Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Rutger Noot

1 Introduction

1.1 Soit X une variété abélienne sur un corps de nombres E. Pour tout nombre premier ℓ on peut alors considérer la représentation galoisienne

ρ_{ℓ}: Gal(Q̄/E) ⟶ GL(H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}))

associée à X. Les représentations ρ_{ℓ} et la façon dont elles varient avec ℓ ont été étudiées depuis longtemps. Un résultat classique est le suivant. Soit v une place finie de E de caractéristique résiduelle p et soit τ ∈ Gal(Q̄/E) un élément de Frobenius en v. Si la variété X a bonne réduction en p, alors, pour ℓ ≠ p, le polynome caractéristique de ρ_{ℓ}(τ) ne dépend que de v et est à coefficients dans Z. En outre, ce polynome ne dépend pas de ℓ ≠ p. Finalement on sait que dans ce cas, l’automorphisme ρ_{ℓ}(τ)^{−1} est semi-simple. On voit que la classe de conjugaison (géométrique) de ρ_{ℓ}(τ)^{−1} dans GL(H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ})) est définie sur Q. En invoquant l’isomorphisme canonique (ou en effet n’importe quel autre isomorphisme)

H_{B}^{1}(X(C), Q) ⊗ Q_{ℓ} ≅ H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}),

on déduit qu’il existe une classe de conjugaison C dans GL(H_{B}^{1}(X(C), Q))Q̄, définie sur Q, telle que ρ_{ℓ}(τ)^{−1} ∈ C(Q_{ℓ}) pour tout ℓ ≠ p.

En considérant la cohomologie cristalline H_{cris}^{1}(X_{v}/W (\overline{F}_{p})) de la réduction de X en v, on trouve un analogue p-adique de cet énoncé. Soient E_{v} le corps résiduel de E en v et a = [E_{v} : F_{p}]. Soit Frob la puissance a-ième du Frobenius σ-linéaire de H_{cris}^{1}(X_{v}/W (E_{v})). On sait que Frob est semi-simple et que son polynôme caractéristique est égal au polynôme caractéristique commun des ρ_{ℓ}(τ)^{−1}. On conclut alors que Frob ∈ C(W (E_{v}) ⊗ Q) pour tout isomorphisme

H_{B}^{1}(X(C), Q) ⊗ W (E_{v}) ≅ H_{cris}^{1}(X_{v}/W (E_{v})) ⊗ Q.

Soit G ⊂ GL(H_{B}^{1}(X(C), Q)) le groupe de Mumford–Tate de X, voir 2.1 pour la définition exacte. Si on indentifie H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}) à H_{B}^{1}(X(C), Q) ⊗ Q_{ℓ} par l’isomorphisme canonique qui les relie, alors ρ_{ℓ} se factorise par un morphisme ρ_{ℓ}: Gal(Q̄/E) → G(Q_{ℓ}). Pour tout nombre premier ℓ ≠ p, soit C_{ℓ} ⊂ GQ̄_{ℓ} la classe de conjugaison de ρ_{ℓ}(τ)^{−1}. Comme le fait Serre dans [Se, 12.6], on peut se demander si les C_{ℓ} sont définies sur Q et si cela est le cas, si elles dépendent de ℓ. Dans cet article on montrera que si la réduction de X en v est ordinaire, alors C_{ℓ} est définie sur Q et indépendant de ℓ. En effet, on montrera même qu’il existe F ∈ G(Q) tel que ρ_{ℓ}(τ)^{−1} et F sont conjugués par un élément de G^{0}(Q_{ℓ}) pour tout ℓ ≠ p. Il y a des énoncés analogues pour la cohomologie cristalline, voir 2.1 et 2.2. Remarquons par ailleurs qu’en général on ne peut pas s’attendre à ce qu’il existe un tel élément F ∈ G(Q). Il existe des courbes elliptiques pour lesquelles la classe C_{ℓ}, bien que définie sur Q, ne contienne pas de points à valeurs dans Q. Une conséquence du théorème est une réponse affirmative à [Se, 12.5] pour un motif M découpé par une classe de Hodge dans le motif d’une variété abélienne à réduction ordinaire, cf. 2.4 : on montre que le polynôme caractéristique du frobenius d’un tel motif est le même pour toutes les réalisations ℓ-adiques et pour la réalisation p-adique.

