K-Theory 14 (1998), n^o4, 305-318

Christian Kassel et Christophe Reutenauer

Une variante à la Coxeter du groupe de Steinberg [A Coxeter-type variant of the Steinberg group]

Mathematics Subject Classification (1991): 19C09, 19C99, 20B30, 20F55

Abstract. Let G_n(R) be the semi-direct product of the symmetric group S_n by the Steinberg group St_n(R)of a ring R. We first prove that G_n(R) has a Coxeter-type presentation. The canonical morphism from St_n(R) to GL_n(R) extends to a group homomorphism F from G_n(R) to GL_n(R). We next determine the kernel of F for n = infinity. We also give an expression for the generator of the algebraic K-group K₂(Z) of the integers in terms of permutation matrices.

Résumé. Soit G_n(R) le produit semi-direct du groupe symétrique S_n par le groupe de Steinberg St_n(R) d'un anneau R. Nous établissons au théorème 1 que G_n(R) a une présentation similaire à celle d'un groupe de Coxeter. L'application canonique de St_n(R) dans GL_n(R) s'étend en un homomorphisme de groupes F de G_n(R) dans GL_n(R). Nous en déterminons le noyau dans le cas stable n = infini (voir Théorèmes 2 et 3). Au passage nous donnons une expression pour le générateur du groupe K₂(Z) de K-théorie algébrique de l'anneau des nombres entiers relatifs à l'aide de matrices de permutation (voir Proposition 2).

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