Présentation des travaux scientifiques

Introduction

Ce document a pour but de donner une vue d’ensemble du contexte et des principaux résultats de mes travaux, en particulier les articles reproduits dans le dossier. Quoiqu’il s’agisse d’un travail original, je n’ai pas inclus de discussion sur le mémoire [25], rédigé sous la direction de J. H. M. Steenbrink en vue de l’obtention du diplôme � doctoraal �.

Le premier article dont le contenu est exposé dans ce résumé est [5]. Celui-ci trouve son origine dans le sujet de recherche (la conjecture de Coleman exposée dans la section 2) qui m’était proposée par mon directeur de thèse F. Oort. La principale raison d’inclure cet article, relativement peu lié au reste de mon travail, dans ce résumé, est le fait que celui-ci a joué un rôle important dans l’orientation de la suite de mes recherches, à commencer par ma thèse de doctorat [26].

Mes travaux depuis la thèse concernent deux domaines assez étroitement liés. Il s’agit d’une part de la théorie des variétés de Shimura et des questions arithmétiques les concernant, notamment des questions de construction de modèles en caractéristique mixte. Pour cette raison, je donne, dans la section 1, un aperçu de la théorie des variétés de Shimura. La section 3 traite mon travail touchant à la construction de modèles en caractéristique mixte. Dans la section 7 on trouve une étude détaillée de familles de variétés abéliennes paramétrées par des variétés de Shimura construites par Mumford. Dans chaque cas, les résultats trouvent des applications dans le deuxième domaine concerné par mes travaux.

Ce deuxième domaine de recherche concerne l’étude de représentations ℓ-adiques du groupe de Galois absolu d’un corps de nombres, et plus particulièrement des représentations provenant de la cohomologie ℓ-adique de variétés abéliennes. D’une part, on considère, dans les sections 4 et 8, comment on peut déduire certaines propriétés de bonne réduction et de réduction ordinaire d’une variété abélienne des propriétés des représentations galoisiennes associées. D’autre part, on peut utiliser des variétés de Shimura pour étudier des questions concernant les représentations galoisiennes ellesmêmes. Cette démarche porte surtout ses fruits si l’on considère des problèmes faisant intervenir les groupes de Mumford–Tate des variétés abéliennes en question.

Mes derniers travaux, exposés dans les sections 9 et 10, concernent une conjecture de Fontaine et Mazur. Ceux-ci ont conjecturé qu’une représentation galoisienne avec certaines propriétés de bonne réduction provient d’un groupe de cohomologie étale d’une variété algébrique. Dans une première prépublication dédiée à ce sujet, je construis des représentations avec les propriétés en question et je montre qu’elles viennent effectivement de variétés algébriques. Un deuxième travail, encore en cours, vise à vérifier des conséquences � motiviques � de la conjecture de Fontaine et Mazur. Les premier résultats ont tendance à confirmer la conjecture ou certains des ces corollaires.

1 Variétés de Shimura

Même si l’étude moderne des variétés de Shimura débute avec les travaux de Shimura, certaines de ces variétés ont été étudiées depuis beaucoup plus longtemps. Par exemple, la droite affine A^{1} sur Q est le modèle canonique (sur le corps des rationnels Q) d’une variété de Shimura. En tant que variété analytique, C = A^{1}(C) est le quotient du demi plan de Poincaré H = {τ ∈ C | imτ > 0} par l’action du groupe arithmétique SL_{2}(Z) par homographies,

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : τ ↦ \frac{aτ + b}{cτ + d} .

La fonction modulaire j: H → C correspond à la projection canonique. On constate que le quotient (analytique) de H par l’action de SL_{2}(Z) est l’espace analytique des points complexes d’une variété algébrique quasi-projective sur C et que cette variété algébrique possède un modèle sur un corps de nombres, en l’occurence le corps des rationnels Q.

Dans ce cas classique, l’existence d’une structure (par ailleurs peu canonique à première vue) de Q-variété sur le quotient SL_{2}(Z)\H semble assez triviale. Pourtant cette structure cache une interprétation arithmétique extrêmement riche, en terme de modules de courbes elliptiques. Pour τ ∈ H, on considère la courbe elliptique E_{τ} sur C définie par E_{τ}(C) = C/(Z+Zτ). Par courbe elliptique sur C, on entend ici une courbe algébrique projective et lisse sur C de genre 1 et E_{τ}(C) désigne l’espace analytique de ses points à valeurs dans C. La valeur j(τ) est l’invariant modulaire de la courbe E_{τ}, c’est-à-dire que, si E_{τ} peut être donnée par l’équation affine y^{2} = 4x^{3}−g_{2}(τ)x−g_{3}(τ), alors

j(τ) = \frac{1728g_{2}(τ)^{3}}{g_{2}(τ)^{3}− 27g_{3}(τ)^{2}} .

Il est bien connu que E_{τ} ≅ E_{τ′} si et seulement si j(τ) = j(τ′), ce qui implique que la variété A^{1} est un espace de modules (grossier) pour les courbes elliptiques. La structure de Q-variété donnée ici est la seule avec la propriété que si la courbe E_{τ}/C admet un modèle sur un corps K ⊂ C, alors j(τ) ∈ A^{1}(K). Ceci donne un sens au fait que A^{1} est le modèle canonique sur Q de la variété SL_{2}(Z)\H.

La théorie des variétés de Shimura généralise cet exemple. Soit H un domaine hermitien symétrique et soit Γ un groupe arithmétique agissant proprement discontinument sur H. Un théorème de Baily et Borel (voir [2]) implique que le quotient Γ\H est alors l’espace analytique associé à une variété quasi-projective sur C. Shimura (voir exemple [44] et [45]) a montré, pour beaucoup de ces variétés, l’existence de modèles, dits canoniques, sur des corps de nombres.

Dans la suite, on utilisera le langage de Deligne, exposé dans [6] et [8], pour donner une esquisse de la théorie. Pour cela, soit S = Res_{C/R} G_{m} la restriction de scalaires du groupe multiplicatif, donc le groupe algébrique sur R tel que S(A) = G_{m}(A ⊗_{R} C) pour tout R-algèbre A. On note z et z̄ les caractères (complexes) de S. Soit G un groupe algébrique réductif sur Q, soit G(R)^{+} la composante connexe (topologique) de G(R) et soit X une G(R)^{+} -classe de conjugaison de morphismes S → G_{R}. Via la représentation adjointe de G sur Lie(G), tout élément h ∈ X définit une structure de Hodge sur Lie(G)_{R} et, comme X est une classe de conjugaison, le type de cette structure de Hodge ne dépend pas de h. On dit que (G,X) est une donnée de Shimura si (S1) tout h ∈ X induit une structure de Hodge de type {(−1,1),(0,0),(1,−1)} sur

Lie(G)_{R}, (S2) l’involution int(h(i)) induit une involution de Cartan de G_{R}^{ad} et (S3) le groupe G^{ad} n’admet pas de facteur sur Q sur lequel la projection de h soit

triviale. La condition S2 veut dire que le tordu de G correspondant à l’involution int(h(i)) est compact. Sous les conditions S1–S3, X est naturellement munie de la structure de domaine hermitien symétrique. Réciproquement, tout domaine hermitien symétrique peut être obtenu comme une classe de conjugaison de morphismes de S dans un groupe algébrique sur R.

Soient A l’anneau des adèles et A_{f} l’anneau des adèles finis de Q. Pour tout groupe compact ouvert K ⊂ G(A_{f}) on pose

KM_{C}(G,X)(C) = G(Q)\(X × (G(A_{f})/K)).

C’est un espace analytique qui est la réunion disjointe de quotients du domaine hermitien symétrique X par des sous-groupes arithmétiques de G(Q). Le théorème de Baily–Borel cité plus haut implique alors que _{K}M_{C}(G,X)(C) est l’espace analytique des points complexes d’un C-schéma quasi-projectif_{K}M_{C}(G,X) (ce qui justifie, à posteriori, les notations utilisées).

Pour une donnée de Shimura (G,X) et h ∈ X, on définit le cocaractère

μ_{h}: G_{m,C} → G_{C}

comme étant le composé de r: G_{m,C} → S_{C}, dual du caractère z, et de h_{C}: S_{C} → G_{C}. La classe de conjugaison de μ_{h} ne dépend que de (G,X) et on définit le corps dual E(G,X) comme étant le corps de définition dans C de cette classe de conjugaison. Le modèle canonique de la variété de Shimura_{K}M_{C}(G,X) est un modèle sur le corps dual E(G,X) vérifiant une condition arithmétique.

Pour énoncer cette condition, on considère d’abord le cas particulier où le groupe G = T est un tore. Dans ce cas, la classe de conjugaison X est réduit à un point h et les variétés de Shimura _{K}M_{C}(T,{h}) sont finies. En écrivant simplement E pour le corps dual E(T,{h}) et en utilisant le morphisme μ = μ_{h}: G_{m,E} → T_{E} défini ci-dessus, on définit

E^{∗} −−−→^{Resμ} Res_{E/Q}T_{E} −−−→^{N_{E/Q}} T,

où E^{∗} désigne le groupe algébrique Res_{E/Q}G_{m} et Resμ est le morphisme obtenu par restriction de scalaires à partir de μ. Comme la théorie des corps de classes fournit un isomorphisme λ: Gal(\overline{Q}/E)^{ab}→ π_{0}(E^{∗}(Q)\E^{∗}(A)), on en déduit, pour tout sousgroupe compact ouvert K ⊂ T (A_{f}), un morphisme

Kr_{E}(T,\{h\}): Gal(\overline{Q}/E)^{ab}→ T (Q)\T (A_{f})/K,

défini par λ^{−1} et le composé N_{E/Q} ∘ Resμ. Ceci induit une action de Gal(\overline{Q}/E) sur la variété finie _{K}M_{C}(T,{h}), la munissant de la structure de E-schéma (fini). Tout ceci est fonctoriel en K et on obtient ainsi le système des modèles canoniques des KM_{C}(T,{h}).

Retournons au cas général de la variété de Shimura _{K}M_{C}(G,X). Un modèle canonique de cette variété est un modèle _{K}M(G,X) de _{K}M_{C}(G,X) sur E(G,X) avec la propriété que, pour tout morphisme de données de Shimura (T,{h}) → (G,X) avec T un tore, les morphismes _{K_{T}}M_{C}(T,{h}) → _{K}M_{C}(G,X) se descendent sur le composé E(G,X)E(T,{h}). Notons ici que les points de _{K}M(G,X) qui sont dans l’orbite sous l’action de G(A_{f}) par correspondances de l’image d’un des morphismes

K_{T}M(T,{h}) →_{K}M(G,X)

(pour T variable) sont appelés les points spéciaux de_{K}M(G,X).

Il est connu, voir par exemple [6, §5], qu’une variété de Shimura admet, à isomorphisme près, au plus un modèle canonique. Le fait que les points spéciaux d’une variété de Shimura forment un sous-ensemble dense (pour la topologie euclidienne) joue un rôle important dans la démonstration de ce fait. L’existence d’un modèle canonique est connu dans de très nombreux cas, cf. [8].

Soit (G,X) une donnée de Shimura et soit V une représentation Q-linéaire de G. Tout h ∈ X induit une structure de Hodge sur V et la condition S2 implique que cette structure est polarisable. Comme X est une classe de conjugaison, le type de cette structure de Hodge ne dépend pas de h ∈ X. On peut en déduire une variation de Qstructures de Hodge sur les variétés de Shimura_{K}M_{C}(G,X)(C).

Un cas particulièrement intéressant se produit si G admet une représentation symplectique V telle que le type commun de ces structures de Hodge est {(−1,0),(0,−1)}. On obtient alors, pour chaque sous-groupe compact ouvert K ⊂ G(A_{f}) suffisamment petit, une variété de Shimura qui peut être considérée comme espace de modules de variétés abéliennes, munies de certaines structures supplémentaires. De telles variétés de Shimura sont appelées de type Hodge. Mes travaux concernent uniquement des variétés de Shimura de ce type.

