# Séminaire Equations aux dérivées partielles

### organisé par l'équipe Modélisation et contrôle

• ##### Mathematical modeling of the spread of Wolbachia for dengue control.

— Nicolas Vauchelet

18 décembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Due to the numerous diseases that they transmit, mosquitoes is considered as the most dangerous animal species for human. Recently several techniques to control the transmission of viruses are studied, among them a technique consists in using the bacteria Wolbachia. Indeed, bacteria Wolbachia has gain a lot of attention since scientists discover that infected mosquitoes with this bacteria cease to transmit some disease like dengue, chikungunya and Zika. Moreover, this bacteria is maternally transmitted from mother to offsprings. Then a strategy of control of dengue transmission consists in releasing Wolbachia infected mosquitoes in the aim to replace the wild population of mosquitoes by Wolbachia-infected mosquitoes. Obviously the safe and efficient use of such strategy relies on careful mathematical studies. In this presentation, I will focus on the spatial spread of Wolbachia infected mosquitoes into a host population. More precisely, I will address the following questions: How the spatial repartition of the releases will influence the spread of the bacteria into the population ? Once the spread is initiated, is it possible that environmental characteristics stop the spread ? How to optimize the success of this strategy ? In order to answer to these questions, some models of partial differential equations of parabolic types will be introduced and studied with relevant mathematical tools.
• ##### Modélisation et approximation numérique du système d'Euler bitempérature avec champs magnétique transverse

— Xavier Lhebrard

11 décembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Ce travail s'effectue dans le contexte de la fusion par confinement inertiel. Dans cette situation physique, l'échelle de temps caractéristique du phénomène est plus courte que le temps de collision entre les ions et les électrons. L'équilibre thermique entre les ions et les électrons n'est pas donc atteint. De plus, lors de la phase finale du confinement, la cible est pénétrée par des électrons relativistes induisant un champs magnétique fortement variable. Cet exposé sera en trois partie. Premièrement, on présentera une nouvelle modèlisation de ce problème , sous forme de système hyperbolique non-conservatif. Deuxièmement, on expliquera comment développer une méthode numérique fiable pour ce système, i.e. d'être capable de démontrer ses propriétés de consistance et stabilité nonlinéaire. Troisièmement, au travers de simulations on comparera notre méthode à celles de la littérature et on proposera de nouveaux cas tests pertinents pour les applications visées.
• ##### Analyse de sensibilité pour équations hyperboliques avec solutions discontinues

— Camilla Fiorini

4 décembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

L’analyse de sensibilité (AS) concerne la quantification des changements dans la solution d'un système d’équations aux dérivées partielles (EDP) dus aux variations des paramètres d’entrée du modèle. Les techniques standard d’AS pour les EDP, comme la méthode d’équation de sensibilité continue, requièrent de dériver la variable d’état. Cependant, dans le cas d’équations hyperboliques l’état peut présenter des discontinuités, qui donc génèrent des Dirac dans la sensibilité. Le but de ce travail est de modifier les équations de sensibilité pour obtenir un système valable même dans le cas discontinu et obtenir des sensibilités qui ne présentent pas de Dirac. Ceci est motivé par plusieurs raisons : d’abord, un Dirac ne peut pas être saisi numériquement, ce qui pourvoit une solution incorrecte de la sensibilité au voisinage de la discontinuité ; deuxièmement, les pics dans la solution numérique des équations de sensibilité non corrigées rendent ces sensibilités inutilisables pour certaines applications. Par conséquent, nous ajoutons un terme de correction aux équations de sensibilité. Nous faisons cela pour une hiérarchie de modèles de complexité croissante : de l’équation de Burgers non visqueuse au système d’Euler quasi-1D. Nous montrons l’influence de ce terme de correction sur un problème d'optimisation et sur un de quantification d'incertitude.
• ##### Modèles de mélanges gazeux, approches macroscopique et cinétique

— Laurent Boudin

20 novembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

• ##### Equations de Fokker-Planck discrétisées : coercivité, hypocoercivité et retour à l'équilibre

— Pauline Lafitte

13 novembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans cet exposé, nous aborderons la question du choix des discrétisations des opérateurs différentiels de l'équation de Fokker-Planck permettant d'assurer au niveau numérique de bonnes propriétés en temps long, dans l'esprit des résultats déjà connus en variables continues d'hypocoercivité et de retour à l'équilibre. Les travaux présentés sont le fruit d'une collaboration avec Guillaume Dujardin (Inria Lille), et Frédéric Hérau (Université de Nantes).
• ##### Simulation numérique d’écoulements compressibles complexes par des méthodes de type Lagrange-projection : applications aux équations de Saint-Venant.

