Séminaire BOURBAKI Novembre 2004 57ème année, 2004-05, no 942

CORRESPONDANCES DE HECKE, ACTION DE GALOIS ET LA CONJECTURE D’ANDRÉ–OORT [d’après Edixhoven et Yafaev]

par Rutger NOOT

1. INTRODUCTION

Il y a une analogie très forte entre les conjectures de Manin–Mumford et d’André– Oort, dont la première est en effet un théorème dû à Raynaud. Dans les deux cas, on considère une certaine classe de variétés algébriques : les variétés abéliennes dans la première et les variétés de Shimura dans la deuxième conjecture. Dans chaque cas, on définit ensuite la notion de sous-variété (irréductible) spéciale. Dans le cas de variétés abéliennes, on parlera de sous-variétés de torsion, dans le cas des variétés de Shimura de sous-variétés de type Hodge. Une sous-variété spéciale de dimension nulle est un point spécial. Les définitions, dans le cas des variétés de Shimura, peuvent être consultées dans les paragraphes 2.1 et 2.2, l’analogie avec la conjecture de Manin–Mumford sera expliquée en détail dans 3.1. Les deux conjectures s’énoncent alors de la manière suivante.

Conjecture 1.1 (cf. Conjecture 2.3). — Soient S une variété de l’espèce considérée et Σ ⊂ S un ensemble de points spéciaux. Alors les composantes irréductibles de l’adhérence de Zariski de Σ sont des sous-variétés spéciales de S.

On reviendra plus tard, dans les paragraphes 3.1 et 5.1, sur l’analogie entre ces deux conjectures. La suite de cette introduction sera consacrée au cas le plus simple où la conjecture d’André–Oort n’est pas triviale. Cet exemple sera développé, dans le langage plus savant des variétés de Shimura, dans le paragraphe 5.2.

Soit ℍ = {τ ∈ ℂ | Im(τ) > 0} le demi-plan de Poincaré. Le groupe SL_{2}(ℝ) opère sur ℍ par les transformations de Moebius. Cette action est transitive et induit une action fidèle de groupe quotient SL_{2}(ℝ)/{±1}. On obtient une action de Γ = SL_{2}(ℤ) sur ℍ et on peut montrer que le quotient Γ\ℍ est une variété analytique. C’est le premier exemple d’une variété de Shimura. La fonction modulaire j: ℍ → ℂ (dont on peut trouver la définition dans [36, Chap. VII] par exemple) est Γ-invariante et elle induit

L’auteur a bénéficié du soutien du programme MRTN de l’Union Européenne, dans le cadre du réseau Arithmetic Algebraic Geometry (contrat MRTN-CT2003-504917).

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un isomorphisme Γ\ℍ ≅ ℂ. Un élément z du quotient Γ\ℍ est dit spécial si c’est la classe d’un élément τ ∈ ℍ qui est algébrique sur ℚ de degré 2, donc nécessairement quadratique imaginaire. On note que cette condition ne dépend pas du représentant τ choisi. De même, un point z ∈ ℂ est spécial si c’est l’image d’un élément spécial de Γ\ℍ sous l’isomorphisme ci-dessus. Dans ce cas, on dit aussi que z est un invariant modulaire singulier. Les points spéciaux de ℂ sont donc les nombres j(τ) avec τ ∈ ℍ quadratique imaginaire. On peut montrer, et cela traduit un principe général dans la théorie de variétés de Shimura, que tout point spécial de ℂ est un nombre algébrique.

La théorie présentée ci-dessus possède une interprétation naturelle en termes de courbes elliptiques. Pour tout τ ∈ ℍ, le quotient E_{τ} = ℂ/(ℤ + τℤ) est une courbe elliptique complexe et toute courbe elliptique sur ℂ est isomorphe à une courbe de cette forme. Deux courbes E_{τ} et E_{τ′} sont isomorphes si et seulement si j(τ) = j(τ′), de sorte que l’invariant modulaire j(τ) définit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de courbes elliptiques complexes et ℂ. En plus, pour F ⊂ ℂ algébriquement clos, une courbe elliptique peut être définie sur F si et seulement si son invariant modulaire appartient à F. Une courbe elliptique est de type CM si son anneau d’endomorphismes End(E_{τ}) n’est pas réduit à ℤ. Pour la courbe E_{τ} (avec τ ∈ ℍ) cela est le cas si et seulement si τ est quadratique imaginaire et End(E_{τ}) est alors un ordre dans le corps ℚ(τ). Les points spéciaux de ℂ sont donc les points correspondant aux courbes elliptiques de type CM. Comme une courbe de type CM peut être définie sur \overline{ℚ}, cela implique que les points spéciaux de ℂ sont algébriques.

La conjecture d’André–Oort étant triviale pour la variété de Shimura que l’on vient d’introduire, on va considérer dans la suite le produit de cette variété avec elle-même, c’est-à-dire qu’on regarde ℂ × ℂ comme quotient de ℍ × ℍ sous l’action de Γ × Γ. Les points spéciaux sont alors les (z, z′) ∈ ℂ^{2} avec z et z′ spéciaux. La seule sous-variété de ℂ^{2} de dimension 2 est ℂ^{2} et celle-ci est de type Hodge.

On distingue deux types de courbes (irréductibles) dans ℂ^{2} de type Hodge. La courbe {z} × ℂ resp. ℂ × {z′} est de type Hodge si et seulement si z, resp. z′, est spécial. Pour tout entier N, il existe une courbe de type Hodge Ỹ_{0}(N) ⊂ ℂ^{2} du deuxième type : Ỹ_{0}(N) est l’image de ℍ dans ℂ sous l’application τ ↦ (j(Nτ), j(τ)). Pour montrer que cette image est bien une courbe algébrique on utilise le fait que l’application τ ↦ (j(Nτ), j(τ)) se factorise par le quotient de ℍ pour un sous-groupe arithmétique de Γ. Le fait que cette définition ad hoc coïncide avec la définition donnée dans 2.2 est (mal) justifié dans le paragraphe 5.2 (alinéa suivant le théorème 5.3) et aussi (beaucoup mieux) dans Edixhoven [19, §2]. Notons aussi que Ỹ_{0}(N) est seulement birationnellement équivalente à la courbe modulaire Y_{0}(N).

Maintenant qu’on sait ce que veut dire la conjecture d’André–Oort pour ℂ^{2}, passons aux résultats connus dans ce cas. Pour la variété de Shimura ℂ^{2}, la conjecture 1.1 a été prouvée par André [4] sous une condition supplémentaire sur l’ensemble Σ et indépendamment par Edixhoven [17] sous l’hypothèse de Riemann généralisée. André [5] a ensuite réussi à enlever la condition sur Σ, donnant une démonstration inconditionnelle

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dans ce cas. La démonstration d’Edixhoven est reprise dans [19], qui donne aussi une variante (corollaire du théorème 7.1) où l’hypothèse de Riemann a été remplacée par une condition sur Σ. Dans le paragraphe 5.2 on reviendra sur les idées de la démonstration d’André. Quant à la démonstration d’Edixhoven, celle-ci a été généralisée par Edixhoven et Yafaev et s’applique maintenant, toujours sous des conditions supplémentaires, à beaucoup d’autres variétés de Shimura. Elle fait l’objet de la section 7.

On termine l’introduction en donnant les idées principales de cette méthode, appliquée au cas de ℂ^{2}. Il est suffisant de montrer que toute courbe algébrique irréductible Z ⊂ ℂ^{2} contenant un ensemble infini Σ de points spéciaux est de type Hodge. Soit Z une telle courbe. Comme les points spéciaux sont algébriques, la courbe Z est définie sur un corps de nombres F, c’est-à-dire que c’est une courbe Z ⊂ 𝔸_{F}^{2} . Si une des deux projections de Z est réduite à un point, alors ce point est spécial et l’énoncé est trivialement vérifié. On peut donc se borner au cas contraire où il faut montrer que Z = Ỹ_{0}(N) pour un certain entier N. Supposons que cela ne soit pas le cas et essayons d’en déduire une contradiction.

Pour tout entier m, la courbe Ỹ_{0}(m) ⊂ ℂ^{2} est une correspondance T_{m}: ℂ → ℂ, agissant sur les sous-ensembles X ⊂ ℂ par T_{m}X = π_{2}(π_{1}^{−1}(X)), où les π_{i}: Ỹ_{0}(m) → ℂ sont les restrictions des projections ℂ^{2} → ℂ. Le produit T_{m,m} = T_{m} × T_{m}: ℂ^{2} → ℂ^{2} est alors aussi une correspondance. Il suffit de trouver un nombre premier p tel que T_{p,p}Z = Z. En effet, si T_{p,p}Z = Z, alors la T_{p,p}-orbite de tout élément de Z est contenue dans Z. Comme toutes les T_{p,p}-orbites sont denses dans ℂ^{2}, cela implique que Z = ℂ^{2}, contredisant le fait que Z est une courbe. La conjecture est alors prouvée pour ℂ^{2}.

Il reste à trouver le nombre premier p avec cette propriété miraculeuse. L’argument se déroule en trois étapes.

1. On montre que si l’intersection Z ∩ T_{p,p}Z est finie, alors son ordre est majoré par c(p + 1)^{2} (pour une constante c > 0).

2. Le fait que Z ≠ Ỹ_{0}(N) pour tout N implique, via un théorème d’André sur le groupe de monodromie algébrique, que T_{p,p}Z est irréductible pour p > M, avec M assez grand. On utilise ici un cas particulier du théorème 7.5.

3. On se sert d’une description explicite de l’action du groupe de Galois absolu Γ_{F} de F sur les points spéciaux pour montrer qu’il existe un z ∈ Σ et un nombre premier p > M tels que T_{p,p}z contient un conjugué galoisien de z et tels que l’ordre de la Γ_{F} -orbite de z est supérieur à c(p + 1)^{2}.

La dernière étape nécessite une version effective du théorème de Chebotarev qui n’a été prouvé que sous l’hypothèse de Riemann généralisée, ce qui explique que le résultat dépend de GRH. Alternativement, une condition assez forte sur les points spéciaux dans Σ implique aussi l’existence de z et p, voir le théorème 7.1 et sa démonstration. Il faut aussi souligner que T_{p,p}Ỹ_{0}(N) n’est irréductible pour aucun nombre premier p et entier N > 0, donc l’hypothèse que Z ne soit pas une courbe modulaire est essentielle dans la deuxième étape.

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Comme Z et T_{p,p}Z sont définis sur F, la dernière étape implique que Z ∩ T_{p,p}Z contient toute l’orbite Γ_{F} ·z. En combinant la minoration de l’ordre de cette orbite avec la majoration de l’intersection établie dans la première étape on déduit que Z ∩ T_{p,p}Z est infini. Comme Z et T_{p,p}Z sont irréductibles on conclut que Z = T_{p,p}Z.

Remerciements. Je remercie tous ceux qui m’ont aidé dans la préparation de cet exposé et en particulier Bas Edixhoven pour sa relecture rapide et minutieuse du manuscrit.

2. LA CONJECTURE

2.1. Variétés de Shimura

Une variété de Shimura connexe est un quotient d’un domaine hermitien symétrique par l’action d’un groupe arithmétique. Une variété de Shimura générale est une réunion disjointe de variétés de Shimura connexes. Même si la conjecture d’André–Oort peut s’énoncer dans toute sa généralité pour les variétés de Shimura connexes, on utilisera le langage adélique de Deligne [15] et [16] parce que c’est le cadre naturel pour introduire les opérateurs de Hecke et les lois de réciprocité. Pour les détails du résumé succinct suivant, le lecteur est renvoyé aux deux articles de Deligne. Les notations introduites resteront en vigueur dans tout ce texte.

Notons ℂ^{×} = Res_{ℂ/ℝ}𝔾_{m} le tore sur ℝ obtenu par restriction de scalaires. Ce tore est caractérisé par la propriété que ℂ^{×}(A) = (ℂ⊗A)^{×} pour toute ℝ-algèbre A. Une donnée de Shimura est un couple (G, X), où G est un groupe linéaire algébrique réductif sur ℚ et X ⊂ Hom_{ℝ−grp}(ℂ^{×}, G_{ℝ}) une G(ℝ)-classe de conjugaison telle que les conditions habituelles [16, 2.1.1.{1,2,3}] soient vérifiées. Pour la suite, on fixe une donnée de Shimura (G, X). Les composantes connexes de X sont alors des (produits de) domaines hermitiens symétriques, en particulier X possède une structure complexe naturelle. Il est clair que les composantes de X sont toutes isomorphes entre elles et on en fixe une, notée X^{+}.