Pour la démonstration de ce résultat on s’inspire des méthodes utilisées par Deligne dans [De]. On construit une variété de Shimura qui correspond au groupe de Mumford– Tate de X. On utilise cette variété pour comparer la cohomologie de X à la cohomologie d’une variété abélienne de type CM, pour lequel le théorème est plus facile à montrer. Parce qu’on veut aussi comparer l’action de frobenius sur la cohomologie des deux variétés, on cherche en effet une variété abélienne correspondant à un point spécial de la variété de Shimura dont la réduction en v soit isomorphe à X_{v}. Pour montrer qu’une telle variété existe, on aura besoin des résultats de [No] sur la réduction des variétés de Shimura.

Remerciements. Cet article doit son existence à J. P. Wintenberger. En particulier, l’idée du théorème principal (2.2) est due à lui. Je l’en remercie cordialement. Je remercie également le referee pour l’idée d’utiliser Zarhin’s trick dans la démonstration du théorème 2.2, ce qui simplifie l’argument original.

1.2 Notations. Dans tout l’article, C désigne le corps des nombres complexes et Q̄ la clôture algébrique de Q dans C. Pour chaque nombre premier p, soit Q_{p} le complété de Q pour la valuation p-adique et soit Q̄_{p} une clôture algébrique de Q_{p}. On fixe une inclusion Q̄ ↪ Q̄_{p}. Un corps de nombres est un sous-corps E ⊂ Q̄ tel que [E : Q] est fini. Si E est un corps de nombres, on écrit 𝒪_{E} pour l’anneau des entiers de E, 𝔭_{E} pour l’idéal premier déterminé par l’inclusion E ⊂ Q̄ ↪ Q̄_{p} et k_{E} pour le corps résiduel 𝒪_{E}/𝔭_{E}. Le localisé de 𝒪_{E} en 𝔭_{E} est noté 𝒪_{E,𝔭} et le complété de E en 𝔭_{E} est noté E_{𝔭}. On note 𝔭_{E} l’idéal de E_{𝔭} défini par 𝔭_{E}. On écrit 𝒪̄ pour l’anneau des entiers de Q̄, 𝔭̄ ⊂ 𝒪̄ pour l’idéal défini par l’inclusion Q̄ ↪ Q̄_{p} et 𝒪̄𝔭̄ pour le localisé de 𝒪̄ en 𝔭̄.

Pour tout corps de nombres E, on désigne par E_{𝔭}^{nr} ⊂ Q̄_{p} l’extension maximale nonramifiée de E_{𝔭} contenue dans Q̄_{p}. On écrit Ê_{𝔭}^{nr} pour le complété de E_{𝔭}^{nr}. Dans le cas où E = Q on désigne ces corps par Q_{p}^{nr} et Q̂_{p}^{nr} respectivement. On note τ̄ ∈ Gal(k̄_{E}/k_{E}) l’automorphisme de Frobenius et τ ∈ Gal(E_{𝔭}^{nr}/E_{𝔭}) le relèvement unique de τ̄. Enfin on choisit une fois pour toutes un élément τ ∈ Gal(Q̄/E) dont la restriction à E_{𝔭}^{nr} ∩ Q̄ induit τ|_{E_{𝔭}^{nr}∩Q̄}.

Pour un corps parfait k de caractéristique p > 0, soit W (k) l’anneau de vecteurs de Witt à coefficients dans k et soit P (k) le corps des fractions de W (k). On écrit σ̄ pour le frobenius absolu de k et σ pour l’automorphisme de W (k) induit par σ̄. Si E est un corps de nombres, l’inclusion E ↪ Q̄_{p} détermine une inclusion P (k_{E}) ↪ Q_{p}^{nr} ⊂ Q̂_{p}^{nr} via laquelle on considère P (k_{E}) comme un sous-corps de Q_{p}^{nr} et de Q̂_{p}^{nr}. On identifie P (k̄_{E}) = Q̂_{p}^{nr}. Si a = [k_{E} : F_{p}], alors on remarquera que, avec cette identification, τ|_{Q_{p}^{nr}} = σ^{a}|_{Q_{p}^{nr}}.