— Maxime Stauffert

6 novembre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

On étudie dans le cadre de ces travaux une famille de schémas numériques permettant de résoudre les équations de Saint-Venant. Ces schémas utilisent une décomposition d’opérateur de type Lagrange-projection afin de séparer les ondes de gravité et les ondes de transport. Un traitement implicite du système acoustique (relié aux ondes de gravité) permet aux schémas de rester stable avec de grands pas de temps. La correction des flux de pression rend possible l’obtention d’une solution approchée précise quel que soit le régime d’écoulement vis-à-vis du nombre de Froude. Une attention toute particulière est portée sur le traitement du terme source qui permet la prise en compte de l’influence de la topographie. On obtient notamment la propriété dite équilibre permettant de conserver exactement certains états stationnaires, appelés état du « lac au repos ». Des versions 1D et 2D sur maillages non-structurés de ces méthodes ont été étudiées et implémentées dans un cadre volumes finis. Enfin, une extension vers des méthodes ordres élevés Galerkin discontinue a été proposée en 1D avec des limiteurs classiques ainsi que combinée avec une boucle MOOD de limitation a posteriori.
• ##### Couplage d’un modèle diphasique homogène avec des lois d’états thermodynamiques complexes.

— Lucie Quibel

16 octobre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans ce séminaire, je vais présenter mon travail de thèse débuté il y a un an. Je travaille sur un modèle diphasique homogène, visant à reproduire finement des phénomènes physiques pouvant hypothétiquement se produire au cours de scénarios accidentels affectant un réacteur à eau pressurisée. Je vais d’abord exposer les caractéristiques du modèle, en particulier, la description thermodynamique de l’eau liquide et de la vapeur, qui constitue le cœur de mon travail. Dans un second temps, je présenterai un travail sur le couplage numérique du modèle avec une loi tabulée construite à partir de la formulation IAPWS-97. Enfin, je décrirai une stratégie que nous essayons de développer pour construire de nouvelles lois d’état à partir de mélanges de gaz raides.
• ##### Un schéma explicite d'ordre deux entropique pour le système de Navier-Stokes incompressible

— François Bouchut

9 octobre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

• ##### Introduction aux équations cinétiques collisionnelles. Application aux schémas BGK.

— Emmanuel Franck

2 octobre 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

• ##### Inégalités d'observabilité et problèmes inverses d'évolution

18 septembre 2018 - 13:30Salle de séminaires 309

Je présenterai quelques résultats récents sur l'utilisation des inégalités d'observabilité pour résoudre quelques problèmes inverses d'évolution. Je traiterai essentiellement le problème de la détermination du potentiel et du coefficient de damping dans une équation des ondes, à partir de mesures frontières obtenues en faisant varier les conditions initiales. Je considérerai aussi le détermination du terme d'ordre zéro dans une équation de la chaleur. Les résultats que j'exposerai sont en collaboration avec Kaïs Ammari et Faouzi Triki.
• ##### Applications de l'analyse (min,+) réelle et complexe