Soit 𝔸 (resp. 𝔸_{f}) l’anneau des adèles (finis) de ℚ, de sorte que 𝔸 = ℝ × 𝔸_{f} et 𝔸_{f} = ℤ̂ ⊗_{ℤ} ℚ où ℤ̂ est le complété profini de ℤ. Pour tout sous-groupe compact ouvert K ⊂ G(𝔸_{f}) on considère le quotient

Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) = G(ℚ)\ (X × G(𝔸_{f})/K) ,

où G(ℚ) opère sur X par conjugaison (c’est-à-dire par composition avec des automorphismes intérieurs) et sur G(𝔸_{f})/K par translation à gauche. Chaque composante connexe de Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) est isomorphe à un quotient de X^{+} par l’action d’un groupe arithmétique. Plus précisément, soient G(ℝ)^{+} la composante connexe de G(ℝ) pour la topologie euclidienne et G(ℚ)^{+} = G(ℚ) ∩ G(ℝ)^{+}, alors Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) est une réunion disjointe finie de quotients Γ_{g}\X^{+} avec g ∈ G(𝔸_{f}) et Γ_{g} = gKg^{−1} ∩ G(ℚ)^{+}. Ce quotient Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) est un espace analytique et il résulte d’un théorème de Baily et Borel que c’est la variété des points complexes d’une variété algébrique complexe quasi

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projective Sh_{K}(G, X)_{ℂ}. Cette variété est lisse pour K, et donc les Γ_{g}, assez petits. Cela est le cas en particulier si les Γ_{g} sont sans torsion.

Les variétés de Shimura Sh_{K}(G, X)_{ℂ} forment un système projectif indexé par les sous-groupes compacts ouverts K ⊂ G(𝔸_{f}) et leur limite projective est un ℂ-schéma Sh(G, X)_{ℂ} avec une action continue du groupe G(𝔸_{f}). L’action de g ∈ G(𝔸_{f}) sera noté

(1)  Sh(G, X)_{ℂ} ⟶^{·g} Sh(G, X)_{ℂ}.

Par construction de Sh(G, X)_{ℂ}, la variété Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est le quotient de Sh(G, X)_{ℂ} par l’action de K. Dans 6.2 on reviendra plus amplement sur cette action de G(𝔸_{f}).

2.2. Sous-variétés de type Hodge et points spéciaux

On définit de façon évidente la notion de morphisme f: (H, Y) → (G, X) de données de Shimura. Un tel morphisme induit un morphisme de schémas

(2)  Sh(f): Sh(H, Y)_{ℂ} → Sh(G, X)_{ℂ}.

Une sous-variété irréductible fermée Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est appelée une sous-variété de type Hodge s’il existe un morphisme f: (H, Y) → (G, X) de données de Shimura et un élément g ∈ G(𝔸_{f}) tels que Z soit une composante irréductible de l’image d’un morphisme composé

(3)  Sh(H, Y)_{ℂ} ⟶^{Sh(f)} Sh(G, X)_{ℂ} ⟶^{·g} Sh(G, X)_{ℂ} ⟶ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}.

Il n’est pas difficile de montrer (voir 6.2 pour plus de détails) que l’image d’une telle application est une sous-variété fermée, pas nécessairement irréductible, de Sh_{K}(G, X)_{ℂ}. Chaque composante irréductible de l’image de Sh(H, Y)_{ℂ} est l’image d’une composante connexe de Sh(H, Y)_{ℂ}.

Dans le cas particulier où H est un tore, la variété Sh(H, Y)_{ℂ} est de dimension nulle, donc les sous-variétés de type Hodge obtenues à partir de la construction précédente appliquée à (H, Y) sont des points. Les points obtenus de cette manière sont les points spéciaux de Sh_{K}(G, X)_{ℂ}. Les conditions imposées à une donnée de Shimura (H, Y) impliquent que les points spéciaux d’une variété de Shimura sont exactement les sousvariétés de type Hodge de dimension nulle. Une caractérisation équivalente des points spéciaux est obtenue en utilisant la notion de groupe de Mumford–Tate.

Définition 2.1. — Pour h ∈ X, son groupe de Mumford–Tate MT(h) est le plus petit sous-groupe algébrique H ⊂ G (défini sur ℚ) tel que h: ℂ^{×} → G_{ℝ} se factorise par H_{ℝ}.

Pour un point s ∈ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ), on choisit un représentant (h, a) ∈ X × G(𝔸_{f}) et on définit le groupe de Mumford–Tate MT(s) de s comme étant MT(h).

Soient les notations comme dans la définition. Si (h′, a′) ∈ X × G(𝔸_{f}) est un autre représentant de s, alors MT(h′) est conjugué à MT(h) par un élément de G(ℚ) donc MT(s) est défini à isomorphisme près (comme groupe algébrique sur ℚ) et à conjugaison

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près comme sous-groupe de G. Tout groupe de Mumford–Tate est réductif donc un groupe de Mumford–Tate est commutatif si et seulement si c’est un tore.

Lemme 2.2. — Un point s ∈ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) est spécial si et seulement si MT(s) est un tore.

On peut maintenant formuler la conjecture d’André–Oort.

Conjecture 2.3 (André–Oort). — Fixons une donnée de Shimura (G, X) et un sousgroupe compact ouvert K ⊂ G(𝔸_{f}). Soit Σ ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) un ensemble de points spéciaux. Alors chaque composante irréductible de l’adhérence de Zariski de Σ dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est une sous-variété de type Hodge.

On obtient un énoncé équivalent en considérant des variétés de Shimura connexes.

2.3. Densité de l’ensemble des points spéciaux

Notons tout de suite que la réciproque de la conjecture est vraie et qu’on a même un énoncé bien plus fort. Soit Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une variété de Shimura. Il suit de [15, §5] qu’il existe h ∈ X tel que MT(h) soit un tore et que, pour un tel h, l’ensemble des points spéciaux de la forme \overline{(h, a)} avec a ∈ G(𝔸_{f}) soit dense dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ) pour la topologie euclidienne. Ce fait joue un rôle important dans l’approche de la conjecture qui fait l’objet de cet exposé. On en déduit aussi, trivialement, que l’ensemble de tous les points spéciaux d’une variété de type Hodge est dense pour la topologie euclidienne.

3. HISTORIQUE

3.1. Analogie avec le théorème de Raynaud

La conjecture implique que si Z est une courbe irréductible fermée dans une variété de Shimura contenant un nombre infini de points spéciaux, alors Z est une sous-variété de type Hodge. Ce cas particulier figure dans [2, X.4.5] en tant que � Problem 3 �. Dans ce livre, André souligne l’analogie avec le théorème de Raynaud [34]. Ce théorème affirme qu’une courbe fermée dans une variété abélienne complexe A contenant un nombre infini de points de torsion de A(ℂ) est une translatée d’une courbe elliptique E ⊂ A par un point de torsion de A(ℂ).

Raynaud [35] a généralisé ce théorème à des sous-variétés quelconques de A contenant un sous-ensemble Zariski-dense de points de torsion, prouvant qu’une telle sous-variété est une sous-variété de torsion, c’est-à-dire un translaté d’une sous-variété abélienne par un point de torsion. Il a ainsi résolu la conjecture de Manin–Mumford. Dans l’introduction, on a souligné l’analogie entre la conjecture 2.3 et le théorème de Raynaud via le dictionnaire traduisant � variété de Shimura � en � variété abélienne �, � point spécial � en � point de torsion � et � sous-variété de type Hodge � en � sous-variété de torsion �. Dans 5.1 on verra comment cette comparaison peut être poussée plus loin.

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Hindry [21] et [22] montre des variantes quantitatives du théorème de Raynaud, pour des variétés abéliennes et des groupes algébriques commutatifs définis sur un corps de nombres F. Sa stratégie repose sur le fait que l’image de l’action du groupe de Galois absolu Γ_{F} sur l’ensemble des points de torsion contient beaucoup d’homothéties et sur un argument d’intersection. Ainsi, la stratégie de Hindry présente une analogie remarquable avec l’approche de la conjecture d’André–Oort par Edixhoven et Yafaev.

La conjecture de Manin–Mumford a été généralisée par Bogomolov qui considère une variété abélienne A sur un corps de nombres et demande si toute sous-variété X ⊂ A munie d’un ensemble Zariski-dense de points de X(\overline{ℚ}) de hauteurs � assez petites � est de torsion. La conjecture de Bogomolov a été démontrée par Szpiro, Ullmo et Zhang, par des méthodes d’équidistribution, voir [1] pour un compte rendu des méthodes. Des travaux récents de Clozel et Ullmo mettent en œuvre des idées analogues dans le contexte des variétés de Shimura. On reviendra là-dessus dans le paragraphe 5.3.

3.2. Espaces de modules de variétés abéliennes

Dans de nombreux cas, une variété de Shimura peut être interprétée comme un espace de modules de variétés abéliennes polarisées de dimension donnée, munies d’une structure de niveau et éventuellement de certaines structures supplémentaires. Du point de vue de la conjecture 2.3, il est suffisant de considérer le cas où on n’impose pas de structure supplémentaire, voir 6.3.

Soient g ≥ 1 un entier, V un ℤ-module libre de rang 2g muni d’une forme symplectique parfaite ψ = ⟨·, ·⟩ et GSp_{2g} = GSp(V_{ℚ}, ψ) le groupe des similitudes de la forme induite sur V_{ℚ} = V ⊗_{ℤ} ℚ. Soit h: ℂ^{×} → GSp_{2g/ℝ} un morphisme définissant sur V_{ℝ} une structure de ℂ-espace vectoriel tel que ⟨x, h(i)x⟩ > 0 pour tout 0 ≠ x ∈ V_{ℝ} et soit X_{g} la GSp_{2g}(ℝ)-classe de conjugaison de h. Pour n ≥ 1, on définit K_{n} ⊂ GSp_{2g}(ℤ̂) ⊂ GSp_{2g}(𝔸_{f}) comme le noyau de la projection GSp_{2g}(ℤ̂) → GSp_{2g}(ℤ/nℤ). La variété de Shimura Sh_{K_{n}}(GSp_{2g}, X_{g})_{ℂ} s’identifie alors à l’espace de modules 𝒜_{g,n/ℂ} des variétés abéliennes complexes principalement polarisées de dimension g, munies d’une structure de niveau n, cf. [15]. En ce qui concerne la structure de niveau, il faut l’interpréter comme une structure de niveau symplectique � de Jacobi � comme définie dans [27, 1.4].

Comme il est expliqué dans [26, §2], les sous-variétés de 𝒜_{g,n/ℂ} de type Hodge sont les sous-variétés irréductibles fermées maximales où certaines classes dans la cohomologie du schéma abélien universel sont des classes de Hodge. Les sous-variétés maximales où la variété abélienne correspondante admet des endomorphismes supplémentaires en sont des cas particuliers.

Les points spéciaux de 𝒜_{g,n/ℂ} sont les points correspondant aux variétés abéliennes de type CM. Rappelons qu’une variété abélienne simple A/ℂ est de type CM si dim End(A) ⊗_{ℤ} ℚ = 2 dim A et qu’en général, une variété abélienne est de type CM si elle est isogène à un produit de variétés abéliennes simples de type CM. On peut définir le groupe de Mumford–Tate d’une variété abélienne A/ℂ (à isomorphisme près)

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comme le groupe de Mumford–Tate du point de 𝒜_{g,n/ℂ} correspondant à A, voir la définition 2.1. On peut montrer qu’une variété abélienne est de type CM si et seulement si son groupe de Mumford–Tate est un tore.

Dans le cas particulier d’une variété de modules, la conjecture 2.3 affirme que toute sous-variété irréductible fermée Z ⊂ 𝒜_{g,n/ℂ} telle que Z(ℂ) contienne un ensemble Zariski-dense de points correspondant à des variétés abéliennes de type CM est une sous-variété de type Hodge. Cette version de la conjecture est émise par Oort dans [31] et [32], voir aussi la thèse de Moonen [25] et les deux publications [26] et [27] issues de cette thèse. Le contenu des deux derniers articles, lié à la conjecture d’André–Oort, fait l’objet de 5.1.

3.3. Généralisations

Dans [4, 3.2] et [6], André évoque la question suivante, qui généralise simultanément la conjecture 2.3 et le théorème de Raynaud cité en 3.1. On considère un groupe algébrique linéaire connexe G sur ℚ, un sous-groupe maximal compact K_{∞} ⊂ G(ℝ) contenant un ℝ-tore maximal et un sous-groupe de congruence Γ ⊂ G(ℚ). On suppose cette fois-ci que le quotient X = G(ℝ)/K_{∞} possède une structure complexe G(ℝ)^{+}-invariante et que S(ℂ) = Γ\X est l’ensemble de points d’une variété algébrique complexe S.

Une variété spéciale Z ⊂ S est une sous-variété fermée telle que Z(ℂ) soit l’image de gH(ℝ) ⊂ G(ℝ) dans S(ℂ), pour g ∈ G(ℚ) et H ⊂ G un sous-groupe algébrique tel que H(ℝ) ∩ K_{∞} soit un sous-groupe compact maximal de H(ℝ). Un point spécial est encore une sous-variété spéciale de dimension nulle.

L’énoncé de la conjecture d’André–Oort se généralise par la question suivante.

Question 3.1 (André). — Une sous-variété fermée Z ⊂ S est-elle spéciale si et seulement si Z(ℂ) contient un sous-ensemble Zariski-dense de points spéciaux ?

