Advances in Mathematics 218 (2008), 1453-1495
Mathematics Subject Classification (2000): 16R50, 16W30, 16S35, 16S38, 16S40, 16H05, 16E99, 17B37, 55R10, 58B32, 81R50, 81R60
Abstract. To any cleft Hopf Galois object, i.e., any algebra tH obtained from a Hopf algebra H by twisting its multiplication with a two-cocycle t, we attach two "universal algebras'' A(H,t) and U(H,t). The algebra A(H,t) is obtained by twisting the multiplication of H with the most general two-cocycle u formally cohomologous to t. The cocycle u takes values in the field of rational functions on H. By construction, A(H,t) is a cleft H-Galois extension of a "big'' commutative algebra B(H,t). Any "form'' of tH can be obtained from A(H,t) by a specialization of B(H,t) and vice versa. If the algebra tH is simple, then A(H,t) is an Azumaya algebra with center B(H,t). The algebra U(H,t) is constructed using a general theory of polynomial identities that we set up for arbitrary comodule algebras; it is the universal comodule algebra in which all comodule algebra identities of tH are satisfied. We construct an embedding of U(H,t) into A(H,t); this embedding maps the center Z(H,t) of U(H,t) into B(H,t) when the algebra tH is simple. In this case, under an additional assumption, A(H,t) is isomorphic to B(H,t) \otimes_{Z(H,t)} U(H,t), thus turning A(H,t) into a central localization of U(H,t). We work out these constructions in full detail for the four-dimensional Sweedler algebra.
Résumé. A tout objet Hopf-galoisien clivé, i.e., à toute algèbre tH obtenue d'une algèbre de Hopf H en tordant sa multiplication par un cocycle t, nous attachons deux "algèbres universelles'' A(H,t) et U(H,t). L'algèbre A(H,t) s'obtient en tordant la multiplication de H par le cocycle u le plus général qui soit formellement cohomologue à t. Le cocycle u prend ses valeurs dans le corps des fractions rationnelles sur H. Par construction, A(H,t) est une extension H-galoisienne clivée d'une "grosse'' algèbre commutative B(H,t). Toute "forme'' de tH peut s'obtenir de A(H,t) par spécialisation de B(H,t) et vice versa. Lorsque l'algèbre tH is simple, A(H,t) est une algèbre d'Azumaya de centre B(H,t). L'algèbre U(H,t) est construite à l'aide d'une théorie générale d'identités polynomiales pour algèbres-comodules. C'est l'algèbre-comodule universelle dans laquelle toutes les identités d'algèbre-comodule de tH sont satisfaites. Nous construisons un plongement de U(H,t) dans A(H,t) ; ce plongement envoie le centre Z(H,t) de U(H,t) dans B(H,t) lorsque l'algèbre tH est simple. Dans ce cas et sous une hypothèse additionnelle, l'algèbre A(H,t) est isomorphe à B(H,t) \otimes_{Z(H,t)} U(H,t); c'est alors une localisation centrale de U(H,t). Nous illustrons en détail les constructions mentionnées ci-dessus à l'aide de l'algèbre de Sweedler.
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(18 juin 2008)