Dernières modifications : 27 mai 2014.


Groupe de travail sur la construction cubique de Mac Lane et ses applications en algèbre et topologie

Strasbourg, 10 au 13 juin 2014



La construction cubique de Mac Lane constitue un produit dérivé du travail considérable effectué par Eilenberg et MacLane au début des années 1950 autour de l'homologie des espaces qui portent désormais leur nom. Néanmoins, elle est restée peu usitée pendant quelques décennies, avant que des liens découverts entre l'homologie de Mac Lane (définie à partir de cette construction) et de nombreuses autres théories homologiques, notamment les groupes de torsion ou d'extensions dans certaines catégories de foncteurs, ne renouvellent l'intérêt qu'on lui portait (notamment en permettant des calculs, comme pour les corps finis ou l'anneau des entiers). De même, la notion générale d'objet cubique fut rapidement supplantée par celle d'objet simplicial en théorie de l'homotopie dans les années 1950, mais les structures cubiques reviennent dans certains travaux dans le domaine, depuis les années 1980-1990 (la notion d'objet cubique avec connexions permettant de pallier certains inconvénients des ensembles cubiques tout en préservant les avantages qu'ils présentent par rapport aux ensembles simpliciaux pour traiter de produits). Ce groupe de travail vise à présenter les structures cubiques en général et leur lien avec les structures simpliciales, la construction cubique de MacLane et quelques généralisations (en particulier autour de la notion de foncteur dérivé de Dold-Puppe), ainsi que les interactions de ces notions avec la topologie algébrique et la théorie homologique des catégories de foncteurs.


Emploi du temps:

Mardi 10 juin Mercredi 11 juin Jeudi 12 juin Vendredi 13 juin
9h30-10h Accueil-Café 9h-10h30 Exposé 4 9h-10h30 Exposé 8 9h-10h30 Franjou
10h-11h Exposé d'introduction 10h30-11h Pause 10h30-11h Pause 10h30-11h Pause
11h-12h30 Exposé 1 11h-12h Exposé 5 11h-12h30 Exposé 9 11h-12h30 Djament

14h30-16h Exposé 2 14h-15h Exposé 6 14h30-16h Touzé
16h-16h30 Pause 15h-16h Exposé 7 16h-16h30 Pause
16h30-17h30 Exposé 3 16h-16h30 Pause 16h30 Questions
16h30-17h30 Djament 19h30 Dîner

Programme:

  • Exposé d'introduction (Aurélien Djament) pdf

  • Exposé 1 : Structures cubiques et structures simpliciales (Geoffrey Powell) pdf

  • Exposé 2 : Théorèmes de type Dold-Kan (Christine Vespa) pdf

  • Exposé 3 : Foncteurs dérivés à la Dold-Puppe (I) (Serge Bouc) pdf

  • Exposé 4 : Foncteurs dérivés à la Dold-Puppe (II) (Andrea Cesaro) pdf

  • Exposé 5 : Applications topologiques des foncteurs dérivés à la Dold-Puppe (I) (suite spectrale de Curtis) (Alexandre Quesney) pdf

  • Exposé 6 : Applications topologiques des foncteurs dérivés à la Dold-Puppe (II) (produits symétriques et théorème de Dold-Thom) (Eric Hoffbeck) pdf

  • Exposé 7 : Différents points de vue sur les foncteurs dérivés non additifs (Simon Covez) pdf

  • Exposé 8 : Construction cubique et Gamma-modules (I) (Tuan Pham)

  • Exposé 9 : Construction cubique et Gamma-modules (II) (Georg Biedermann)


Un programme du contenu de ces exposés est accessible ici

Ce programme sera complété par les exposés suivants:

  • THH=HML=functor homology (Teimuraz Pirashvili) (Annulé)

  • Various homology theories of commutative algebras and functor homology (Teimuraz Pirashvili) (Annulé)

  • Foncteurs dérivés des foncteurs strictement polynomiaux (Antoine Touzé)

  • Extensions de foncteurs additifs parmi les foncteurs de degré donné, d'après J. Smith. (Vincent Franjou)

  • Homologie de Mac Lane, homologie des foncteurs et quelques autres théories homologiques (Aurélien Djament) pdf

    Résumé : le but de cet exposé consiste à donner un panorama des résultats de comparaison (co)homologique entre l'homologie des foncteurs (sur une catégorie de modules projectifs de type fini) et d'autres théories (co)homologiques. Nous commencerons par donner la définition précise de l'homologie de Mac Lane et esquisser la démonstration de son identification, établie par Jibladze et Pirashvili à la fin des années 1980, avec de l'homologie de foncteurs. Par la suite, nous évoquerons l'identification de cette homologie de foncteurs à d'autres théories homologiques, comme l'homologie de Hochschild topologique (résultat dû à Pirashvili et Waldhausen) et la K-théorie stable (Beltley, Suslin, Scorichenko).
    Il s'agira, au moins pour la deuxième partie, d'un exposé non technique à vocation culturelle.

  • Comparaison de groupes d'extensions entre catégories de foncteurs polynomiaux (Aurélien Djament) pdf

    Résumé: Dans un article du début des années 1990, T. Pirashvili montre que les groupes d'extensions dans la catégorie des foncteurs d'une petite catégorie additive A vers les groupes abéliens et dans sa sous-catégorie de foncteurs polynomiaux de degré au plus d coïncident dès lors que les trois hypothèses suivantes sont satisfaites :
    1) les groupes abéliens de morphismes de A sont sans torsion ;
    2) l'un des deux arguments des Ext est un foncteur additif ;
    3) le degré cohomologique est au plus 2d.
    Nous expliquerons comment généraliser ce résultat (avec des bornes généralement différentes de celle donnée par 3)) en s'affranchissant de 2) et en affaiblissant la première condition, supposant simplement que la torsion des groupes abéliens de morphismes de A est bornée. Nous montrerons également par un calcul simple en degré cohomologique 2 que, sans aucun contrôle sur la torsion, des phénomènes étranges peuvent survenir.
    L'approche originelle de Pirashvili, comme la nôtre, utilisent les propriétés de la filtration du foncteur algèbre de groupe par les puissances de son idéal d'augmentation, des suites exactes de type Koszul mais aussi la construction cubique de Mac Lane.

Malheureusement Teimuraz Pirashvili ne pourra pas participer à ce groupe de travail.

Informations pratiques:

Les exposés auront lieu en salle C9 du bâtiment de l'UFR de mathématiques.