Cette question généralise la conjecture aux variétés de Shimura mixtes et elle généralise aussi l’énoncé du théorème de Raynaud. En effet, si n est assez grand, la variété de modules 𝒜_{g,n/ℂ} porte un schéma abélien universel 𝒳_{g} → 𝒜_{g,n/ℂ}. L’espace total 𝒳_{g} peut être obtenu par la construction esquissée ci-dessus. Dans cet exemple, les points spéciaux de 𝒳_{g}(ℂ) sont les points de torsion dans les fibres de 𝒳_{g} au-dessus des points spéciaux de 𝒜_{g,n/ℂ}. Les sous-variétés spéciales irréductibles sont les familles Z → \overline{Z} avec \overline{Z} ⊂ 𝒜_{g,n/ℂ} une sous-variété irréductible de type Hodge et Z l’adhérence dans 𝒳_{g} d’une sous-variété de torsion de la fibre générique de 𝒳_{g} × \overline{Z}. Dans [4], André traite le cas particulier d’un pinceau de courbes elliptiques, voir aussi [6].

Pink [33] propose une variante généralisant à la fois la conjecture 2.3 aux variétés de Shimura mixtes, avec l’hypothèse supplémentaire que tous les points spéciaux appartiennent à une seule orbite de Hecke généralisée, et impliquant la conjecture de Mordell– Lang. Très récemment, Pink a proposé une autre question qui implique la conjecture de Mordell–Lang et la conjecture d’André–Oort pour les variétés de Shimura mixtes, en toute généralité.

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Une variante de la conjecture 2.3 pour le produit de deux courbes modulaires de Drinfeld a été prouvée par Breuer [7]. La méthode de Breuer est basée sur celle d’Edixhoven et Yafaev. Dans le cas des courbes modulaires de Drinfeld, cette méthode donne un résultat inconditionnel parce que l’hypothèse de Riemann généralisée est vraie pour les corps de fonctions sur un corps fini.

4. QUELQUES APPLICATIONS

4.1. Jacobiennes de type CM

Les deux auteurs André [2] et Oort [31], [32] de la conjecture évoquent la relation entre leur variante de la conjecture et une conjecture de Coleman [12] concernant les jacobiennes de type CM. Il s’agit du problème suivant.

Conjecture 4.1 (Coleman). — Soit g ≥ 4 un entier. Il n’existe alors, à isomorphisme près, qu’un nombre fini de courbes projectives et lisses C/ℂ de genre g telles que Jac(C) soit de type CM.

En associant à une courbe sa variété jacobienne, on définit un morphisme de l’espace de modules des courbes algébriques de genre g vers 𝒜_{g,1/ℂ}. Soient 𝒯_{g/ℂ} l’image de ce morphisme et \overline{𝒯} _{g/ℂ} l’adhérence de Zariski de 𝒯_{g/ℂ}. En admettant la conjecture d’André–Oort, la conjecture de Coleman est équivalente à ce que \overline{𝒯} _{g/ℂ} ne contient aucune sous-variété de type Hodge de dimension strictement positive qui rencontre 𝒯_{g/ℂ}. Or, les exemples donnés dans [14] montrent que pour g = 4, 6 la variété \overline{𝒯} _{g/ℂ} contient bien de telles sous-variétés. Cela est aussi valable pour g = 7 car Oort a remarqué que les méthodes de [14] s’appliquent aussi à la famille de courbes lisses définie par y^{9} = x(x − 1)(x − λ). Il s’ensuit que la conjecture de Coleman est fausse pour g = 4, 6 et 7. La conjecture de Coleman et la question suivante restent toutefois ouvertes et intéressantes pour g ≥ 8.

Question 4.2 (Oort [31], [32]). — Quelles sont les variétés de type Hodge de dimension strictement positive qui sont contenues dans \overline{𝒯} _{g/ℂ} et qui rencontrent 𝒯_{g/ℂ}?

Pour répondre à la question, il faut comparer les dimensions des espaces de déformations de courbes munies d’une collection de classes de Hodge aux dimensions des espaces de déformations de variétés abéliennes avec les classes de Hodge correspondantes. Ce problème pourrait être un peu plus accessible que la conjecture de Coleman. Pour prouver la conjecture de Coleman par cette méthode, on aurait bien entendu besoin de la conjecture d’André–Oort.

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4.2. Transcendance et valeurs spéciales de fonctions hypergéométriques

Pour a, b, c ∈ ℚ avec −c ∉ ℕ, Wolfart [38] considère la fonction hypergéométrique multivaluée sur ℙ^{1}\{0, 1, ∞} définie pour |z| < 1 par

F (a, b, c; z) = 1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1)b(b + 1)}{2!c(c + 1)}z^{2} + · · · .

La fonction F (a, b, c; z) est solution de l’équation différentielle hypergéométrique. Wolfart s’intéresse alors au théorème suivant.

Théorème 4.3. — Soient E_{a,b,c} = \{ξ ∈ \overline{ℚ}\\{0, 1\} | ∃F (a, b, c; ξ) ∈ \overline{ℚ}\} et Δ le groupe de monodromie de l’équation différentielle hypergéométrique (ce groupe est muni d’une représentation fidèle naturelle). Alors

– E_{a,b,c} = \overline{ℚ}\\{0, 1\} si et seulement si Δ est fini,

– E_{a,b,c} ⫋ \overline{ℚ}\\{0, 1\} est infini si et seulement si Δ est un groupe arithmétique et – E_{a,b,c} est fini dans tous les autres cas.

La démonstration de Wolfart comportait une lacune, découverte par Gubler, qui a été comblée par Cohen et Wüstholz [11] en utilisant le cas particulier de la conjecture 2.3 prouvé par Edixhoven et Yafaev ([20] et le théorème 7.1 ci-après).

Indiquons brièvement comment on se ramène à la conjecture d’André–Oort. Si Δ est fini, alors F (a, b, c; z) est algébrique sur \overline{ℚ}(z). On supposera dans la suite que Δ est infini. La stratégie est d’exprimer F (a, b, c; z) comme le quotient d’une période d’une courbe algébrique C_{a,b,c,z} et une période d’une courbe algébrique D_{a,b,c}. La courbe D_{a,b,c} est une courbe de Fermat qui ne dépend pas de z et la période associée vient d’une variété abélienne de type CM.

La période de C_{a,b,c,z} est associée à une partie convenable A_{z} de sa jacobienne, dont la dimension g est indépendante de z. L’application qui envoie z ∈ ℂ\{0, 1} vers A_{z} définit un morphisme ℙ_{ℂ}^{1} → 𝒜_{g/ℂ}. Soit Z_{a,b,c} ⊂ 𝒜_{g/ℂ} l’image de cette application. D’une part, on montre que Z_{a,b,c} est une sous-variété de type Hodge si et seulement si Δ est un groupe arithmétique.

D’autre part, on déduit d’un théorème profond de Wüstholz que z et F (a, b, c; z) sont algébriques si et seulement si A_{z} et la jacobienne de D_{a,b,c} ont un facteur simple en commun. Dans ce cas, A_{z} est de type CM, avec une algèbre d’endomorphismes qui ne dépend pas de z. Si Z est de type Hodge, alors A_{z} est de ce type pour un nombre infini de z. Réciproquement, si E_{a,b,c} est infini, alors Z(ℂ) contient un nombre infini de points spéciaux et la conjecture 2.3 affirme que cela est le cas (si et) seulement si Z est de type Hodge. Comme les fibres de type CM ont la même algèbre d’endomorphismes, le théorème 7.1 fait déjà l’affaire et la preuve du théorème est achevée.

4.3. Une conjecture de Mazur

Vatsal et Cornut ont obtenu des résultats importants liés à une conjecture de Mazur concernant les sous-groupes d’une courbe elliptique E engendrés par les images des points de Heegner, via une paramétrisation modulaire de E. Dans [13], Cornut montre

942–11

qu’une partie de son résultat peut être déduit assez facilement du cas particulier de la conjecture d’André–Oort prouvé par Moonen (théorème 5.2).

5. AUTRES APPROCHES

5.1. Les variétés de type Hodge sont formellement linéaires

On considère à nouveau l’espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension g. Il existe un tel espace de modules (grossier) sur ℤ, on le note 𝒜_{g,1} = 𝒜_{g,1/ℤ}. Pour tout corps algébriquement clos k, l’ensemble 𝒜_{g,1}(k) est en bijection avec l’ensemble des classes d’isomorphisme des variétés abéliennes principalement polarisées sur k. En particulier, l’espace de modules 𝒜_{g,1/ℂ} sur ℂ considéré en 3.2 s’identifie à la fibre complexe 𝒜_{g,1} ⊗_{ℤ} ℂ.

Dans le reste de ce paragraphe, on fixe un entier n suffisamment grand pour que l’espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension g munies d’une structure de niveau n soit un espace de modules fin. On note 𝒜_{g,n} cet espace de modules sur ℤ[1/n]. En fixant un nombre premier p ne divisant pas n, le corps k = \overline{𝔽}_{p} et un point x ∈ 𝒜_{g,n}(k), on forme le complété formel 𝒜̂_{g,n} de 𝒜_{g,n/W (k)} en x, où W (k) désigne l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k. Pour tout anneau local complet R avec corps résiduel k, l’ensemble 𝒜̂_{g,n} (R) s’identifie à l’ensemble des points de 𝒜_{g,n}(R) dont la réduction modulo l’idéal maximal 𝔪_{R} de R est égale à x.

Supposons que le point x correspond à une variété abélienne ordinaire A/k, ce qui veut dire que le groupe de p-torsion de A(k) est de dimension maximale, isomorphe à (ℤ/pℤ)^{g}. La théorie de Serre–Tate montre que, dans ce cas, 𝒜̂_{g,n} est un groupe formel, isomorphe à 𝔾̂_{m}^{d}, avec d = dim_{ℤ} 𝒜_{g,n} = g(g + 1)/2. Ici 𝔾̂_{m} est le complété du groupe multiplicatif en l’élément neutre, de sorte que pour tout R comme ci-dessus, on a 𝔾̂_{m}(R) = (1 + 𝔪_{R})^{×}. Les points de 𝒜̂_{g,n} (R) correspondant aux variétés abéliennes de type CM sont exactement les points de torsion pour cette structure de groupe formel.

Si Z ⊂ 𝒜_{g,n/ℂ} est une sous-variété, on note \overline{Z} son adhérence dans 𝒜_{g,n} et si x ∈ \overline{Z}(k), alors le complété de \overline{Z}_{W (k)} en x est un sous-schéma formel Ẑ ⊂ 𝒜̂_{g,n} .

Théorème 5.1 ([29] et Moonen [27]). — Soient Z, \overline{Z} et Ẑ comme ci-dessus et supposons que x ∈ \overline{Z}(k) correspond à une variété abélienne ordinaire. Alors Z ⊂ 𝒜_{g,n/ℂ} est de type Hodge si et seulement si toute composante de Ẑ ⊂ 𝒜̂_{g,n} ≅ 𝔾̂_{m}^{d} est le translaté d’un sous-tore par un point de torsion.

Tout cela renforce encore l’analogie avec le théorème de Raynaud donné par le dictionnaire du 3.1. L’analogue du théorème de Raynaud pour les tores formels est vrai et, en utilisant Moonen [27, 3.7] et la proposition 6.7, cela implique le résultat suivant.

Théorème 5.2 (Moonen). — Soit Σ ⊂ 𝒜_{g,1}(\overline{ℚ}) un ensemble de points spéciaux. Soit p un nombre premier tel que pour tout s ∈ Σ il existe une place p-adique de \overline{ℚ} où la variété abélienne correspondant à s a bonne réduction ordinaire. Pour s ∈ Σ donné,

942–12

soit s_{0} le point de 𝒜_{g,1} correspondant à cette réduction et supposons que chaque s ∈ Σ est l’élément neutre du complété de 𝒜_{g,1} en s_{0}. Alors les composantes irréductibles de l’adhérence de Zariski de Σ sont de type Hodge.

Pour s ∈ Σ, soit End_{s} l’anneau des endomorphismes de la variété abélienne correspondante. Les conditions du théorème sont alors vérifiées si End_{s} ⊗_{ℤ} 𝔽_{p} ≅ ⊕_{i}M_{n_{i}}(𝔽_{p}) pour tout s ∈ Σ.

5.2. Le cas de ℂ^{2}

On fixe H = GL_{2}, on prend pour Y la G(ℝ)-classe de conjugaison d’un morphisme déduit de l’action naturelle de ℂ^{×} sur ℂ ≅ ℝ^{2} et on définit L ⊂ GL_{2}(𝔸_{f}) comme le stabilisateur d’un réseau ℤ̂^{2} ⊂ 𝔸_{f}^{2}. La variété de Shimura Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} s’identifie alors à l’espace de modules des courbes elliptiques, donc Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} ≅ 𝔸_{ℂ}^{1}. Comme dans l’introduction, on s’intéresse à la conjecture 2.3 pour la variété de Shimura

𝔸_{ℂ}^{2} = Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} × Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} = Sh_{K}(G, X)_{ℂ},

où G = H ×H, X = Y ×Y et K = L×L. Elle est interprétée comme espace de modules de produits E × E′ avec E et E′ des courbes elliptiques complexes. Pour toute courbe elliptique E/ℂ, on note j(E) son invariant modulaire et pour j ∈ 𝔸^{1}(ℂ), on notera E_{j} une courbe elliptique complexe d’invariant modulaire j. Rappelons de l’introduction et du paragraphe 3.2 que j est spécial si et seulement si E_{j} est de type CM.

