Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501

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Considérons l’équation d’une courbe elliptique sur un corps , c’est à dire, sur un corps de caractéristique différente de , une équation (E) du type :

On s’intéresse aux solutions de cette équation à coefficients dans des extensions
du corps .

Dans une première partie nous mettrons en place quelques outils standards de la géométrie arithmétique, qui permettent d’étudier les objets algébriques comme ci-dessus. Nous nous concentrerons ensuite sur les courbes, et commencerons l’étude des courbes elliptiques.

Les outils mis en place permettront par exemple de donner un critère simple pour
qu’une telle équation (E) possède solutions dans .

Contenu du cours :

Propriétés générales d’un schéma

 Faisceaux. Espaces annelés.
 Introduction aux schémas. Exemples.
 Propriétés générales des schémas, changement de base, produit, morphismes
séparés, morphismes propres. Morphismes plats et lisses. Diviseurs.
 Faisceaux cohérents. Cohomologie des faisceaux.
 Théorème de Serre de l’annulation de la cohomologie des faisceaux cohérents sur un schéma affine.
 Schémas projectifs, faisceaux amples.

Courbes

 Courbes sur un corps, courbes propres. Théorème de Riemann-Roch et
formule d’Hurwitz.
 Courbes elliptiques. Cas complexe. Equation. Invariant de Hasse des courbes
elliptiques sur un corps fini.

Bibliographie

 Qing Liu : "Algebraic geometry and Arithmetic Curves" - Oxford university Press, 2002. Oxford Graduate Texts in Mathematics, No. 6.
 Robin Hartshorne : "Algebraic geometry" - Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

Dernière mise à jour le 25-01-2011