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Construction de Shimura des courbes elliptiques modulaires sur Q
Jean-Pierre Wintenberger
La construction de Shimura permet d’associer à une forme
modulaire f de poids 2 vecteur propre des opérateurs de Hecke une
variété abélienne Af sur le corps des rationnels Q. En particulier
si les coefficients de f sont des entiers rationnels, Af est une
courbe elliptique E sur Q, et on dit que E est modulaire. On sait
maintenant à la suite de Wiles que toutes les courbes elliptiques
sur Q sont modulaires. Ce théorème est un ingrédient essentiel de
la démonstration du "théorème" de Fermat.
Le but du cours est de présenter la construction de Shimura. Le
cours commencera par introduire les courbes modulaires et leurs
jacobiennes sur le corps des complexes, leurs modèles sur les
corps de nombres et leur réduction sur les corps finis. On
définira les opérateurs de Hecke et la variété abélienne Af
associée à une forme propre f. On prouvera la relation
d’Eichler-Shimura, reliant l’opérateur de Hecke Tp au Frobenius en
p. On définira pour tout nombre premier l la représentation
l-adique du groupe de Galois de Q sur le module de Tate de Af et
on démontrera que la fonction L de ces représentations est la
transformée de Mellin de la forme modulaire f (au moins en ce qui
concerne les facteurs eulériens aux nombres premiers ne divisant
pas le niveau de f).
Programme
Courbes et leurs jacobiennes ; correspondances. Courbes modulaires. Uniformisation par le demi-plan de Poincaré.
Formes modulaires de poids 2 ; interprétation des formes
modulaires comme différentielles sur les courbes modulaires. Opérateurs de Hecke. Construction de Shimura. Relation
d’Eichler-Shimura. Système compatible de représentations galoisiennes associé à une
courbe elliptique. Fonction L pour les courbes elliptiques
modulaires ; facteurs eulériens pour les premiers ne divisant pas
le niveau.
Bibliographie
J. S. Milne. Jacobian varieties. Dans Arithmetic Geometry, edité
par G. Cornell et J. H. Silverman. Springer Verlag. 1986. G. Shimura. Introduction to the arithmetic theory of automorphic
functions. Princeton : University press, 1971. B. Conrad : The Shimura construction in weight 2. Appendice à K.
Ribet. ; W. Stein. Lectures on Serre’s conjectures. Arithmetic
algebraic geometry (Park City, UT, 1999), 143—232, IAS/Park City
Math. Ser., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
Dernière mise à jour le 1er-04-2008
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