Cinq ou trois plus deux

Des relations à cinq termes

On rencontre beaucoup de relations à cinq termes, toutes plus ou moins liées entre elles. Certaines s'écrivent sous la forme d'une égalité entre la somme de 2 termes et la somme de 3 termes.

[((xy)z)t] → [(xy)(zt)] → [x(y(zt))] = [((xy)z)t] → [(x(yz))t] → [x((yz)t)] → [x(y(zt))]

Pentagone comme le second associaèdre
Associativité à homotopie près
Triangulations des polygônes réguliers.

Axiome pentagonal de Stasheff-MacLane
pour les catégories monoïdales

Axiome pentagonal pour l'associateur
dans la théorie des groupes quantiques

Identité de Elliot-Biedenharn (1953)
pour les 6j-symboles classiques ou quantiques
{......}{......}=Σ_i {......}{......}{......}
Ici le nombre 6 est le nombre d'arêtes d'un tétraèdre

Equation de Spence-Abel
pour le dilogarithme classique ou quantique

Pentagramma mirificum de Toporley, Napier et Gauss

« This uniformitie of the Circular parts, most manifestly appeareth in right-angled triangles made on the superficies of a globe, of five great circles, the first whereof cutteth the second, the second the third, the third the fourth, the fourth the fifth : and lastly, the fifth the first, at right angles. But all the other Sections shall bee made at oblique angles. »

Selon Coxeter, l'histoire commence en 1602, lorsque Nathaniel Torporley (1564-1632) commence à étudier les 5 "parties" a, A, b, B, c d'un triangle rectangle sphérique (avec l'angle C droit). Selon De Morgan, Torporley anticipa d'une douzaine d'années les règles de Napier qui figurent dans le pentagramma mirificum de Gauss.
Références :

A. De Morgan, "On the invention of the circular parts"
H. S. M. Coxeter, "Frieze Patterns", Acta Arithmetica 26 (1971), pages 297-310
John Napier, "Logarithmorum Canonis Descriptio", (page 32) Londres 1620
Arthur Cayley, Collected Works, Volume 7, p 37-38
Carl Friedrich Gauss, Collected Works. Volume III, p 481-490
Carl Friedrich Gauss, Collected Works. Volume VIII, p 101-117
Bernhard Riemann, "III. Vorlesungen über die hypergeometrische Reihe," pp. 69-93 Gesammelte Mathematische Werke

Mouvement de Pachner de type 3 ⇔ 2
pour les triangulations des 3-variétés par des tétraèdres
2 tétraèdres collés le long d'une face = 3 tétraèdres collés le long d'une arête.

Commutativité du diagramme
(Poset de Tamari)
[ac] o [ce] = [ab] o [bd] o [de]
Diagramme de Dynkin D₅

Symétrie d'ordre 5 des intégrales pour π² ( Formules de Thomae pour la fonction hypergéométrique ₃F₂ en z=1 )

Relation d'auto-distributivité (rack, quandle) :
a*(b*c)=(a*b)*(a*c)
Il y a deux * dans un terme et 3 * dans l'autre.