Dernières modifications : 9 décembre 2014.




Masterclass : K-théorie topologique et applications

Strasbourg, 21 au 27 février 2015

Institut de Recherche de Mathématique Avancée




La K-théorie topologique à été introduite en géométrie algébrique par Grothendieck, et en topologie algébrique par Atiyah et Hirzebruch au début des années 1960. De nos jours il en existe de nombreuses variantes, comme la K-théorie algébrique et ses versions motiviques, la K-théorie équivariante, la K-théorie réelle d’Atiyah, et plus récemment la K-théorie tordue, avec ses applications en théorie quantique des champs.

La K-théorie topologique est une théorie de cohomologie généralisée qui admet une description géométrique en termes de fibrés vectoriels, avec extension en une théorie de cohomologie périodique grâce à la périodicité de Bott. Son origine géométrique mène à une puissante théorie d’opérations cohomologiques, dont les opérations d’Adams. Cette théorie a permis la résolution de problèmes géométriques profonds, telle la solution par Adams du célèbre problème des champs de vecteurs sur une sphère.

La nature géométrique de la K-théorie ouvre la voie à des applications en analyse, comme le renommé théorème d’indice d’Atiyah-Singer. En topologie algébrique, la partie de la théorie d’homotopie stable détectée par la K-théorie correspond, en langage moderne, aux phénomènes de type chromatique 1 ; l’étude des types chromatiques supérieurs, sujet central de la théorie d’homotopie stable moderne, généralise ce premier cas. De plus, la relation entre les fibrés sur C et sur R et l’action induite sur la K-théorie topologique par la conjugaison complexe est prototypique : quelques unes des avancées récentes (comme la résolution du problème de Kervaire) sont basées sur des généralisations de cette théorie.


Cours principaux. (Du lundi 23 février au vendredi 27 février) :

Les cours principaux seront complétés par des séances d’exercices.

Des cours introductifs seront organisés avant les cours principaux le samedi 21 février et seront dispensés par Hans-Werner Henn et Christine Vespa.

Les cours seront complétés par des exposés de recherche, introductifs à des sujets connexes, par :