1}, donde A, B son operadores que no conmutan. La ecuación (5.3) tiene singularidades regulares en 0, 1, ∞. Sea G(z) alguna solución. No está definida en 0, 1, pero su comportamiento asintótico en estos puntos es bien conocido. Escribamos

G(z) = z^{hA/2iπ} (1 − z)^{hB/2iπ} V (z).

La función V (z) está definida en un entorno de [0, 1]. Drinfeld probó que Φ_{KZ} = V (1)V (0)^{−1} es una serie de Drinfeld. En realidad, es la única solución conocida hasta hoy. Podemos resolver (5.3) usando el método de aproximación de Picard. Por ejemplo, podemos calcular los primeros términos de Φ_{KZ}:

Φ_{KZ}(A, B) = 1 + \frac{1}{24} [A, B] + \frac{ζ(3)}{(2iπ)^{3}} ([[A, B], B] − [A, [A, B]]) + · · · .  (5.4)

Aquí ζ(3) es el valor de la función zeta de Riemann en el entero 3. La serie de Drinfeld Φ_{KZ} fue encontrada por Drinfeld en relación con las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov (para más información, ver [Dri89], [Dri90], [Kas95], Capítulo XIX).

V.3. La construcción de Drinfeld-Cartier. Ahora estamos listos para definir S[[h]] cuando S es una categoría simétrica infinitesimal C-lineal. Seguiremos [Dri90] y [Car93].

Los objetos de S[[h]] son los mismos que los objetos de S. Un morfismo en S[[h]] de V en W es una serie formal ∑_{n≥0} f_{n}h^{n}, donde f_{n} ∈ Hom_{S}(V, W) para todo n. La composición está definida usando la composición en S y la multiplicación usual de las series formales. La identidad de un objeto V en S[[h]] es la serie formal constante ∑_{n≥0} f_{n}h^{n} donde f_{0} = id_{V} y f_{n} = 0 cuando n > 0.

La categoría S[[h]] tiene un producto tensorial obtenido extendiendo C[[h]]-linealmente al producto tensorial de S.

Ahora le daremos a S[[h]] una estructura de categoría trenzada en el sentido ampliado de V.1. Para hacer esto, definimos un isomorfismo de asociatividad y un trenzado. Ambos estarán definidos como series formales. Para el isomorfismo de asociatividad, necesitamos elegir una serie de Drinfeld Φ como está definida en V.2. Sean

a_{U,V,W} = Φ(h t_{U,V} ⊗ id_{W} , h id_{U} ⊗ t_{V,W})  (5.5)

donde t_{U,V}, t_{V,W} son los trenzados infinitesimales de la categoría S. El trenzado está definido por

c_{V,W} = σ_{V,W} ∘ exp(h t_{V,W} /2)  (5.6)

donde σ_{V,W} es la simetría en S.

Es fácil verificar que las ecuaciones que definen una serie de Drinfeld implican la conmutatividad del pentágono (5.1) y de los hexágonos (5.2). Como la categoría trenzada que acabamos de construir depende de una serie de Drinfeld Φ, hacemos notar esto llamando a la categoría trenzada S_{Φ}[[h]].

V.4. El teorema fundamental de Drinfeld. Sea 𝔤 un álgebra de Lie semisimple compleja. Como mencionamos anteriormente, Drinfeld y Jimbo construyeron una C[[h]]- biálgebra trenzada U_{h}(𝔤) tal que

U_{h}(𝔤)/hU_{h}(𝔤) ≅ U(𝔤)

como biálgebras. Podemos considerar la categoría U_{h}(𝔤)-mod_{f} de U_{h}(𝔤)-módulos que son libres de rango finito como C[[h]]-módulos. Esta categoría es trenzada.

Por otro lado, por IV.2 sabemos que la categoría U(𝔤)-mod_{f} de 𝔤-módulos de dimensión finita es simétrica infinitesimal cuando la equipamos con la trasposición como simetría y con el trenzado infinitesimal inducido por el 2-tensor t = ∑_{i} x_{i} ⊗ x_{i} que es dual a la forma de Killing. Podemos aplicar el procedimiento de integración de V.3 a U(𝔤)-mod_{f}.

Drinfeld ([Dri89], [Dri90]) probó el siguiente resultado, que muestra la importancia del procedimiento de integración del párrafo anterior. Esta es una interpretación categórica de la demostración dada por Drinfeld de un teorema de Kohno sobre la monodromía de ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov.

Teorema 7. Para toda serie de Drinfeld Φ, las categorías trenzadas U_{h}(𝔤)-mod_{f} y (U(𝔤)-mod_{f})_{Φ} [[h]] son equivalentes.

