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Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que tous les coefficients de Taylor à l'origine d'une application miroir soient entiers. Les applications miroir sont des séries formelles z·exp(G(z)/F(z)), où F(z) et G(z) + log(z)·F(z) sont des solutions particulières de certaines équations différentielles hypergéométriques généralisées. Ce critère est basé sur les propriétés analytiques de l'application de Landau classiquement associée aux suites de quotients de factorielles.
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La conjecture équivariante sur les nombres de Tamagawa (ETNC)
prédit les valeurs spéciales de la fonction $L$ d'un motif muni d'une
action d'une algèbre de correspondances. Dans le cas du motif associé à
une forme modulaire, nous formulons une telle conjecture à coefficients
dans l'algèbre de Hecke. En appliquant la méthode des systèmes d'Euler
dans le système inductif de revêtement produit par la méthode de
Taylor-Wiles, nous démontrons que cette conjecture est à moitié vraie
(là où la conjecture prévoit une unité, nous trouvons un entier) et
vraie lorsque les résultats de Skinner et Urban s'appliquent.
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travail en cours avec O. Brinon et A. Mokrane
En utilisant la tour d'Igusa surconvergente définie par O. Brinon et A. Mokrane,
on définit une notion de formes de Siegel surconvergentes, dites d'Igusa, que l'on compare
aux formes classiques et aux formes surconvergentes construites par Andreatta-Iovita-Pilloni
à l'aide d'applications de Hodge-Tate.
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Attention: jour et heure inhabituelles
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(ATTENTION HORAIRE EXCEPTIONNEL) I will report on a joint project with A. Iovita and G. Stevens.
I will show how to construct families of overconvergent elliptic and Hilbert cusp forms as global sections of suitable
"modular sheaves". These are defined by correcting the Hodge-Tate map using the theory of the canonical subgroup.
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Troisième séance. Dans le 2ème et 3ème exposé, nous nous concentrerons sur la géométrie des espaces de modules des courbes de niveau : courbes munies d'un fibré en droites dont la $r$-ième puissance est isomorphe au fibré structurel. Ces objets sont simples et surprenants : nous illustreront le rôle joué par certains automorphismes dit "fantômes", invisibles du point de vue schématique et permettant de traiter aisément la géométrie énumérative des espaces de modules. Récemment, en collaboration avec Gavril Farkas, ce point de vue a permis de généraliser au-delà du cas $r=2$ des résultats sur le calcul de la
dimension de Kodaira dus à Gavril Farkas même, Katarina Ludwig et Sandro Verra. Via la correspondance décrite dans le premier exposé, cette géométrie énumérative ouvre une nouvelle voie au calcul des potentiels de Gromov-Witten en genre supérieur.
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Deuxième séance. Dans le 2ème et 3ème exposé, nous nous concentrerons sur la géométrie des espaces de modules des courbes de niveau : courbes munies d'un fibré en droites dont la $r$-ième puissance est isomorphe au fibré structurel. Ces objets sont simples et surprenants : nous illustreront le rôle joué par certains automorphismes dit "fantômes", invisibles du point de vue schématique et permettant de traiter aisément la géométrie énumérative des espaces de modules. Récemment, en collaboration avec Gavril Farkas, ce point de vue a permis de généraliser au-delà du cas $r=2$ des résultats sur le calcul de la
dimension de Kodaira dus à Gavril Farkas même, Katarina Ludwig et Sandro Verra. Via la correspondance décrite dans le premier exposé, cette géométrie énumérative ouvre une nouvelle voie au calcul des potentiels de Gromov-Witten en genre supérieur.
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Faltings a récemment introduit une correspondance de Simpson pour les représentations p-adiques du groupe fondamental géométrique d'une variété lisse sur un corps p-adique (sous certaines hypothèses). Je présenterai une nouvelle approche pour cette correspondance, plus générale que celle de Faltings et qui permet de faire le lien avec le travail de Hyodo sur les systèmes locaux de Hodge-Tate. C'est un travail en cours et en commun avec Michel Gros.
