Programme des exposés

	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Vendredi
9h-10h	9h15-10h45 Zelevinsky 1	9h00-10h30 Zelevinsky 2	Marsh 3	Leclerc 1	Chapoton 1
10h15-11h15	11h00-12h30 Fomin 1	11h00-12h30 Fomin 2	Zelevinsky 3	Marsh 4	Caldero 4
11h30-12h30			Fomin 3
16h-17h	Caldero 1	Caldero 2		Caldero 3	14h00-15h00 Leclerc 3
17h15-18h15	Marsh 1	Marsh 2		Leclerc 2

Cours de S. Fomin et A. Zelevinsky :

Lundi/Monday
9h15-10h45 : Cluster algebra fundamentals (following CA1, CA3, and Sherman-Z.)
11h-12h30 : Y-systems and associahedra (following the Annals paper and Chapoton-F.-Z.)
Mardi/Tuesday
9h-10h30 : Finite type classification and quasi-Cartan companions (following CA2 and Barot-Geiss-Z.)
11h-12h30 : Cluster algebras of finite type (following CA2 and CA5)
Remaining lectures : new/recent developments.

Cours de R. Marsh

Cluster Tilting theory

R�sum� [PDF]

Cours de P. Caldero

Alg�bres Cluster et Cat�gories Cluster

R�sum� : Les alg�bres cluster ont �t� d�finies par S. Fomin et A. Zelevinsky dans [FZ1]. Ce sont des alg�bres d�finies de fa�on r�cursive. Un de leur int�r�t est qu'elles sont fr�quemment rencontr�es dans la th�orie des groupes de Lie semi-simples, au moins conjecturellement.
Il existe une notion naturelle d'alg�bre cluster finie, et un th�or�me important de [FZ2] les classifie � l'aide des graphes de Dynkin.
Les cat�gories cluster ont �t� introduites dans [CCS] pour le cas A_n et [BMRRT], [BMR], dans un cadre g�n�ral. Il s'agit de cat�gories triangul�es obtenues en quotientant la cat�gorie d�riv�e born�e d'une cat�gorie h�r�ditaire.
Le but du cours est de montrer, cf [CC], [CK], que les alg�bres cluster finies peuvent �tre r�alis�es comme "alg�bres de Hall" de la cat�gorie cluster. Par la suite, j'en donnerai des applications.
Le cours s'appuie de fa�on essentielle sur la th�orie des repr�sentations de carquois dont je ferai un certain nombre de rappels.
[BMR], A.B. Buan, R.J. Marsh, I. Reiten, Cluster tilted algebras. math.RT/0402075
[BMRRT], A.B. Buan, R.J. Marsh, M. Reineke, I. Reiten, G. Todorov. Tilting theory and cluster combinatorics. Math.RT/0402054.
[CC], P. Caldero, F. Chapoton. Cluster algebras from cluster categories. Math.RT/0410187.
[CCS], P. Caldero, F. Chapoton, R. Schiffler. Quivers with relations arising from clusters (A_n case). Math.RT/0401316.
[CK], P. Caldero, B. Keller, The cluster multiplication theorem. Preprint.
[FZ1], S. Fomin, A. Zelevinsky. Cluster algebras I. Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), n^o 2, 497-529.
[FZ2], S. Fomin, A. Zelevinsky. Cluster algebras II. Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), n^o 1, 63-121.

Cours de B. Leclerc

Alg�bres cluster et alg�bres pr�projectives

R�sum� : A un diagramme de Dynkin de type A, D, E, on associe une alg�bre Λ de dimension finie : l'alg�bre pr�projective (cette construction remonte � Gelfand et Ponomarev, en 1980).

Dans un travail r�cent commun avec Christof Geiss et Jan Schr�er, on �tudie une classe particuli�re de modules de dimension finie sur Λ, les modules rigides, et on montre qu'ils suivent une combinatoire de type cluster. On a en particulier une notion de mutation pour les modules rigides maximaux, qui permet d'associer � chaque module rigide maximal une matrice d'�change. On montre que :

(1) la r�gle de mutation des matrices d'�change co�ncide avec celle introduite par Fomin et Zelevinsky.

(2) il existe des modules rigides maximaux dont la matrice d'�change est �gale � une matrice d'�change utilis�e par Berenstein-Fomin-Zelevinsky pour d�finir une structure cluster sur l'alg�bre C[N]. Ici, C[N] est l'alg�bre des fonctions polynomiales sur un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe alg�brique de m�me type de Dynkin que Λ.

Cours de F. Chapoton

Dilogarithme de Rogers et Y-syst�mes

R�sum� : On explique les relations entre l'ensemble des variables du Y-syst�me associ� � un diagramme de Dynkin et la version de Rogers de la fonction dilogarithme. Le r�sultat principal est que la somme des valeurs de ce dilogarithme pris en les Y-variables est une constante.