Let \(A\) be an abelian variety defined over a number field
\(F\subset\mathbf{C}\) and let \(G_A\) be the Mumford-Tate group of
\(A_{/\mathbf{C}}\).
After replacing \(F\) by a finite extension, we can assume that, for
every prime
number \(\ell\), the action of \(\Gamma_F=\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\) on
\(\mathrm{H}_\mathrm{et}^1(A_{/\overline{F}},\mathbf{Q}_\ell)\)
factors through a map
\(\rho_\ell\colon\Gamma_F\rightarrow G_A(\mathbf{Q}_\ell)\).
Fix a valuation \(v\) of \(F\) and let \(p\)
be the residue characteristic at \(v\).
For any prime number \(\ell\neq p\), the representation \(\rho_\ell\)
gives rise to a representation
\({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/\mathbf{Q}_\ell}\)
of the Weil-Deligne group.
In the case where \(A\) has semistable reduction at \(v\) it was shown
in a previous paper that, with some restrictions, these
representations form a compatible system of \(\mathbf{Q}\)-rational
representations with values in \(G_A\).
The \(p\)-adic representation \(\rho_p\) defines a
representation of the Weil-Deligne group
\({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/F_{v,0}}^\iota\), where
\(F_{v,0}\) is the maximal unramified extension of \(\mathbf{Q}_p\)
contained in
\(F_v\) and \(G_A^\iota\) is an inner form of \(G_A\) over \(F_{v,0}\).
It is proved, under the same conditions as in the previous theorem,
that, as a representation with values in \(G_A\), this representation
is \(\mathbf{Q}\)-rational and that it is compatible with the above
system of representations
\({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/\mathbf{Q}_\ell}\).
Résumé
Soit \(A\) une variété abélienne définie sur un corps de nombres
\(F\subset\mathbf{C}\) et soit \(G_A\) le groupe de Mumford-Tate
de \(A_{/\mathbf{C}}\).
Quitte à remplacer \(F\) par une extension finie, on peut supposer
que, pour tout nombre premier \(\ell\), l'action de
\(\Gamma_F=\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\) sur
\(\mathrm{H}_\mathrm{et}^1(A_{/\overline{F}},\mathbf{Q}_\ell)\) se factorise
par un morphisme
\(\rho_\ell\colon\Gamma_F\rightarrow G_A(\mathbf{Q}_\ell)\).
Fixons une valuation \(v\) de \(F\) de caractéristique résiduelle
\(p\).
Pour tout nombre premier \(\ell\neq p\), la représentation \(\rho_\ell\)
induit une représentation
\({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/\mathbf{Q}_\ell}\) du groupe de
Weil-Deligne.
Dans le cas où \(A\) a réduction semistable en \(v\) il a été prouve
dans un article précédent que, avec quelques
restrictions, ces représentations forment un système compatible de
représentations \(\mathbf{Q}\)-rationelles à valeurs dans \(G_A\).
La représentation \(p\)-adique \(\rho_p\) definit une
représentation du groupe de Weil-Deligne
\({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/F_{v,0}}^\iota\), où
\(F_{v,0}\) est l'extension maximale non-ramifiée de \(\mathbf{Q}_p\)
contenue dans \(F_v\) et \(G_A^\iota\) est une forme intérieure de
\(G_A\) sur \(F_{v,0}\).
Sous les conditions du théorème précédent, on montre qu'en tant que
représentation à valeurs dans \(G_A\), cette représentation est
\(\mathbf{Q}\)-rationelle et qu'elle est compatible avec le système de
représentations \({}^\prime W_{F_v}\rightarrow G_{A/\mathbf{Q}_\ell}\).