Un cas encore plus particulier se produit pour des variétés de Shimura paramétrisant des familles de variétés abéliennes de type PEL. Une telle variété de Shimura peut être interprétée comme espace de modules pour des variétés abéliennes (de dimension fixe g) munies de structures supplémentaires qui sont purement algébriques, à savoir (P) une polarisation, (E) une action par un anneau (ou une algèbre) d’endomorphismes et (L) une structure de niveau (level structure). Du fait que des structures de type PEL peuvent être définies sur n’importe quelle base, des variétés de Shimura de ce type peuvent être étudiés avec des techniques classiques de géométrie algébriques comme celles de Schlessinger [37] et de Mumford [24].

Le premier exemple des variétés de type PEL est celui où l’anneau d’endomorphismes est trivial (réduit à Z) et on trouve alors les espaces de modules des variétés abéliennes polarisées de dimension g et munies de structures de niveau. Dans [24], on trouve la construction de Mumford qui établit l’existence de ces espaces de modules A_{g,λ,n} sur Q. Dans le cas des variétés abéliennes principalement polarisées, on écrira A_{g,n} pour l’espace de modules et dans le cas où, en plus, la structure de niveau est triviale, on le note A_{g}.

Le fait qu’un espace de modules de type PEL est le modèle canonique de la variété de Shimura correspondant s’ensuit du fait que les points spéciaux correspondent aux variétés abéliennes de type CM. On utilise la description par Shimura et Taniyama [46] du comportement des classes d’isomorphie des variétés abéliennes de type CM et de la torsion de ces variétés sous l’action du groupe de Galois.

Rappelons que l’on dit qu’une variété abélienne A définie sur un corps K est de type CM s’il existe un produit fini ∏ E_{i} de corps (commutatifs) tel que ∑ [E_{i} : Q] = 2dimA et une injection ∏ E_{i} ↪ End^{0}(A_{K^{sep}}) = End(A_{K^{sep}}) ⊗ Q.

2 Une conjecture de Coleman

Dans [3], Coleman a conjecturé que pour tout entier g ≥ 4 fixé, il n’existe, à isomorphisme près, qu’un nombre fini de courbes algébriques projectives et lisses C sur C telles que la jacobienne Jac(C) soit de type CM. Dans [5], il est montré que cette conjecture est fausse pour g = 4 et pour g = 6. Pour les autres valeurs de g elle est, à ma connaissance, toujours ouverte.

Les exemples donnés dans [5] font apparaître des variétés de Shimura qui sont de type PEL, donc en particulier de type Hodge. On considère des familles de courbes projectives et lisses (sur C) dépendant d’un ou plusieurs paramètres, par exemple

y^{5} = x(x − 1)(x − λ).

Cette équation définit une famille de courbes projectives et lisses de genre 4, C → M, où M = A_{C}^{1}\{0,1}. L’application de Torelli j: M → A_{4} envoie λ ∈ M(C) sur le point j(λ) ∈ A_{4}(C) correspondant à J_{λ} = Jac(C_{λ}).

Comme C/M possède un automorphisme d’ordre 5 donné par (x,y) ↦ (x,e^{2iπ/5}y), on obtient une inclusion Q[ζ_{5}] ↪ End^{0}(J_{λ}) pour tout λ ∈ M(C). Ici ζ_{5} désigne une racine primitive 5ème de l’unité. Il s’ensuit assez facilement que M s’envoie dans une variété de Shimura de type PEL et un calcul de dimensions montre que j(M) est en effet une composante de cette variété de Shimura. Les faits que les points spéciaux sont denses et que ces points correspondent à des variétés abéliennes de type CM impliquent alors qu’il existe un nombre infini de courbes complexes de genre 4 dont la jacobienne est de type CM.

L’exemple donné ici montre en effet un résultat un peu plus fort que celui exposé cidessus. Pour l’énoncer, on n’a besoin que du fait que j(M) est une composante connexe d’une variété de Shimura de type PEL. Il est nécessaire d’introduire la structure de groupe de Serre–Tate sur l’espace de déformations d’une variété abélienne ordinaire sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive. L’article de Katz [18] est une excellente référence pour cette théorie.

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 et A_{0}/k une variété abélienne ordinaire de dimension g, ce qui veut dire que le module de Tate

T_{p}A_{0} = lim_{←}A_{0}[p^{n}](k)

est de rang g. Le foncteur des déformations de A_{0} est le foncteur Â_{A_{0}}, sur la catégorie des anneaux locaux artiniens R avec corps résiduel k, donné par

Â_{A_{0}}(R) = {A/R variété abélienne, munie de A_{k} ≅ A_{0}} / ≅ .

Dans le cas d’une variété abélienne ordinaire, ce foncteur est strictement pro-représen-table (dans le sens de Schlessinger [37]) par le W (k)-schéma formel

Hom_{Z_{p}} ( T_{p}A_{0}⊗ T_{p}A_{0}^{t},Ĝ_{m}).

Ici W (k) est l’anneau des vecteurs de Witt de k, on écrit A_{0}^{t} pour la variété abélienne duale de A_{0} et Ĝ_{m} est le complété formel du groupe multiplicatif G_{m,W (k)}le long de la section unité. Cette description de Â_{A_{0}} implique en particulier que cet espace de déformations est canoniquement muni de la structure de groupe formel sur W (k). Pour tout anneau R comme ci-dessus, le relèvement de A_{0} correspondant à la section unité de Â_{A_{0}}(R) est appelé le relèvement canonique de A_{0}. En passant à la limite sur les W (k)/p^{n}, on obtient un schéma formel Â_{0}^{can}sur W (k) qui relève A_{0}. Comme une polarisation de A_{0} se relève à Â_{0}^{can}, ce schéma formel est le complété d’un schéma abélien A_{0}^{can}sur W (k), toujours appelé le relèvement canonique de A_{0}. L’anneau des endomorphismes de A_{0}^{can}est égal à celui de A_{0}. Dans le cas où k est une clôture algébrique d’un corps fini, cela implique que le relèvement canonique est de type CM. De façon similaire, on construit des relèvements de A_{0} sur des extensions cyclotomiques de W (k) correspondant aux points de torsion de Â_{A_{0}}. Ces relèvements, dits quasi-canoniques, ont la même algèbre d’endomorphismes que A_{0} et sont donc toujours de type CM si k est une clôture algébrique d’un corps fini. Réciproquement, tout relèvement de A_{0} en caractéristique 0 qui est de type CM est un relèvement quasi-canonique.

Supposons que la variété A_{0} soit munie d’une polarisation principale λ_{0}, comme c’est le cas pour la réduction de la jacobienne d’une courbe. On peut alors déterminer le sous-espace Â_{A_{0},λ_{0}} de Â_{A_{0}} correspondant aux déformations A de A_{0} auxquels la polarisation se relève. Moyennant λ_{0}, on identifie les modules de Tate T_{p}A_{0} et T_{p}A_{0}^{t} et Â_{A_{0}}s’identifie alors à Hom_{Z_{p}}(T_{p}A_{0}⊗ T_{p}A_{0},Ĝ_{m}). Les résultats de [18] impliquent que Â_{A_{0},λ_{0}} est le sous-espace des applications symétriques. En particulier, il s’agit d’un sous-groupe de Â_{A_{0}}.

Pour tout entier n premier à p, l’espace de modules A_{g,n} des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension g et munies d’une structure de niveau n admet un modèle sur Z[1/n], toujours noté A_{g,n}. Une variété abélienne ordinaire A_{0}, munie d’une polarisation principale λ_{0} et d’une structure de niveau, correspond à un point a_{0} ∈ A_{g,n}(k) et le complété de A_{g,n} en a_{0} s’identifie à Â_{A_{0},λ_{0}}. Ce qui précède implique donc que ce complété est naturellement muni de la structure de groupe formel.

Soit M une variété de Shimura de type PEL contenue dans A_{g,n,\overline{Q}}, ou une composante connexe d’une telle variété de Shimura, et supposons que l’adhérence M de M dans A_{g,n} contient le point a_{0}. Soit E l’algèbre des endomorphismes faisant partie des structures PEL imposés sur la variété de Shimura M. Alors tout point de M correspond à une variété abélienne A avec E ⊂ End^{0}(A) et M est l’espace de modules de variétés abéliennes principalement polarisées, munies d’une structure de niveau et d’une certaine action de E par isogénies (ou une composante d’un tel espace de modules). Le fait que a_{0} ∈ M (k) implique que A_{0} est également munie d’une action de E. Le complété de M en a_{0} est un sous-schéma formel M̂_{A_{0}} ⊂ Â_{A_{0},λ_{0}}. Il est clair que M̂_{A_{0}} est contenu dans le sous-espace de Â_{A_{0},λ_{0}}paramétrisant les déformations de A_{0} auxquelles l’action de E se relève. Les résultats de [18] montrent que ce sous-espace est un sous-groupe et un calcul de dimensions montre que ce sous-groupe est de la même dimension que M. Il s’ensuit que M̂_{A_{0}} est réunion finie de translatés de sous-tores formels de Â_{A_{0}}sur des points de torsion. On déduit en particulier que pour tout point de M correspondant à une variété abélienne A ayant bonne réduction ordinaire en p, il existe un nombre infini de points spéciaux de M correspondant à des variétés abéliennes avec la même réduction modulo p que A.

Pour la conjecture de Coleman, ceci a pour conséquence que même le nombre de courbes algébriques avec réduction modulo p donnée et dont la jacobienne est de type CM parfois infini. La finitude conjecturée n’est donc même pas vraie localement, au moins pour g = 4 et g = 6.

3 Linéarité des variétés de Shimura de type Hodge

Soient, comme avant, (G,X) une donnée de Shimura et M =_{K}M(G,X) le modèle canonique sur E = E(G,X) de la variété de Shimura associé à un sous-groupe compact ouvert K ⊂ G(A_{f}). Soient V une représentation de G de type Hodge {(−1,0),(0,−1)} donnant une application M → A_{g,n,E} et M l’adhérence de M dans A_{g,n,O_{E}}. On vient de voir que, si la famille de variétés abéliennes définie par ces données est de type PEL, alors le complété de M dans un point en caractéristique p correspondant à une variété abélienne ordinaire A_{0} est la réunion de translatés d’un sous-tore formel de Â_{A_{0}}(pour la structure de groupe de Serre–Tate).

Un exemple dû à Mumford, donné dans [23] et résumé dans la section 7, montre qu’il existe des variétés de Shimura de type Hodge avec une interprétation modulaire qui ne soit pas de type PEL. Il est naturel de se poser la question si l’énoncé ci-dessus est vrai pour toutes les variétés de Shimura de type Hodge. Cette question était le sujet principal de ma thèse de doctorat [26] où on trouve une réponse affirmative. Le théorème suivant, publié dans [29], généralise légèrement le résultat de ma thèse. Dans l’énoncé, A_{g,n}/Z[1/n] est l’espace de modules de variétés abéliennes principalement polarisées de dimension g et munies d’une structure de niveau n, k est un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 ne divisant pas n et K est le corps des fractions de l’anneau des vecteurs de Witt W (k). Théorème. Soient M ⊂ A_{g,n,E} l’image d’une variété de Shimura de type Hodge et M ⊂ A_{g,n} l’adhérence de M comme ci-dessus. Supposons que K′soit une extension finie de K et a ∈ M(K′) un point tel que la variété abélienne A correspondant à a a bonne réduction ordinaire A_{0} modulo l’idéal maximal. Soit a_{0} ∈ A_{g,n}(k) le point correspondant à A_{0}. Alors la complétée M̂_{A_{0}} de M en a_{0} contient une unique composante irréductible

C ⊂ M̂_{A_{0}} ⊂ Â_{A_{0}} ≅ Hom_{Z_{p}} ( T_{p}A_{0}⊗ T_{p}A_{0}^{t},Ĝ_{m})

contenant a. En plus, C est le translaté d’un sous-tore formel de Â_{A_{0}} sur un point de torsion.

