Les méandres

Un méandre est un objet topologique plan,  formé par l'union de deux courbes lisses se coupant transversalement.
On suppose qu'une de ces courbes a ses extremités au nord et au sud, et que l'autre a les siennes à l'est et à l'ouest.

Les méandres sont des objets difficiles à compter. On ne connaît pas de formule pour le nombre M_n de méandres ayant n intersections.

On peut définir une algèbre pré-Lie sur l'espace vectoriel engendré par les méandres, le produit étant la somme des insertions aux intersections.

On peut colorier en noir et blanc les régions du plan déterminés par un méandre en alternant.
Le nombre de régions noires bornées définit une statistique sur l'ensemble des méandres à n intersections, voir le tableau ci-dessous.
Cette statistique est évidemment symétrique. Voir la suite A060972.

1 1, 1 1, 6, 1 1, 20, 20, 1 1, 50, 160, 50, 1 1, 105, 808, 808, 105, 1

On dispose de bornes supérieures pour M_n en termes de nombres de Catalan c_n. On peut raffiner ceci en utilisant la statistique de couleur ci-dessus et les nombres de Runyon-Narayana.