La courbe modulaire Y_{0}(N) est l’espace de modules de triplets (E, E′, ι) où E et E′ sont des courbes elliptiques complexes et ι: E → E′ est une isogénie dont le noyau est cyclique d’ordre N. L’application (E, E′, ι) ↦ (j(E), j(E′)) définit un morphisme Y_{0}(N) → 𝔸_{ℂ}^{2} dont l’image est une sous-variété de type Hodge. Cette image est la courbe Ỹ_{0}(N) définie dans l’introduction. Avec les notations du paragraphe 2.2, c’est l’image de l’application (3) associée à l’inclusion diagonale f: (H, Y) → (G, X) et

g = (( \begin{matrix}N & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )).

Théorème 5.3 (André [5]). — Soit Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{2} une courbe algébrique irréductible, qui ne soit ni une droite horizontale ni une droite verticale. Alors Z est l’image d’une courbe modulaire Y_{0}(N) si et seulement si Z contient une infinité de points (j, j′) tels que j et j′ soient spéciaux.

Comme on a vu dans l’introduction, ceci prouve la conjecture 2.3 pour la variété de Shimura 𝔸_{ℂ}^{2}. Cela implique aussi le fait que les sous-variétés de type Hodge de 𝔸_{ℂ}^{2} différentes des droites horizontales et verticales sont les courbes modulaires, plongées dans 𝔸_{ℂ}^{2} comme ci-dessus. Notons qu’il n’est pas nécessaire de recourir à la conjecture d’André–Oort pour prouver ce fait, voir Edixhoven [19]. Des variantes du théorème 5.3 prouvées avec la méthode d’Edixhoven et Yafaev se trouvent dans Edixhoven [17] et [19].

Dans sa démonstration, André utilise une toute autre méthode, tellement élégante qu’il serait dommage de ne pas en donner un résumé. Soit Z comme dans l’énoncé et

942–13

soit Σ un ensemble infini de points spéciaux dans Z. D’après le lemme 6.1, Z est alors définie sur un corps de nombres. En la remplaçant par la réunion de ses conjugués sous l’action du groupe de Galois Γ_{ℚ} = Aut_{ℚ}(\overline{ℚ}), on se ramène au cas où Z est définie et irréductible sur ℚ (mais pas absolument irréductible). André montre ensuite que l’on peut extraire de Σ une suite ((j_{n}, j′_{n})) telle que E_{j_{n}} et E_{j′_{n}} admettent le même corps de multiplications complexes F_{n} et que la � distance � entre 𝒪_{n} = End(E_{j_{n}}) et End(E_{j′_{n}}) ⊂ F_{n} soit bornée. Comme Z est définie sur ℚ, on peut remplacer chaque ((j_{n}, j′_{n})) par un conjugué sous l’action du groupe de Galois. On se ramène ainsi au cas où E_{j_{n}} = ℂ/𝒪_{n}. On montre ensuite qu’en passant encore à une suite extraite, on peut supposer que (j_{n}, j′_{n}) → (∞, ∞) et que tous les points (j_{n}, j′_{n}) appartiennent à la même branche de Z passant par (∞, ∞). Les arguments précis utilisés ici sont loin d’être triviaux, le raisonnement repose entre autres sur un résultat de Masser en théorie de transcendance. C’est cette partie de la démonstration qui manquait dans le travail antérieur d’André [4].

On montre maintenant assez facilement que, après avoir remplacé la suite par une suite extraite, on peut choisir les périodes τ_{n} de E_{j_{n}} et τ′_{n} de E_{j′_{n}} sous la forme

τ_{n} = \frac{c_{n} + f_{n}\sqrt{d_{n}}}{2} , τ′_{n} = \frac{b_{n} + ff_{n}\sqrt{d_{n}}}{2a_{n}}

avec f, a_{n}, b_{n}, f_{n} entiers a_{n} ≥ |b_{n}| et c_{n} = 0 ou 1. Comme les points (j_{n}, j′_{n}) appartiennent à la même branche d’une courbe algébrique, on obtient via le développement de Puiseux une comparaison des ordres de croissance log |j_{n}| ≈ ρ log |j′_{n}|. Le développement de Fourier de l’invariant modulaire en fonction de la période τ donne des estimations log |j_{n}| ≈ πf_{n}\sqrt{|d_{n}|} et log |j′_{n}| ≈ (f/a_{n})πf_{n}\sqrt{|d_{n}|}. En combinant les deux estimations on montre d’abord que (a_{n}) est stationnaire et on se ramène ensuite trivialement au cas où les suites (b_{n}) et (c_{n}) le sont aussi. Cela implique que pour n ≫ 0, on a τ′_{n} = (k +lτ_{n})/m pour certains entiers k, l, m et on en déduit que Z contient l’image de Y_{0}(lm). Cette méthode se généralise sans trop de difficulté au cas d’une courbe Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{n}.

5.3. Méthodes d’équidistribution

Dans une série de publications qui a commencée avec [9], Clozel et Ullmo proposent une approche de la conjecture d’André–Oort basée sur des méthodes ergodiques dans l’esprit de Ratner et Margulis. Ce travail se rapproche des résultats liés aux conjectures de Manin–Mumford et (surtout) de Bogomolov signalés dans le paragraphe 3.1. Ullmo [37] en donne un résumé qui souligne cette analogie.

Un problème important est que les résultats de Clozel et Ullmo sont pour l’instant valables pour les orbites de points spéciaux sous les correspondances de Hecke provenant du groupe de Mumford–Tate du point spécial en question. Pour avoir une application naturelle à la conjecture 2.3, on aurait besoin des énoncés analogues pour les orbites sous l’action du groupe de Galois.

Dans la suite, on se restreint à deux résultats de Clozel et Ullmo. On considère d’abord, à nouveau, les sous-variétés de type Hodge de 𝔸_{ℂ}^{2} et on conserve les notations

942–14

de la section précédente. On note dμ la mesure de Poincaré sur ℂ = 𝔸^{1}(ℂ). C’est la mesure déduite de la mesure hyperbolique H-invariante sur Y. Pour une courbe irréductible fermée Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{2} qui n’est ni une droite horizontale, ni une droite verticale on note Z_{∗}μ la mesure sur ℂ image directe de dμ par la correspondance définie par Z, concrètement

∫_{ℂ} fdZ_{∗}μ = \frac{1}{d_{1}} ∫_{ℂ} ∑_{\begin{matrix}y tel que \\ π_{1}(y)=x \end{matrix}} f(π_{2}(y))dμ,

où π_{i}: Z → ℂ est la ième projection et d_{1} est le degré de π_{1}.

Théorème 5.4 (Clozel–Ullmo [8]). — On a Z_{∗}μ = μ si et seulement si Z est l’image d’une courbe Y_{0}(N).

Supposons maintenant que Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{2} est une courbe contenant une suite dense (s_{n}) de points spéciaux. Comme dans la démonstration du théorème 5.3, on peut supposer que Z soit définie sur ℚ. Dans [8, 2.4], Clozel et Ullmo proposent la piste suivante pour tenter de montrer que Z vérifie la condition du théorème 5.4 et de résoudre ainsi la conjecture 2.3 pour Z. Dans la suite on désigne, pour tout sous-ensemble fini E de Z, par Δ_{E} = \frac{1}{|E|} ∑_{s∈E} δ_{s} la mesure de Dirac normalisée associée. Chaque s_{n} correspond à un produit de deux courbes elliptiques et, comme dans la démonstration du théorème 5.3, on se ramène au cas où ces deux courbes ont multiplication complexe par le même corps F_{n}. En utilisant des résultats de Duke et de Clozel–Ullmo, on peut montrer que, en passant à une suite extraite, la suite de mesures (Δ_{Γ_{Fn}·s_{n}}) converge faiblement vers une mesure dν telle que (π_{1})_{∗}dν = dμ et (π_{2})_{∗}dν = dμ. Pour en déduire la conjecture d’André–Oort pour 𝔸_{ℂ}^{2}, via le théorème 5.4, on devrait montrer que ce fait implique que Z préserve la mesure dμ. Ce problème est encore ouvert.

La conjecture d’André–Oort a la conséquence suivante pour les sous-variétés d’une variété de Shimura. Soient Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une variété de Shimura et Y ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une sous-variété. Soit Σ l’ensemble des points spéciaux de Y (ℂ). La conjecture 2.3 implique alors que l’adhérence de Σ est une réunion finie ∪_{i=1}^{r}S_{i} de sous-variétés de type Hodge S_{i} ⊂ Y, maximales par construction. Si S′ ⊂ Y est une sous-variété de type Hodge, alors la densité des points spéciaux de S′(ℂ) résultant du paragraphe 2.3 implique que S′ est contenue dans une des S_{i}. Réciproquement, si dans toute sous-variété Y ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} il existe une réunion finie ∪_{i=1}^{r}S_{i} de sous-variétés de type Hodge qui contient toute sousvariété de type Hodge S′ ⊂ Y, alors la conjecture 2.3 est vraie pour Y. À noter que cette condition inclut le cas où S′ ou certaines S_{i} sont de dimension nulle, c’est-à-dire des points spéciaux.

En utilisant des méthodes ergodiques, Clozel et Ullmo montrent la variante suivante de cette propriété conjecturale. Dans ce théorème, où G est supposé adjoint, une sousvariété fortement spéciale S ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est une sous-variété de type Hodge qui est l’image d’une application composée (3) de 2.2 pour un groupe semi-simple H qui n’est pas contenu dans un ℚ-sous-groupe parabolique propre de G. En particulier, un point spécial n’est pas une sous-variété fortement spéciale.

942–15

Théorème 5.5 (Clozel–Ullmo [10]). — Soit Y ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} comme avant et supposons de plus que G est un groupe adjoint. Il existe alors un ensemble fini {S_{1}, …, S_{n}} de sous-variétés fortement spéciales de dimensions strictement positives tel que toute sous-variété fortement spéciale S′ ⊂ Y (avec dim S′ > 0) soit contenue dans une des S_{i}.

Le rapport d’Ullmo [37] donne une excellente introduction au sujet de cette section, même si la publication [10] a évolué depuis la parution du rapport en question. Pour terminer ce paragraphe, il est signalé que les questions d’équidistribution sont également étudiées dans Zhang [42] et Jiang, Li et Zhang [23].

6. COMPLÉMENTS SUR LES VARIÉTÉS DE SHIMURA

6.1. Modèles canoniques et lois de réciprocité

On associe à la donnée de Shimura (G, X) son corps dual^{(1)}, un corps de nombres E = E(G, X) ⊂ ℂ, voir [16, 2.2] pour la définition. D’après des travaux de Shimura, Deligne, Borovoi et Milne, la variété de Shimura Sh(G, X)_{ℂ} admet un modèle canonique Sh(G, X) sur E, voir [28, §2] pour un compte rendu des arguments. Ce modèle canonique est un E-schéma tel que Sh(G, X)_{ℂ} = Sh(G, X) ⊗_{E} ℂ et tel que l’action de G(𝔸_{f}) sur Sh(G, X)_{ℂ}, définie par les applications (1) dans 2.1, se descende en une action sur Sh(G, X). Tout cela implique que, pour tout sous-groupe compact ouvert K ⊂ G(𝔸_{f}), la variété Sh_{K}(G, X)_{ℂ} admet également un modèle (canonique) sur E et que chaque composante connexe de cette variété admet un modèle sur un corps de nombres. Par abus de langage, on parlera également de modèle canonique s’agissant d’une variété obtenue par extension de scalaires à partir d’un modèle canonique et d’une composante connexe d’une telle variété.

Le modèle canonique doit vérifier les conditions de [16, 2.2.5] exigeant que les points spéciaux soient algébriques et décrivant l’action du groupe de Galois sur ces points. De ces conditions on déduit sans peine que les morphismes de variétés de Shimura Sh(f) définis par le diagramme (2) dans 2.2 sont définis sur le composé E(H, Y)E(G, X) ⊂ ℂ des corps duaux des données de Shimura en jeu. La même chose est vraie pour la suite des applications (3), donc pour toute sous-variété de type Hodge S_{ℂ} ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} il existe une extension finie F ⊃ E(G, X) contenue dans ℂ telle que S_{ℂ} provienne, par extension de scalaires, d’une sous-variété S ⊂ Sh_{K}(G, X)_{F}.

Comme les points spéciaux sont algébriques, on a également le lemme suivant.

Lemme 6.1. — Soient (G, X) une donnée de Shimura, K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert et Z_{ℂ} ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une sous-variété irréductible et fermée contenant un ensemble Zariski-dense de points spéciaux. Alors il existe un corps de nombres F

(1)Reflex field en anglais.

942–16

avec E(G, X) ⊂ F ⊂ ℂ tel que Z_{ℂ} ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} provienne par extension de scalaires d’une sous-variété Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{F}.

Remarque 6.2. — Considérons à nouveau le groupe de similitudes symplectiques GSp_{2g}, la donnée de Shimura (GSp_{2g}, X_{g}) et les sous-groupes K_{n} ⊂ GSp(ℤ̂) introduits dans 3.2. On a vu que la variété de Shimura Sh_{K_{n}}(GSp_{2g}, X_{g})_{ℂ} peut être identifiée à l’espace de modules 𝒜_{g,n/ℂ} de variétés abéliennes complexes munies d’une structure de niveau n. Comme le problème de modules admet une solution (grossière) sur ℚ, on obtient un modèle 𝒜_{g,n/ℚ} de 𝒜_{g,n/ℂ} = Sh_{K_{n}}(GSp_{2g}, X_{g})_{ℂ}. La théorie de la multiplication complexe des variétés abéliennes permet de montrer qu’il s’agit du modèle canonique. Bien entendu, la définition d’un modèle canonique est conçue pour que cela soit le cas.

