Des relations à cinq termes

On rencontre beaucoup de relations à cinq termes, toutes plus ou moins liées entre elles. Certaines s'écrivent sous la forme d'une égalité entre la somme de 2 termes et la somme de 3 termes.
[((xy)z)t] → [(xy)(zt)] → [x(y(zt))] = [((xy)z)t] → [(x(yz))t] → [x((yz)t)] → [x(y(zt))]
  1. Pentagone comme le second associaèdre
    Associativité à homotopie près
    Triangulations des polygônes réguliers.
  2. Axiome pentagonal de Stasheff-MacLane
    pour les catégories monoïdales
  3. Axiome pentagonal pour l'associateur
    dans la théorie des groupes quantiques
  4. Identité de Elliot-Biedenharn (1953)
    pour les 6j-symboles classiques ou quantiques
    {......}{......}=Σi {......}{......}{......}
    Ici le nombre 6 est le nombre d'arêtes d'un tétraèdre
  5. Equation de Spence-Abel
    pour le dilogarithme classique ou quantique
  6. Pentagramma mirificum de Toporley, Napier et Gauss
    « This uniformitie of the Circular parts, most manifestly appeareth in right-angled triangles made on the superficies of a globe, of five great circles, the first whereof cutteth the second, the second the third, the third the fourth, the fourth the fifth : and lastly, the fifth the first, at right angles. But all the other Sections shall bee made at oblique angles. »
    Selon Coxeter, l'histoire commence en 1602, lorsque Nathaniel Torporley (1564-1632) commence à étudier les 5 "parties" a, A, b, B, c d'un triangle rectangle sphérique (avec l'angle C droit). Selon De Morgan, Torporley anticipa d'une douzaine d'années les règles de Napier qui figurent dans le pentagramma mirificum de Gauss.
    Références :
  7. Mouvement de Pachner de type 3 ⇔ 2
    pour les triangulations des 3-variétés par des tétraèdres
    2 tétraèdres collés le long d'une face = 3 tétraèdres collés le long d'une arête.
  8. Commutativité du diagramme
    (Poset de Tamari)
    [ac] o [ce] = [ab] o [bd] o [de]
    Diagramme de Dynkin D5
  9. Symétrie d'ordre 5 des intégrales pour π2 ( Formules de Thomae pour la fonction hypergéométrique 3F2 en z=1 )
  10. Relation d'auto-distributivité (rack, quandle) :
    a*(b*c)=(a*b)*(a*c)
    Il y a deux * dans un terme et 3 * dans l'autre.

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