Pour donner une idée de la démonstration de ce théorème, on a besoin d’une deuxième interprétation de la structure de groupe de Serre–Tate. Cette interprétation repose sur une description donnée par Deligne et Illusie [11] de la structure de la cohomologie de De Rham de la déformation universelle de A_{0} sur A_{A_{0}}.

Soient R l’anneau des fonctions de Â_{A_{0}}, de sorte que R ≅ W (k)[[t_{1},... ,t_{g^{2}}]], et soit R_{0} = R/(p). En choisissant un isomorphisme

A_{A_{0}} ≅ Ĝ_{m}^{g^{2}}

on obtient un système (q_{i,j})_{i,j=1,...,g} de coordonnées canoniques dans R. On peut choisir l’isomorphisme ci-dessus tel que A_{A_{0},λ_{0}} soit donné par les équations q_{i,j} = q_{j,i}, ce qui présente un avantage esthétique. Soit H le premier groupe de cohomologie de De Rham de la déformation universelle de A_{0} sur A_{A_{0}}. Il est bien connu que H est un Rmodule libre de rang 2g, naturellement muni de la structure d’un F -cristal de Hodge ordinaire de niveau ≤ 1. En particulier, H est muni

– d’une filtration de Hodge, notée Fil, de longueur ≤ 1,

– d’une connection intégrable ∇: H → H ⊗_{R}Ω_{R/W (k)}et,

– pour tout relèvement ϕ: R → R du frobenius de R_{0}, d’un automorphisme ϕlinéaire F (ϕ)ϕ^{∗}: H → H.

On a une décomposition H = U ⊕ Fil^{1}H telle que F (ϕ)ϕ^{∗} soit inversible sur U pour tout ϕ et il existe des bases (a_{1},... ,a_{g}) de U et (b_{1},... ,b_{g}) de Fil^{1}H jouissant des propriétés de transformation très particulières sous ∇ et sous les F (ϕ)ϕ^{∗}. Entre autres, on a ∇a_{i} = 0, F (ϕ)ϕ^{∗}a_{i} = a_{i} et

∇b_{i} = ∑_{j=1}^{g} a_{j} ⊗ dlogq_{i,j},

où les q_{i,j} sont les coordonnées canoniques introduites ci-dessus. On ne donne pas ici la formule pour F (ϕ)ϕ^{∗}b_{i}. L’équation pour les ∇b_{i} indique une relation entre la structure de groupe de Serre–Tate et la structure de H.

Retournons à la variété de Shimura M, associée à une donnée de Shimura (G,X). On supposera dans la suite que l’entier n soit assez grand pour que A_{g,n} soit un espace de modules fin. Il existe alors un schéma abélien universel π: X → A_{g,n} et la restriction de X à M porte des classes de Hodge

ξ_{i} ∈ H^{1}(X_{M}/M)^{⊗2n_{i}} .

On fixe un nombre fini de telles classes tel que G soit le groupe fixant l’ensemble des ξ_{i}. Les classes ξ_{i} sont horizontaux pour la connection de Gauß-Manin, appartiennent au cran Fil^{n_{i}} pour la filtration de Hodge et sont rationnelles dans tout point de M(C), c’est-à-dire qu’elles appartiennent à la cohomologie euclidienne de X_{M}(C)/M(C) à coefficients dans Q, cf. la section 5. Les classes ξ_{i} donnent des classes, notées ξ̂_{i}, dans H_{M}, la restriction à M̂_{A_{0}} du F -cristal H. On a ∇ξ̂_{i} = 0 et ξ̂_{i} ∈ Fil^{n_{i}}H_{M} et on peut montrer que les ξ_{i} se transforment sous frobenius par

F (ϕ)ϕ^{∗}ξ̂_{i} = p^{n_{i}}ξ̂_{i},

pour tout ϕ.

En utilisant la description du R-module H donnée ci dessus, on montre qu’il existe un sous-schéma formel irréductible maximal C ⊂ Â_{A_{0}}tel que les classes (ξ_{i})_{a} se prolongent à des classes ξ̂_{i} ∈ H_{C} avec les propriétés citées. On montre ensuite que C est le translaté d’un sous-tore formel de Â_{A_{0}} par un point de torsion et que dimC = dimM. Le théorème s’ensuit.

Signalons que dans [26, 3.2], un algorithme est donné pour déterminer les équations de C en termes de la structure de Serre–Tate, à partir de la donnée de Shimura (G,X) définissant M. Ce résultat n’a pas été publié ailleurs que dans ma thèse [26].

Pour terminer cette section, notons que dans [20] and [21], Moonen montre que le réciproque du théorème est également vrai. Si le complété d’une sous-variété connexe M ⊂ A_{g,n} en un point correspondant à une variété abélienne ordinaire A_{0} est le translaté d’un sous-tore formel de Â_{A_{0}}, alors la fibre générique M\overline{Q} est une composante connexe de l’image d’une variété de Shimura de type Hodge.

4 Représentations galoisiennes et réduction ordinaire

Un autre résultat de ma thèse de doctorat concerne un critère pour qu’une variété abélienne sur un corps de nombres K ait réduction ordinaire en un grand nombre de places de K. Ceci généralise un théorème d’Ogus [33] affirmant que pour une surface abélienne A/K, il existe une extension finie K′de K telle que l’ensemble de places de K′où A_{K′}ait bonne réduction ordinaire a densité de Dirichletégaleà 1. De tels résultats sont utiles en vue de la condition de réduction ordinaire présente dans le théorème de la section 3.

Avant d’énoncer le critère, commençons par quelques rappels concernant les représentations galoisiennes ℓ-adiques associées aux variétés algébriques et en particulier aux variétés abéliennes. Ces rappels seront d’ailleurs utiles dans toute la suite de ce document.

Soient pour l’instant K un corps quelconque, ℓ un nombre premier différent de la caractéristique de K et A une variété algébrique sur K. On fixe une clôture algébrique \overline{K} de K et on pose G_{K} = Aut_{K}(\overline{K}). Pour des entiers i et n on peut définir les groupes de cohomologie étale de A à coefficients dans Z/ℓ^{n}Z notés H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z/ℓ^{n}Z), voir par exemple [19]. Cette construction est fonctorielle en A\overline{K} et il s’ensuit que G_{K} agit naturellement (et continûment) sur les groupes H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z/ℓ^{n}Z). Pour i fixe et n variable, les H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z/ℓ^{n}Z) forment un système projectif et on pose

H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z_{ℓ}) = lim_{←}H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z/ℓ^{n}Z)

et H_{ét}^{i}(A\overline{K},Q_{ℓ}) = H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z_{ℓ}) ⊗_{Z_{ℓ}} Q_{ℓ}. Ainsi H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z_{ℓ}) (resp. H_{ét}^{i}(A\overline{K},Q_{ℓ})) est un Z_{ℓ}- module (resp. Q_{ℓ}-espace vectoriel) muni d’une action continue de G_{K}.

On s’intéressera particulièrement au cas où A est une variété abélienne. Dans ce cas, la cohomologie étale ℓ-adique de A est étroitement liée au ℓ-module de Tate T_{ℓ}A de A (voir la section 2), également muni de l’action naturelle de G_{K}. On a les isomorphismes G_{K}-équivariants

H_{ét}^{i}(A\overline{K},Z_{ℓ}) ≅ ∧^{i}H_{ét}^{1}(A\overline{K},Z_{ℓ})

et H_{ét}^{1}(A\overline{K},Z_{ℓ}) ≅ Hom_{Z_{ℓ}}(T_{ℓ}A,Z_{ℓ}). De [27], on cite le théorème suivant, qui généralise le théorème [26, 3.3] de ma thèse. Théorème. Soit A une variété abélienne de dimension 2^{2k} sur un corps de nombres K. Supposons que, pour un nombre premier ℓ, l’adhérence de Zariski G_{ℓ} de l’image de la représentation de G_{K} sur H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}) vérifie

Lie(G_{ℓ}) ≅ 𝔠 ⊕ 𝔰𝔩(2)^{2k+1},

avec 𝔠 central vérifiant dim𝔠 = 1 et où 𝔰𝔩(2)^{2k+1} opère sur H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}) par le produit tensoriel des représentations naturelles des facteurs. Alors il existe une extension finie K′de K et un ensemble P de places de K′de densité 1 tels que A_{K′}a bonne réduction ordinaire en toute place v ∈ P.

Pour montrer le théorème on choisit d’abord une extension finie K′⊃ K suffisamment grande. On considère ensuite l’ensemble P des valuations non-ramifiées v de K′, de caractéristique résiduelle différente de ℓ et de hauteur 1, telles que A_{K′} a bonne réduction en v et telles que l’image du frobenius en v engendre un tore maximal de G_{ℓ}. Il est connu que P est de densité 1. Il suffit de montrer que A_{F′}a réduction ordinaire en toute place de P. Soient v ∈ P, p la caractéristique résiduelle en v et Fr_{v} ∈ G_{K′}un élément de Frobenius en v. Les valeurs propres de Fr_{v} agissant sur H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}) sont des entiers algébriques. Il suffit de montrer que, pour une valuation p-adique w fixé de \overline{Q}, la moitié des valeurs propres de Fr_{v} sont des unités w-adiques. Ceci se fait en s’inspirant des arguments de [33] et en utilisant les relations (multiplicatives) entre ces valeurs propres, imposées par la condition sur G_{ℓ}.

5 Autour de la conjecture de Mumford–Tate

Certains de mes travaux sont inspirés par la conjecture de Mumford–Tate et pour d’autres il y a également besoin d’introduire la notion de groupe de Mumford–Tate d’une variété abélienne.

Soient K un corps et A une variété algébrique propre et lisse de dimension d sur K. Sur A, on considère le complexe

Ω_{A/K}^{·}= [O_{A/K}→ Ω_{A/K}^{1}→ ···→ Ω_{A/K}^{d}] .

La cohomologie de De Rham de A est par définition la hypercohomologie de ce complexe (dans la topologie de Zariski), H_{DR}^{i}(A/K) = H^{i}(A,Ω_{A/K}^{·}). Les H_{DR}^{i}(A/K) sont des K-espaces vectoriels de dimensions finies. La filtration bête σ de Ω_{A/K}^{·}par

σ_{≥p} (Ω_{A/K}^{·})^{k} = \{ \begin{matrix}0 & si & k < p \\ Ω_{A/K}^{k} & si & k ≥ p \end{matrix}

induit la suite spectrale de Hodge

E_{1}^{pq} = H^{p}(A,Ω_{A/K}^{q}) ⇒ H_{DR}^{p+q} (A/K),

dont l’aboutissement est la filtration de Hodge Fil^{·}sur la cohomologie de De Rham. Ainsi on associe à A des groupes de cohomologie de De Rham, munis de la filtration de Hodge.

Supposons qu’il existe un plongement σ: K → C. Par changement de base, on obtient une variété A_{C} = A_{σ,C} sur C et la topologie euclidienne de C induit la topologie euclidienne sur A_{C}(C). La cohomologie de Betti, ou analytique, de A (par rapport à σ) est la cohomologie du faisceau constant Q pour cette topologie. On la note H_{B,σ}^{i}(A) = H^{i}(A_{C}(C),Q). Le lemme de Dolbeault affirme que le complexe analytique associé au complexe de De Rham Ω_{A/K}^{·}est une résolution du faisceau constant C sur A_{C}(C) et on peut en déduire le théorème de De Rham qui donne un isomorphisme

H_{DR}^{i}(A/K) ⊗_{K,σ}C ≅ H_{B,σ}^{i}(A) ⊗_{Q} C.