— Michel Gondran Abdel Kenoufi

26 juin 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans une première partie, on introduit les ondelettes (min,+) qui sont des familles d'enveloppes supérieures et inférieures permettant de calculer simplement et aisément les coefficients de Hölder d’un signal fractal ainsi que le spectre de singularités et la fonction d’échelle d’un signal multi-fractal. On se propose de donner des exemples de signaux traités par ces nouvelles ondelettes comme les fonctions fractales de Weierstrass, de Weierstrass-Mandelbrot et multi-fractales telles que les séries de Riemann et la mesure binomiale de Mandelbrot. Cette dernière décrivant un modèle phénoménologique de base des cascades d’énergie pour la turbulence hydrodynamique. Les résultats numériques obtenus seront comparés aux résultats théoriques connus ainsi qu’à d’autres méthodes de calculs. Enfin, on évoquera quelques perspectives d’applications de l’analyse et des ondelettes (min,+) comme le traitement d’images, l’étude de phénomènes critiques en physique par exemple. Dans une seconde partie, on revisite le principe de moindre action en montrant qu'il existe en mécanique classique l'équivalent de l'intégrale de chemin de Feynman bien connue des physiciens, que nous dénommerons intégrale de chemin (min,+), et qui relie l'action d'Hamilton-Jacobi à l'action d'Euler- Lagrange. Puis, on présente un nouvel outil mathématique, l'analyse (min,+) complexe, permettant de définir un calcul des variations complexe qui généralise les équations d'Hamilton-Jacobi et d'Euler-Lagrange, ainsi qu’un principe de moindre action complexe sous-jacent. On en présente deux applications. Dans la première, on montre qu’en électromagnétisme, le tenseur de Faraday complexe et ce nouveau calcul des variations permettent d'expliquer simplement pourquoi les expériences n'ont jamais retrouvé les effets non linéaires de la théorie de Born-Infeld. Dans la seconde, on propose un modèle non ponctuel de particule représentée par quatre points définissant la structure d'une petite corde vibrante, alternant entre un processus de création et un processus d'annihilation. Le spin émerge de cette particule étendue. L'action complexe, associée à cette particule, vérifie, à partir d'un principe de moindre action généralisée, une équation d'Hamilton-Jacobi complexe du second ordre équivalente à l'équation de Schrödinger. Enfin, nous montrons que le centre de gravité de cette particule étendue suit une trajectoire de De Broglie-Bohm.
• ##### About (fully)-well-balanced and entropy satisfying schemes for shallow-water equations

— Christophe Berthon

12 juin 2018 - 10:00Salle de séminaires IRMA

The present work concerns the numerical approximation of the weak solutions of the well-known shallow-water model. A particular attention is paid on the steady states. Indeed such specific solutions are essential to ensure the accuracy of the scheme when considering some important regimes. A large literature is devoted to numerical schemes able to exactly preserve the so-called lake at rest which coincides to the simpler (linear) stationary regime. More recently, the nonlinear steady solutions, governed by the Bernouilli’s equations, have been considered. The situation turns out to be drastically distinct because of the strong nonlinearties. In the present talk, we present several approaches, based on Godunov-type methods, to deal with this severe problem. In addition, we pay a particular attention on the discrete entropy inequalities. This talk is illustrated with several numerical experiments.
• ##### Asymptotic behaviors for nonlinear dispersive equations with damping or dissipative terms

— Lifeng Zhao

5 juin 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

In this talk, I will report our recent work on the asymptotic behaviors of nonlinear Klein-Gordon equation with damping terms and Landau-Lifschitz flows from Eucliedean spaces and hyperbolic spaces. By the method of concentration-compactness attractors, we prove that the global bounded solution will decouple into a finite number of equilibrium points with different shifts from the origin. For the Landau-Lifschitz flow from Euclidean spaces, we prove that the solution with energy below 4\pi will converge to some constant map in the energy space. While for the Landau-Lifschitz flow from two dimensional spaces, the solution will converge to some harmonic map. This talk is based on the joint works with Ze Li.
• ##### Adaptation de la méthode de Nitsche aux problèmes de contact avec ou sans frottement en élastodynamique (avec Patrick Hild et Yves Renard)

— Franz Chouly

17 avril 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans cette présentation, on s’intéresse au problème de contact dynamique en élasticité avec ou sans frottement. On propose une adaptation de la méthode de Nitsche pour la semi-discrétisation en espace par éléments finis du problème. Les résultats présentés concernent l’existence et l’unicité des problèmes semi- et totalement discrétisés, la stabilité des schémas d'évolution en temps, et les simulations correspondantes.
• ##### Une introduction aux jeux à champ moyen et à leur résolution numérique

— Francisco J. Silva

12 avril 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

L'objectif de la théorie de jeux à champ moyen, introduite par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2007, et de décrire le comportement limite des équilibres de Nash de jeux différentiels symétriques lorsque le nombre de joueurs (ou agents) tend vers l'infini. Dans le cas standard, ce comportement limite est décrit par un système d'EDPs couplant une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman rétrograde avec une équation de Fokker-Planck-Kolmogorov linéaire munie d'une condition initiale, qui décrit la distribution initiale des agents.
• ##### Autour de la minimisation du temps de crise

