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Le développement en base entière des nombres réels irrationnels est la source de beaucoup de mystère. On a par exemple l’intuition qu’il n’existe aucune manière simple de décrire le développement d’un nombre algébrique irrationnel donné. De même, on conjecture que si le développement d’un nombre réel irrationnel a une description simple dans une base donnée, son développement devrait être compliqué dans tout autre base multiplicativement indépendante. Algorithmiquement, on peut considérer qu’un nombre a un développement simple dans une base donnée si ce développement peut-être engendré par un automate fini. Les questions suivantes se posent alors : 1) Le développement en base entière d’un nombre algébrique irrationnel peut-il être engendré par un automate fini ? 2) Existe-il un nombre réel irrationnel dont les développements dans deux bases entières multiplicativement indépendantes sont engendrés par des automates finis ? En 1929, Mahler a développé une méthode permettant de démontrer la transcendance et l’indépendance algébrique de valeurs de fonctions vérifiant des équations aux différences, pour l’opérateur z→z^q, q ≥2 un entier. On qualifie aujourd’hui ces fonctions de q-mahlériennes. La méthode de Mahler et nos deux questions sont liées du fait que la série génératrice d'une suite engendrée par un automate fini est une fonction mahlérienne. Les résultats obtenus ces dernières années, concernant la nature arithmétique des valeurs de fonctions mahlériennes en un point algébrique, sont équivalents à ceux connus pour les E-fonctions. On sait notamment dire si une fonction mahlérienne prend une valeur algébrique ou transcendante en un point algébrique donné. Il existe également un analogue du théorème de Siegel-Shidlovskii pour les fonctions mahlériennes : le théorème de Nishioka. La méthode de Mahler a toutefois des spécificités : elle permet de travailler avec des fonctions de plusieurs variables et avec plusieurs opérateurs différents, simultanément. Dans ce cadre, les développements récents de la méthode permettent d’obtenir de puissants résultats d’indépendance algébrique. Dans cet exposé, nous présenterons la méthode de Mahler. Nous verrons les principaux résultats de transcendance et d’indépendance algébrique qu’elle permet d’obtenir. Nous étudierons enfin ses conséquences sur le développement des nombres réels, en répondant notamment aux deux questions initiales.
Résumé : Les espaces de configuration de points à repère dans une variété lisse orientée forment un module à droite sur l'opérade des petits disques à repères. Cette structure opéradique a des applications importantes, par exemple dans le calcul des plongements ou pour l'homologie de factorisation. Il reste cependant difficile de déterminer explicitement le type d'homotopie de ce module opéradique, même dans des cas simples. Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer le type d'homotopie rationnel de ce module dans le cas des surfaces orientées. La preuve fait intervenir divers ingrédients (formalité de Kontsevich, formalité de Tamarkin, formalité cyclique de l'opérade des petits disques à repères). Cet exposé est basé sur un article en collaboration avec Ricardo Campos et Thomas Willwacher.
Lien BBB : https://bbb.unistra.fr/b/vla-96k-0md-rhm (merci de contacter Vladimir DOTSENKO pour le code d'accès)
Etant donnée une variation de structure de Hodge sur une variété quasi-projective $S$, le lieu de Hodge est l'ensemble des points de $S$ où la structure de Hodge admet des tenseurs de Hodge exceptionnels. Un résultat fameux de Cattani-Deligne-Kaplan affirme que ce lieu est une union dénombrable de sous-variétés algébriques irréductibles, les sous-variétés spéciales de $S$ associée à la variation. Quand de plus la variation est définie sur un corps de nombre (c'est-à-dire que la connexion algébrique associée l'est), il est conjecturé que ces sous-variétés spéciales sont aussi définies sur un corps de nombre. Nous montrons que c'est le cas pour les variétés spéciales dont le groupe de monodromie vérifie une condition simple. En particulier, nous réduisons la conjecture au cas des points spéciaux. (travail commun avec A.Otwinowska et D. Urbanik)
À préciser
In the last years, measure solutions to PDE, in particular those modeling populations, have drawn much attention. The talk will be devoted to the presentation of a recent, unusual result in this field, that we obtained with Pierre Gabriel. First, I will expose some wellposedness and asymptotic results for two famous population equations in the L^p and measure frameworks, and explain the critical case that interested us. Then, I will define the notion of solution we used, and if needed, recall some basic definitions about semigroups. Moving to the proof itself, I will present the main steps of the proof of the wellposedness of the problem, that relies on a duality relation used to build a solution expressed as a semigroup acting on an initial measure. Then, I will go a little more into details of the demonstration of the asymptotic behaviour. In particular, I will exhibit how we used Harris' ergodic theorem to obtain a uniform exponential convergence in (weighted) total variation norm toward an oscillating measure. https://bbb.unistra.fr/b/lau-u4x-y3x
Tba
Dans ce travail, nous construisons un nouvel estimateur non paramétrique de la fonction de régression en utilisant l’erreur quadratique relative moyenne. C’est une approche alternative à la régression classique qui est résistante et moins influencée par la présence des valeurs aberrantes. Nous utilisons l’approche linéaire locale qui a l’avantage de résister aux effets de bord lorsque les données sont censurées aléatoirement à droite. Sous des hypothèses appropriées, la convergence uniforme presque sûre (sur un compact) avec vitesse est établie. Au moyen d’une étude sur des données simulées, nous montrons les performances et l’efficacité de la méthode étudiée.
https://bbb.unistra.fr/b/lau-u4x-y3x
Les équations de Korteweg-de Vries généralisées (gKdV) sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui ont la propriété remarquable d'admettre des solitons, mais également d'autres solutions particulières que l'on appelle multi-solitons et qui se comportent en temps long comme une somme de solitons. Ces objets sont des éléments "non-dispersifs", en un sens que nous préciserons. Notre propos est de caractériser de façon dynamique les multi-solitons des équations (gKdV) à l'aide de cette propriété de non-dispersion
https://bbb.unistra.fr/b/lau-u4x-y3x
TBA.