Si ι désigne la conjugaison complexe, alors il y a un isomorphisme canonique H_{B,σ}^{i}(A) ≅ H_{B,ισ}^{i}(A) impliquant que la filtration de Hodge sur H_{B,σ}^{i}(A) ⊗_{Q} C est opposée à sa conjuguée complexe. On peut montrer que la suite spectrale de Hodge dégénère en E_{1}. Cela donne une décomposition

H_{B,σ}^{i}(A) ⊗ C ≅ H_{DR}^{i}(A/K) ⊗_{σ} C = ⨁_{p+q=i} H^{p,q},

où H^{p,q} = H^{p}(A,Ω_{A/K}^{q})⊗_{σ} C. Tout cela fait que, pour tout σ, le groupe de cohomologie de Betti H_{B,σ}^{i}(A) est une structure de Hodge rationnelle de poids i.

Rappelons de la section 1, le R-groupe algébrique S = Res_{C/R} G_{m}. La donnée d’une structure de Hodge sur un Q-espace vectoriel H est équivalente à la donnée d’un morphisme (de groupes algébriques) h: S → GL(H ⊗ R) tel que S(C) opère sur H^{p,q} par le caractère z^{p}z̄^{q}. Le groupe de Mumford–Tate de H est le sous-groupe de GL(H) engendré par l’image de h, autrement dit, le plus petit sous-groupe algébrique G ⊂ GL(H) sur Q tel que h se factorise par h: S → G_{R}.

Supposons dans la suite que A soit une variété abélienne (polarisée), que K soit algébriquement clos et que σ: K → C soit un plongement. On a alors des isomorphismes canoniques H_{B,σ}^{i}(A) = ∧^{i}H_{B,σ}^{1}(A) et H_{DR}^{i}(A/K) = ∧^{i}H_{DR}^{1}(A/K), donc les H^{1} déterminent toute la cohomologie de A. On définit le groupe de Mumford–Tate G = MT(A) de A (par rapport à σ) comme celui de la structure de Hodge H_{B,σ}^{1}(A).

Une deuxième interprétation du groupe de Mumford–Tate de A sera utile. On désigne par Q(1) la structure de Hodge sur Q de type (−1,−1) et, pour toute Qstructure de Hodge H, on écrit H(n) = H ⊗ Q(1)^{⊗n}. Dans la suite, on simplifie les notations en écrivant H = H_{B,σ}^{1}(A). Une classe de Hodge sur A (relativement à σ) est un élément ξ ∈ H^{⊗2n} (n) de type (0,0). On dit que ξ est définie sur K si, sous l’isomorphisme H_{B,σ}^{1}(A) ⊗_{Q} C ≅ H_{DR}^{1}(A/K) ⊗_{K}C, elle appartient à H_{DR}^{1}(A/K)^{⊗2n} (n).

Comme A est supposée polarisée, on a un accouplement (de structures de Hodge) ⟨·,·⟩: H × H → Q(−1). Cela donne un morphisme m: G → G_{m} tel que le composé

S −−−→^{h} G_{R} −−−→^{m} G_{m,R}

et l’action de G_{m,Q} sur Q par multiplication définissent la structure de Hodge Q(1). La représentation de G sur H^{⊗2n} (n) que l’on en déduit et le morphisme h: S → G_{R} donnent la structure de Hodge sur H^{⊗2n} (n). Les classes de Hodge sur A sont invariantes par l’action de S ainsi définie et par conséquent aussi par l’action de G. On peut montrer que G est en effet égal au stabilisateur dans GL(H) des classes de Hodge sur A, ce qui donne une deuxième description du groupe de Mumford–Tate.

Si ξ est une classe de Hodge sur A relativement à σ et définie sur K, alors la conjecture de Hodge implique que ξ est la classe d’un cycle algébrique sur A défini sur K.

Il s’ensuit que, pour tout autre plongement complexe σ′: K → C, l’image de ξ par les morphismes

H_{B,σ}^{1}(A)^{⊗2n} ⊗ C ≅ H_{DR}^{1}(A/K)^{⊗2n} ⊗_{σ} C ⊃ H_{DR}^{1}(A/K)^{⊗2n} ⊂ H_{DR}^{1}(A/K)^{⊗2n} ⊗_{σ′}C ≅ H_{B,σ′}^{1}(A)^{⊗2n} ⊗ C

est encore une classe de Hodge. On dit alors que ξ est une classe de Hodge absolue. Notons que l’argument donné ici montre que la conjecture de Hodge implique que toute classe de Hodge est une classe de Hodge absolue même sans supposer que A soit une variété abélienne.

Pour le cas de variété abéliennes, Deligne [10] a montré cette conséquence de la conjecture de Hodge. On donne un aperçu de la démonstration, qui consiste a se ramener aux variétés abéliennes de type CM, pour lesquelles on admettra le résultat. La réduction au cas CM est intéressante, car elle joue un rôle dans [27] et elle a inspiré [28].

On fixe un plongement σ: K → C et des classes de Hodge ξ_{i} ∈ H^{⊗2n_{i}} (n_{i}) sur A. Soient G = MT(A) comme avant et X la G(R)^{+} -classe de conjugaison du morphisme h: S → G_{R} définissant la structure de Hodge sur H = H_{B,σ}^{1}(A). On peut montrer que (G,X) est une donnée de Shimura et (après avoir choisi une structure de niveau convenable) on y associe une variété de Shimura M, qu’on remplace par la composante irréductible contenant le point correspondant à A. Si la structure de niveau est assez fine, la représentation de G sur H détermine une famille de variétés abéliennes π: X → M. Par construction, A correspond à un point a de M et les classes de Hodge se prolongent à des sections globales ξ̃_{i} des faisceaux (R^{1}π_{∗}^{an}Q)^{⊗2n_{i}} (n_{i}) sur M(C). Comme la valeur en a de chacune des ξ_{i} est une classe de Hodge, sa valeur en tout autre point de M(C) est également une classe de Hodge. On choisit alors un point spécial a′∈ M(C), correspondant à une variété abélienne A′de type CM, et on conclut que, par spécialisation, les ξ̃_{i} donnent des classes de Hodge ξ′_{i}sur A′. En passant à un autre plongement σ′: K → C et en utilisant le théorème (admis) pour le cas des variétés de type CM, on conclut que les ξ′_{i}sont des classes de Hodge sur A′relativement à σ′. Les arguments donnés ci-dessus pour le passage de A à A′permettent de passer de A′ à A et impliquent que les ξ_{i} sont des classes de Hodge sur A relativement à σ′.

Le théorème de Deligne a des conséquences pour les représentations galoisiennes. Soit ℓ un nombre premier. La cohomologie étale est invariante par extension de corps algébriquement clos, d’où des isomorphismes H_{ét}^{i}(A\overline{K},Q_{ℓ}) ≅ H_{ét}^{i}(A_{C},Q_{ℓ}). Avec le théorème de comparaison entre cohomologie étale et cohomologie de Betti, on obtient des isomorphismes canoniques H_{ét}^{i}(A\overline{K},Q_{ℓ}) ≅ H_{B,σ}^{i}(A) ⊗ Q_{ℓ}. On déduit une inclusion G_{Q_{ℓ}} ⊂ GL(H_{ét}^{1}(A_{K},Q_{ℓ})), où G désigne toujours le groupe MT(A).

Dans la suite on suppose que K soit un corps de nombres. Le groupe de Galois G_{K} opère sur H_{ét}^{1}(A_{K},Q_{ℓ}) et le théorème de Deligne implique que, si toutes les classes de Hodge (absolues) de A\overline{K} sont définies sur K, alors cette représentation de G_{K} se factorise par ρ_{ℓ}: G_{K} → G(Q_{ℓ}). La condition que les classes de Hodge soient définies sur K est toujours vérifiée après avoir remplacé K par une extension finie. La conjecture de Mumford–Tate, formulée pour la première fois dans [22], affirme que l’image de ρ_{ℓ} est Zariski dense dans G_{Q_{ℓ}}. La conjecture originale affirme aussi que l’image de ρ_{ℓ} est contenue dans G_{Q_{ℓ}}, ce qui a été confirmé par le théorème qu’on vient de voir.

La conjecture de Mumford–Tate est encore ouverte. Elle implique, à peu de choses près, le théorème suivant qui est prouvé dans [27] (mais qui ne se trouvait pas dans ma thèse). Théorème. Soit G le groupe de Mumford–Tate d’une variété abélienne A sur C. Alors il existe un corps de nombres K et une variété abélienne A′/K avec groupe de Mumford–Tate G tels que l’image de la représentation ℓ-adique ρ_{ℓ}associée à A′soit Zariski dense dans G(Q_{ℓ}).

En effet, la conjecture affirme que n’importe quelle variété abélienne sur \overline{Q} avec groupe de Mumford–Tate G convient, mais elle n’implique pas l’existence d’une telle variété abélienne.

Comme dans le travail de Deligne esquissé ci-dessus, on commence la démonstration par la construction d’une variété de Shimura associée à la donnée de Shimura (G,X) déterminée par A. On choisit une composante géométrique M de cette variété, définie sur un corps de nombres. En choisissant une structure de niveau assez fine, on peut supposer que M est la base d’une famille de variétés abéliennes π: X → M dont A est une fibre. Le groupe de Mumford–Tate de chaque fibre est contenu dans G.

La description de M(C) comme quotient d’un domaine hermitien symétrique permet de montrer que le groupe fondamental topologique de M(C) est isomorphe à un sous-groupe arithmétique de G(Q). Cela implique que l’adhérence de l’image de la représentation galoisienne associée au point générique de M contient G^{der}, le groupe dérivé de G. L’étude de la représentation galoisienne associée à un point spécial de M permet de conclure que l’image de la représentation au point générique est Zariski dense dans G. Une variante du théorème d’irréductibilité de Hilbert permet ensuite de montrer l’existence d’un point fermé a′de M tel que l’adhérence de l’image de la représentation ℓ-adique associée à A′= X_{a′}est encore égale à G. Comme M est définie sur un corps de nombres, le corps résiduel en a′est aussi un corps de nombres. Cela montre que la variété abélienne A′convient.

6 La classe de conjugaison du frobenius

Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres K ⊂ \overline{Q} ⊂ C. On s’intéresse à la façon dont les représentations galoisiennes ρ_{ℓ} (pour ℓ premier) associées à A varient avec ℓ. Un résultat classique, dû à Weil, est le suivant (voir par exemple [7] et [9]). Soit v une place finie de K de caractéristique résiduelle p et soit Fr_{v} ∈ Gal(\overline{Q}/K) un élément de Frobenius en v. À noter que Fr_{v} dépend du choix d’une place v̄ de \overline{Q} au-dessus de v et est alors déterminé seulement à un élément du groupe d’inertie en v̄ près. Néanmoins, si A a bonne réduction en v, alors, pour ℓ ≠ p, le polynôme caractéristique de ρ_{ℓ}(Fr_{v}) ne dépend que de v et est à coefficients dans Z. En outre, ce polynôme ne dépend pas de ℓ ≠ p. Pour les variétés abéliennes, il est connu que ρ_{ℓ}(Fr_{v}) est semi-simple, donc il s’ensuit que la classe de conjugaison (stable) de ρ_{ℓ}(Fr_{v}) dans GL(H_{ét}^{1}(A\overline{Q},Q_{ℓ})) est définie sur Q et indépendante de ℓ. Via l’isomorphisme canonique (ou en effet n’importe quel autre isomorphisme)

H_{B}^{1}(A) ⊗ Q_{ℓ} ≅ H_{ét}^{1}(A\overline{Q},Q_{ℓ}),

on déduit qu’il existe une classe de conjugaison C_{v} dans GL(H_{B}^{1}(A))\overline{Q}, définie sur Q, telle que ρ_{ℓ}(Fr_{v}) ∈ C_{v}(Q_{ℓ}) pour tout ℓ ≠ p. Précisons que, pour G un groupe algébrique sur Q, on entend par classe de conjugaison définie sur Q une orbite pour l’action de G sur lui-même par conjugaison telle que le point correspondant de la variété SpecQ[G]^{G} des classes de conjugaison stables de G soit défini sur Q.