Dans la suite on se servira de la description de l’action du groupe de Galois sur l’ensemble des points spéciaux d’une variété de Shimura. Celle-ci est déduite de la loi de réciprocité décrivant l’action du groupe de Galois sur la variété de Shimura associée à un tore. Pour décrire cette loi, soient T un ℚ-tore et h: ℂ^{×} → T_{ℝ} un morphisme tels que (T, {h}) constitue une donnée de Shimura. Le modèle canonique Sh(T, {h}) est un E = E(T, {h})-schéma profini et sa donnée est donc équivalente à celle de l’ensemble Sh(T, \{h\})(\overline{E}) muni de l’action continue de Γ_{E} = Aut_{E}(\overline{E}).

L’inclusion ℝ ⊂ ℂ induit un morphisme de groupes ℂ^{×}(ℝ) → ℂ^{×}(ℂ) et les caractères z et z̄: ℂ_{ℂ}^{×} → 𝔾_{m/ℂ} sont définis par la condition que les composés

ℂ^{×} = ℂ^{×}(ℝ) ⟶ ℂ^{×}(ℂ) ⟶^{z,z̄} 𝔾_{m}(ℂ) = ℂ^{×}

soient respectivement l’identité et la conjugaison complexe^{(2)}. On définit le cocaractère r: 𝔾_{m/ℂ} → ℂ_{ℂ}^{×} comme le dual du caractère z. On pose

(4)  μ_{ℂ} = h ∘ r: 𝔾_{m/ℂ} → T_{ℂ}

et on définit le corps de nombres E = E(T, {h}) ⊂ ℂ comme le corps de définition de μ_{ℂ}. Le cocaractère μ_{ℂ} provient par extension de scalaires d’un morphisme μ: 𝔾_{m/E} → T_{E}. Le morphisme r(T, h) est défini par

(5)  r(T, h): E^{×} = Res_{E/ℚ}𝔾_{m/E} ⟶^{Res_{E/ℚ}μ} Res_{E/ℚ}T_{E} ⟶^{N_{E/ℚ}} T,

où Res_{E/ℚ} est la restriction de scalaires. Cette définition suit [24] où il est signalé que la définition donnée par Deligne [15] et [16] comporte une erreur de signe^{(3)}.

La théorie des corps de classes fournit une identification Γ_{E}^{ab} = π_{0} (E^{×}(ℚ)\E^{×}(𝔸)), qu’on normalise de sorte qu’une uniformisante en une place v corresponde au frobenius géométrique en v. L’action de σ ∈ Γ_{E}^{ab} sur

Sh(T, \{h\})(\overline{E}) = lim_{K⊂T (𝔸_{f})}Sh_{K}(T, \{h\})(\overline{E}) = lim T (ℚ)\T (𝔸_{f})/K = \overline{T (ℚ)}\T (𝔸_{f})

(2)La confusion occasionnée ici par le fait que ℂ^{×} désigne à la fois un groupe algébrique réel et le groupe multiplicatif du corps ℂ ne semble pas insurmontable.

(3)Noter également qu’entre [15] et [16] se produisent plusieurs changements de conventions affectant cette question, voir [24].

942–17

est la translation par la projection de r(T, h)(σ).

Lemme 6.3. — L’image de r(T, h): E^{×} → T est le groupe de Mumford–Tate de h.

Démonstration. — L’image T′ de r(T, h) est le tore engendré par les conjugués de μ_{ℂ} sous l’action de Aut(ℂ), donc T′ est le plus petit ℚ-sous-groupe de T tel que μ_{ℂ} se factorise par T′. Il s’ensuit que c’est aussi le plus petit sous-groupe de T tel que h se factorise par T′, c’est-à-dire le groupe de Mumford–Tate de h.

6.2. Correspondances de Hecke

Fixons une donnée de Shimura (G, X) et des sous-groupes K_{1}, K_{2} ⊂ G(𝔸_{f}) compacts ouverts. Le groupe G(𝔸_{f}) opère sur Sh(G, X), donc pour tout g ∈ G(𝔸_{f}) on a un diagramme, défini sur E(G, X),

Sh_{K_{1}}(G, X) ⟵^{π_{K_{1}}} Sh(G, X) ⟶^{·g} Sh(G, X) ⟶^{π_{K_{2}}} Sh_{K_{2}}(G, X).

Comme π_{K_{1}} et π_{K_{2}} ∘ ·g se factorisent par Sh_{K_{g}}(G, X) pour le sous-groupe compact ouvert K_{g} = K_{1} ∩ gK_{2}g^{−1}, l’image T_{g} de Sh(G, X) dans Sh_{K_{1}}(G, X) × Sh_{K_{2}}(G, X) est une correspondance (telle que les projections de T_{g} sur les deux facteurs soient finies). On la note T_{g}: Sh_{K_{1}}(G, X) → Sh_{K_{2}}(G, X) et on observe que T_{g} ne dépend que de la classe de g dans K_{1}\G(𝔸_{f})/K_{2}.

Pour toute extension F ⊃ E et toute sous-variété fermée Z ⊂ Sh_{K_{1}}(G, X)_{F} on écrira T_{g}Z = (π_{K_{2}} ∘ ·g)(π_{1}^{−1}Z), c’est une sous-variété fermée de Sh_{K_{2}}(G, X)_{F} (mais pas nécessairement irréductible, même si Z l’est). Cette notation sera utilisée en particulier pour des ensembles de points fermés. Pour x ∈ Sh_{K_{1}}(G, X)(ℂ) on choisit h ∈ X tel que x est la classe d’un élément (h, a) ∈ X × G(𝔸_{f}) et alors

T_{g}x = \{\overline{(h, ag)} ∈ Sh_{K_{2}}(G, X)(ℂ) | a ∈ G(𝔸_{f}) tel que \overline{(h, a)} = x ∈ Sh_{K_{1}}(G, X)(ℂ)\}.

Edixhoven montre le théorème suivant.

Théorème 6.4 (Edixhoven [18], Theorem 7.2). — Avec les notations introduites cidessus, supposons que Z_{i} ⊂ Sh_{K_{i}}(G, X)_{ℂ} (pour i = 1, 2) soient des sous-variétés fermées dont une (au moins) est de dimension ≤ 1. Il existe alors un entier c tel que pour tout g ∈ G(𝔸_{f}) pour lequel T_{g}Z_{1} ∩ Z_{2} est fini on ait

|T_{g}Z_{1} ∩ Z_{2}| ≤ c deg (Sh_{K_{g}}(G, X)_{ℂ} → Sh_{K_{1}}(G, X)_{ℂ}) .

La démonstration se trouve dans la section 7 de [18], qui peut être lue indépendamment du reste de l’article cité. On se ramène à un calcul dans Sh_{K_{g}}(G, X)_{ℂ} en prenant les images réciproques de T_{g}Z_{1} et de Z_{2}. L’idée est d’utiliser ensuite les compactifications de Baily–Borel des variétés de Shimura et les fibrés en droites amples construites par Baily et Borel. On se ramène ainsi au calcul des degrés des Z_{i} par rapport aux fibrés en question.

942–18

Corollaire 6.5. — Soient K ⊂ G(𝔸_{f}) compact ouvert et Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une courbe fermée. Alors il existe un entier c tel que pour tout g ∈ G(𝔸_{f}) pour lequel T_{g}Z ∩ Z est fini on ait

|T_{g}Z ∩ Z| ≤ c|K ∩ gKg^{−1}|.

De manière analogue à la construction donnée ci-dessus, on définit les correspondances de Hecke sur les variétés de Shimura connexes. Avec les notations précédentes, fixons une composante X^{+} de X comme dans 2.1, posons Γ_{i} = K_{i} ∩ G(ℚ)^{+} et soit S_{i} ≅ Γ_{i}\X^{+} l’image de X^{+} dans Sh_{K_{i}}(G, X)_{ℂ}. Alors tout élément g ∈ G(ℚ) définit une correspondance de S_{1} vers S_{2} via le diagramme

(6)  S_{1} ⟵^{π_{Γ_{1}}} X^{+} ⟶^{g·} X^{+} ⟶^{π_{Γ_{2}}} S_{2}.

Comme c’était le cas ci-dessus, la projection π_{Γ_{1}} et le composé π_{Γ_{2}} ∘ g· se factorisent par des morphismes entre variétés algébriques, ici Γ_{g}\X^{+} → S_{i} avec Γ_{g} = Γ ∩ g^{−1}Γg. On aura à se servir du lemme suivant, dont la démonstration est élémentaire.

Lemme 6.6. — Avec les notations en vigueur ci-dessus, soit g ∈ G(𝔸_{f}) et soient les g_{i} ∈ G(ℚ)^{+} tels que

G(ℚ)^{+} ∩ K_{1}gK_{2} = ∐_{i} Γ_{1}g_{i}^{−1}Γ_{2}.

Alors les composantes connexes de T_{g} ∩ (S_{1} × S_{2}) sont les T_{g_{i}}.

6.3. Modification de (G, X) et de K

Soient (G, X) une donnée de Shimura et K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert. Pour montrer (un cas particulier de) la conjecture d’André–Oort, pour la variété de Shimura Sh_{K}(G, X)_{ℂ}, il s’avère souvent utile de remplacer K et G par d’autres groupes. On donnera ici quelques arguments tirés de [20, §2] permettant de telles modifications dans les hypothèses.

Si K′ ⊃ K est un sous-groupe compact ouvert de G(𝔸_{f}), alors

Sh_{K}(G, X)_{ℂ} → Sh_{K′}(G, X)_{ℂ}

est un morphisme fini et une sous-variété irréductible de Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est de type Hodge si et seulement si son image l’est. Cela est vrai en particulier pour un point spécial et il s’ensuit :

Proposition 6.7. — La conjecture 2.3 pour un ensemble de points spéciaux Σ dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est équivalente à la conjecture pour l’image de Σ dans Sh_{K′}(G, X)_{ℂ}.

La discussion suivante est basée sur Moonen [26, 2.8 et 2.9] et Edixhoven–Yafaev [20, §2]. Soit Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une sous-variété irréductible. Il existe alors un sousgroupe H ⊂ G, un morphisme de données de Shimura (H, Y) → (G, X) et un élément g ∈ G(𝔸_{f}) tels que Z soit contenu dans l’image de l’application (3) de 2.2 et que H soit le groupe de Mumford–Tate générique sur Z. La composante irréductible S de l’image de (3) contenant Z est la plus petite sous-variété de type Hodge de Sh_{K}(G, X)_{ℂ}

942–19

contenant Z. L’application (3) se factorise par Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} pour un sous-groupe compact ouvert L ⊂ H(𝔸_{f}) et comme ci-dessus, l’application

Sh_{L}(H, Y)_{ℂ} → Sh_{K}(G, X)_{ℂ}

a la propriété qu’une sous-variété irréductible (resp. un point) de Sh_{K}(G, X)_{ℂ} est de type Hodge (resp. spécial) si et seulement si son image l’est.

Proposition 6.8. — Soient Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une sous-variété irréductible fermée et Σ un ensemble de points spéciaux, Zariski-dense dans Z. Pour montrer la conjecture 2.3 pour Z, on peut supposer que Z contient un point s avec MT(s) = G et que la plus petite sous-variété de type Hodge contenant Z est une composante connexe de Sh_{K}(G, X)_{ℂ}.

Définition 6.9. — Si Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} vérifie les conditions du théorème on dira que Z est Hodge générique.

Un énoncé similaire est valable pour le passage au groupe adjoint. Pour toute donnée de Shimura (G, X) on définit X^{ad} comme la G^{ad}(ℝ) classe de conjugaison dans Hom(ℂ^{×}, G_{ℝ}^{ad}) contenant l’image de X et (G^{ad}, X^{ad}) est alors aussi une donnée de Shimura. Il existe des sous-groupes compacts ouverts K ⊂ G(𝔸_{f}) et K^{ad} ⊂ G^{ad}(𝔸_{f}) tels que K^{ad} contienne l’image de K. Le morphisme Sh_{K}(G, X)_{ℂ} → Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad})_{ℂ} est alors fini et respecte les sous-variétés de type Hodge et les points spéciaux. Cela implique :

Proposition 6.10. — Soient les notations comme dans la proposition 6.8. Pour montrer la conjecture 2.3 pour Z, on peut remplacer G par son groupe adjoint et Z et Σ par leurs images Z^{ad} et Σ^{ad} dans Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad}). En outre, Z est Hodge générique si et seulement si Z^{ad} l’est.

7. L’APPROCHE D’EDIXHOVEN ET YAFAEV

7.1. Énoncés

Dans les différents résultats obtenus par Edixhoven [17], [18], Edixhoven–Yafaev [20] et Yafaev [39], [41], [40] on peut distinguer deux types d’hypothèses. Dans certains cas, on supposera que l’hypothèse de Riemann généralisée (GRH) soit vérifiée pour une classe de corps de nombres qui dépend des variétés de Shimura considérées. Dans d’autres cas, on impose une condition supplémentaire sur les points spéciaux contenus dans Σ. La stratégie des démonstrations est toutefois très proche d’un cas à l’autre. On cite d’abord les principaux résultats.