Pour chaque corps K, Vect_{K} est la catégorie des K-espaces vectoriels.

2 La réalisation de Betti de l’action de frobenius

2.1 Soit E un corps de nombres et soit X une variété algébrique, propre et lisse sur E. On note H_{B}^{∗}(X(C), Q) la cohomologie de Betti de X(C), H_{ét}^{∗}(XQ̄, Q_{ℓ}) la cohomologie étale ℓ-adique de XQ̄ et H_{DR}^{∗}(X/E) la cohomologie de De Rham de X/E. Il y a un isomorphisme canonique H_{B}^{∗}(X(C), Q) ⊗ Q_{ℓ} ≅ H_{ét}^{∗}(XQ̄, Q_{ℓ}) via lequel on identifie H_{B}^{∗}(X(C), Q) avec un sous-espace de H_{ét}^{∗}(XQ̄, Q_{ℓ}).

Soient Mot_{E} et MotQ̄ les catégories de motifs sur E et sur Q̄ respectivement, définies par les cycles de Hodge absolus, comme en [DM]. Dans cet article, une classe de Hodge est supposée avoir une composante dans chacune des réalisations de Betti, étale et de De Rham. Soient h(X) ∈ Mot_{E} et h(XQ̄) ∈ MotQ̄ les objets définis par X et par XQ̄ respectivement et soient Mot_{E}(X) et MotQ̄(XQ̄) les ⊗-sous-catégories de Mot_{E} et de MotQ̄ engendrées par l’objet de Tate et h(X) respectivement h(XQ̄), comme dans [DM, 1.14].

Le foncteur X ↦ H_{B}^{∗}(X(C), Q) définit un foncteur fibre H_{B}^{∗} à valeurs dans Vect_{Q} sur chacune des catégories Mot_{E}, MotQ̄, Mot_{E}(X) et MotQ̄(X). Soit G le groupe des ⊗- automorphismes du foncteur fibre H_{B}^{∗} de Mot_{E}(X) et soit G^{0} ⊂ G la composante connexe de l’identité. Dans [DM, 6.23(b)], il est montré que G^{0} est le groupe des ⊗-automorphismes de la restriction de H_{B}^{∗} à MotQ̄(X). On dit que G et G^{0} sont les groupes de Mumford–Tate de X et de XQ̄ respectivement. Si X est une variété abélienne, ce qui sera le cas dans cet article, alors H_{B}^{∗}(X(C), Q) est isomorphe à l’algèbre extérieure ∧^{∗}H_{B}^{1}(X(C), Q) et G s’identifie à un sous-groupe de GL(H_{B}^{1}(X(C), Q)) × G_{m}. Dans ce cas, on sait grâce à [De, 2.11] que G^{0} est le groupe de Mumford–Tate de XQ̄ (ou de X_{C}) au sens habituel.

Comme on a identifié H_{B}^{∗}(X(C), Q) ⊗ Q_{ℓ} = H_{ét}^{∗}(XQ̄, Q_{ℓ}), le groupe G_{Q_{ℓ}} s’identifie au groupe des ⊗-automorphismes du foncteur fibre H_{ℓ}^{∗}: Mot_{E}(X) → Vect_{Q_{ℓ}} défini par la cohomologie étale ℓ-adique. Il s’ensuit de [DM, 6.23(d)] que la représentation ℓ-adique ρ_{ℓ}: Gal(Q̄/E) → GL(H_{ét}^{∗}(XQ̄, Q_{ℓ})) induit une application ρ_{ℓ}: Gal(Q̄/E) → G(Q_{ℓ}).

Supposons désormais que X ait bonne réduction en 𝔭_{E}, c’est à dire qu’il existe un schéma propre et lisse 𝒳 /𝒪_{E,𝔭} tel que 𝒳_{E} = X. Soit k = k_{E}. Dans ce cas, on peut considérer la cohomologie cristalline H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)) de la fibre spéciale de 𝒳 et l’on inclut alors une composante cristalline dans la donnée d’une classe de Hodge. Le frobenius absolu Fr_{abs} : 𝒳_{k} → 𝒳_{k} induit une application σ-linéaire

F_{cris} : H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)) → H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)).