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J'introduis un raffinement du caractère d'Artin, et je présente une approche pour démontrer que le conducteur changement de base c(A) d'une variété abélienne A à réduction potentiellement ordinaire sur un corps local K de caractéristique résiduelle positive p coïncide avec le conducteur d'Artin raffiné du groupe des caractères Q_p-rationnels du K-tore uniformément rigide qui est associé à A. C'est du travail en cours avec Ching-Li Chai.
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Les espaces de Berkovich sont des espaces topologiques qui permettent de faire de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique k de la même façon que sur le corps des nombres complexes C. Lorsque le corps k est Qp ou Cp, les espaces obtenus sont métrisables, mais cette propriété disparaît si l'on choisit un corps k trop gros. Nous montrerons cependant qu'il reste possible de caractériser de nombreuses propriétés topologiques, le fait d'être ouvert ou d'être compact, par exemple, à l'aide de suites. Notre preuve utilise de façon essentielle une technique d'extension des scalaires et nous nous intéresserons en particulier aux points qui possèdent un relèvement canonique dans une telle extension.
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Patching methods are usually used to construct a global object from local data. When the machinery is applied in the converse direction, it leads to local-global principles. This talk explains such principles for torsors under certain linear algebraic groups and describes the kernel of the local-global map, which can be seen as an analogue of the Tate-Shafarevich group. Applications include results about quadratic forms and central simple algebras. (Joint work with David Harbater and Daniel Krashen.)
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We attach Galois representations to automorphic
representations on unitary groups whose weight (=component at
infinity) is a holomorphic limit of discrete series. The main
innovation is a new construction of congruences, using the Hasse
Invariant, which avoids q-expansions and so is applicable in much
greater generality than previous methods. Our result is a natural
generalization of the classical Deligne-Serre Theorem on weight one
modular forms and work of Taylor on GSp(4).
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Soit X une courbe propre et lisse sur un corps fini de caractéristique p.
En 1987, Laumon prouva une formule, conjecturée par Deligne, qui exprime la constante de l'équation fonctionnelle de la fonction L d'un faisceau l-adique sur X, pour l premier différent de p, comme produit de facteurs locaux (facteurs epsilon) aux points fermés de X.
Cet exposé concerne l'analogue de cette formule en cohomologie rigide, qui a été montrée récemment dans un travail en collaboration avec Tomoyuki Abe.
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Le contre-exemple par Daniel Bertrand pour la conjecture de Manin-Mumford relatif semi-abelien
— Bas Edixhoven
6 mai 2011 - 14:00Salle de séminaires 309
Attention: jour et heure inhabituels.
Daniel Bertrand a recemment trouve un exemple d'un schema en groupes B sur une courbe complexe S et une section P avec les proprietes suivantes. Les fibres de B sont extension d'une courbe elliptique par le groupe multiplicatif: B est semi-abelien, de rang torique un. La reunion des n.P(S), n entier, est dense dans G. Il existe en ensemble infini de s dans S tel que P(s) est d'ordre fini. Je presenterai ce cet exemple du point de vue des jacobiennes generalisees.
Reference: voir sur arxiv, dans quelques jours.
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[Travail en commun avec J. Ellenberg et C. Hall]
Un célèbre résultat de Faltings permet de montrer qu'une courbe algébrique définie sur un corps de nombre n'a qu'un nombre fini de points algébrique de degré donné pourvu que sa gonalité soit assez grande. La vérification de cette hypothèse est souvent délicate, mais nous montrons comment l'obtenir pour des familles de revêtement d'une courbe fixée lorsque les graphes de Cayley-Schreier associés à une telle famille vérifie une condition d'expansion. Cette méthode est très générale, et l'exposé présentera certaines de ses applications concrètes aux familles à un paramètre de variétés abéliennes.
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Sur un corps fini, la conjecture de Tate implique la conjecture de Tate généralisée. De même, la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes complexes de type CM implique la conjecture de Hodge généralisée pour ces mêmes variétés. Mais les démonstrations ne sont pas effectives. Peut-on les rendre effectives pour certaines classes de variétés? J'examinerai le cas des produits de courbes elliptiques et montrerai qu'il conduit à des questions intéressantes, apparemment ouvertes.
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Lichtenbaum a conjecturé l'existence d'une cohomologie Weil-étale permettant d'exprimer,
en termes de caractéristiques d'Euler-Poincaré, l'ordre d'annulation et
la valeur spéciale en s=0 de la fonction zêta d'un schéma arithmétique.
