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On the Inner Radius of Nodal Domains.
— Dan Mangoubi
3 décembre 2007 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Let M be a closed Riemannian manifold of dimension n.
Let f be an eigenfunction of the Laplacian on M with eigenvalue \lamda.
A nodal domain is a connected component of the set f <> 0.
We discuss the asymptotic geometry of nodal domains on M.
We prove that the inner radius R of a nodal domain is bounded by
C_1 / \sqrt{\lambda} > R > C_2 / \lambda^{(n-1)/2} .
In dimension two we have a sharp bound.
One ingredient of our proof is the estimation of the volume
of positivity of a harmonic function u in the unit ball, with u(0)>0,
in terms of its growth.
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L'holonomie de la connexion de Levi-Civita d'une variété riemannienne ou
pseudo-riemannienne (=variété munie d'une forme bilinéaire symétrique non
dégénérée et non définie) est un groupe de Lie immergé dans ${\rm
GL}(n,{\mathbb R})$; il traduit algébriquement certaines propriétés
géométriques de la connexion, liées à son défaut de
platitude. L'holonomie détermine si la connexion est plate, riemannienne,
kählerienne, Ricci-plate dans certains cas... La principale question est
de déterminer quels groupes de Lie apparaissent comme groupes d'holonomie
et à quelles propriétés géométriques de la connexion chacun correspond.
Dans le cas riemannien, la tâche est achevée. Y ont contribué notamment
Elie Cartan dans les années 20, depuis 1950 Berger, de Rham, Lichnérowicz,
enfin Bryant et Joyce dans les années 1990.
Dans le cas pseudo-riemannien, après les travaux de H. Wu dans les
années 60, ceux de Schwachhöfer, Chi et Merkulov ont récemment clos
l'étude du cas où l'holonomie agit {\em irréductiblement} sur ${\mathbb
R}^n$. Cependant, le cas général reste quasi vierge. Or par exemple, pour
les métriques lorentziennes, les holonomies indécomposables non triviales
agissent {\em toutes} réductiblement. Rien n'y était donc connu.
Certaines coordonnées locales sont un premier outil pour comprendre le
lien entre les germes de métriques lorentziennes et leur holonomie. On
décrit les quatre familles de germes de métriques réalisant les quatre
"types" d'holonomie données comme algébriquement possibles par un travail
de Bérard-Bergery et Ikemakhen.
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On étudie la question de l'existence d'une structure affine invariante sur un groupe de Lie nilpotent. Benoist a construit un premier exemple d'un groupe de Lie nilpotent sans aucune structure affine en dimension 11 en 1993. Burde et Grunewald ont trouvé des exemples non affines en dimensions 10 et 12. On va discuter la construction des groupes de Lie nilpotents non affines en dimension supérieure à 15.
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Unexpected twins in outer space and Teichmueller space
— Gabriela Schmithuesen
8 octobre 2007 - 14:00Salle de séminaires IRMA
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Cet exposé porte sur la conjecture suivante :
"toute auto-application holomorphe propre d'un domaine borné à bord lisse
dans C^n est bijective." J'expliquerai une approche dynamique à cette conjecture qui repose sur des
propriétés d'équicontinuité pour les familles d'applications CR. Bien que
ne permettant pas de conclure à la validité de la conjecture dans le cas
général, la stratégie proposée aboutit dans le cas particulier des
domaines cercles de C^2.
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Attention horaire exceptionnel.
Si on a un revêtement ramifié $f:{\widetilde{\Sigma}}\to\Sigma entre surfaces fermées on a des relations, notamment la formule de Riemann-Hurwitz entre la topologie de ${\widetilde{\Sigma}}et $\Sigma$ le degré $d de
$f$ le nombre $n de points de ramifications et les degrés locaux $(d_{ij}) au dessus de ces derniers. Un très ancien problème qui remonte essentiellement à Hurwitz même est celui d'établir quelles sont les \emph{données combinatoires}
$({\widetilde{\Sigma}},\Sigma,d,n,(d_{ij}))\emph{compatibles}
(c'est-à-dire satisfaisant les conditions nécessaires qui sont réalisables (c'est-à-dire qui viennent en effet d'un revêtement ramifié $f$).
On sait désormais que chaque donnée combinatoire
$({\widetilde{\Sigma}},\Sigma,d,n,(d_{ij}))compatible est
réalisable si $\chi(\Sigma)\leqslant 0$ et en plus le cas du plan projectif se réduit aisément au cas de la sphère. Mais dans le cas de la sphère on connaît des données exceptionelles (c'est-à-dire compatibles mais non-réalisables). Beaucoup de papiers ont été écrits dans le but de comprendre quelles sont exactement les données exceptionnelles et des nombreux résultats ont été obtenus, mais la situation reste toujours assez mystérieuse. En particulier la conjecture suivante est encore ouverte \emph{si $d$ est un nombre
premier chaque donnée
$({\widetilde{\Sigma}},\Sigma,d,n,(d_{ij})) compatible est réalisable}.