Théorème 7.1 (Edixhoven–Yafaev [20], Yafaev [41]). — Soient (G, X) une donnée de Shimura et K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert. Soit Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une courbe irréductible fermée contenant un ensemble infini Σ de points spéciaux.

942–20

Supposons que tous les groupes de Mumford–Tate MT(s) (voir définition 2.1) avec s ∈ Σ sont isomorphes. Alors Z est une sous-variété de type Hodge.

Sous une condition un peu plus restrictive sur Σ, le théorème 7.1 est montré dans [20, 1.2]. L’énoncé donné ici est prouvé dans [41, Theorem 1.3]. Le théorème 2.2 de [18] est maintenant le cas particulier du théorème 7.1 où la variété de Shimura est une surface modulaire de Hilbert. C’est l’analogue du théorème 7.2 avec une condition sur Σ au lieu de GRH.

L’hypothèse sur les points spéciaux en vigueur dans le théorème ci-dessus peut souvent être remplacée par l’hypothèse de Riemann généralisée. Ainsi le théorème 5.3, qui traite le cas de ℂ^{2}, a été démontré par Edixhoven [17, Theorem 1.1] en admettant GRH pour les corps quadratiques imaginaires. La démonstration dans ce cas a été esquissée dans l’introduction. Le théorème d’Edixhoven a été généralisé par Yafaev [39] à certains autres produits de deux courbes de Shimura. Un deuxième exemple est le théorème suivant qui concerne les surfaces modulaires de Hilbert. On introduit d’abord la notation nécessaire.

Soient F une extension quadratique réelle de ℚ et G = Res_{F/ℚ}GL_{2/F}. L’action de ℂ^{×} sur ℝ^{2} ≅ ℂ induit un morphisme ℂ^{×} → GL_{2/ℝ} dont on déduit

h: ℂ^{×} → G_{ℝ} = GL_{2/ℝ}^{2}.

Soit X la G(ℝ)-classe de conjugaison de h. Alors (G, X) est une donnée de Shimura et pour K ⊂ G(𝔸_{f}) compact ouvert, on définit la surface modulaire de Hilbert Sh_{K}(G, X)_{ℂ} associée à F.

Théorème 7.2 (Edixhoven [18]). — Supposons que l’hypothèse de Riemann généralisée soit vérifiée. Soient Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une surface modulaire de Hilbert et Z une courbe irréductible dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ} contenant un ensemble infini de points spéciaux. Alors Z est une sous-variété de type Hodge.

Remarque 7.3. — Dans [41], Yafaev montre que ce théorème est valable pour toute variété de Shimura. C’est-à-dire que sous l’hypothèse de Riemann généralisée, une courbe irréductible Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} contenant un ensemble infini de points spéciaux est une sous-variété de type Hodge, quelle que soit la variété de Shimura Sh_{K}(G, X)_{ℂ}. La démonstration suit la méthode de la démonstration du théorème 7.1 en l’améliorant sur plusieurs points.

7.2. La stratégie de la démonstration

Les démonstrations des théorèmes cités dans le paragraphe précédent reposent sur la caractérisation suivante des sous-variétés de type Hodge, donnée dans [20, 7.1].

Critère 7.4. — Soient (G, X) une donnée de Shimura, K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert assez petit et Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} une sous-variété irréductible et fermée. On suppose que G est adjoint et que Z est Hodge générique (dans le sens de la

942–21

définition 6.9). Comme dans 2.1, une composante X^{+} de X est fixée et S désigne l’image de X^{+} dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ}.

Soient p un nombre premier, g ∈ G(ℚ_{p}) et définissons les g_{i} ∈ G(ℚ)^{+} comme dans le lemme 6.6, de sorte que les T_{g_{i}} sont les composantes connexes de T_{g} sur S. Supposons que

1. les T_{g_{i}}Z et les T_{g_{i}^{−1}}Z sont irréductibles,

2. pour tout s ∈ S(ℂ) et tout g_{i}, l’orbite

(7)  ⋃_{n≥0} (T_{g_{i}} + T_{g_{i}^{−1}})^{n} (s)

est dense dans S pour la topologie euclidienne et

3. Z ⊂ T_{g}Z.

Alors Z = S, en particulier Z est de type Hodge.

Démonstration. — Supposons que les trois conditions du critère soient vérifiées. Comme Z ⊂ S et les T_{g_{i}} sont des correspondances S → S, on a Z ⊂ ∪T_{g_{i}}Z. Soit i tel que Z ⊂ T_{g_{i}}Z. La condition 7.4.1 implique alors que Z = T_{g_{i}}Z, que T_{g_{i}^{−1}}Z = T_{g_{i}^{−1}}T_{g_{i}}Z ⊃ Z et donc que Z = T_{g_{i}}Z = T_{g_{i}^{−1}}Z. Il s’ensuit que pour s ∈ Z(ℂ), la (T_{g_{i}} + T_{g_{i}^{−1}})-orbite de s est contenue dans Z et 7.4.2 implique alors que Z = S.

7.3. Les conditions 7.4.1 et 7.4.2

Dans cette section on verra comment on peut établir les deux premières conditions du critère 7.4. Dans les deux cas, (G, X) est une donnée de Shimura avec G semi-simple et adjoint et K ⊂ G(𝔸_{f}) est un sous-groupe compact ouvert. On écrit X^{+}, G(ℝ)^{+}, G(ℚ)^{+}, Γ = K ∩ G(ℚ)^{+} comme dans 2.1 et, comme avant, S = Γ\X^{+} désigne l’image de X^{+} dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ}. On suppose que K est assez petit pour que Γ opère librement sur X^{+} et que K est le produit de sous-groupes compacts ouverts K_{p} ⊂ G(ℚ_{p}).

Théorème 7.5 ([20], Theorem 5.1). — Avec les hypothèses ci-dessus, supposons que Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ} soit une sous-variété fermée, irréductible et Hodge générique (dans le sens de la définition 6.9) contenant un point spécial. Il existe alors un entier N_{1} tel que pour tout g ∈ G(ℚ)^{+} dont l’image dans G(ℚ_{ℓ}) est dans K_{ℓ} pour tout ℓ divisant N_{1}, l’image T_{g}Z est irréductible. Ici T_{g} est la correspondance de Hecke sur S définie par g.

Esquisse de la démonstration. — On reprend les notations de 6.2 pour la construction de T_{g} et on considère l’équation (6) avec S_{1} = S_{2} = S = Γ\X^{+} et S_{g} = Γ_{g}\X^{+} où Γ_{g} = Γ∩g^{−1}Γg. La correspondance T_{g} étant l’image de S_{g} dans S×S, il suffit de montrer que, sous les conditions du théorème, l’image réciproque Z_{g} de Z dans S_{g} est connexe. Pour le faire, on peut remplacer (et on remplace) Z et Z_{g} par leurs sous-variétés de points lisses.

On fixe un élément z ∈ Z(ℂ) dont le groupe de Mumford–Tate est égal à G. Le revêtement Z_{g} → Z correspond au π_{1}(Z, z)-ensemble Γ_{g}\Γ et il suffit de montrer que,

942–22

toujours sous les conditions du théorème, l’action de π_{1}(Z, z) sur Γ_{g}\Γ est transitive. Pour le faire, on construit une variation de ℤ-structures de Hodge sur S dont on considère la fibre Λ_{z} en z. Un théorème d’André [3, Proposition 2] implique que l’adhérence de Zariski de l’image de la représentation de monodromie de π_{1}(Z, z) sur Λ_{z} ⊗ ℚ (le groupe de monodromie algébrique) coïncide avec l’adhérence de Zariski de l’image de la représentation de π_{1}(S, z) sur Λ_{z} ⊗ ℚ.

On invoque ensuite un théorème de Nori [30, 5.3] qui assure l’existence d’un entier N_{1} tel que pour tout m premier à N_{1}, les images de π_{1}(Z, z) et de π_{1}(S, z) dans GL(Λ_{z}/mΛ_{z}) coïncident. Tout cela permet de montrer que si g vérifie les hypothèses de 7.5, avec N_{1} comme ci-dessus, alors l’action de π_{1}(Z, z) est transitive, prouvant ainsi l’énoncé. La démonstration détaillée attend le lecteur curieux dans [20, §5].

Théorème 7.6. — On conserve les notations fixées avant le théorème 7.5 et on décompose G = G_{1} × ⋯ × G_{r} comme produit de facteurs simples. Il existe un entier N_{2} tel que pour tout nombre premier p ≥ N_{2} l’énoncé suivant soit vérifié. Soit g ∈ G(ℚ_{p}) un élément dont la projection dans aucun G_{j}(ℚ_{p}) ne soit contenue dans un sous-groupe compact et soient les g_{i} ∈ G(ℚ)^{+} comme dans le lemme 6.6. Alors pour tout i et tout s ∈ S(ℂ), la (T_{g_{i}} +T_{g_{i}^{−1}})-orbite de s (donnée par (7)) est dense dans S pour la topologie euclidienne.

La démonstration est donnée dans [20, §6].

7.4. Orbites galoisiennes des points spéciaux

Soient (G, X) une donnée de Shimura avec G adjoint et K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert. On fixe une représentation fidèle ℚ-linéaire V de G et un réseau V_{ℤ} ⊂ V tel que K stabilise V_{ℤ}⊗ ℤ̂ ⊂ V ⊗ 𝔸_{f}. Pour tout sous-groupe algébrique H ⊂ G, on note H_{ℤ} l’adhérence de H dans GL(V_{ℤ}). Si T ⊂ G est un tore, Mauvais(T) est l’ensemble de nombres premiers p tels que la fibre de T_{ℤ} en caractéristique p ne soit pas un tore.

Soit R ⊂ G(𝔸_{f}) un ensemble de représentants (dont 1_{G}) pour l’ensemble (fini) des doubles classes G(ℚ)\G(𝔸_{f})/K. Pour tout s ∈ Sh_{K}(G, X)(ℂ) on fixe un représentant (h_{s}, a_{s}) ∈ X × G(𝔸_{f}) avec a_{s} ∈ R.

Théorème 7.7. — Avec les notations introduites ci-dessus, soient F ⊂ ℂ un corps de nombres contenant le corps dual E(G, X) et Sh_{K}(G, X) le modèle canonique sur F de la variété de Shimura Sh_{K}(G, X)_{ℂ}.

Soit s_{0} ∈ Sh_{K}(G, X)(\overline{ℚ}) un point spécial. Il existe alors des constantes c_{1} et c_{2} > 0 telles que pour tout s ∈ Sh_{K}(G, X)(\overline{ℚ}) avec MT(s) ≅ MT(s_{0}) on ait l’inégalité

|Γ_{F} · s| > c_{1} ∏_{p∈Mauvais(MT(h_{s}))} c_{2}p.

Remarque 7.8. — Noter que les tores MT(h_{s}) ⊂ G dépendent du choix des h_{s} et que les ensembles Mauvais(MT(h_{s})) dépendent en plus du choix de la représentation V et du réseau V_{ℤ}.

942–23

Remarque 7.9. — L’amélioration du théorème 7.7 (sous l’hypothèse de Riemann généralisée) est un des ingrédients principaux du travail de Yafaev [41] menant au résultat cité dans la remarque 7.3.

Esquisse de la démonstration. — Remarquons pour commencer que pour montrer le théorème, on peut modifier K et F à volonté. De plus, il suffit de prouver le théorème avec chaque s remplacé par une image sous la correspondance T_{a_{s}^{−1}} car R étant fini, le degré des T_{a_{s}^{−1}} est uniformément borné. Cela permet de supposer que a_{s} = 1_{G} pour tout s et que chaque s est dans l’image de Sh(MT(h_{s}), {h_{s}}) → Sh_{K}(G, X).

Dans la proposition suivante, Σ_{s_{0}} désigne l’ensemble des s ∈ Sh_{K}(G, X)(\overline{ℚ}) avec MT(s) ≅ MT(s_{0}). Via la représentation G → GL(V), on considère les h_{s} comme des applications ℂ^{×} → GL(V_{ℝ}).

Proposition 7.10 (Yafaev [41]). — L’ensemble des h_{s}: ℂ^{×} → GL(V_{ℝ}) avec s ∈ Σ_{s_{0}} est une réunion finie de GL(V)-classes de conjugaison.

Démonstration. — Comme G est adjoint, chaque morphisme h ∈ X est déterminé par le morphisme

μ_{h/ℂ} = h ∘ r: 𝔾_{m/ℂ} → ℂ_{ℂ}^{×} → G_{ℂ} ⊂ GL(V_{ℂ})

défini comme dans 6.1, formule (4). Il suffit donc de montrer que l’ensemble des GL(V)- classes de conjugaison dans l’ensemble des μ_{h_{s}} est fini, pour s parcourant Σ_{s_{0}}. Tous les μ_{h_{s}}, pour s ∈ Sh_{K}(G, X)(ℂ), sont conjugués sous G(ℂ), donc l’ensemble des poids de μ_{h_{s}} sur V_{ℂ} ne dépend pas de s.

