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Opérateurs différentiels elliptiques. Théorème de Riemann-Roch
Alexandru Oancea
Le cours se propose de développer la théorie de Fredholm pour les opérateurs différentiels elliptiques. Outre les fondements indispensables (fibrés vectoriels, opérateurs différentiels et pseudo-différentiels, régularité elliptique), nous nous proposons de démontrer la formule de Riemann-Roch. Celle-ci exprime l’indice d’un opérateur de Cauchy-Riemann défini sur une surface compacte, avec ou sans bord, en fonction de certaines classes caractéristiques. C’est un cas particulier de la formule d’indice d’Atiyah-Singer, un résultat fondateur pour tous les problèmes de modules qui apparaissent en géométrie. Selon le temps disponible, nous allons aussi aborder la formule d’indice dans le cas des surfaces non-compactes.
Ce cours donne les fondements analytiques nécessaires pour aborder la théorie des courbes holomorphes en géométrie symplectique. Il constitue une préparation indispensable pour les cours "Homologie de Floer" et "Théories des champs".
Prérequis : variétés différentiables, formes différentielles ; espaces de Sobolev ; transformée de Fourier
Contenu du cours :
rappels de géométrie différentielle et analyse fonctionnelle variétés différentiables et fibrés vectoriels opérateurs différentiels et pseudo-différentiels opérateurs différentiels elliptiques (pseudo-inverse, régularité) théorie de Fredholm L2 pour les opérateurs différentiels elliptiques formule d’indice pour les opérateurs de Cauchy-Riemann (Riemann-Roch pour des surfaces compactes, avec ou sans bord) formule d’indice pour des opérateurs de Cauchy-Riemann définis sur des surfaces non-compactes (en fonction du temps disponible)
Bibliographie :
S. Alinhac, P. Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, InterEditions, Paris, 1991. B. Booss, D. Bleecker, Topology and analysis, Springer, 1985. D. McDuff, D. Salamon, J-holomorphic curves and symplectic topology, AMS Coll. Pub. vol. 52, AMS, 2004. F. Warner, Foundations of différentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94, Springer, New York-Berlin, 1983. R. Wells, Jr., Différential analysis on complex manifolds, Springer, 1980.
Dernière mise à jour le 4-03-2010
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