On a vu dans la section 5 que, si le corps de nombres K est assez grand, alors les représentations galoisiennes ℓ-adiques se factorisent par des morphismes

ρ_{ℓ}: G_{K} → G(Q_{ℓ}),

où G = MT(A) est le groupe de Mumford–Tate de A. Dans [41] on trouve la conjecture qu’il existe une classe de conjugaison stable C_{v} de G\overline{Q}, définie sur Q, telle que ρ_{ℓ}(Fr_{v}) ∈ C_{v}(Q_{ℓ}) pour tout ℓ ≠ p. Sous la condition additionnelle que la réduction de A modulo v soit ordinaire, cette conjecture est montrée dans [28]. Théorème. Supposons, avec les notations et définitions ci-dessus, que A a bonne réduction ordinaire en v. Alors il existe F ∈ G(Q) et des éléments g_{ℓ} ∈ G(Q_{ℓ}) tels que ρ_{ℓ}(Fr_{v}) = g_{ℓ}F g_{ℓ}^{−1} pour tout nombre premier ℓ ≠ p.

À part l’hypothèse de réduction ordinaire, l’énoncé de ce théorème est un peu plus fort que la conjecture, car elle implique que la classe de conjugaison C_{v} possède même un point Q-rationnel qui est déjà conjugué à ρ_{ℓ}(Fr_{v}) par un élément de G(Q_{ℓ}). Il est facile de voir qu’on ne peut pas espérer ce résultat en général.

Dans [28] on montre que F est également lié à la classe de conjugaison de la transformation de frobenius en cohomologie cristalline.

Une conséquence du théorème est une réponse affirmative à la conjecture [41, 12.5?] pour un motif M découpé par une classe de Hodge dans le motif d’une variété abélienne à réduction ordinaire. Le polynôme caractéristique du frobenius sur un tel motif est le même pour toutes les réalisations ℓ-adiques et pour la réalisation p-adique.

La démonstration du théorème est inspiré du travail de Deligne esquissé dans la section 5. On construit encore la variété de Shimura M correspondant à la donnée de Shimura (G,X) associée à A. On suppose que M est munie d’une structure de niveau suffisamment fine pour assurer l’existence d’un schéma abélien π: X → M dont A est une fibre. Comme avant, on remplace M par une composante connexe géométrique. Les résultats de [29], énoncés dans la section 3, impliquent qu’il existe un point spécial a′∈ M(\overline{Q}) tel que la variété abélienne A′correspondante soit de type CM et que A′ait la même réduction modulo v que A, disons A_{0}. Les faits que A′ soit de type CM et que A_{0} soit ordinaire impliquent une égalité End^{0}(A_{0}) = End^{0}(A′) dont on déduit que l’endomorphisme de frobenius de A_{0} se relève à A′. On obtient un endomorpisme F de

H_{B,σ}^{1}(A′) ≅ (R^{1}π_{∗}^{an}Q)_{a′}

appartenant à G(Q). On transporte finalement F à H_{B,σ}^{1}(A) ≅ (R^{1}π_{∗}^{an}Q)_{a} en identifiant les fibres de R^{1}π_{∗}^{an}Q en a et en a′via un chemin γ de M(C) reliant ces deux points. Cela montre l’existence de F. La construction des g_{ℓ} repose sur le fait que l’identification H_{B,σ}^{1}(A) ≅ H_{B,σ}^{1}(A′) respecte les classes de Hodge.

7 Des variétés de Shimura construites par Mumford

On a déjà évoqué, dans la section 3 en particulier, l’existence de variétés de Shimura de type Hodge avec une interprétation modulaire qui ne soit pas de type PEL. On donne ici un tel exemple, dû à Mumford [23]. La construction joue un rôle dans mes publications [32], [30] et [31].

Fixons un corps de nombres F totalement réel de degré 3 et une algèbre de quaternions D de centre F tel que Cor_{F /Q}(D) ≅ M_{8}(Q) et D ⊗ R ≅ H × H × M_{2}(R). Ici, H désigne l’algèbre des quaternions réels. Dans la suite, on considère le groupe des unités D^{∗} de D comme groupe algébrique sur Q. La � norme � donne un morphisme N: D^{∗} → Cor_{F /Q}(D) ≅ GL_{8}(Q). Le Q-groupe algébrique G est défini comme l’image de ce morphisme. Par construction, ce groupe possède une représentation fidèle V de dimension 8. L’algèbre de Lie de G\overline{Q} est isomorphe à 𝔠 ⊕ 𝔰𝔩(2)^{3} avec centre 𝔠 de dimension 1. Cette algèbre de Lie opère sur V par le produit tensoriel des représentations naturelles des facteurs. Cela implique que la représentation V de G est absolument irréductible.

Soit S comme dans les sections 1 et 5, posons

h̃: S−→ H^{∗}× H^{∗}× GL_{2,R} ≅ D_{R}^{∗}
a + bi ↦ ( 1,1,( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) )

et soient h = N_{R} ∘ h̃ et X la G(R)-classe de conjugaison de h. Il est facile de voir que (G,X) est une donnée de Shimura, d’où, pour tout sous-groupe compact ouvert C ⊂ G(A_{f}), le modèle canonique_{C}M de la variété de Shimura associée. Un simple calcul montre que dim_{C}M = 1. Par la représentation V, tout point x ∈_{C}M(C) donne une variété abélienne A_{x} de dimension 4 avec groupe de Mumford–Tate MT(A_{x}) contenu dans G. Comme dim_{C}M = 1, le groupe MT(A_{x}) est égal à G si et seulement si x n’est pas un point spécial de _{C}M. Pour C suffisamment petit, il existe un schéma abélien X /_{C}M dont la fibre en tout point x ∈_{C}M(C) est A_{x}. La représentation V étant absolument simple, on a End(A_{x}) = Z dès que MT(A_{x}) = G, ce qui montre que cette famille pas de type PEL.

Les fibres de ces familles se reconnaissent à partir de leur groupe de Mumford– Tate, de la manière suivante. Pour k un corps de caractéristique 0, G un k-groupe algébrique linéaire et V une représentation fidèle de G, on dira que (G,V) est à la Mumford si le centre 𝔠 de Lie(G) est de dimension 1 et Lie(G)\overline{k} ≅ 𝔠 ⊕ 𝔰𝔩(2)^{3} opérant sur V\overline{k} par le produit tensoriel des représentations naturelles des facteurs. Si A/C est une variété abélienne telle que (MT(A),H_{B}^{1}(A)) est une représentation à la Mumford, alors on montre dans [32] que A est une fibre dans une famille du type construit cidessus.

Il est nécessaire de rappeler la notion de polygone de Newton. Soit A une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres K et soit ρ_{ℓ}, pour ℓ un nombre premier, la représentation étale ℓ-adique de G_{K} sur H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}). Fixons une valuation v de K où A a bonne réduction et un élément de Frobenius Fr_{v} ∈ G_{K} en v. Soit p la caractéristique résiduelle de v. Comme on l’a vu dans la section 6, si ℓ ≠ p, alors les valeurs propres de ρ_{ℓ}(Fr_{v}) sont des entiers algébriques qui ne dépendent ni du choix de Fr_{v}, ni de ℓ. Un théorème de Weil, voir [7] ou [48], implique que, pour λ une valeur propre de ρ_{ℓ}(Fr_{v}), toutes les valeurs absolues archimédiennes de λ sont égales à \sqrt{q}, où q est le cardinal du corps résiduel de K en v. On fixe une valuation p-adique w de \overline{Q} et on considère la suite (α_{1},... ,α_{2g}) des quotients w(λ)/w(q) pour λ parcourant les valeurs propres de ρ_{ℓ}(Fr_{v}), dans l’ordre croissant. Le polygone de Newton de A en v est la courbe linéaire par morceaux de R^{2} reliant les points

(0,0),(1,α_{1}),(2,α_{1}+ α_{2}),... ,(2g,α_{1}+ ··· + α_{2g})

dans l’ordre. Les α_{i} sont les pentes du polygone de Newton.

Dans [32] j’étudie les polygones de Newton possibles pour les fibres des familles de Mumford, autrement dit la stratification des variétés de Shimura de Mumford définie par les polygones de Newton. Pour les variétés des modules de variétés abéliennes, cette stratification, bien plus compliquée, à été étudiée entre autres par Oort [34]. Pour formuler le résultat de [32], il faut remarquer que, pour le modèle canonique_{C}M d’une variété de Shimura du type en question, le corps dual est égal au corps totalement réel F servant dans la construction de_{C}M. Le modèle canonique est donc un F -schéma. Si, pour K un corps de nombres, A/K correspond à un point de_{C}M(K), alors cette donnée détermine un plongement F ⊂ K. Proposition. Soient X /_{C}M une famille de variétés abéliennes comme ci-dessus, K un corps de nombres et A la fibre de cette famille de en un point non-spécial de _{C}M(K). Soit v une valuation p-adique de K. La liste des polygones de Newton possibles de A en v dépend uniquement du degré local de F en v. Dans chaque cas, il y a deux possibilités.

– Si [F_{v}: Q_{p}] = 1, alors le polygone de Newton est 4 × 0,4 × 1 ou 8 × 1/2.

– Si [F_{v}: Q_{p}] = 2, alors le polygone de Newton est 2×0,4×1/2,2×1 ou 8×1/2.

– Si [F_{v}: Q_{p}] = 3, alors le polygone de Newton est 0,3×1/3,3×2/3,1 ou 8×1/2. En combinant les résultats de [32] avec ceux de [30], on obtient également une

liste des possibilités pour la décomposition en facteurs simples de la réduction de A modulo v.

Pour établir la liste des possibilités pour les polygones de Newton, on n’utilise que les propriétés des représentations galoisiennes ℓ-adiques associées à A. Les résultats nécessaires se trouvent dans [30] et sont traités dans la section 8. Pour montrer que les listes données sont exhaustives, on utilise la classification des points spéciaux de CM donnée ci-après et la proposition suivante, dont la démonstration repose sur un argument qui ressemble à la démonstration du théorème de la section 5. Proposition. Soient G et X /_{C}M comme avant, K un corps de nombres et a ∈_{C}M(K) un point spécial correspondant à une variété abélienne A = X_{a}. Pour toute valuation v de K où A a bonne réduction A_{0}/k_{v}, il existe une extension finie K′de K, une valuation v′de K′prolongeant v et un point a′∈_{C}M(K′) tels que la variété abélienne A′correspondant à a′a groupe de Mumford–Tate G et que la réduction A′_{0} de A′en v′vérifie A_{0} ≅ A′_{0}.

On termine cette section par une esquisse de la classification, obtenue dans [32], des points spéciaux de _{C}M. On en trouve deux classes. Les points spéciaux de la première classe correspondent à des variétés abéliennes A qui se décomposent comme A ∼ A^{(1)} × A^{(3)} où A^{(1)} est une courbe elliptique de type CM et A^{(3)} une variété abélienne simple de dimension 3 de type CM. Les corps CM de A^{(1)} et de A^{(3)} sont de la forme E et E ⊗_{Q} F respectivement, où E est un corps quadratique (nécessairement) imaginaire tel que D ⊗_{Q} E ≅ M_{2}(F ⊗_{Q} E). Rappelons que D est l’algèbre de quaternions utilisée dans la construction de Mumford et que F est le centre de D.

