Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501

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Durée : 25 heures.

Les processus stochastiques discontinus ont toujours joué un grand rôle en
probabilités, depuis l’étude par Paul Lévy dans les années 1930 des processus
qui portent maintenant son nom. Depuis les années 1990, le calcul stochastique discontinu est devenu un outil irremplaçable en probabilités financières.

But

Introduire le calcul stochastique discontinu ; ouvertures vers les processus
de Lévy et/ou vers des questions de représentation chaotique.

Prérequis

Les deux cours de 1er trimestre, de techniques markoviennes et d’introduction
au calcul stochastique.

Contenu résumé
 Projections et projections duales. Décomposition de Doob-Meyer.
 Structure des martingales de carré intégrable ; variation quadratique ; martingales locales.
 Semimartingales ; intégration stochastique ; semimartingales formelles.
 Formules de changement de variables, de changement de temps, de changement de probabilité. Temps locaux.
 Equations différentielles stochastiques : existence et unicité des solutions.
Exponentielle de Doléans.
 Mesure de Lévy ; intégrale optionnelle. Propriétés de représentation prévisible, optionnelle et chaotique.
 Processus à accroissements indépendants ; processus de Lévy ; subordinateurs et changements de temps dans les processus de Markov.

Bibliographie

 D. Applebaum : Lévy processes and stochastic calculus. Cambridge University Press, 2004.
 J. Bertoin. Lévy processes. Cambridge University Press, 1996.
 K. Bichteler : Stochastic integration with jumps. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 2002.
 C. Dellacherie, B. Maisonneuve, P. A. Meyer : Probabilités et potentiel. Volume V : processus de Markov (fin), compléments de calcul stochastique. Hermann, 1992.
 C. Dellacherie, P. A. Meyer : Probabilités et potentiel. Volume II : théorie des
martingales. Hermann, 1980.
 P. Protter : Stochastic integration and differential equations. Springer, 1990.
 R. Situ : Theory of stochastic differential equations with jumps and applications. Springer, 2005.

Dernière mise à jour le 2-04-2008