Israel Journal of Mathematics 129 (2002), 99-108
Mathematics Subject Classification (2000): 16W22, 16U99, 20C05, 20J05, 20K01
Abstract. It is known that the norm map N_G for the action of a finite group G on a ring R is surjective if and only if for every elementary abelian subgroup U of G the norm map N_U is surjective. Equivalently, there exists an element x_G in R satisfying N_G(x_G) = 1 if and only for every elementary abelian subgroup U there exists an element x_U in R such that N_U(x_U) = 1. When the ring R is noncommutative, it is an open problem to find an explicit formula for x_G in terms of the elements x_U. We solve this problem when the group G is abelian. The main part of the proof, which was inspired by cohomological considerations, deals with the case when G is a cyclic p-group.
Résumé. La norme N_G pour l'action d'un groupe fini G agissant sur un anneau R est surjective si et seulement si pour tout sous-groupe abélien élémentaire U de G la norme N_U est surjective. De manière équivalente, il existe un élément x_G dans R satisfaisant N_G(x_G) = 1 si et seulement si pour tout sous-groupe abélien élémentaire U il existe un élément x_U dans R tel que N_U(x_U) = 1. Lorsque l'anneau R n'est pas commutatif, c'est un problème ouvert que de trouver une formule explicite pour x_G en termes des éléments x_U. Nous donnons une solution à ce problème lorsque le groupe G est abélien. Le plus gros de l'article est consacré au cas où G est un p-groupe cyclique ; la solution de ce dernier cas est inspirée de considérations cohomologiques.
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This paper is an extension of a previous version (December 2000) in which we dealt only with cyclic p-groups.
(3 juillet 2001)