La deuxième classe consiste exactement des variétés de type CM étudiés par Pohlman dans [36]. Il s’agit de variétés abéliennes simples avec corps de multiplication complexes E de degré 8 telles que le corps dual L du type CM vérifie [L : Q] = 6, F ⊂ L et D ⊗_{F} L ≅ M_{2}(L).

8 Représentations galoisiennes à la Mumford

Comme dans ce qui précède, A est une variété abélienne sur un corps de nombres K et pour tout nombre premier ℓ,

ρ_{ℓ}: G_{K} → GL(H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}))

est la représentation galoisienne associée. On écrit V_{ℓ}= H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{ℓ}) et note G_{ℓ} l’adhérence de Zariski de ρ_{ℓ}(G_{K}) dans GL(V_{ℓ}). On dit que ρ_{ℓ} est à la Mumford si le couple (G_{ℓ},V_{ℓ}) l’est, au sens de la section 7.

Cette section est consacrée aux propriétés, établies dans [30], des variétés abéliennes A avec une représentation galoisienne ℓ-adique à la Mumford. Comme l’image de la représentation galoisienne de A est contenue dans le groupe de Mumford–Tate, les résultats peuvent être appliqués aux variétés abéliennes considérées dans la section précédente. Une première propriété remarquable des variétés abéliennes avec une représentation galoisienne à la Mumford est donnée par le théorème suivant. Théorème. Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres K et supposons qu’il existe un nombre premier ℓ tel que la représentation ℓ-adique associée à A est à la Mumford. Alors A a potentiellement bonne réduction en toute place finie de K.

Soit v une valuation de K. Des travaux de Serre [38] et de Pink [35] sur la conjecture de Mumford–Tate impliquent que les groupes G_{ℓ}, pour ℓ variable dans un ensemble de nombres premiers assez grand, proviennent par extension de scalaires d’un même groupe algébrique sur Q. Cela permet de se ramener au cas où G_{ℓ}^{der} est presque Q_{ℓ}-simple pour un nombre premier ℓ avec v(ℓ) = 0. Par le critère de Néron–Ogg– Shafarevich, qu’on trouve par exemple dans [43], il suffit de montrer qu’il existe une extension finie K′de K et une place v′de K′au-dessus de v tels que le groupe d’inertie en v′opère trivialement sur V_{ℓ}.

La condition sur G_{ℓ} implique que les éléments unipotents non-triviaux de G_{ℓ}(Q_{ℓ}) sont d’échelon > 2, tandis qu’un théorème Grothendieck [16, Exposé I] implique que, pour une extension finie K′⊃ K convenable, ρ_{ℓ}(α) est unipotent d’échelon ≤ 2 pour tout α dans le groupe d’inertie I_{K′,v′}. Ce groupe d’inertie agit donc trivialement.

Signalons le corollaire suivant, qu’on trouve également dans [30]. Corollaire. Soit A/K une variété abélienne de dimension 4 sur un corps de nombres n’ayant pas potentiellement bonne réduction partout. Alors la conjecture de Mumford– Tate est vraie pour A.

Les résultats de bonne réduction potentielle peuvent être généralisés à d’autres types de représentations galoisiennes, notamment pour des variétés abéliennes liées à certaines variétés de Shimura construites par Addington [1]. En plus, il est possible de déduire des résultats de bonne réduction de A en une place p-adique des propriétés de la représentation p-adique associée à A. Ce travail fait l’objet de la thèse que F. Paugam prépare sous ma direction.

Passons à l’étude, déjà utilisée dans la section 7, des polygones de Newton d’une variété abélienne avec une représentation galoisienne à la Mumford. Pour A une variété abélienne sur un corps de nombres K et v une valuation p-adique de K, le polygone de Newton de A en v est égal au polygone de Newton de la représentation p-adique (ρ_{p})_{|I_{K,v̄}} du groupe d’inertie, défini ci-dessous. Pour établir les possibilités pour le polygone de Newton de A en v, il suffit donc d’étudier les propriétés de certaines représentations p-adiques du groupe de Galois d’un corps local p-adique avec corps résiduel algébriquement clos. Après l’introduction des notions nécessaires, le reste de la section est dédié à cette étude, faite dans [30].

En changeant les notations jusqu’à la fin de la section, K désigne une extension finie de Q_{p}^{nr}, où Q_{p}^{nr} est l’extension maximale non-ramifiée de Q_{p}. Un module filtré sur K est un Q_{p}^{nr}-espace vectoriel de dimension finie muni d’un automorphisme σlinéaire Fr: D → D et d’une filtration (Fil^{i}) de D ⊗_{Q_{p}^{nr}} K. Cette filtration est supposée décroissante, exhaustive, séparée et de longueur finie. Ici σ est l’automorphisme de frobenius de Q_{p}^{nr}. La théorie de Fontaine, exposée par exemple dans [13] et [14], permet d’associer un module filtré à toute représentation p-adique de G_{K}. Pour le faire, Fontaine construit l’anneau des périodes p-adiques B_{cris}, une Q_{p}^{nr}-algèbre munie à la fois de la structure module filtré et d’une action de G_{K}. On définit le module filtré associé à une représentation Q_{p}-linéaire V par D = D(V) = (V ⊗_{Q_{p}} B_{cris})^{G_{K}}. On dit que la représentation est cristalline si dim_{Q_{p}} V = dim_{Q_{p}^{nr}}D(V). Cette propriété peut être considérée comme l’analogue de la notion de représentation ℓ-adique non-ramifiée de G_{K} pour ℓ ≠ p. La notion est voisine de celle, plus faible, de représentation de Hodge– Tate qui aétéétudiée depuis Tate [47], voir aussi [39]. Si A/K est une variété abélienne, alors la représentation de G_{K} sur V_{p} = H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{p}) est cristalline si et seulement si A a bonne réduction.

Soit D un Q_{p}^{nr}-espace vectoriel de dimension finie muni d’un automorphisme σlinéaire Fr. Un théorème de classification dû à Dieudonné (voir [17]) implique qu’il existe une suite de nombres rationnels r_{1}/s_{1} ≤ ···≤ r_{k}/s_{k} (avec r_{i} et s_{i} premiers entre eux) telle que

D ≅ ⨁_{i=1}^{k} D(r_{i}/s_{i}),

où D(r/s) = Q_{p}[T]/(T^{s}− p^{r}) ⊗_{Q_{p}} Q_{p}^{nr} muni de Frdonné par

Fr(x ⊗ λ) = (T x) ⊗ (σ(λ)).

En analogie avec la définition dans la section 7, la suite

(r_{1}/s_{1} (s_{1} fois),r_{2}/s_{2} (s_{2} fois),... ,r_{k}/s_{k} (s_{k} fois)),

est la suite des pentes du polygone de Newton de D (et de V). Si la représentation V vient d’une variété abélienne A, on retrouve le polygone de Newton de A défini dans la section 7. Proposition. Soient G_{p} un groupe algébrique sur Q_{p} et V_{p} une représentation de G_{p} telle que (G_{p},V_{p}) soità la Mumford. Soient K ⊃ Q_{p}^{nr} une extension finie comme avant et ρ_{p}: G_{K} → G_{p}(Q_{p}) une représentation cristalline polarisable avec pentes de Newton dans l’intervalle [0,1]. Alors le polygone de Newton de ρ_{p} est parmi 4 × 0,4 × 1 ; 2 × 0,4 × 1/2,2 × 1 ; 0,3 × 1/3,3 × 2/3,1 ; et 8 × 1/2.

En faisant une distinction selon les décompositions de G_{p} en facteurs presque Q_{p}- simples, on peut arriver à un résultat plus précis donnant deux possibilités pour le polygone de Newton dans chaque cas.

La démonstration de la proposition repose sur le fait, montré dans [35], qu’il existe un groupe algébrique H sur Q_{p}^{nr}, forme intérieure de G_{p}, agissant sur D et un cocaractère μ de H telle que la graduation de D donnée par μ soit la même que celle par les D(r_{i}/s_{i}).

9 Une conjecture de Fontaine et Mazur

Soient K à nouveau un corps de nombres, p un nombre premier, V_{p} un Q_{p}-espace vectoriel de dimension finie et ρ_{p}: G_{K}→ GL(V_{p}) une représentation continue. On dira que ρ_{p} est géométrique si

– ρ_{p} est non-ramifiée en dehors d’un ensemble fini S de places de K et

– pour toute valuation v̄ de \overline{K}, la restriction de ρ_{p} au groupe d’inertie I_{K,v̄} est

potentiellement semi-stable. La condition d’être non-ramifiée en v veut dire que l’inertie en v opère trivialement. La condition que ρ_{p} soit potentiellement semi-stable est équivalente à ce que la restriction de ρ_{p} à un sous-groupe d’indice fini de I_{K,v̄}soit semi-stable. La définition de représentation semi-stable est différente selon les cas où la caractéristique résiduelle en v est égale à p ou pas. Dans le premier cas, il s’agit de la notion définie par Fontaine dans [14]. La définition est analogue à celle d’une représentation cristalline rappelée dans la section 8, avec B_{cris} remplacée par l’algèbre B_{st}. Pour la suite il suffira de savoir que toute représentation cristalline est semi-stable. Dans le deuxième cas, où la caractéristique résiduelle en v est différente de p, être semi-stable veut dire que I_{K,v̄} opère de façon unipotente. Le théorème de Grothendieck sur les représentations padiques de corps locaux ℓ-adiques pour ℓ ≠ p (voir [16]) montre que, dans ce cas, toute représentation de I_{K,v̄}est potentiellement semi-stable.

Si ρ_{p} est irréductible, on dit qu’elle vient de la géométrie algébrique s’il existe une variété algébrique A/K telle que ρ_{p} soit un sous-quotient de la représentation de G_{K} sur un groupe de cohomologie étale tordu H_{ét}^{i}(A\overline{K},Q_{p})(n). Comme ρ_{p} est supposée irréductible, on obtient une définition équivalente si l’on impose à A d’être propre et lisse.

Dans [15], Fontaine et Mazur ont formulé la conjecture suivante. Conjecture. Une représentation p-adique irréductible ρ_{p} de G_{K} est géométrique si et seulement si elle vient de la géométrie algébrique.

La partie � si � de la conjecture suit de travail de Tsuji [50] et De Jong [4]. On sait beaucoup moins pour l’implication réciproque. Concernant celle-ci, le cas ou ρ_{p} est commutatif est traité dans [15]. Taylor [49] a montré la conjecture dans le cas où dimV_{p} = 2 et K est totalement réel.

Dans [31], les fibres des familles de Mumford sont utilisées pour la construction de représentations géométriques. Dans la première partie de la construction, des hypothèses plus faibles sont suffisantes. On suppose que G_{p} est un Q_{p}-groupe algébrique et V_{p} une représentation à la Mumford de G_{p}. Dans toute la suite, on suppose que Lie(G_{p}) est scindé. Il existe alors une isogénie centrale

G̃_{p} ≅ G_{m,Q_{p}}× SL_{2,Q_{p}}^{3} → G_{p}

et V_{p} s’identifie (en tant que représentation de G̃_{p}) au produit tensoriel de représentations naturelles des facteurs.

Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres K telle que, pour une identification V_{p} = H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{p}) convenable, la représentation galoisienne associée à A se factorise par ρ_{p}: G_{K}→ G_{p}(Q_{p}). Pour l’instant, il n’est pas nécessaire que l’image soit Zariski dense, ni que G_{p} = MT(A)_{Q_{p}}. D’après le théorème de bonne réduction potentielle traité dans la section 8, on peut remplacer K par une extension finie telle que ρ_{p} soit non-ramifiée en toute place finie de K de caractéristique résiduelle différente de p et cristalline en toute place de caractéristique résiduelle égale à p.