— Terence Bayen

10 avril 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans cet exposé, on s'intéresse à la minimisation du temps de crise, fonctionnelle discontinue en horizon infini. Cette fonctionnelle mesure le temps passé par une solution d'un système contrôlé à l'extérieur d'un ensemble K qui représente typiquement des contraintes d'état. Lorsque la condition initiale n'est pas dans le noyau de viabilité de K, ou que le noyau est vide, la minimisation de cette fonctionnelle prend tout son sens. A travers cet exposé, on verra comment donner des conditions nécessaires d'optimalité permettant de calculer une trajectoire optimale, et on étudiera une régularisation du temps de crise. On examinera la convergence des extrémales du problème régularisé vers une extrémale du problème original (par Gamma-convergence). Enfin, grâce une reformulation du temps de crise, nous développerons quelques exemples pour comparer celui-ci avec la stratégie temps minimal'' pour rejoindre le noyau de viabilité.
• ##### Analyse d'un système d'interaction entre un solide rigide et un fluide de Bingham

— Takeo Takahashi

6 avril 2018 - 11:00Salle de séminaires 309

Je commencerai pas présenter les systèmes d'interaction fluide structure avec notamment un rapide état de l'art, puis je donnerai le modèle que nous avons considéré. Notre résultat principal est l'existence de solutions faibles pour le système associé et je donnerais quelques éléments de la démonstration.
• ##### Modélisation macroscopique de trafic piéton dans le contexte d'une évacuation de salle

— Ulrich Razafison

29 mars 2018 - 14:00None

Dans cet exposé, nous nous placerons dans le cadre du trafic piéton et nous présenterons un modèle permettant de décrire la chute de capacité (c'est-à-dire le flux de piétons maximal par unité de temps) d'une sortie de salle lors d'une évacuation. Le modèle repose sur une loi de conservation et la capacité de la sortie est décrite par une contrainte sur le flux, qui est supposée non locale dans le sens où cette contrainte dépend de la solution du modèle elle-même. La chute de capacité se produit pour les hautes densités de piétons exprimant la congestion de la sortie. Par des simulations numériques, nous montrerons que le modèle est capable de reproduire deux effets paradoxales liés à la chute de capacité et qui ont déjà été observés et reproduits expérimentalement : l'effet "Faster-Is-Slower" qui stipule qu'une augmentation de la vitesse des piétons peut entraîner une augmentation du temps d'évacuation, et une variante du "paradoxe de Braess" qui indique que placer un obstacle avant la sortie peut faire diminuer la pression des piétons sur la sortie et entraîner une réduction du temps d'évacuation.
• ##### Structured deformations of continua: theory and applications

— Marco Morandotti

27 mars 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Structured deformations provide a multiscale geometry that captures the contributions at the microlevel of both smooth geometrical changes and disarrangements at submicroscopic levels. Due to this versatility, they turn out to be a powerful tool to describe the deformations of bodies in a variety of settings. In this seminar, I will present the basic theory of structured deformations, alongside with some applications.
• ##### Etude du système d'Euler bitempérature en physique des plasmas

— Stéphane Brull

20 mars 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Cet exposé est dédié à la modélisation et à l'approximation numérique du modèle d'Euler bitempérature dans le contexte de la physique des plasmas. Ce système entre dans la catégorie des systèmes hyperboliques non conservatifs dont l'étude est à ce jour largement incomprise. On introduit dans un premier temps un modèle cinétique sous jacent couplé aux équations de Poisson et d'Ampère. Le modèle bitempérature est alors obtenu par limite hydrodynamique. On présente ensuite différents schémas numériques pour approcher ce système. Nous détaillerons une première approche basée sur des schémas cinétiques puis une seconde basée sur des schémas de relaxation de type Suliciu. Enfin dans une dernière partie nous considèrerons une discrétisation du modèle cinétique sous-jacent. Le but est d'obtenir un schéma physiquement cohérent y compris dans la limite fluide où on comparera ses résultats avec ceux des schémas précédents.
• ##### High order finite elements for computational electromagnetism

— Francesca Rapetti

20 février 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

In the simulation of propagation phenomena, such as in seismology or in high-frequency electromagnetic transmissions, both high order accuracy and computational efficiency are mandatory. Interest thus grew for the use of high order schemes, to reach higher accuracy at a fixed number of degrees of freedom still remaining compatible with a domain decomposition framework suitable for parallel computations. Edge (resp. face) elements on simplices are widely used finite elements to approximate the electric field (resp. the magnetic induction) for electromagnetic applications.We present how it is possible to define a cardinal basis for these finite elements, known as Nedelec first family of H(curl)- and H(div)-conforming finite elements, for polynomial degree higher than 1, on simplicial meshes, by following a geometric point of view. The so-defined high order edge finite elements has been very recently implemented in FreeFEM++ by a LJLL team, and successfully used, together with HPC, in the ANR Medimax project of the LEAT team in Nice, to solve the time-harmonic Maxwell's equations for brain imaging.
• ##### Optimisation des ressources dans un enclos