On énoncera cette conjecture puis on s'intéressera à la cohomologie
à coefficients dans R pour les schémas réguliers et propres
sur Z, qui a été définie dans un travail commun
avec Matthias Flach. Enfin, on proposera une nouvelle définition de la
cohomologie Weil-étale à coefficients dans Z, pour en déduire
certains cas simples de la conjecture de Lichtenbaum. Cette définition
suppose que certains groupes de cohomologie motivique sont de type fini.
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Weight structures and motives
— Mikhail Bondarko
21 février 2011 - 14:00Salle de séminaires 309
My talk is dedicated to weight structures.Weight structures are natural counterparts of
t-structures (for triangulated categories); simples examples of weight structures come
from stupid truncations of complexes (whereas t-structures are related with canonical
truncations).Weight structures yield (functorial) weight complexes, weight filtrations,
and weight spectral sequences (for cohomology). They are especially important for
Voevodsky's motives: they allow to define certain 'weights' for them. In particular, there
exists a conservative exact weight complex functor from the Voevodsky's category of
geometric motives DM^{gm} to K^b(Chow); besides, K_0(DM^{gm})\cong K_0(Chow).Partial
cases of weight spectral sequences are: Deligne's weight spectral sequences (for singular
and 'etale cohomology), coniveau spectral sequences, and Atiyah-Hirzebruch spectral
sequences; the weight structure method yields interesting functoriality results for these
spectral sequences and for the corresponding ('weight') filtrations.
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Bertolini et Darmon ont reussi a obtenir des bornes superieures
pour les groupes de Selmer des courbes elliptiques dans les extensions
anticyclotomiques en utilisant l'augmentation de niveau ("level raising")
pour les formes modulaires. Nous presenterons une amelioration de leur methode.
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Nous verrons comment interpoler p-adiquement les faisceaux
cohérents modulaires définis sur des espaces de modules de schémas
abéliens (variétés de Shimura PEL) afin de construire des familles
p-adiques de formes modulaires propres et des variétés de Hecke.
On donnera des détails dans le cas le plus simple des courbes modulaires.
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On démontre l'existence d'une filtration naturelle GL2(Zp) équivariante sur les représentations irréductibles modulo p pour GL2(Qp), ce qui permet de donner une description fine de ces objets. On en déduit leur filtration par le GL2(Zp)-socle, leurs espaces des invariants sous plusieurs sous-groupes de congruence, ainsi que leurs restrictions aux sous-groupes de Cartan.
D'après la compatibilité locale-globale cela permet d'obtenir la dimension de certains sous-espaces isotypiques de la cohomologie modulo p de plusieurs courbes modulaires.
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J'expose les idées clefs du long article "Sur le topos infinitésimal p-adique d'un schéma lisse I"
Alberto Dario Arabia (IMJ), Zoghman Mebkhout (IMJ), http://arxiv.org/pdf/1009.3108, où nous associons intrinsèquement à tout schéma lisse sur un corps de caractéristique positive un topos muni d'un faisceau d'opérateurs différentiels qui donne une définition naturelle de la cohomologie de de Rham p-adique. Cette définition prolonge la cohomologie de de Rham p-adique pour les variétés affines de Monsky-Washnitzer. On donne quelques applications qui montrent l'efficacité de ce point de vue, par exemple, fonctorialité, suite exacte de Gysin pour tout couple de variétés non singulières, factorisation de la fonction Zêta pour toute variété non singulière (affine, propre ou non).
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A new approach to the Local Langlands Correspondence for GL_n over p-adic fields
— Peter Scholtze
10 janvier 2011 - 14:00Salle de séminaires 309
We give a new local characterization of the Local Langlands
Correspondence, using deformation spaces of p-divisible groups, and show
its existence by a comparison with the cohomology of some Shimura
varieties. This reproves results of Harris-Taylor on the compatibility
of local and global correspondences, but completely avoids the use of
Igusa varieties and instead relies on the classical method of counting
points a la Langlands and Kottwitz. Further, we have a new proof of
bijectivity of this correspondence, relying on a description of the
inertia-invariant nearby cycles in certain situations.