Par abus de notation, on note toujours F_{cris} l’extension σ-linéaire de F_{cris} à

H_{cris}^{∗}(𝒳k̄/W (k̄)) = H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)) ⊗ W (k̄).

Si a = [k : F_{p}], alors on pose Frob := F_{cris}^{a}: H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)) → H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)). C’est une application W (k)-linéaire. On note Frob son extension W (k̄)-linéaire à H_{cris}^{∗}(𝒳k̄/W (k̄)).

La cohomologie cristalline H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k)) définit un foncteur fibre H_{cris}^{∗} de Mot_{E}(X) à valeurs dans Vect_{P (k)}. De même, on définit un foncteur fibre H_{cris}^{∗} de MotQ̄(X) à valeurs dans Vect_{Q_{p}^{nr}}. Soit G_{cris} le groupe des ⊗-endomorphismes de la restiction

H_{cris}^{∗}: Mot_{E}(X) → Vect_{P (k)}

de H_{cris}^{∗}. D’après un théorème de Blasius, [Og, 4.1], Frob ∈ End(H_{cris}^{∗}(𝒳_{k}/W (k))) définit un élément Frob ∈ G_{cris}(P (k)) si X est une variété abélienne.

Finalement on définit I_{X} comme le G_{Q_{p}^{nr}}^{0}-(G_{cris}^{0})_{Q_{p}^{nr}}-torseur des ⊗-isomorphismes des foncteurs fibres H_{B}^{∗} et H_{cris}^{∗} de MotQ̄(X).

2.2 Théorème. Supposons, avec les notations et définitions du 2.1, que X soit une variété abélienne et que X ait bonne réduction ordinaire en 𝔭_{E}, donc que 𝒳_{k} soit une variété abélienne ordinaire. Alors il existe F ∈ G(Q) tel que

– pour tout nombre premier ℓ ≠ p, il existe g_{ℓ} ∈ G^{0}(Q_{ℓ}) tel que ρ_{ℓ}(τ)^{−1} = g_{ℓ}F g_{ℓ}^{−1} et

– il existe g_{p} ∈ I_{X}(Q̂_{p}^{nr}) tel que Frob = g_{p}F g_{p}^{−1}.

Démonstration. On se ramène d’abord au cas ou X est principalement polarisée. Par [M-B, IX, 1.1], la variété abélienne Y = (X ×X^{∗})^{4} admet une polarisation principale et est isogène sur E à X^{8}. Clairement, Mot_{E}(X^{8}) est une sous-categorie pleine de Mot_{E}(X) et comme Mot_{E}(X) est engendrée par h^{1}(X) (cf. [DM, §6]) et comme h^{1}(X) est un sous-objet de h^{1}(X^{8}), on a en effet une égalité. De même, MotQ̄(X) = MotQ̄(X^{8}). Il s’ensuit que le groupe de Mumford–Tate G_{Y} de Y (resp. le groupe G_{Y}^{0} , G_{cris,Y}, G_{cris,Y}^{0} , le torseur I_{Y}) est isomorphe à G = G_{X} (resp. à G^{0}, G_{cris}, G_{cris}^{0}, I_{X}). Dans chaque cas, un isomorphisme est donné par conjugaison avec i^{∗}, où i: X^{8} → Y désigne une E-isogénie. Comme i est définie sur E, ces isomorphismes commutent aux représentations ℓ-adiques est respectent les éléments de Frobenius cristallins. Ceci montre qu’il suffit de montrer le théorème sous la condition supplémentaire que X est principalement polarisée, une condition qu’on supposera satisfaite dans ce qui suit.