— Yannick Privat

13 février 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Dans ce travail, on s’intéresse à des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Elle est reformulée comme un problème extrémal de valeur propre, dans lequel on cherche à minimiser la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant l’analyse de ces problèmes, tels que la caractérisation complète des solutions en dimension 1 ou pour des formes d’habitat particulières en dimension supérieure, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives. Il s'agit de travaux en cours, en collaboration avec Jimmy Lamboley (univ. Paris Dauphine), Antoine Laurain (univ. Sao Paulo), Grégoire Nadin (univ. Paris 6).
• ##### Un modèle diphasique de type Cahn-Hilliard dégénéré

— Clément Cances

6 février 2018 - 13:00Salle de séminaires 309

Nous nous intéressons à un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.
• ##### Mathematical and numerical modeling of cell polarization and cell migration: challenges and opportunities.

— Nicolas Meunier

30 janvier 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

La polarisation et la migration cellulaire jouent des rôles fondamentaux dans de très nombreux processus physiologiques, comme l’embryogenèse, la cicatrisation, ou encore la formation de métastases. Or, le comportement migratoire d’une cellule est le résultat d’une activité complexe intégrée sur différentes échelles spatiales et temporelles, rendant sa compréhension difficile. La modélisation mathématique constitue donc une aide non négligeable pour les biologistes. Dans cet exposé je présenterai un modèle de motilité s’appuyant sur la dynamique intracellulaire responsable de la migration, tout en restant dans une démarche de modèle minimal. Le cytosquelette d’actine sera modélisé par un fluide de Stokes (ou de Darcy) et je présenterai une EDP pour décrire sa dynamique. Le modèle obtenu est à frontière libre. Il fait intervenir la courbure de la membrane. Je présenterai des simulations du modèle avec FreeFem++. Des résultats mathématiques peuvent difficilement être obtenus ici du fait du domaine déformable. Aussi, je présenterai un modèle similaire sur un domaine rigide. Pour ce nouveau modèle je décrirai des résultats mathématiques qui concernent l’existence d’une solution et son comportement en temps long dans le cas de la dimension 1. Je présenterai ensuite des extensions du modèle qui permettent d’élargir le contexte aux cas de signal extérieur et de contact avec un obstacle. Travail effectué en collaboration C. Etchegaray (MAP5), M. Piel (Institut Curie), R. Voituriez (UPMC).
• ##### Compatible Finite Elements for MHD

— Eric Sonnendrücker

23 janvier 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

Understanding of confinement and instabilities in magnetic fusion plasmas is on a large part based on MHD models. In particular nonlinear instabilities need very good full MHD models and codes for accurately treating the real physics configuration including the strong anisotropy due to the large magnetic field and the low resistivity and viscosity. Moreover, good energy conservation and the div B=0 condition are fundamental for long term stability. In order to enforce these, we investigate compatible Finite Elements, where the different unknowns live in appropriate Finite Element spaces satisfying a discrete de Rham diagram. In particular for nonlinear equations, the commuting projections going from the continuous to the discrete spaces play a fundamental role. Our efforts towards the discretisation of the full 3D nonlinear MHD will be presented.
• ##### Trefftz discontinuous Galerkin method for Friedrichs systems with linear relaxation: application to the P_N model.

— Guillaume Morel

9 janvier 2018 - 14:00Salle de séminaires 309

This work deals with the first Trefftz Discontinuous Galerkin (TDG) scheme for a model problem of transport with relaxation. The model problem is written as a P_N or S_N model, and we study in more details the P_1 and P_3 models in dimensions 1 and 2. Numerical approximation of the transport equation and related reduced models is challenging because of two spatially dependent coefficients sigma_a and sigma_s. It is known that boundary layers may occur when sigma_a , sigma_s vary significantly and that the transport equation tends to a diffusion limit when sigma_s is high. We show that TDG method provides natural well-balanced and asymptotic preserving discretization since exact solutions are used locally in the basis functions. High order convergence with respect to the mesh size in two dimensions is proved for the P_1 model. Numerical results in dimensions 1 and 2 illustrate the theoretical properties.