Pour tout tore T sur ℚ notons X^{∗}(T) (resp. X_{∗}(T)) le groupe de (co)caractères de T, muni de l’action naturelle à gauche du groupe de Galois absolu Γ_{ℚ}. L’accouplement naturel ⟨·, ·⟩: X_{∗}(T) × X^{∗}(T) → ℤ vérifie ⟨x^{σ}, y^{σ}⟩ = ⟨x, y⟩ pour tout σ ∈ Γ_{ℚ}. Le groupe Γ_{ℚ} opère sur tous les MT(s) avec s ∈ Σ_{s_{0}} via le même quotient fini \overline{Γ}_{ℚ}.

Soit s ∈ Σ_{s_{0}}. Comme MT(s) est le groupe de Mumford–Tate de s, les conjugués galoisiens de μ_{s} engendrent X_{∗}(MT(s))⊗ℚ et on en déduit une surjection de Γ_{ℚ}-modules (à gauche) ℚ[\overline{Γ}_{ℚ}] → X_{∗}(MT(s)) ⊗ ℚ. Cela donne une injection X^{∗}(MT(s)) ⊂ ℤ[\overline{Γ}_{ℚ}] de Γ_{ℚ}-modules. Soit Π_{s} ⊂ X^{∗}(MT(s)) ⊂ ℤ[\overline{Γ}_{ℚ}] l’ensemble des caractères intervenant dans la représentation de MT(s)\overline{ℚ} sur V\overline{ℚ}. Comme Π_{s} est Γ_{ℚ}-invariant, on a

⟨μ_{h_{s}}^{σ}, Π_{s}⟩ = ⟨μ_{h_{s}}^{σ}, Π_{s}^{σ}⟩ = ⟨μ_{h_{s}}, Π_{s}⟩

pour tout σ ∈ Γ_{ℚ}. Comme ⟨μ_{h_{s}}, Π_{s}⟩ est l’ensemble des poids de μ_{h_{s}} agissant sur V_{ℂ}, celui-ci ne dépend pas de s. Les μ_{h_{s}}^{σ} constituent une base de X_{∗}(MT(s)) ⊗ ℚ, donc cela ne laisse qu’un nombre fini de possibilités pour Π_{s} (pour s parcourant Σ_{s_{0}}).

Pour montrer que l’ensemble des classes de GL(V)-conjugaison des μ_{h_{s}} est fini, on peut maintenant supposer que Π_{s} ne dépend pas de s. Comme Π_{s} engendre X^{∗}(MT(s)) en tant que sous-module de ℤ[\overline{Γ}_{ℚ}], il s’ensuit que X^{∗}(MT(s)) ⊂ ℤ[\overline{Γ}_{ℚ}] ne dépend pas de s. On obtient une identification des tores MT(s) qui, par construction, est compatible avec les cocaractères μ_{h_{s}}. En passant à un sous-ensemble infini, on peut supposer que la multiplicité de chaque χ ∈ Π_{s} dans la représentation de MT(s)\overline{ℚ} sur V\overline{ℚ} est indépendante

942–24

de s. Les tores MT(s) sont alors conjugués dans GL(V) et il en est de même pour les μ_{h_{s}}.

Soit Σ′_{s_{0}} l’ensemble des s tels que h_{s} soit le conjugué de h_{s_{0}} par un élément t_{s} ∈ GL(V). Grâce à la proposition, il suffit de prouver le théorème 7.7 pour s parcourant Σ′_{s_{0}}. Pour tout élément s ∈ Σ′_{s_{0}}, la conjugaison par t_{s} est un isomorphisme de données de Shimura (MT(h_{s_{0}}), {h_{s_{0}}}) ≅ (MT(h_{s}), {h_{s}}) et les corps duaux des (MT(h_{s}), {h_{s}}) coïncident avec le même corps E ⊂ ℂ. Les isomorphismes des données de Shimura sont compatibles avec les lois de réciprocité (définies dans 6.1, formule (5)).

On contemple le diagramme commutatif suivant (d’applications entre ensembles)

Sh(MT(h_{s_{0}}), {h_{s_{0}}})(ℂ) ⟶  Sh_{K}(G, X)(ℂ)
Sh(inn_{ts})↑  ↓
Sh(MT(h_{s}), {h_{s}})(ℂ) ⟶^{f_{s}} GL_{n}(ℚ)\ (Y × GL_{n}(𝔸_{f})/GL_{n}(ℤ̂)) .

La flèche Sh(inn_{t_{s}}) vient de l’isomorphisme entre modèles canoniques, les points complexes des variétés dans la colonne de gauche sont \overline{ℚ}-rationnels et Sh(inn_{t_{s}}) est Γ_{E}- équivariant. La première flèche horizontale vient aussi d’un morphisme entre modèles canoniques et on voit assez facilement (cf. [20, 4.2]) que, pour prouver le théorème, il suffit de donner une borne inférieure pour l’ordre de la (ℤ̂ ⊗ 𝒪_{E})^{×}-orbite de s dans Sh_{K}(G, X)(ℂ), pour l’action de (ℤ̂ ⊗ 𝒪_{E})^{×} donnée par r(MT(h_{s}), {h_{s}}).

En ce qui concerne l’ensemble GL_{n}(ℚ)\(Y × GL_{n}(𝔸_{f})/GL_{n}(ℤ̂)), on a identifié V ≅ ℚ^{n}, noté par ρ: G → GL_{n/ℚ} le morphisme déduit de la représentation de G sur V et défini Y comme la classe de conjugaison de morphismes ℂ^{×} → GL_{n/ℝ} contenant l’image de X. Cela définit la deuxième colonne du diagramme et permet de définir f_{s} comme l’application rendant le carré commutatif. Cette application est déduite de la composée ρ_{|MT(h_{s})} ∘ inn_{t_{s}} en passant au quotient. Dans [20, §4] l’estimation de l’orbite de s provient d’une minoration de l’ordre de l’orbite de l’image de s dans GL_{n}(ℚ)\(Y × GL_{n}(𝔸_{f})/GL_{n}(ℤ̂)) sous l’action de (ℤ̂ ⊗ 𝒪_{E})^{×} via la loi de réciprocité r(MT(h_{s}), h_{s}). On se ramène au calcul de l’orbite de t_{s} dans GL_{n}(𝔸_{f})/GL_{n}(ℤ̂) sous l’action de (ℤ̂ ⊗ 𝒪_{E})^{×} donnée par r(MT(h_{s_{0}}), h_{s_{0}})^{m} pour un entier m assez grand. Ceci est achevé par un calcul long mais explicite qui occupe [20, 4.3 et 4.4].

7.5. Fin de la démonstration du théorème 7.1

Les différentes propositions dans 6.3 permettent de se ramener au cas où le groupe G est adjoint, Z est Hodge générique et K est le produit de sous-groupes compacts ouverts K_{p} ⊂ G(ℚ_{p}). En appliquant une correspondance de Hecke, on peut en outre supposer que

(8)  Z ⊂ S ⊂ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}

avec S l’image dans Sh_{K}(G, X) d’une composante connexe fixée X^{+} de X. On fixe, pour tout s ∈ Σ, un élément h_{s} ∈ X^{+} tel que s = \overline{(h_{s}, 1)} ∈ Sh_{K}(G, X)_{ℂ}(ℂ). Le lemme 6.1

942–25

montre que les variétés et les inclusions de l’équation (8) sont définies sur un corps de nombres F ⊂ ℂ et on en fixe un modèle sur F. On supposera aussi que tous les tores MT(s), pour s ∈ Σ, sont décomposés sur F. Comme dans le paragraphe 7.4 on fixe une représentation fidèle ℚ-linéaire V de G et un réseau V_{ℤ} ⊂ V de sorte que l’on peut prendre l’adhérence H_{ℤ} de tout sous-groupe H ⊂ G et définir Mauvais(T) pour tout tore T ⊂ G comme dans 7.4. Dans la suite de la démonstration, on note m(s) l’ordre de l’ensemble Mauvais(MT(h_{s})) et on distingue deux possibilités.

Le cas où m(s) est borné. — Pour tout nombre premier, p soit Σ_{p} l’ensemble des s ∈ Σ tels que MT(h_{s})_{𝔽_{p}} soit un tore. Supposons que m(s) < B pour tout s ∈ Σ. Pour tout ensemble E de nombres premiers avec |E| = B, on a alors ∪_{p∈E}Σ_{p} = Σ et pour au moins un p ∈ E l’ensemble Σ_{p} est dense dans Z. Il y a donc au plus B − 1 nombres premiers tels que Σ_{p} ne soit pas Zariski-dense. Il s’ensuit qu’il existe une infinité de nombres premiers p supérieurs à N_{1} (comme dans le théorème 7.5), et à N_{2} (du théorème 7.6), avec G_{𝔽_{p}} lisse, K_{p} = G_{ℤ}(ℤ_{p}) et Σ_{p} ⊂ Z Zariski-dense et tels que tous les MT(h_{s})_{ℚ_{p}} (pour s ∈ Σ) soient scindés. Seule la dernière condition pourrait exclure un ensemble infini de nombres premiers, mais le théorème de Chebotarev implique qu’elle est vérifiée pour un ensemble de p avec une densité positive.

En utilisant [20, Proposition 7.3.1] on se ramène au cas où les tores MT(h_{s})_{ℤ_{p}} (pour s ∈ Σ_{p}) sont conjugués sous K_{p}. On fixe un élément s_{0} ∈ Σ_{p} et, pour tout s ∈ Σ_{p}, un transporteur t_{s} ∈ K_{p} tel que MT(h_{s}) = t_{s}MT(h_{s_{0}})t_{s}^{−1}. Dans [20, 7.3], il est montré qu’il existe g ∈ MT(h_{s_{0}})(ℚ_{p}) dans l’image de Γ_{F} (via le morphisme de réciprocité) vérifiant les conditions du théorème 7.6. La démonstration utilise les faits que r(MT(h_{s_{0}}), {h_{s_{0}}}) est une surjection (de groupes algébriques) et que MT(h_{s_{0}})_{ℚ_{p}} est scindé.

Pour tout s ∈ Σ_{p}, le conjugué t_{s}gt_{s}^{−1} ∈ MT(h_{s}) est dans l’image de Γ_{F} par le morphisme de réciprocité donc \overline{(h_{s}, t_{s}gt_{s}^{−1})} ∈ Γ_{F} · s. Comme on a également \overline{(h_{s}, t_{s}gt_{s}^{−1})} = \overline{(h_{s}, t_{s}g)} ∈ T_{g}s, on conclut que Γ_{F} · s rencontre T_{g}Z. Comme T_{g}Z est définie sur F, cela implique que s ∈ T_{g}Z.

On a montré que Σ_{p} ⊂ T_{g}Z(ℂ) et cela implique que Z ⊂ T_{g}Z. Les conditions du critère 7.4 étant vérifiées, le théorème est démontré dans ce premier cas.

Remarque 7.11. — Les résultats de la section 7.4 concernant les orbites galoisiennes n’ont pas étés utilisés dans le cas qui vient d’être traité. On ne s’est pas non plus servi de l’hypothèse que Z soit une courbe.

Le cas où m(s) n’est pas borné. — Pour les détails le lecteur est renvoyé à [20, 7.4]. En utilisant le corollaire 6.5 et une étude de l’action des tores MT(s)_{ℤ_{p}} sur V_{ℤ_{p}} on montre le lemme suivant, voir [20, Corollary 7.4.4].

Lemme 7.12. — Il existe un entier k avec la propriété suivante. Soient s ∈ Σ et p un nombre premier tels que MT(h_{s})_{ℚ_{p}} soit scindé et p ∉ Mauvais(MT(h_{s})). Alors il existe un g ∈ MT(h_{s})(ℚ_{p}) appartenant à r(MT(h_{s}), {h_{s}})(ℚ_{p} ⊗F), vérifiant les conditions du théorème 7.6 et tel que |T_{g}Z ∩ Z| ≤ p^{k} si cette intersection est finie.

942–26

Soit k comme dans le lemme. Comme m(s) devient arbitrairement grand, le théorème de Chebotarev implique l’existence d’un élément s ∈ Σ et d’un nombre premier p vérifiant les conditions du lemme, avec p ≥ N_{1} et N_{2} (comme dans les théorèmes 7.5 et 7.6) et tels que la minoration de |Γ_{F} · s| établie dans le théorème 7.7 soit supérieure à p^{k}. Pour l’élément g fourni par le lemme ci-dessus, le fait que g appartient à l’image de Γ_{F} assure que T_{g}s contient un conjugué de s sous Γ_{F} et donc que Γ_{F} · s ⊂ T_{g}Z ∩ Z. Il s’ensuit que l’intersection T_{g}Z ∩ Z ne peut pas être finie et comme Z est irréductible on en déduit que Z ⊂ T_{g}Z. L’élément g vérifie les conditions du critère 7.4 et la démonstration du théorème est achevée.