Pour K assez grand, ρ_{p} se relève à une représentation ρ̃_{p}: G_{K}→ G̃_{p}(Q_{p}). En composant avec les projections sur les facteurs de G̃_{p}, cela donne des représentations

ρ^{1},ρ^{2},ρ^{3}: G_{K} → SL_{2}(Q_{p})

et un caractère ρ^{0}: G_{K}→ G_{m}(Q_{p}). Comme ρ est non-ramifiée en dehors des valuations p-adiques de K, il est clair que, pour K assez grand, les ρ^{i} (pour i = 0,... ,3) sont aussi non-ramifiées en dehors des valuations p-adiques. Pour les places p-adiques on a le théorème suivant. Théorème. Si K est assez grand, alors (ρ^{0})^{−2} est le caractère cyclotomique de G_{K}. Pour toute valuation p-adique v de K, il existe i ∈ {1,2,3} tel que ρ^{0}ρ^{i} soit cristalline en v et que ρ^{j} soit triviale sur I_{K,v̄}pour j ≠ i.

En particulier, ni les ρ^{i} ni les ρ^{0}ρ^{i} sont géométriques. On dira que ρ^{i} est de premier espèce en v si la restriction de ρ^{0}ρ^{i} à I_{K,v̄} est cristalline, et de second espèce si la restriction de ρ^{i} à I_{K,v̄}est triviale.

Pour donner une idée de la démonstration du théorème, on fixe une valuation padique v de K et on étudie les restrictions des représentations en question au groupe d’inertie I = I_{K,v̄}correspondant. Une représentation cristalline V_{p} (ou même une représentation semi-stable) est de Hodge–Tate et cela implique que la filtration de D(V_{p}) est scindée sur le corps C_{p}, le complété de \overline{Q}_{p}. On en déduit une graduation de V_{p} ⊗ C_{p}, donnée par un cocaractère μ_{HT}: G_{m,C_{p}} → GL(V_{p}⊗C_{p}). Un théorème de Sen, voir par exemple [39], implique que l’adhérence de ρ_{p}(I) dans GL(V_{p}) est égal au plus petit sous-groupe de GL(V_{p}) (défini sur Q_{p}) contenant l’image de μ_{HT}. Le fait que la graduation de Hodge–Tate est en deux crans implique que μ_{HT}se projette trivialement sur un facteur de G^{ad} et un seul. On déduit que la même chose est vraie pour la projection de ρ_{p}(I) sur G^{ad}(Q_{p}). Cela prouve la trivialité de deux d’entre les ρ_{i} (pour i = 1,2,3). Le fait que ρ_{p} = ρ^{0}(ρ^{1} ⊗ ρ^{2} ⊗ ρ^{3}) est cristalline montre que le produit de ρ_{0} et la troisième ρ_{i} est également cristalline.

Pour la deuxième partie de la construction des représentations géométriques, on a besoin de l’hypothèse beaucoup plus lourde sur A qu’elle est une fibre d’une famille de Mumford. Cette condition est équivalente à ce qu’il existe un groupe G ⊂ GL(H_{B}^{1}(A)) tel que MT(A) ⊂ G et que la représentation de G sur H_{B}^{1}(A) soit à la Mumford. Comme MT(A) est connexe, on peut supposer dans la suite que G l’est également. On obtient une donnée de Shimura (G,X) et il était signalé dans la section 7 que le corps dual est un corps de nombres cubique F. On sait que G admet une isogénie G̃ → G où G̃ ≅ G_{m,Q}×G̃^{der}et G̃^{der}est la restriction de scalaires de F à Q d’une F -forme de SL_{2}. Quitte à remplacer K par une extension finie, on peut supposer que la représentation de G_{K} sur H_{ét}^{1}(A\overline{K},Q_{p}) se factorise par ρ_{p}: G_{K} → G(Q_{p}). On suppose enfin que G est scindé sur Q_{p}, ce qui est le cas pour un nombre infini de p.

Les conditions imposées dans la première partie de la construction se trouvent ainsi vérifiées avec G_{p} = G_{Q_{p}}. La condition que G_{Q_{p}} est scindé implique que p est scindé dans F et les facteurs SL_{2,Q_{p}} de G̃^{der}correspondent alors aux valuations p-adiques v_{1}, v_{2} et v_{3} de F. On fait correspondre la représentation ρ^{i} à la valuation v_{i}.

Soit μ_{h}: G_{m}→ G_{C} le cocaractère associé au morphisme h: S → G_{R} définissant la structure de Hodge sur H_{B}^{1}(A), comme dans les sections 1 et 5. Un théorème de Wintenberger [51] donne la relation entre μ_{h} et le cocaractère μ_{HT}associé à la décomposition de Hodge–Tate. On peut en déduire la Proposition. Il existe un plongement F → K tel que, pour toute valuation p-adique v de K, la représentation ρ^{i} est de première espèce en v si et seulement si v_{|F} = v_{i}.

Choisissons une deuxième variété abélienne A′/K, vérifiant les mêmes conditions que A, pour un groupe G′⊂ GL(H_{B}^{1}(A)) de type Mumford, connexe et scindé sur Q_{p} et tel que le corps dual de la donnée de Shimura (G′,X′) associée soit encore égal à F. Pour i = 1,2,3 on construit des représentations ρ^{′,i} comme pour A et, quitte à les renuméroter, on obtient le corollaire suivant. Corollaire. La représentation τ = ρ^{1}⊗ ρ^{′,1} est géométrique.

En utilisant les idées derrière le théorème de la section 5 et la théorie des représentations de SL_{2}, on montre la proposition suivante. Proposition. On peut choisir A et A′de sorte que τ = ρ^{1}⊗ρ^{′,1} soit irréductible et que τ ne soit isomorphe à aucun sous-quotient d’aucune représentation de la forme

H^{1}(A\overline{K},Q_{p})^{⊗i} ⊗ H^{1}(A′ ; \overline{K},Q_{p})^{⊗j} (k).

Dans tous les cas où τ est irréductible, la conjecture de Fontaine et Mazur affirme qu’elle vient de la géométrie algébrique. Dans [31] on confirme cette prédiction. Théorème. Si la représentation τ est irréductible, alors elle vient, à extension finie de K près, de la géométrie algébrique.

Je montre dans [31] que τ vient même de la cohomologie de variétés abéliennes, construites explicitement. Pour la construction de ces variétés, on se ramène d’abord à un cas plus spécial. Soit A′′une fibre spéciale d’une famille de Mumford, associée à une donnée de Shimura (G′′,X ′′) avec G′′ scindé sur Q_{p} et dont le corps dual est encore égal à F. La construction ci-dessus peut être appliquée à la représentation padique de A′′et on obtient des représentations ρ^{′′,i} pour i = 1,2,3. On peut choisir A′′ de sorte que les ρ^{′′,i} se décomposent en somme directe de caractères, en particulier ρ^{′′,1} = ψ ⊕ ψ^{−1} . On montre comme avant que, après renuméroter les ρ^{′′,i}, le produit ρ^{1}ψ est géométrique. Comme τ = (ρ^{1}ψ)⊗(ρ^{′,1}ψ^{−1} ), il suffit de montrer que ρ^{1}ψ vient de la géométrie, après extension finie de K. Notons que ce fait ne suit pas du résultat de Taylor [49], parce que K contient le corps dual du type CM de A′′, ce qui implique que K n’est dans aucun cas totalement réel.

On va construire des variétés abéliennes B et C sur une extension finie de K telles que ρ^{1}ψ soit un sous-quotient d’un groupe de cohomologieétale de B×C. La construction s’inspire des remarques de Deligne dans [6] sur les � modèles étranges � de Shimura.

De la discussion dans la section 7, on déduit qu’il existe une algèbre de quaternions D sur F et un morphisme de Q-groupes algébriques D^{∗} → G tels que le morphisme h: S → G_{R} déterminant la structure de Hodge de A se relève à h̃: S → (D^{∗})_{R}. Via la représentation de D^{∗} sur D par multiplication à gauche, cela donne une structure de Hodge sur D sur laquelle F opère par endomorphismes.

La classification des points spéciaux des variétés de Shimura de Mumford, obtenue dans [32], montre qu’il existe une extension quadratique imaginaire L de F telle que le groupe de Mumford–Tate de A′′ est un quotient de L^{∗} (vu comme Q-groupe algébrique). On définit un morphisme S → (L^{∗})_{R} ≅ S^{3} par z ↦ (z,z,1), où la composante triviale est dans le facteur correspondant à la place réelle de F où D est scindée. Via la représentation de L^{∗} sur L, on obtient une structure de Hodge sur L, sur laquelle F opère également. Le produit tensoriel D ⊗_{F} L est isomorphe à la structure de Hodge sur H_{B}^{1}(B_{C}), pour B_{C} une variété abélienne sur C. La théorie des modèles canoniques des variétés de Shimura permet de montrer que B_{C} se descend à une variété abélienne sur un corps de nombres.

Ensuite, on construit une variété abélienne C de type CM avec algèbre d’endomorphismes L et on montre que, à extension finie de K près, ρ^{1}ψ est un sous-quotient de

H_{ét}^{1}(B\overline{Q},Q_{p}) ⊗ H_{ét}^{1}(C\overline{Q},Q_{p}).

Pour montrer ce dernier fait, on prouve plutôt l’existence d’un isomorphisme entre les motifs correspondants, dans la théorie des motifs pour les classes de Hodge absolues élaborée dans [12]. Pour établir un tel morphisme de motifs il suffit, d’après le théorème de [10] qui affirme que les classes de Hodge sur les variétés abéliennes sont des classes de Hodge absolues, de montrer l’existence d’un isomorphisme entre les structures de Hodge associées à ces motifs. Ceci termine l’esquisse de la démonstration du théorème.

Après le corollaire dans la section 8, cette construction donne une deuxième idée pour attaquer la conjecture de Mumford–Tate. Supposons en effet que la variété abélienne A vérifie uniquement les conditions de la première partie de la construction de τ, c’est à dire que la représentation galoisienne associée est à la Mumford, mais le groupe de Mumford–Tate est peut-être plus grand. Si on peut montrer la première proposition de cette section dans ce cas, alors la représentation ρ^{1}ψ, construite comme ci-dessus, est encore géométrique. La conjecture de Fontaine–Mazur affirme que cette représentation vient de la géométrie algébrique. Si elle vient de la cohomologie de variétés abéliennes B et C comme ci-dessus, alors le fait que la conjecture de Mumford–Tate est vraie pour B et C implique la conjecture pour A.

10 Autres remarques sur la conjecture de Fontaine–Mazur

Soit ρ_{p} une représentation p-adique du groupe de Galois absolu G_{K} d’un corps de nombres K qui provient de la géométrie algébrique. Comme le remarquent Fontaine et Mazur, les conjectures standards de la théorie des motifs impliquent que ρ_{p} possède des propriétés remarquables. En premier lieu, ρ_{p} est non-ramifiée en dehors d’un ensemble fini S de places de K. On a vu que cela implique que, pour toute valuation v ∉ S, l’image ρ_{p}(Fr_{v}) d’un élément de Frobenius en v est définie à conjugaison près. La théorie des motifs implique que le polynôme caractéristique de ρ_{p}(Fr_{v}), a priori dans Z_{p}[T], est en effet dans E[T], pour E un corps de nombres.

Pour formuler la deuxième propriété motivique d’une représentation provenant de la géométrie, on rappelle la notion d’un système compatible de représentations galoisiennes à valeurs dans un corps de nombres E. Par cela un entend la donnée, pour toute place finie λ de E, d’une représentation E_{λ}-linéaire ρ_{λ} de G_{K}, avec les propriétés suivantes. D’abord, il existe un ensemble fini S de places de K tel que, pour toute λ, la représentation ρ_{λ} soit non-ramifiée en dehors de S ∪ S_{ℓ}, où ℓ est la caractéristique résiduelle de λ et S_{ℓ} l’ensemble des valuations de K de caractéristique résiduelle égale à ℓ. Pour toute valuation v ∉ S et toute λ dont la caractéristique résiduelle est différente de celle de v, le polynôme caractéristique de ρ_{p}(Fr_{v}) est alors bien défini et la condition que (ρ_{λ}) soit un système compatible est que ce polynôme caractéristique est à coefficients dans E et indépendant de λ, pour v ∉ S fixée et λ comme ci-dessus variable.