Pour définir l’application ρ_{ℓ}(τ), on considère l’application

φ_{τ} = id × Spec τ: XQ̄ ⟶ XQ̄,

qu’on peut considérer comme un endomorphisme τ-linéaire de XQ̄. On définit ρ_{ℓ}(τ) comme étant le morphisme φ_{τ}^{∗}. Soient k = 𝒪_{E}/𝔭_{E} et k̄ = 𝒪̄/𝔭̄ et soit Fr_{τ}: 𝒳_{k} → 𝒳_{k} le morphisme de Frobenius rélatif associé à τ̄. On continue d’écrire Fr_{τ} pour l’endomorphisme de 𝒳k̄ obtenu par extension du corps de base. On sait ([Mi, 13.5]) que

Fr_{τ}^{∗}φ_{τ}^{∗}: H_{ét}^{1}(𝒳k̄, Q_{ℓ}) → H_{ét}^{1}(𝒳k̄, Q_{ℓ})

est l’identité. Il s’ensuit que l’isomorphisme H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}) ≅ H_{ét}^{1}(𝒳k̄, Q_{ℓ}) transforme l’action de ρ_{ℓ}(τ) = φ_{τ}^{∗} en (Fr_{τ}^{∗})^{−1}.

Soit Fr_{abs} : 𝒳_{k} → 𝒳_{k} le frobenius absolu de 𝒳_{k}. Rappelons de 2.1 que si a = [k : F_{p}], alors Frob: H_{cris}^{1}(𝒳_{k}/W (k)) → H_{cris}^{1}(𝒳_{k}/W (k)) est par définition égale à (Fr_{abs}^{a})^{∗}. Après extension des scalaires à k̄, on trouve que (Fr_{abs}^{a})k̄ = Fr_{τ}, donc on voit que

Frob: H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄)) → H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄))

(l’extension W (k̄)-linéaire de Frob à H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄))) est égale à Fr_{τ}^{∗}.

On se propose de comparer la cohomologie de X à celle d’une variété abélienne Z de type CM. Parce qu’on veut montrer un lemme sur les classes de Hodge sur X, il faut trouver une telle Z munie des mêmes classes de Hodge que X. En s’inspirant de [De], on est ainsi amené à étudier la variété de Shimura définie par le groupe de Mumford–Tate de X. On cherche un point sur cette variété correspondant à une variété abélienne de type CM. Comme l’énoncé porte aussi sur l’élément de Frobenius en 𝔭, il est souhaitable que la réduction de Z soit isomorphe à celle de X. Ce qu’on cherche est donc un point spécial de cette variété de Shimura dont la réduction est égale à la réduction du point correspondant à X. Une fois qu’on a trouvé la variété Z cherchée, on utilise la cohomologie du schéma abélien universel sur la variété de Shimura pour trouver des identifications de la cohomologie de X avec la cohomologie de Z qui respectent les classes de Hodge.

On écrira H := H_{B}^{1}(X(C), Q) et H_{Z} := H_{B}^{1}(X(C), Z) ⊂ H. Soit h: S → G_{R}^{0} le morphisme qui définit la structure de Hodge sur H_{B}^{1}(X(C), R) = H ⊗ R. Pour tout sousgroupe compact ouvert K ⊂ G^{0}(A^{f}), on peut considérer le modèle faiblement canonique KM(G^{0}, h)/Q̄ de la variété de Shimura défini par ces données. Soit N ∈ N tel que (p, N) = 1 et soit K_{N} ⊂ GL(H_{Z} ⊗A^{f})∩G^{0}(A^{f}) le sous-groupe de congruence des éléments congrus à id modulo N. Soit A_{N} l’espace de modules de variétés abéliennes principalement polarisées sur Q̄, de dimension dim X, munies d’une structure de niveau N. On sait (cf. [MF, 7.9]) que pour N assez grand tel que (p, N) = 1, A_{N} est un espace de modules fin et qu’il admet un modèle lisse 𝒜_{N} → Spec 𝒪̄𝔭̄. Il s’ensuit de [No, 3.3] qu’il existe N ∈ N avec (p, N) = 1 tel que l’application canonique M_{N} := _{K_{N}} M(G^{0}, h) → A_{N} soit une immersion fermée. On suppose que N soit assez grand pour qu’en plus A_{N} et M_{N} soient des espaces de modules fins et que K_{N} agisse trivialement sur l’espace des cycles de Hodge absolus sur XQ̄. Par construction de M_{N}, on a une structure de niveau N sur X telle que X, munie de cette structure, correspond à un point de M_{N}. Les hypothèses entraînent que A_{N} et M_{N} sont lisses, qu’il existe des schémas abéliens universels sur A_{N} et sur M_{N} et que tout cycle de Hodge sur XQ̄ s’étend à un cycle de Hodge sur le schéma abélien universel sur M_{N}. Tout ceci est encore vrai pour la composante connexe de M_{N} contenant le point correspondant à X. On remplace M_{N} par cette composante, donc dans la suite on pourra supposer que M_{N} soit connexe. Soit M̃′ l’adhérence de M_{N} dans 𝒜_{N} et soit M̃ le normalisé de M̃′. On note α l’application canonique M̃ → 𝒜_{N}, composée de l’application naturelle M̃ → M̃′ et l’immersion M̃′ → 𝒜_{N}. Le schéma abélien 𝒳 correspond à un point x ∈ 𝒜_{N}(𝒪̄𝔭̄) et comme xQ̄ ∈ M_{N}(Q̄), il existe un point x̃ ∈ M̃(𝒪̄𝔭̄) tel que α(x̃) = x.