7.6. Esquisse de la démonstration du théorème 7.2

Rappelons les notations en vigueur dans le théorème 7.2. On a fixé une extension quadratique réelle F de ℚ, posé G = Res_{F/ℚ}GL_{2/F}, construit un morphisme

h: ℂ^{×} → G_{ℝ} = GL_{2/ℝ}^{2}

et défini X comme la G(ℝ) classe de conjugaison de h. Le groupe G admet un modèle naturel sur ℤ, à savoir G_{ℤ} = Res_{𝒪_{F} /ℤ} GL_{2/𝒪_{F}} et on pose K = G_{ℤ}(ℤ̂). La variété de Shimura Sh_{K}(G, X)_{ℂ} admet alors un modèle canonique sur ℚ. On se donne un corps de nombres F et une courbe irréductible fermée Z ⊂ Sh_{K}(G, X)_{F} contenant un ensemble infini Σ de points spéciaux. Il faut montrer que Z est de type Hodge.

Dans [18] on travaille avec la donnée de Shimura (G, X) et avec une donnée de Shimura (G′, X′) associée à un sous-groupe G′ ⊂ G. Ici on essayera de se ramener autant que possible à la méthode exposée ci-dessus. On passe donc à la donnée de Shimura adjointe (G^{ad}, X^{ad}) en remarquant que celle-ci est aussi la donnée de Shimura adjointe de (G′, X′). Le groupe G^{ad} hérite d’un modèle entier G_{ℤ}^{ad} et on prend K^{ad} = G_{ℤ}^{ad}(ℤ̂). L’image de Z dans Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad}) est notée Z^{ad}. Si Z^{ad} n’est pas Hodge générique, alors le théorème 7.2 est trivialement valable et on supposera dans la suite qu’on se trouve dans le cas restant : Z^{ad} ⊂ Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad}) est Hodge générique. Il suffit de montrer que Z^{ad} est une composante de Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad}), car cela implique que Z^{ad} est de type Hodge. Alternativement, si Z^{ad} est une composante de Sh_{K^{ad}}(G^{ad}, X^{ad}), cela contredit le fait que Z^{ad} soit une courbe. En tout cas, le théorème sera prouvé.

On a G(ℚ_{p}) = GL_{2}(F ⊗_{ℚ} ℚ_{p}). Le critère 7.4 sera appliqué à la correspondance de Hecke T_{p}^{ad} associée à l’image dans G^{ad}(𝔸_{f}) d’un élément de la forme

(\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ GL_{2}(F ⊗ ℚ_{p}) = G(ℚ_{p}) ⊂ G(𝔸_{f}),

avec p premier. Les théorèmes 7.5 et 7.6 impliquent l’existence de constantes N_{1} et N_{2} tels que les conditions 7.4.1 et 7.4.2 soient vérifiées pour p ≥ N = max(N_{1}, N_{2}).

Pour que la condition 7.4.3 soit vérifiée, on utilise la même idée que ci-dessus, c’està-dire qu’on choisira p tel que l’intersection T_{p}^{ad}Z^{ad} ∩ Z^{ad} ne puisse pas être propre. Si cette intersection est propre, alors la borne supérieure pour |T_{p}^{ad}Z^{ad} ∩ Z^{ad}| fournie par le corollaire 6.5 est de la forme c_{1}p^{k} pour une constante c_{1} > 0 et un entier k.

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Il reste à trouver une minoration |T_{p}^{ad}Z^{ad} ∩ Z^{ad}| et pour cela on suivra [18]. En particulier, on se place à nouveau dans Sh_{K}(G, X)_{F} où il suffit maintenant de trouver une estimation de |T_{p}Z∩Z|. La variété Sh_{K}(G, X) peut être interprétée comme espace de modules de variétés abéliennes munies d’une injection 𝒪_{K} ⊂ End(A) vérifiant certaines conditions. Pour tout s ∈ Sh_{K}(G, X), on note R_{s} l’anneau End_{𝒪_{K}} (A_{s}) où A_{s} est la variété abélienne correspondante à s. Par des arguments similaires à ceux utilisés dans le paragraphe 7.5, Edixhoven montre dans [18, Lemma 8.1] que si s ∈ Z(\overline{ℚ}) est un point spécial et p un nombre premier tels que R_{s} soit scindé au-dessus de p, on a Γ_{F} · s ⊂ T_{p}Z ∩ Z.

Le théorème 7.7 trouve un analogue dans [18, Theorem 6.2]^{(4)} qui donne une estimation |Γ_{F} · s| > c_{2}d_{s} où d_{s} = |discr(R_{s})|^{1/4−ε} et c_{2} > 0. On peut montrer que, pour s ∈ Σ, le nombre d_{s} devient arbitrairement grand. L’hypothèse de Riemann généralisée implique une version effective du théorème de Chebotarev dont on déduit que, pour d_{s} assez grand, il existe des nombres premiers p tels que R_{s} ⊗ 𝔽_{p} ≅ 𝔽_{p}^{n} et vérifiant une estimation de valeur polynomiale en log d_{s}. Toujours pour d_{s} assez grand on en déduit l’existence d’un tel nombre premier p avec c_{2}d_{s} > c_{1}p^{2}. Pour un tel p on a Z ⊂ T_{p}Z et le critère 7.4 implique alors le théorème.

8. SOUS-VARIÉTÉS DE DIMENSION SUPÉRIEURE

8.1. Travaux de Moonen et de Yafaev

Le premier cas particulier de la conjecture d’André–Oort qui ait été prouvé est dû à Moonen, voir le paragraphe 5.1. Ses résultats sont valables pour des sous-variétés de dimension arbitraire dans les variétés de Shimura. Les énoncés prouvés par la méthode d’Edixhoven et Yafaev traités jusqu’ici sont limités au cas des courbes contenues dans les variétés de Shimura. Toutefois, en généralisant la démonstration du théorème 7.1, en particulier le cas où la fonction m(s) est bornée, et en adaptant les théorèmes 7.5 et 7.6, Yafaev [40] prouve la généralisation suivante du théorème 5.2.

Théorème 8.1. — Soient (G, X) une donnée de Shimura (G, X) et K ⊂ G(𝔸_{f}) un sous-groupe compact ouvert. On fixe une représentation fidèle ℚ-linéaire V de G muni d’un réseau V_{ℤ} ⊂ V et, en utilisant cette représentation, on identifie G avec un sousgroupe fermé de GL_{n/ℚ}.

Soit Σ_{X} ⊂ X un ensemble de points spéciaux. Supposons qu’il existe un nombre premier p vérifiant la condition que pour tout s ∈ Σ_{X} il existe un sous-tore M_{s} ≅ 𝔾_{m/ℚ_{p}} de MT(s)_{ℚ_{p}} tel que

– l’ensemble des poids de M_{s} agissant sur V_{ℚ_{p}} est uniformément borné en s,

– pour aucun quotient non trivial T de MT(s), l’image de M_{s} dans T_{ℚ_{p}} ne soit triviale et

(4)Historiquement, le théorème 7.7 est postérieur à [18].

942–28

– l’adhérence de M_{s} dans GL_{n/ℤ_{p}} est isomorphe à 𝔾_{m/ℤ_{p}}. Alors pour tout g ∈ G(𝔸_{f}) les composantes irréductibles de l’adhérence de l’image de Σ_{X} × {g} dans Sh_{K}(G, X)_{ℂ} sont de type Hodge.

8.2. Le cas de ℂ^{n}

Signalons encore que la méthode d’André esquissée dans le paragraphe 5.2 permet de montrer la conjecture d’André–Oort inconditionnellement pour les courbes dans 𝔸_{ℂ}^{n}. Dans [19] Edixhoven adapte sa méthode au cas d’une sous-variété de dimension quelconque de 𝔸_{ℂ}^{n} contenant un sous-ensemble dense de points spéciaux.

Dans la section précédente, le fait que la sous-variété Z est une courbe est essentiel dans la fin de la démonstration : pour appliquer le critère 7.4 il faut que Z ⊂ T_{g}Z, pour une correspondance de Hecke convenable T_{g}. Pour montrer cette inclusion dans le cas où Z est une courbe irréductible, il suffit de montrer que l’intersection ne peut pas être finie. On verra ici, de manière succincte, comment l’approche d’Edixhoven [17] peut être généralisée pour des sous-ensembles de points spéciaux dans 𝔸_{ℂ}^{n}, vu comme produit n copies de la courbe modulaire. Dans la suite on note, comme dans 5.2, 𝔸^{1} la variété de modules (grossière) des courbes elliptiques. On a alors les trois résultats suivants, dus à Edixhoven [19].

Théorème 8.2. — Soit Σ ⊂ 𝔸^{n}(ℂ) un ensemble de points spéciaux. Supposons que l’hypothèse de Riemann généralisée soit vérifiée. Alors les composantes irréductibles de l’adhérence de Σ sont de type Hodge.

Théorème 8.3. — Soit Σ ⊂ 𝔸^{n}(ℂ) un ensemble de points spéciaux tels que les variétés abéliennes (toutes produits de courbes elliptiques) correspondantes soient toutes isogènes. Alors les composantes irréductibles de l’adhérence de Σ sont de type Hodge.

D’après la proposition 6.7, ces théorèmes impliquent :

Corollaire 8.4. — Soit (GL_{2}, Y) la donnée de Shimura considérée en 5.2. Alors les énoncés ci-dessus restent valables si chaque facteur 𝔸^{1} est remplacé par une courbe modulaire X_{i} = Sh_{K_{i}}(GL_{2}, Y), pour des sous-groupes compacts ouverts K_{i} ⊂ GL_{2}(𝔸_{f}).

Dans [19], les énoncés sont formulés en termes d’une description explicite des sousvariétés de type Hodge. Pour donner cette description, on décrit d’abord deux types particuliers : Un point de 𝔸_{ℂ}^{1} est de type Hodge si et seulement si c’est un point spécial. Une courbe dans 𝔸_{ℂ}^{n} est de type Hodge si et seulement si c’est une composante connexe de l’image de 𝔸_{ℂ}^{1} par un produit (T_{g_{1}}, …, T_{g_{n}}): 𝔸_{ℂ}^{1} → 𝔸_{ℂ}^{n} de correspondances de Hecke associées à des éléments g_{i} ∈ GL_{2}(ℚ). En général, une sous-variété de 𝔸_{ℂ}^{n} est de type Hodge si et seulement si, après une permutation des facteurs, c’est un produit de sous-variétés des deux types précédents. Cette description est utilisée pour établir la caractérisation des sous-variétés de 𝔸_{ℂ}^{n} de type Hodge donnée dans la proposition 8.6.

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Définition 8.5. — Pour I ⊂ {1, …, n}, soit p_{I}: 𝔸^{n} → 𝔸^{I} la projection sur les facteurs indexés par I. Soit Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{n} une sous-variété fermée irréductible. Alors un sousensemble I ⊂ {1, …, n} est minimal pour Z si dim p_{I}Z < |I| mais dim p_{J}Z = |J| pour tout J ⫋ I.

Proposition 8.6. — Soit Z ⊂ 𝔸_{ℂ}^{n} une sous-variété fermée irréductible. Alors Z est de type Hodge si et seulement si, pour tout I ⊂ {1, …, n} qui est minimal pour Z, on a |I| ≤ 2 et \overline{p_{I}Z} est de type Hodge.

On passe au résumé de la démonstration des deux théorèmes. On fixe un ensemble de points spéciaux Σ ⊂ 𝔸^{n}(ℂ) et on définit Z comme l’adhérence de Σ. On peut supposer que Z est irréductible. Pour tout entier m, notons T_{m} la correspondance de Hecke associée à l’élément ( \begin{matrix}m & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} ∈ GL_{2}(𝔸_{f})^{n}. Une des innovations principales de [19] est le théorème 8.7.

Théorème 8.7. — Si Σ vérifie les conditions d’un des théorèmes 8.2 ou 8.3, alors pour tout s ∈ Σ, sauf un nombre fini, il existe une courbe C ⊂ Z de type Hodge avec s ∈ C(ℂ).

Esquisse de la démonstration. — L’idée centrale est de couper Z avec son image T_{p}Z pour un nombre premier p convenable. Comme dans la dernière partie de la démonstration du théorème 7.1, présentée dans 7.5, on doit choisir p de sorte que Z_{1} = Z ∩ T_{p}Z contienne s et que l’orbite galoisienne de s soit assez grande pour pouvoir déduire par un argument d’intersection que Z_{1} est de dimension strictement positive.

Si dim Z_{1} = dim Z, alors Z ⊂ T_{p}Z et on montre que Z est de type Hodge en appliquant [19, Theorem 4.1] qui est un analogue de la combinaison des théorèmes 7.5 et 7.6 avec le critère 7.4. Le théorème 8.7 est évident dans ce cas. Si dim Z_{1} < dim Z, alors on répète l’opération. On ne sait pas si Z_{1} contient un sous-ensemble dense de points spéciaux, mais l’orbite de s sous l’action du groupe de Galois suffit pour appliquer les arguments ci-dessus.

Les théorèmes 8.2 et 8.3 sont prouvés en appliquant la proposition 8.6. Clairement, le théorème 8.7 implique que si I est minimal pour Z et |I| ≤ 2, alors \overline{p_{I}Z} est de type Hodge.

Le fait qu’il n’existe pas de sous-ensemble I ⊂ {1, …, n} d’ordre au moins 3 qui est minimal pour Z est un peu plus difficile à montrer, voir [19, §9].

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Rutger NOOT

IRMA

Université Louis Pasteur et CNRS

7 rue René Descartes F-67084 Strasbourg

                            E-mail : rutger.noot@math.u-strasbg.fr
                            Web : http://www-irma.u-strasbg.fr/~noot/