Dans cet exposé, je vais présenter plusieurs théorèmes établis récemment à propos du problème de Hurwitz. En particulier, je vais montrer que la théorie des orbifolds
géometriques de dimension deux donne un moyen très puissant pour étudier la question. Ces résultats soutiennent fortement la conjecture énoncée ci-dessus.
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harmonic maps from singular domains and rigidity
— Georgios Daskalopoulos
18 juin 2007 - 14:00Salle de séminaires IRMA
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I will study uniform embeddings of metric spaces satisfying some asymptotic tameness conditions such as finite asymptotic dimension, finite Assouad-Nagata dimension, polynomial dimension growth or polynomial growth into function spaces.
I will show how the type function of a space with finite asymptotic dimension estimates its Hilbert (or any l^p-) compression. In particular, I will show that the spaces of finite asymptotic dimension with linear type (spaces with finite Assouad-Nagata dimension) have compression rate equal to one.
I will show, without an extra assumption that the space has doubling property (finite Assouad dimension), that a space with polynomial growth has polynomial dimension growth and compression rate equal to one.
The method allows to obtain the lower bound of the compression of the lamplighter group Z?Z, which has infinite asymptotic dimension.
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Il s'agit d'une trigonometrie globale pour la géométrie sphérique, Euclidienne et hyperbolique.
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Le groupe modulaire d'une surface est le groupe des classes d'isotopie d'homéomorphismes de cette surface. Je vais présenter un nouveau résultat de rigidité de l'action de ce groupe sur un espace de feuilletages.
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Les variétés de représentations de groupes de surfaces dans PU(n,1), le
groupe d'isométries holomorphes de l'espace hyperbolique complexes, ont des objets
encore très mal connus. En particulier, il est difficile en général de déterminer si
une représentation est discrète et/ou fidèle. La description complète de l'espace des
modules des représentations discrètes et fidèles d'un groupe de surface reste encore
largement hors de portée même dans le cas n=2 (le cas n=1 correspond aux espaces de
Teichmüller).
Dans cet exposé, je traiterai du cas du tore époint dans PU(2,1) et décrirai des
représentations discrètes et fidèles.
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Résumé : Un célèbre théorème d'A.D. Alexandrov dit que toute métrique plate sur
la sphère singularités coniques de courbure positive est réalisée par un
unique polyèdre compact convexe de l'espace euclidien. Ce résultat est aussi
vrai dans les cas sphérique et hyperbolique. On montrera comment on peut
l'étendre aux métriques singularités de courbure négative et aux surfaces de
genre supérieur.
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On montre qu'étant donné un entier $n\geq 3$ et $d>0$, il existe
$\varepsilon(n,d)>0$ avec la propriété suivante. Soient
$(X,g_0)$ et $(Y,g)$ des variétés riemanniennes compactes de dimension $n\geq 3$, et $f :
Y \rightarrow X$ de degré $1$. Si $g_0$ est
hyperbolique de diamètre $\leq d$ et $g$ est de courbure de Ricci minoré
par $-(n-1)$ et de volume $vol_g(Y) \leq (1+\varepsilon(n,d))\vol_{g_0}(X)$ alors $f$ est
homotope à un difféomorphisme. La preuve utilise les
applications naturelles de Besson-Courtois-Gallot et la théorie de Cheeger-Colding sur
les espaces à Ricci minoré.
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Il y a eu depuis les travaux de Sela et Rips-Sela de nombreuses
approches construisant des scindements JSJ des groupes de
presentation finie.
L'objet canonique associe n'est en fait pas un scindement, mais une
classe de scindements appelee espace de deformation.
Dans ce travail avec G. Levitt, nous proposons une definition de
ce qu'est l'espace de deformation JSJ d'un groupe au dessus
d'une classe de sous-groupes. Cet espace de deformation est
naturellement unique, et existe des que le groupe est de
presentation finie, sans hypotheses de
petitesse sur les groupes d'aretes consideres.
Nous donnons aussi une construction generale permettant d'associer
canoniquement un scindement a un espace de deformation, avec des
applications au groupe d'automorphismes d'un groupe relativement
hyperbolique.
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On the entropy and pressure of piecewise monotonic maps
— Peter Raith
12 mars 2007 - 14:00Salle de séminaires IRMA
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Le volume d'un polyèdre hyperbolique est relié à ses angles dièdres par la formule différentielle de Schlaefli. Cette relation permet de caractériser la métrique hyperbolique d'une variété de dimension 3
comme maximisant le volume, en un sens que nous preciserons. Nous appliquerons ces idees de Rivin dans un contexte nouveau, la geométrie fine des variétés quasifuchsiennes sur le tore percé, en montrant un raffinement du théorème (du a C. Series) des laminations de plissage.
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Codimension 1 laminations and the calculus of variations.
— Victor Bangert
26 février 2007 - 14:00Salle de séminaires IRMA
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On s'intéressera aux triangulations idéales des 3-variétés: on donnera une preuve de leur existence et on parlera de leur utilisation en géométrie hyperbolique.
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