D’après [No, 3.9], il existe un point z̃ ∈ M̃(𝒪̄𝔭̄) dont la réduction modulo 𝔭̄ est égale à la réduction de x̃ et tel que le schéma abélien 𝒵 correspondant à α(z̃) est de type CM. Soit Z/Q̄ la fibre générique de 𝒵. Parce que 𝒵k̄ = 𝒳k̄, la variété abélienne 𝒵k̄ est ordinaire et on a donc une égalité End^{0}(𝒵k̄) = End^{0}(Z). Cela implique que Fr_{τ}^{−1} ∈ End^{0}(𝒳k̄) = End^{0}(𝒵k̄) se relève en F_{Z} ∈ End^{0}(Z). Via l’isomorphisme

ι_{ℓ}: H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}) ≅ H_{ét}^{1}(𝒳k̄, Q_{ℓ}) ≅ H_{ét}^{1}(Z, Q_{ℓ}),

l’action de ρ_{ℓ}(τ) = φ_{τ}^{∗} se transforme en F_{Z}^{∗}. On a trivialement que

Fr_{τ}^{∗} = (F_{Z}^{−1})∗ ; k̄: H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄)) ⊗ Q̂_{p}^{nr} → H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄)) ⊗ Q̂_{p}^{nr}.

On peut maintenant définir la transformation F. Comme M_{N} est connexe, il existe un chemin γ dans M_{N}(C) reliant α(x̃_{C}) et α(z̃_{C}). Soit

ι_{B}: H_{B}^{1}(X(C), Q) ⟶ H_{B}^{1}(Z(C), Q)

l’isomorphisme défini par γ. On pose F := ι_{B}^{−1} ∘ (F_{Z}^{−1})^{∗} ∘ ι_{B}. Avec cette définition, il est évident que, pour que φ_{τ}^{∗} = g_{ℓ}F^{−1}g_{ℓ}^{−1}, il faut définir g_{ℓ} ∈ GL(H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ})) = GL(H_{B}^{1}(X(C), Q) ⊗ Q_{ℓ}) comme g_{ℓ} := ι_{ℓ}^{−1} ∘ (ι_{B})_{Q_{ℓ}}. Pour ce qui concerne la cohomologie cristalline et l’application g_{p}, il s’ensuit de [Wi, 4.2.2] qu’il existe un élément g_{Z} ∈ I_{Z}(Q̂_{p}^{nr}) et comme g_{Z} respecte les classes de Hodge, on a

g_{Z} ∘ (F_{Z}^{−1})^{∗} ∘ g_{Z}^{−1} = (F_{Z}^{−1})∗ ; k̄ = Fr_{τ}^{∗} ∈ GL(H_{cris}^{1}(𝒵k̄/W (k̄)) ⊗ Q̂_{p}^{nr}).