D’après les conjectures standards, une représentation galoisienne Q_{p}-linéaire ρ_{p} de G_{K} provenant de la géométrie fait partie d’un système compatible de représentations. Ceci veut dire qu’il existe un corps de nombres E et un système compatible (ρ_{λ}) à coefficients dans E tels que, pour λ appropriée de caractéristique résiduelle égale à p, la représentation ρ_{λ} est l’extension de scalaires de Q_{p} à E_{λ} de la représentation ρ_{p} donnée.

La conjecture de Fontaine et Mazur implique que les propriétés détaillées ci-dessus sont vérifiées pour toute représentation géométrique. Dans ce contexte, je m’intéresse à une généralisation de la construction de la section précédente. Soient G le groupe de Mumford–Tate d’une variété abélienne A sur un corps de nombres K et, pour tout ℓ premier, ρ_{ℓ}: G_{K}→ G(Q_{ℓ}) la représentation ℓ-adique associée à A. On note h: S → G_{R} le morphisme donnant la structure de Hodge de A et μ_{h} le cocaractère de G associé, comme dans la section 1. Soient G → G′un morphisme central de groupes algébriques et μ′_{h} et ρ′_{ℓ} les composés de μ_{h} et des ρ_{ℓ} avec G → G′respectivement.

Si G̃→ G′est une isogénie centrale telle que μ′_{h} se relève à G̃_{C}, alors un théorème de Wintenberger [52] implique que, après avoir remplacé K par une extension finie, le système des ρ′_{ℓ} se relève à un système ρ̃_{ℓ}: G_{K} → G̃(Q_{ℓ}) de représentations géométriques. Un travail en cours traite la question si (ρ̃_{ℓ}) est un système compatible de représentations galoisiennes. Un outil important dans ce travail, et la raison principale de se borner aux représentations associées aux variétés abéliennes, est le théorème de [28] sur la classe de conjugaison du frobenius.

Références

[1] S. L. Addington. Equivariant holomorphic maps of symmetric domains. Duke Math. J., 55, p. 65–88, 1987.

[2] W. L. Baily, Jr. et A. Borel. Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains. Ann. of Math., 84, p. 442–528, 1966.

[3] R. Coleman. Torsion points on curves. Dans Galois representations and arithmetic algebraic geometry, édité par Y. Ihara, tome 12 de Adv. Stud. Pure Math., pages 235–247, 1987.

[4] A. J. de Jong. Smoothness, semi-stability and alterations. Publ. Math. de l’I. H. E. S., 83, p. 51–93, 1996.

[5] J. de Jong et R. Noot. Jacobians with complex multiplication. Dans Arithmetic algebraic geometry, édité par G. van der Geer, F. Oort, et J. H. M. Steenbrink, tome 89 de Progr. Math., pages 177–192. Birkhäuser, 1991.

[6] P. Deligne. Travaux de Shimura. Dans Séminaire Bourbaki, tome 244 de Lecture Notes in Math., pages 123–165. Springer-Verlag, 1972. Exposé 389, février 1971.

[7] P. Deligne. La conjecture de Weil. I. Publ. Math. de l’I. H. E. S., 43, p. 273–307, 1974.

[8] P. Deligne. Variétés de Shimura : interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques. Dans Automorphic forms, representations, and L-functions, édité par A. Borel et W. Casselman, tome XXXIII, Part 2 de Proc. Sympos. Pure Math., pages 247–289. Amer. Math. Soc., 1979.

[9] P. Deligne. La conjecture de Weil. II. Publ. Math. de l’I. H. E. S., 52, p. 137–252, 1980.

[10] P. Deligne. Hodge cycles on abelian varieties. Dans Hodge cycles, motives, and Shimura varieties, édité par P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus, et K.-y. Shih, tome 900 de Lecture Notes in Math., chap. I, pages 9–100. Springer-Verlag, 1982.

[11] P. Deligne et L. Illusie. Cristaux ordinaires et coordonnées canoniques. Dans Surfaces algébriques, édité par J. Giraud, L. Illusie, et M. Raynaud, tome 868 de Lecture Notes in Math., pages 80–137. Springer-Verlag, 1981. Exposé 5.

[12] P. Deligne et J. S. Milne. Tannakian categories. Dans Hodge cycles, motives, and Shimura varieties, édité par P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus, et K.-y. Shih, tome 900 de Lecture Notes in Math., chap. II, pages 101–228. Springer-Verlag, 1982.

[13] J.-M. Fontaine. Le corps des périodes p-adiques. Dans Périodes p-adiques, séminaire de Bures 1988, tome 223 de Astérisque, pages 59–111. Soc. Math. France, 1994. Avec un appendice par P. Colmez.

[14] J.-M. Fontaine. Représentations p-adiques semi-stables. Dans Périodes padiques, séminaire de Bures 1988, tome 223 de Astérisque, pages 113–184. Soc. Math. France, 1994.

[15] J.-M. Fontaine et B. Mazur. Geometric Galois representations. Dans Elliptic curves, modular forms, & Fermat’s last theorem, édité par J. Coates et S. T. Yau, tome I de Ser. Number Theory, pages 41–78. International Press Inc., 1995.

[16] A. Grothendieck, M. Raynaud, et D. S. Rim. Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I, tome 288 de Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1972. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I). Dirigé par A. Grothendieck, avec la collaboration de M. Raynaud et D. S. Rim.

[17] N. M. Katz. Slope filtration of F -crystals. Dans Journées de géométrie algébrique de Rennes (I), tome 63 de Astérisque, pages 113–163. Soc. Math. France, 1978.

[18] N. M. Katz. Serre–Tate local moduli. Dans Surfaces algébriques, édité par J. Giraud, L. Illusie, et M. Raynaud, tome 868 de Lecture Notes in Math., pages 138– 202. Springer-Verlag, 1981. Exposé 5bis.

[19] J. S. Milne. Étale cohomology. Princeton Univ. Press, 1980.

[20] B. J. J. Moonen. Linearity properties of Shimura varieties, I. J. Algebraic Geom., 7, p. 539–567, 1998.

[21] B. J. J. Moonen. Linearity properties of Shimura varieties, II. Compos. Math., 114, p. 3–35, 1998.

[22] D. Mumford. Families of abelian varieties. Dans Algebraic groups and discontinuous subgroups, édité par A. Borel et G. D. Mostow, tome 9 de Proc. Sympos. Pure Math., pages 347–351. Amer. Math. Soc., 1966.

[23] D. Mumford. A note of Shimura’s paper “Discontinuous groups and abelian varieties”. Math. Ann., 181, p. 345–351, 1969.

[24] D. Mumford et J. Fogarty. Geometric invariant theory, tome 34 de Ergeb. Math. Grenzgeb. Springer-Verlag, deuxième edition, 1982.

[25] R. Noot. The canonical embedding of stable curves. Preprint 520, Rijksuniversiteit Utrecht, 1988.

[26] R. Noot. Hodge classes, Tate classes, and local moduli of abelian varieties. Thèse de doctorat, Rijksuniversiteit Utrecht, 1992.

[27] R. Noot. Abelian varieties—Galois representations and properties of ordinary reduction. Compos. Math., 97, p. 161–171, 1995.

[28] R. Noot. Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire. Ann. de l’Institut Fourier, 45, p. 1239–1248, 1995.

[29] R. Noot. Models of Shimura varieties in mixed characteristic. J. Algebraic Geom., 5, p. 187–207, 1996.

[30] R. Noot. Abelian varieties with ℓ-adic Galois representation of Mumford’s type. J. Reine Angew. Math., 519, p. 155–169, 2000.

[31] R. Noot. Lifting Galois representations and a conjecture of Fontaine and Mazur. Prépulication 00-60, IRMAR, Université de Rennes 1, 2000.

[32] R. Noot. On Mumford’s families of abelian varieties. J. Pure Appl. Algebra, 157(1), p. 87–106, 2001.

[33] A. Ogus. Hodge cycles and crystalline cohomology. Dans Hodge cycles, motives, and shimura varieties, édité par P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus, et K. y. Shih, tome 900 de Lecture Notes in Math., chap. VI, pages 357–414. Springer-Verlag, 1982.

[34] F. Oort. Newton polygon strata in the moduli space of abelian varieties. Dans Moduli of abelian varieties, édité par C. Faber, G. van der Geer, et F. Oort, tome 89 de Progr. Math., pages 417–440. Birkhäuser, 2001.

[35] R. Pink. ℓ-adic algebraic monodromy groups, cocharacters, and the Mumford– Tate conjecture. J. Reine Angew. Math., 495, p. 187–237, 1998.

[36] H. Pohlmann. Algebraic cycles on abelian varieties of complex multiplication type. Ann. of Math., 88, p. 161–180, 1968.

[37] M. Schlessinger. Functors of Artin rings. Trans. Amer. Math. Soc., 130, p. 208– 222, 1968.

[38] J-P. Serre. Lettre à Ribet, 1–1–1981. Publiée dans [42, 133].

[39] J-P. Serre. Groupes algébriques associés aux modules de Hodge–Tate. Dans Journées de géométrie algébrique de Rennes (III), tome 65 de Astérisque, pages 155–188. Soc. Math. France, 1978. Publié aussi dans [40, 119].

[40] J-P. Serre. Œuvres — Collected papers. Springer-Verlag, 1986.

[41] J-P. Serre. Propriétés conjecturales des groupes de Galois motiviques et des représentations ℓ-adiques. Dans Motives, édité par U. Jansen, S. Kleiman, et J.-P. Serre, tome 55, Part 1 de Proc. Sympos. Pure Math., pages 377–400. Amer. Math. Soc., 1994. Publié aussi dans [42, 161].

[42] J-P. Serre. Œuvres — Collected papers, Volume IV. Springer-Verlag, 2000.

[43] J-P. Serre et J. Tate. Good reduction of abelian varieties. Ann. of Math., 88, p. 492–517, 1968. Publié aussi dans [40, 79].

[44] G. Shimura. Discontinuous groups and abelian varieties. Math. Ann., 168, p. 171–199, 1967.

[45] G. Shimura. On canonical models of arithmetic quotients of bounded symmetric domains. Ann. of Math., 91, p. 144–222, 1970.

[46] G. Shimura et Y. Taniyama. Complex multiplication of abelian varieties and its applications to number theory. Publ. math. soc. Japan. math. soc. Japan, 1961.

[47] J. Tate. p-Divisible groups. Dans Proc. Conf. Local Fields (Driebergen,1966), pages 158–183. Springer-Verlag, 1966.

[48] J. Tate. Classes d’isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini (d’après T. Honda). Dans Séminaire Bourbaki, tome 179 de Lecture Notes in Math., pages 95–110. Springer-Verlag, 1969. Exposé 352, novembre 1968.

[49] R. Taylor. Remarks on a conjecture of Fontaine and Mazur. e-print, Harvard university, 2000.

[50] T. Tsuji. p-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case. Invent. Math., 137(2), p. 233–411, 1999.

[51] J.-P. Wintenberger. Motifs et ramification pour les points d’ordre fini des variétés abéliennes. Dans Séminaire de théorie des nombres de Paris 1986-87, tome 75 de Progr. Math., pages 453–471. Birkhäuser, 1988.

[52] J.-P. Wintenberger. Relèvement selon une isogénie de systèmes ℓ-adiques de représentations galoisiennes associés aux motifs. Invent. Math., 120, p. 215–240, 1995.

Rutger Noot I. R. M. A. R. Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex France

e-mail : noot@univ-rennes1.fr
http : http ://www.maths.univ-rennes1.fr/~noot