Advances in Math. 150 (2000), 1-35
Mathematics Subject Classification (1991): 20B30, 20G15, 05E15, 14M15, 15A23
Abstract. For any reduced decomposition i = (i1, i2,... , iN) of a permutation w and any ring R we construct a bijection Pi : (x1,x2,... , xN) --> P_{i1}(x1) P_{i2}(x2) ... P_{iN}(xN) from RN to the Schubert cell of w, where P_{i1}(x1), P_{i2}(x2),... , P_{iN}(xN) stand for certain elementary matrices satisfying Coxeter-type relations. We show how to factor explicitly any element of a Schubert cell into a product of such matrices. We apply this to give a one-to-one correspondence between the reduced decompositions of w and the injective balanced labellings of the diagram of w, and to characterize commutation classes of reduced decompositions.
Résumé. Etant donné un anneau R et une décomposition réduite i = (i1, i2,... , iN) d'une permutation w, nous construisons une bijection Pi : (x1,x2,... , xN) --> P_{i1}(x1) P_{i2}(x2) ... P_{iN}(xN)de RN vers la cellule de Schubert de w, où P_{i1}(x1), P_{i2}(x2),... , P_{iN}(xN) sont des matrices élémentaires vérifiant des relations de type Coxeter. Nous montrons comment factoriser explicitement tout élément d'une cellule de Schubert comme un produit de matrices Pi(x). Nous utilisons ces factorisations pour établir une bijection entre les décompositions réduites de w et les remplissages injectifs équilibrés du diagramme de w et pour caractériser les classes de commutation de décompositions réduites.
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