Le fait que 𝒳k̄ = 𝒵k̄ implique que H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄)) = H_{cris}^{1}(𝒵k̄/W (k̄)), donc pour avoir Fr_{τ}^{∗} = g_{p}F g_{p}^{−1}, on peut prendre g_{p} = g_{Z} ∘ (ι_{B})Q̂_{p}^{nr}. Pour achever la démonstration du Théorème 2.2, il reste à montrer le lemme suivant.

2.3 Lemme. Avec les notations ci-dessus, on a F ∈ G(Q), g_{ℓ} ∈ G^{0}(Q_{ℓ}) et g_{p} ∈ I_{X}(Q̂_{p}^{nr}).

Démonstration. Soit c_{x} un cycle de Hodge absolu dans la cohomologie de XQ̄. Par construction de M_{N}, il existe un cycle de Hodge c dans la cohomologie du schéma abélien universel f: 𝒰 → M_{N} dont la spécialisation en x est c_{x} (ce qui justifie la notation). On remarque d’abord que ι_{B}(c_{x,B}) = c_{z,B}, où l’indice B désigne la composante dans la cohomologie de Betti d’une classe de Hodge : c’est évident parce que c_{B} est une section globale d’un système local ⨂_{i} R^{n_{i}}f_{∗}^{an}Q (n) sur M_{N}(C) et on a identifié deux fibres de ce système via le chemin γ.

On montre un énoncé analogue pour la cohomologie étale. Soit f̃: 𝒰̃ → M̃ l’image inverse par α: M̃ → 𝒜_{N} du schéma abélien universel sur 𝒜_{N}. Comme M_{N} est lisse, M_{N} est la fibre générique de M̃ et la restriction de 𝒰̃ à M_{N} est égale à 𝒰 . On considère le produit tensoriel ⨂_{i} R^{n_{i}} f̃_{∗}^{ét}Q_{ℓ}(n) sur M̃. La réalisation étale ℓ-adique c_{ℓ} de c est une section de ce système sur la fibre générique de M̃. Soit M̃^{hs} le henselisé strict du localisé M̃x̃k̄ et soit ℋ_{ℓ} la restriction à M̃^{hs} de ⨂_{i} R^{n_{i}} f̃_{∗}^{ét}Q_{ℓ}(n). Comme ℋ_{ℓ} est constant, la restriction de c_{ℓ} à la fibre générique de M̃^{hs} s’étend à une section c̃_{ℓ} de ℋ_{ℓ}. Les identifications

⨂_{i} H_{ét}^{n_{i}}(XQ̄, Q_{ℓ})(n) ≅ ⨂_{i} H_{ét}^{n_{i}}(𝒳k̄, Q_{ℓ})(n) ≅ ⨂_{i} H_{ét}^{n_{i}}(Z, Q_{ℓ})(n)

proviennent de l’identification de trois fibres de ℋ_{ℓ}. Il s’ensuit que ces isomorphismes et donc leur composé ι_{ℓ} envoient la valeur de c̃_{ℓ} en chacun des points sur sa valeur en tout autre point, ce qui montre que ι_{ℓ}(c_{x,ℓ}) = c_{z,ℓ}.

Les observations ci-dessus nous permettent de montrer que g_{ℓ} ∈ G^{0}(Q_{ℓ}). On se rappelle qu’on a identifié H_{B}^{i}(X(C), Q)⊗Q_{ℓ} = H_{ét}^{i}(XQ̄, Q_{ℓ}). Cette identification envoie c_{x,B} ⊗1 sur c_{x,ℓ}, donc il suffit de montrer que g_{ℓ}(c_{x,ℓ}) = c_{x,ℓ}. Mais cela est évident après ce qui précède parce que g_{ℓ} = ι_{ℓ}^{−1} ∘ (ι_{B})_{Q_{ℓ}}.