V.5. Una representación universal del grupo de trenzas. Volvamos a la categoría simétrica infinitesimal universal A construída en IV.3. Fijemos una serie de Drinfeld Φ. Por V.3 conseguimos una categoría trenzada A_{Φ}[[h]]. Consideremos el objeto 1 de esta categoría. Por el Teorema 2, existe un único funtor Z = F_{1} : B → A_{Φ}[[h]] que preserva el producto tensorial y el trenzado tal que Z(1) = 1. Este funtor da una representación de B_{n} por un grupo de series formales cuyos coeficientes son diagramas de cuerdas con n hebras: para cualquier trenza T con n hebras tenemos

Z(T) = ∑_{k≥0} Z_{k}(T) h^{k}  (5.7)

donde Z_{k}(T) es un elemento del álgebra A_{n} que es una combinación lineal de diagramas de cuerdas con k cuerdas. Por ejemplo, si σ_{1} es el generador de B_{2},

Z(σ_{1}) = s_{1} ∘ exp(ht^{12}/2) = ∑_{k≥0} \frac{h^{k}}{2^{k}k!} s_{1} ∘ (t^{12})^{k}.  (5.8)

Tomando “trazas”, obtenemos un invariante de lazos a valores en diagramas de cuerdas en el círculo. Este es el invariante universal de Kontsevich (ver [BN92], [Kas95], Capítulo XX).

El funtor Z es universal para todos los funtores F de la categoría B en cualquier categoría trenzada de la forma S_{Φ}[[h]], que preserva todas las estructuras. En realidad, sea V el objeto F (1) de S. Por el Teorema 5 existe un único funtor G : A → S que preserva todas las estructuras y tal que G(1) = V. Este funtor se extiende a un funtor G_{Φ}[[h]] : A_{Φ}[[h]] → S_{Φ}[[h]]. Consideremos la composición G_{Φ}[[h]] ∘ Z : B → S_{Φ}[[h]]. Ella manda el objeto 1 en el objeto V. Por la unicidad establecida en el Teorema 2, tenemos

F = G_{Φ}[[h]] ∘ Z,  (5.9)

que prueba que F se factoriza a través de Z.

El funtor Z se puede usar para probar el siguiente isomorfismo de Kohno [Koh85] entre completados del álgebra de grupo del grupo de trenzas B_{n} y del álgebra A_{n} definida en IV.3:

\underleftarrow{lim}_{k} C[B_{n}]/I^{k} ≅ \underleftarrow{lim}_{k} A_{n}/J^{k},  (5.10)

donde I es el ideal bilátero de C[B_{n}] generado por los elementos σ_{1} −σ_{1}^{−1}, …, σ_{n−1} −σ_{n−1}^{−1}, y J es el ideal de A_{n} generado por los elementos {t^{ij}}_{1≤i≠j≤n}. La demostración que usa el funtor Z está en [KT95], Apéndice C.

Bibliografía

El contenido de este curso fue tomado esencialmente de [Kas95]. En esta monografía el lector interesado encontrará más detalles. También puede ser muy útil el artículo [Kas93].

La definición original de álgebras envolventes cuánticas es de Drinfeld [Dri87] y Jimbo [Jim85]. Es muy recomendable leer el artículo de Drinfeld [Dri87], pues aquí se explica la motivación de la aparición de los grupos cuánticos a partir de la física.

Las categorías trenzadas fueron inventadas por Joyal y Street [JS93]. En este tema, le aconsejo al lector mirar también [FY89], [JS91].

La construcción del doble se debe a Drinfeld (ver [Dri87]). La construcción del doble de una biálgebra está explicado en [Kas95], Capítulo IX. El contenido de la Lección III se puede encontrar en [KT92].

Con respecto a las Lecciones IV–V, se puede ver [Car93], [Dri89], [Dri90] y [Kas95], Capítulos XIX–XX. En [RT90] y [Tur94] hay aplicaciones de álgebras envolventes cuánticas a nudos y 3-variedades. El invariante de Kontsevich y los diagramas de cuerdas se pueden ver también en [BN92].

Finalmente, hay varios libros sobre grupos cuánticos y temas relacionados, por ejemplo, [CP94], [Gui95], [Jos95], [KRT97], [Lus93], [Maj95], [SS94], [Tur94].

[BN92] D. Bar Natan, On the Vassiliev knot invariants, Topology 34 (1995), 423–472.

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[Dri90] V. G. Drinfeld, On quasitriangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with Gal(Q̄/Q), Algebra i Analiz 2:4 (1990), 149–181 (= Leningrad Math. J. 2 (1991), 829–860)

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Institut de Recherche Mathématique Avancée Université Louis Pasteur - C.N.R.S. 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France E-mail: kassel@math.u-strasbg.fr