Pour montrer que g_{p} ∈ I_{X}(Q̂_{p}^{nr}) il faut montrer que g_{p}(c_{x,B}) = c_{x,cris}, où c_{x,cris} est la composante de c_{x} dans la cohomologie cristalline. Il suffit en effet de montrer ceci pour

(g_{p})_{C_{p}}: H_{B}^{1}(X(C), Q) ⊗ C_{p} ⟶^{≅} H_{cris}^{1}(𝒳k̄/W (k̄)) ⊗ C_{p},

où C_{p} est le complété de Q̄_{p}. Soient M̂ le complété de M̃x̃k̄ et 𝒰̂ = 𝒰̃M̂ . La réalisation de De Rham c_{DR} de c est une section horizontale du produit tensoriel ⨂_{i} H_{DR}^{n_{i}}(𝒰 /M_{N}) (n). Il s’ensuit de [No, 3.5, 3.7 et 3.8] que M̂ est régulier et que, quitte à la remplacer par un multiple, la classe c_{DR} donne, par changement de base, une section horizontale ĉ_{DR} ∈ ⨂_{i} H_{DR}^{n_{i}}(𝒰̂/M̂) (n). Comme l’identification

H_{DR}^{i}(X_{C_{p}}/C_{p}) ≅ H_{cris}^{i}(𝒳k̄/W (k̄)) ⊗ C_{p} = H_{cris}^{i}(𝒵k̄/W (k̄)) ⊗ C_{p} ≅ H_{DR}^{i}(Z_{C_{p}}/C_{p})

identifie les valeurs en x̃_{C_{p}} et z̃_{C_{p}} d’une section horizontale de H_{DR}^{i}(𝒰̂/M̂), l’isomorphisme

⨂_{i} H_{DR}^{n_{i}}(X_{C_{p}}/C_{p}) (n) ≅ ⨂_{i} H_{DR}^{n_{i}}(Z_{C_{p}}/C_{p}) (n)

envoie c_{x,DR} = ĉ_{x,DR} sur c_{z,DR} = ĉ_{z,DR}. Ceci implique que l’identification des tenseurs cristallins envoie c_{x,cris} sur c_{z,cris}. Parce que g_{Z} ∈ I_{Z}(Q̂_{p}^{nr}), on a g_{Z}(c_{z,B}) = c_{z,cris}. On avait déja vu que ι_{B}(c_{x,B}) = c_{z,B}, donc g_{p}(c_{x,B}) = c_{x,cris} comme il fallait montrer.

Il reste à montrer que F ∈ G(Q). On sait que ρ_{ℓ}(τ) ∈ G(Q_{ℓ}) donc le fait que g_{ℓ} ∈ G^{0}(Q_{ℓ}) implique que F ∈ G(Q_{ℓ}). Comme on a également que F = ι_{B}^{−1} ∘ (F_{Z}^{−1})^{∗} ∘ ι_{B} ∈ GL(H_{B}^{1}(X(C), Q)), il s’ensuit que F ∈ G(Q).

2.4 Corollaire. Soit X/E une variété abélienne ayant bonne réduction ordinaire en 𝔭_{E}, comme dans le Théorème 2.2 et soit M ∈ Mot_{E}(X). Pour tout nombre premier ℓ ≠ p, le polynôme caractéristique de l’automorphismes ρ_{ℓ}(τ)^{−1} de H_{ℓ}^{∗}(M) est à coefficients dans Q. Ces polynômes ne dépendent pas du nombre premier ℓ ≠ p. L’automorphisme Frob de H_{cris}^{∗}(M) a le même polynôme caractéristique.

Démonstration. L’isomorphisme canonique H_{B}^{1}(X(C), Q)⊗Q_{ℓ} ≅ H_{ét}^{1}(XQ̄, Q_{ℓ}) induit un isomorphisme H_{B}^{∗}(M)⊗Q_{ℓ} ≅ H_{ℓ}^{∗}(M). L’élément F ∈ G(Q) induit ainsi un automorphisme de H_{ℓ}^{∗}(M) qui est conjugué à ρ_{ℓ}(τ)^{−1}, ce qui montre le corollaire pour les ρ_{ℓ}(τ)^{−1}. De même, tout élément g_{p} ∈ I_{X}(Q̂_{p}^{nr}) induit un isomorphisme H_{B}^{∗}(M) ⊗ Q̂_{p}^{nr} ≅ H_{cris}^{∗}(M) ⊗ Q̂_{p}^{nr} et l’automorphisme de H_{cris}^{∗}(M) induit par F est conjugué à Frob.

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Rutger Noot I. R. M. A. R. Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex France courrier électronique : noot@univ-rennes1.fr